教材一覧
教材一覧
教材検索
BLOG

イロ・レーティングの意味と求め方を完全解説

目次

Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有

レーティング

対戦競技におけるプレイヤーの実力を表す指標をレーティング(rating)と呼びます。対戦競技には相手がいるため、プレイヤーの実力は絶対的なものではなく、他のプレイヤーとの比較の中で決まります。したがって、対戦競技におけるプレイヤーのレーティングは、他のプレイヤーとの対戦結果から決定するのがもっともらしいと言えます。強い相手に勝てば多くのスコアを獲得できるが、それほど強くない相手に勝ってもそれほどスコアを稼げない、そのような基準にもとづいてレーティングを決定するということです。

イロ・レーティングシステム(Elo rating system)とは、チェスや将棋など 1 対 1 の対戦競技において、対戦結果や対戦相手の強さを踏まえながらプレイヤーのレーティングを決める方法の 1 つです。イロ・レーティングはもともとチェスの実力を表すために考案されたものですが、現在では将棋や囲碁、アメフトやサッカー、テニスなどの様々な対戦競技において採用されています。

イロ・レーティングについて解説する前に、まずは私たちにとってなじみ深い勝率の概念について復習しましょう。

 

期待勝率とオッズ

あるプレイヤーが他のプレイヤーと対戦したときに勝利する確率を期待勝率(expected score)と呼びます。プレイヤー\(1\)がプレイヤー\(2\)と対戦したときの期待勝率を\(e_{12}\)で表すことにします。つまり、引き分けのない競技においてプレイヤー\(1,2\)が対戦したとき、プレイヤー\(1\)が\(75\%\)の確率で勝ち、\(25\%\)の確率で負けるならば、このことを、\begin{equation*}
e_{12}=0.75
\end{equation*}で表すということです。同じことをプレイヤー\(2\)の立場から考えると、\begin{equation*}
e_{21}=0.25
\end{equation*}となり、両者の間には、\begin{equation*}
e_{12}+e_{21}=1
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

また、あるプレイヤーが他のプレイヤーと対戦した時に、自分の期待勝率が相手の期待勝率の何倍であるかを表す指標をオッズ(odds)と呼びます。上の例では、プレイヤー\(1\)が勝利するオッズは、\begin{equation*}
o_{12}=\frac{e_{12}}{e_{21}}=3
\end{equation*}となります。つまり、プレイヤー\(1\)の期待勝率はプレイヤー\(2\)の期待勝率の\(3\)倍であるとうことです。同じことをプレイヤー\(2\)の立場から考えると、\begin{equation*}
o_{21}=\frac{e_{21}}{e_{12}}=\frac{1}{3}
\end{equation*}となり、両者の間には、\begin{equation*}
o_{12}\times o_{21}=1
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

引き分けが起こり得る競技の場合には、引き分けになる確率の半分をプレイヤーの期待勝率に加算することとします。つまり、引き分けは勝ちの半分とみなすということです。このルールのもとでは、プレイヤー\(1,2\)が対戦したときにプレイヤー\(1\)が\(50\%\)の確率で勝ち、\(20\%\)の確率で負け、\(30\%\)の確率で引き分けになることを、\begin{equation*}
e_{12}=0.5+\frac{0.3}{2}=0.65
\end{equation*}で表します。同じことをプレイヤー\(2\)の立場から考えると、\begin{equation*}
e_{21}=0.2+\frac{0.3}{2}=0.35
\end{equation*}となり、両者の間には、\begin{equation*}
e_{12}+e_{21}=1
\end{equation*}という関係が成り立ちます。この場合にもオッズを先ほどと同様に定義します。

 

