教材一覧
BLOG

地球を囲むロープの長さを1メートル伸ばすと?

Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有

地球を囲む 2 本のロープの隙間

地球をゆがみのないきれいな球と仮定した上で、その赤道上にロープをたるまないように張って輪を作ります(図1の青い線)。ただし、ロープの太さは考えないものとします。

赤道上にロープを張る
図1:赤道上にロープを張る

ロープの長さを 1 メートルだけ延長するとロープがたるみますが、このたるんだロープを使って先ほどの輪と同じ中心を持つ新たな輪を作ります(図 1 の濃い緑の線)。この 2 つの輪の間にはスペースができます(図 1 の黄緑の矢印)。

 

1 円玉を囲む 2 本の糸の隙間

先ほどと同様の作業を 1 円玉に対して行います。まず、1 円玉のまわりに糸をたるまないように張って輪を作ります(図2の青い線)。ただし、糸の太さは考えないものとします。

1円玉上に糸を張る
図2:1円玉上に糸を張る

糸の長さを 1 メートルだけ延長すると糸がたるみますが、このたるんだ糸を使って先ほどの輪と同じ中心を持つ新たな輪を作ります(図2の濃い緑の線)。この 2 つの輪の間にはスペースができます(図 2 の黄緑の矢印)。

 

問題

地球を囲む 2 つの輪の円周の差と、1 円玉を囲む 2 つの輪の円周の差はともに 1 メートルです。では、先の 2 つの図にそれぞれ描かれた黄緑色の矢印の長さを比べたとき、どちらのほうが長いでしょうか?

地球と 1 円玉の大きさの違いを考慮すると、直感的には、1 円玉の場合の矢印のほうが地球の場合の矢印よりも長いと考えがちですが、実は、どちらの場合でも矢印の長さは同じです。以下ではそのことを証明しましょう。

 

証明

円周が\(C\)メートルで半径が\(r\)メートルの円があるとします(図 3 の青い円)。このとき、円周を\(1\)メートルだけ延長して\(C+1\)としたとき、新たな円の半径が\(R\)メートルになったとしましょう(図3の緑の円)。

円周の差が1メートルの2つの同心円
図3:円周の差が1mの2つの同心円

この 2 つの円について$$C=2 \pi r$$$$C+1=2 \pi R$$という関係が成り立ちますが、これらを変形すると、$$r=\frac{C}{2 \pi} \quad\cdots (1)$$$$R=\frac{C+1}{2 \pi} \quad\cdots (2)$$となります。

先の 2 つの例における黄緑の矢印の長さは,図 3 における\(R-r\)に相当しますが、\((1)\)と\((2)\)よりこれは、$$R-r=\frac{C+1}{2 \pi}-\frac{C}{2 \pi}=\frac{1}{2 \pi} \quad\cdots (3)$$となります。

注目すべきは、\((3)\)の値が定数であるということです。つまり,もとの円の大きさを規定する\(C\)の値とは関係なく、円周の長さを\(1\)メートルだけ伸ばした時にできる黄緑色の矢印の長さは、$$\frac{1}{2\pi} \approx 0.16$$という定数になります。たとえそれが地球でも、1円玉でも、結果は同じです。

ちなみに、この結果から逆に考えると、赤道の半径が約\(16\)センチ長くなったとき、新たな赤道をロープで囲うためには、ロープの長さを\(1\)メートルだけ伸ばせばよいことになります。

Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有
LATEST POST

過去のブログ記事

ランチェスターの法則を包括的に分かりやすく解説

ランチェスターの第 1 法則(一騎打ちの法則)と第 2 法則(確率戦の法則)それぞれについて、その前提・導出方法・インプリケーションなどを分かりやすくかつ包括的に解説します。また、ランチェスターの法則をビジネスに応用した場合のインプリケーションについても触れます。

ゼロは自然数なのか?

0は自然数なのでしょうか。0を自然数に含める流儀と含めない流儀がありますが、どちらが正しいか決め手はありません。重要なのは定義を共有しておくことです。ここでは後続集合を用いた定義や、帰納的集合を用いた定義などを紹介します。

オークション理論とは何か?

