ユークリッド空間におけるコーシー列の収束定理
数列がコーシー列であることと収束列であることが必要十分であることと同様、ユークリッド空間上の点列についても、それがコーシー列であることと収束列であることは必要十分です。
ユークリッド空間におけるコーシー列
ユークリッド空間においても、実数空間と同様に、コーシー列（基本列）と呼ばれる点列を定義することができます。コーシー列は有界な点列です。
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理の一般化
ユークリッド空間における点列に関してもボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理は成り立ちます。つまり、有界な点列は収束する部分列を持ちます。
ユークリッド空間における部分列
ユークリッド空間における点列から無限個の項を抜き出して順番を保ったまま並べてできる点列をもとの点列の部分列と呼びます。点列の部分列は数列の部分列を一般化した概念です。
ユークリッド空間における有界単調列の収束定理
実数の連続性より、上に有界な単調増加数列や下に有界な単調減少数列はいずれも収束しますが、これらの事実を利用すると、ユークリッド空間における点列に関しても、上に有界な単調増加列や下に有界な単調減少列が収束することを示すことができます。
収束する点列と順序
ユークリッド空間における 2 つの収束列が与えられたとき、任意番目の項について、一方の収束列の項が他方の収束列の項以上であるならば、それらの極限についても同様の大小関係が成り立ちます。また、ユークリッド空間における収束列についても、収束する数列と同様に、はさみうちの定理が成り立ちます。
ユークリッド空間における単調列
ユークリッド空間上の点列が単調列（単調増加もしくは単調減少）であることの意味を定義します。これは単調数列を一般化した概念です。
点列のノルムの極限
ユークリッド空間上の収束点列が与えられたとき、その一般項のノルムを一般項とする数列が定義可能ですが、これは有限な実数へ収束します。
点列の内積の極限
ユークリッド空間上の収束点列どうしの内積として定義される数列は有限な実数へ収束します。
点列のベクトル和の極限
ユークリッド空間上の収束点列が2つ任意に与えられたとき、それらの一般項どうしのベクトル和を一般項とする点列もまた収束することが保証されます。同様に、収束する点列のベクトル差として定義される点列もまた収束します。
点列のスカラー倍の極限
点列が収束するならば、その点列の一般項をスカラー倍して得られるベクトルを一般項とする点列もまた収束することが保証されます。同様に、収束する点列のスカラー商として定義される点列も収束します。
収束する点列と有界性
ユークリッド空間上の点列のすべての項からなる集合が有界であるとき、その点列は有界であると言います。点列が有界であることと、その任意の座標数列が有界であることは必要十分です。収束する点列は常に有界である一方で、有界な点列は収束するとは限りません。