期待確率とオッズに関する仮定

競技に参加するプレイヤーの中から 3 人を任意に選び、彼らをそれぞれ\(1,2,3\)と呼ぶこととします。プレイヤー\(1,2\)の間には、\begin{equation}
o_{12}=\frac{e_{12}}{e_{21}}=10 \quad\cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立つものとします。つまり、プレイヤー\(1\)のプレイヤー\(2\)に対する期待勝率は、プレイヤー\(2\)のプレイヤー\(1\)に対する期待勝率の\(10\)倍であるということです。さらに、プレイヤー\(2,3\)の間には、\begin{equation}
o_{23}=\frac{e_{23}}{e_{32}}=10 \quad\cdots (2)
\end{equation}という関係が成り立つものとします。つまり、プレイヤー\(2\)のプレイヤー\(3\)に対する期待勝率は、プレイヤー\(3\)のプレイヤー\(2\)に対する期待勝率の\(10\)倍であるということです。

では、残された組み合わせであるプレイヤー\(1\)とプレイヤー\(3\)が対戦する場合にはどうなるでしょうか。\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)が与えられたとき、イロ・レーティングシステムにおいては、\begin{equation*}
o_{13}=o_{12}\times o_{23}=100
\end{equation*}という関係が成り立つものと仮定します(図 1)。

図1:期待勝率に関する仮定

つまり、プレイヤー\(1,2,3\)について、\(1\)の\(2\)に対するオッズが\(10\)(\(1\)の\(2\)に対する勝率は\(2\)の\(1\)に対する勝率の\(10\)倍)で、\(2\)の\(3\)に対するオッズが\(10\)(\(2\)の\(3\)に対する勝率は\(3\)の\(2\)に対する勝率の\(10\)倍)であるとき、\(1\)の\(3\)に対するオッズを両者の積に相当する\(100\)(\(1\)の\(3\)に対する勝率は\(3\)の\(1\)に対する勝率の\(100\)倍)と定めるということです。現実にはプレイヤーの相性があるためこのような綺麗な関係は成立するとは限りませんが、イロ・レーティングシステムにおいては便宜的にこのような関係を仮定します。

 

期待勝率ないしオッズをレーティングに変換する

競技参加者の中から 2 人のプレイヤー\(i,j\)を任意に選んだとき、期待勝率\(e_{ij}\)やオッズ\(o_{ij}\)を通じて両者の実力関係を常に把握することができます。一方、レーティングの発想は、それぞれのプレイヤー\(i\)に固有の数値\(r_{i}\)を割り当てた上で、この数値の大小によってプレイヤー間の実力関係を把握する、というものです。

では、期待勝率やオッズからレーティングを導出するためにはどうすればよいでしょうか。イロ・レーティングシステムでは以下のルールを採用します。

ルール(イロ・レーティング)
任意のプレイヤー\(i,j\)について、\(i\)の\(j\)に対するオッズ\(o_{ij}\)が\(10\)であることと、\(i\)のレーティング\(r_{i}\)と\(j\)のレーティング\(r_{j}\)の差が\(400\)であることを同義と定める。つまり、任意の\(i,j\)について、\begin{equation*}
o_{ij}=10\ \Leftrightarrow \ r_{i}-r_{j}=400
\end{equation*}という関係が成り立つものとする。

先ほどの例と同様に、プレイヤー\(1,2,3\)について、\begin{eqnarray}
o_{12} &=&\frac{e_{12}}{e_{21}}=10 \quad\cdots (1) \\
o_{23} &=&\frac{e_{23}}{e_{32}}=10 \quad\cdots (2)
\end{eqnarray}が成り立つものとします。このとき、イロ・レーティングの仮定より、\begin{equation}
o_{13}=o_{12}\times o_{23}=100=\left( 10^{2}\right) \quad\cdots (3)
\end{equation}が成り立つのでした。\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)とレーティングの定義より、\begin{eqnarray*}
r_{1}-r_{2} &=&400 \\
r_{2}-r_{3} &=&400
\end{eqnarray*}が成り立つため、このとき、\begin{equation*}
r_{1}-r_{3}=800=\left( 400\times 2\right)
\end{equation*}となります。以上の関係を図解したものが図 2 です。