オークションの入札者は商品への評価額などを私的情報として持っています。入札者たちが自身の利益を最大化するために真の評価額とは異なる金額を入札する結果、オークション市場ではインセンティブの問題が発生します。オークション理論はインセンティブの問題を解消するためのオークションメカニズムを設計する学問です。

アメリカの西進を支えた「明白な使命」とは何か?

もともとメキシコ領であったカリフォルニアからテキサスへ至る領域は、テキサス併合やメキシコ・アメリカ戦争(米墨戦争)などを経てアメリカへ編入されます。こうした動きを正当化するスローガンとして叫ばれたのが「明白な使命(マニフェスト・デスティニー)」。その意味を、時代背景やアメリカという国の成り立ちとともに解説します。

モノの値段はどのように決まるのか?

モノやサービスの値段は需要と供給のバランスから決定されますが、その背後にあるメカニズムを経済学に馴染みのない方向けに分かりやすく解説します。

イロ・レーティングの意味と求め方を完全解説

対戦競技におけるプレイヤーの実力を表す指標をレーティングと呼びます。対戦競技には相手がいるため、レーティングは実際の対戦結果から決定すべきです。イロ・レーティングシステムは1対1の対戦競技におけるレーティング決定ルールであり、チェスや将棋、囲碁、アメフト、サッカー、テニスなどの様々な対戦競技において採用されています。

日本銀行

金融緩和とは何か?:金利引き下げと量的緩和

金利とは何でしょうか?また、経済に大きな影響を与える金利は長期の実質金利ですが、それはなぜでしょうか?金利の水準はどのように決まるでしょうか?また、中央銀行である日銀が行う金利引き下げと量的緩和とはどのような政策であり、それはどのような効果を持つのでしょうか。以上のポイントについて分かりやすく解説します。

オイラー

数学者がオイラーの等式の美しさを称える理由

オイラーの数、三角関数、虚数単位、円周率などの概念は互いに独立しているようで実は相互に関係しており、オイラーの等式はその関係をシンプルな 1 つの式で綺麗に表現しています。オイラーの等式の意味と、その導出方法を解説します。

モノの値段はなぜ変化するのか

モノの値段は需要と供給がバランスする点に落ち着くのであるならば、商品の需要や供給が何らかの理由によって変化したとき、両者がバランスする点も変わるため、それに応じて商品の価格も変化することになります。では、商品の総需要や総供給はどのような理由から変化するのでしょうか。経済学に馴染みのない方向けに分かりやすく解説します。

LATEST MATERIALS

最新の教材

cos関数

余弦関数(cos関数)の極限

余弦関数(cos関数・コサイン関数)について、その極限、片側極限、および無限大における極限を求める方法を解説します。

sin関数

正弦関数(sin関数)の極限

正弦関数(sin関数・サイン関数)について、その極限、片側極限、および無限大における極限を求める方法を解説します。

対数関数

対数関数の極限

対数関数や自然対数関数について、その極限、片側極限、および無限大における極限を求める方法を解説します。

ボルツァーノの定理

中間値の定理

有界な閉区間上に定義された連続関数が定義域の左右の端点において異なる値をとるとき、中間値の定理と呼ばれる命題が成立します。

ネイピア数

対数関数

指数関数の逆関数を対数関数と呼びます。特に、自然指数関数の逆関数を自然対数関数と呼びます。対数関数は狭義単調関数です。

全単射

狭義単調関数の逆関数

狭義単調関数は全単射であるため、終集合を値域に制限すれば全単射になります。したがって、その逆関数が必ず存在します。

指数関数

指数関数の極限

指数関数や自然指数関数について、その極限、片側極限、および無限大における極限を求める方法を解説します。

絶対値関数

絶対値関数の極限

絶対値関数の極限、片側極限、無限大における極限を求める方法について解説します。

ワイズの理念とサービス内容。

REGISTER

会員登録

プレミアム会員登録はこちらから。