図 2:レーティングの定義

つまり、最も弱いプレイヤー\(3\)を基準として、彼よりも強いプレイヤー\(2\)を比べると、期待勝率は\(10\ \left( =10^{1}\right) \)倍になると同時にレーティングは\(400\ \left( =400\times 1\right) \)だけ加算されています。続いて、さらに強いプレイヤー\(1\)と比べると、期待勝率が\(100\ \left( =10^{2}\right) \)倍になると同時にレーティングは\(800\ \left( =400\times 2\right) \)だけ加算されています。

さらに強いプレイヤーについて同様に考えることで導かれる結論は、一般的に、期待勝率が\(10^{x}\)倍になるとレーティングは\(400x\)だけ加算されるということです。したがって、基準となるプレイヤーのレーティングを決めれば、あとは期待勝率もしくはオッズからすべてのプレイヤーのレーティングを導くことができます。

 

レーティングから期待勝率ないしオッズを予測する

前節では期待勝率もしくはオッズからレーティングを導出する方法を解説しましたが、逆に、レーティングから期待勝率もしくはオッズを予想することもできます。

繰り返しになりますが、一般に、期待勝率が\(10^{x}\)倍になるとレーティングは\(400x\)だけ加算されます。つまり、任意のプレイヤー\(i,j\)について、\(i\)の\(j\)に対する期待勝率\(e_{ij}\)が\(j\)の\(i\)に対する期待勝率\(e_{ji}\)の\(10^{x}\)倍であることは、\(i\)のレーティング\(r_{i}\)と\(j\)のレーティング\(r_{j}\)の差が\(400x\)であることと同義です。つまり、\begin{equation*}
\frac{e_{ij}}{e_{ji}}=10^{x}\ \Leftrightarrow \ r_{i}-r_{j}=400x
\end{equation*}という関係が成り立つということです。さらにここから、\begin{equation*}
\frac{e_{ij}}{e_{ji}}=10^{\frac{r_{i}-r_{j}}{400}}
\end{equation*}を得ます。これと、\begin{equation*}
e_{ij}+e_{ji}=1
\end{equation*}を踏まえると、\begin{equation*}
e_{ij}=\left( 1-e_{ij}\right) 10^{\frac{r_{i}-r_{j}}{400}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( 1+10^{\frac{r_{i}-r_{j}}{400}}\right) e_{ij}=10^{\frac{r_{i}-r_{j}}{400}}
\end{equation*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
e_{ij} &=&\frac{10^{\frac{r_{i}-r_{j}}{400}}}{1+10^{\frac{r_{i}-r_{j}}{400}}}
\\
&=&\frac{1}{10^{\frac{r_{j}-r_{i}}{400}}}\left/ \left( 1+\frac{1}{10^{\frac{r_{j}-r_{i}}{400}}}\right) \right. \\
&=&\frac{1}{10^{\frac{r_{j}-r_{i}}{400}}}\left/ \frac{1+10^{\frac{r_{j}-r_{i}}{400}}}{10^{\frac{r_{j}-r_{i}}{400}}}\right. \\
&=&\frac{1}{1+10^{\frac{r_{j}-r_{i}}{400}}}
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、プレイヤー\(i,j\)のレーティング\(r_{i},r_{j}\)から上の関係を通じて期待勝率\(e_{ij}\)を予想することができます。

ちなみに、プレイヤー\(i,j\)のレーティングが等しい場合には、すなわち、\(r_{i}=r_{j}\)が成り立つ場合には、上の関係より、\begin{equation*}
e_{ij}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}
\end{equation*}となります。つまり、レーティングが等しいプレイヤーどうしが対戦すると勝率は五分五分になります。これはもっともらしい予測です。

 

レーティングの決定と更新

前節ではレーティングから期待勝率を予測する方法を解説しましたが、その際にプレイヤーのレーティングは与えられているという仮定のもとで話を進めました。では、そもそもレーティングをどのように求めればよいのでしょうか。対戦競技におけるレーティングは実際の対戦結果を反映する形で決定すべきですが、実際にプレイヤーたちが対戦を行う中で、レーティングをどのように決めていけばよいのでしょうか。

レーティングシステムを導入した直後にはデータがないため、それぞれのプレイヤー\(i\)のレーティング\(r_{i}\)を適当に決めることになります。さらにそこから、先に解説した方法により、任意の対戦相手\(j\)に対する期待勝率\(e_{ij}\)を求めることができます。今、実際にプレイヤー\(i,j\)が対戦したものとし、その結果を、\begin{equation*}
g_{ij}=\left\{
\begin{array}{cl}
1 & i\text{が勝った場合} \\
\frac{1}{2} & \text{引き分けの場合}
\\
0 & i\text{が負けた場合}\end{array}\right.
\end{equation*}で表します。その上で、対戦後のプレイヤー\(i\)のレーティング\(r_{i}^{\prime }\)を、\begin{equation*}
r_{i}^{\prime }=r_{i}+K\left( g_{ij}-e_{ij}\right)
\end{equation*}に更新します。ただし、\(K\)は定数です。つまり、プレイヤー\(i\)が勝った場合(\(g_{ij}=1\))にはプレイヤー\(i\)のレーティングを\(K\left( 1-e_{ij}\right) \)だけ増やし、負けた場合(\(g_{ij}=0\))には\(-Ke_{ij}\)だけ減らします。また、引き分けの場合(\(g_{ij}=\frac{1}{2}\))には\(K\left( \frac{1}{2}-e_{ij}\right) \)だけ変化させます。

プレイヤー\(i\)の期待勝率\(e_{ij}\)は相手プレイヤー\(j\)が強いほど小さくなるため、強い相手に勝てばレーティングは大きく増える一方で、強い相手に負けてもレーティングはそれほど減りません。逆に、弱い相手に勝ってもレーティングはそれほど増えませんが、弱い相手に負ければレーティングは大きく減少します。また、定数\(K\)の値が大きいほどレーティングの変動は大きくなり、逆に\(K\)の値が小さいほどレーティングの変動は小さくなります。

Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有
PICK UP

人気のテキスト

ユダヤ教が規範宗教であり民族宗教であることの意味

ユダヤ教はキリスト教やイスラム教徒と同様、唯一絶対の神から与えられた啓典を信仰の基盤にする啓典宗教です。ユダヤ教の特徴は、集団救済の宗教であり、外的規範の実践を重視する規範宗教であるという点です。その意味を解説します。

指数関数

感染症の拡大プロセスと指数関数の関係

感染症が拡大していくプロセスは指数関数を用いて記述できます。感染症が急速に拡大する背景には複利の効果と同様のメカニズムが存在します。

ボランティアのジレンマ

ボランティアのジレンマ

自身がわずかなコストを負担して全員に利益をもたらすか、もしくは他の人が行動するのかを待つか、以上の選択肢に直面したプレイヤーたちの間に成立する戦略的状況を描写するゲームをボランティアのジレンマと呼びます。

写真の発明が印象派の画家たちに与えた影響

写真が本格的に発達した19世紀の中頃は、絵画を中心に印象派が勃興した時代でもあります。印象派の作風は写実主義の対極にあるように見えますが、実は、その成り立ちは写真の発明や普及と深い関係があることが指摘されています。写真が普及するまでの歴史的経緯を追いながら、印象派に及ぼした影響について解説します。

単一財オークション

1つの商品をめぐって複数の買い手たちが入札を行うオークションにおいて、それぞれの入札者は商品に対する評価額、すなわち商品に対して支払ってもよい金額を持っていますが、これは私的情報です。以上の状況において望ましいオークションルールを考察します。

囚人のジレンマ

囚人のジレンマの例:軍拡競争

冷戦期に行われた米ソ間の軍拡競争は囚人のジレンマとしての側面を持っていることを解説した上で、そこでのナッシュ均衡を求めます。

アメリカの西進を支えた「明白な使命」とは何か?

もともとメキシコ領であったカリフォルニアからテキサスへ至る領域は、テキサス併合やメキシコ・アメリカ戦争(米墨戦争)などを経てアメリカへ編入されます。こうした動きを正当化するスローガンとして叫ばれたのが「明白な使命(マニフェスト・デスティニー)」。その意味を、時代背景やアメリカという国の成り立ちとともに解説します。

ランチェスターの法則を包括的に分かりやすく解説

ランチェスターの第 1 法則(一騎打ちの法則)と第 2 法則(確率戦の法則)それぞれについて、その前提・導出方法・インプリケーションなどを分かりやすくかつ包括的に解説します。また、ランチェスターの法則をビジネスに応用した場合のインプリケーションについても触れます。

イロ・レーティングの意味と求め方を完全解説

対戦競技におけるプレイヤーの実力を表す指標をレーティングと呼びます。対戦競技には相手がいるため、レーティングは実際の対戦結果から決定すべきです。イロ・レーティングシステムは1対1の対戦競技におけるレーティング決定ルールであり、チェスや将棋、囲碁、アメフト、サッカー、テニスなどの様々な対戦競技において採用されています。

日本銀行

金融緩和とは何か?:金利引き下げと量的緩和

金利とは何でしょうか?また、経済に大きな影響を与える金利は長期の実質金利ですが、それはなぜでしょうか?金利の水準はどのように決まるでしょうか?また、中央銀行である日銀が行う金利引き下げと量的緩和とはどのような政策であり、それはどのような効果を持つのでしょうか。以上のポイントについて分かりやすく解説します。

オイラー

数学者がオイラーの等式の美しさを称える理由

オイラーの数、三角関数、虚数単位、円周率などの概念は互いに独立しているようで実は相互に関係しており、オイラーの等式はその関係をシンプルな 1 つの式で綺麗に表現しています。オイラーの等式の意味と、その導出方法を解説します。

実数の定義

実数を無限小数として定義する場合、実数に関する議論はすべて無限小数に関する議論として行うことになり面倒です。そこで代替的な方法として公理主義的なアプローチのもとで実数を定義します。ここでは実数を特徴づける公理について解説します。

LATEST MATERIALS

最新の教材

行列式

行列式の行または列に関する加法性

行列式の1つの行(列)のそれぞれの成分が2つの実数の和に分解されているならば、この行列式を、それぞれの数を成分とする2つの行列式の和に分解できます。また、1つの行(列)の定数倍を別の行(列)に加えても、行列式の値は変化しません。

行列式

行列式の行または列に関する斉次性

正方行列の1つの行(列)のすべての成分をk倍すると、その前後において、行列式の値はk倍になります。以上の事実は、正方行列のある行(列)が共通因数を持つ場合、それを行列式の外にくくり出せることを同時に意味します。

行列式

行列式の行または列に関する交代性

正方行列の2つの行(列)を入れ替えると、その前後において、行列式の値は符号だけが変化します。以上の事実を利用すると、同じ行(列)を持つ正方行列の行列式の値はゼロになることが示されます。

行列式

転置行列の行列式の値

行列のij成分とji成分を入れ替えることで得られる行列を転置行列と呼びます。正方行列の行列式の値と、その転置行列の行列式の値は一致します。

置換の符号

逆置換の符号

順列の置換は全単射と同一視できるため、その逆写像に相当する全単射が存在し、それを逆置換と呼びます。置換と逆置換の符号は一致します。

置換の合成

置換の積(合成)の符号

順列の置換は全単射と同一視できるため、複数の置換の合成写像を定義でき、これを置換の積と呼びます。置換の積の符号は、置換の符号どうしの積と一致します。

サラスの公式

サラスの公式

次数が2または3であるような正方行列に関しては、その行列式の値を求める際にサラスの公式と呼ばれる指針を利用することができます。

行列式

行列式の定義

実数を正方形に配置したものを正方行列と呼びます。正方行列に対して行列式と呼ばれる値を定義し、それを具体的に求める方法を解説します。

置換の符号

順列の置換の符号

1以上n以下の自然数を何らかの順番のもとで並べて列にしたものを順列と呼びます。小さい順番に並んでいる自然数の順列の成分を並び替える操作を置換と呼びます。

ワイズの理念とサービス内容。

REGISTER

プレミアム会員登録はこちらから。