可分集合としてのユークリッド空間
ユークリッド空間は可分空間です。つまり、ユークリッド空間は可算集合であるような部分稠密部分集合を持ちます。
ユークリッド空間における稠密集合
ユークリッド空間の部分集合Xが与えられたとき、さらにその部分集合Aの閉包がXを部分集合として含む場合には、AをXの稠密部分集合と呼びます。
リンデレーフ空間としてのユークリッド空間（リンデレーフの被覆定理）
ユークリッド空間上の集合の開被覆を任意に選んだとき、その可算部分被覆が存在することが保証されます。これをリンデレーフの被覆定理と呼びます。
ユークリッド空間における基本開集合系（開基）と第2可算公理
ユークリッド空間において、開集合系の部分集合族が存在し、任意の開集合がその部分集合族に属する開集合の和集合として表現できる場合、その部分集合族を開基と呼びます。また、可算集合であるような開基が存在する場合、第2可算公理が成り立つと言います。
ユークリッド空間における基本近傍系（近傍基）と第1可算公理
ユークリッド空間の点の基本近傍系が存在する場合、その点との距離を測るためには基本近傍系に属する近傍があれば十分で、すべての近傍を議論の対象にする必要はありません。また、ユークリッド空間のそれぞれの点に対して可算な基本近傍系が存在します（第1可算公理）。
ユークリッド空間における点列コンパクト集合
ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、A の要素を項とする任意の点列が A の点に収束する部分列を持つ場合、A を点列コンパクト集合と呼びます。ある集合が点列コンパクト集合であることと、その集合がコンパクト集合であることは必要十分です。
ユークリッド空間における孤立点
ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、A の点の中でも A の集積点でないものを A の孤立点と呼びます。
ユークリッド空間における導集合を用いた閉集合の判定
ユークリッド空間の部分集合Aが与えられたとき、Aの導集合がAの部分集合であることは、すなわちAのすべての集積点がAの要素であることは、Aが閉集合であるための必要十分条件です。
点列を用いた集積点（極限点）の判定
ユークリッド空間の部分集合 A および点 a が与えられたとき、A の点を項とするとともに、すべての項が a とは異なり、なおかつ a に収束する点列が存在することは、a が A の集積点（極限点）であるための必要十分条件です。
ユークリッド空間における集積点（極限点）・導集合
ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a を中心とする任意の近傍が a とは異なる A の点を要素として持つ場合、この点 a を A の集積点と呼びます。
ユークリッド空間における触点・閉包
ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a の任意の近傍が A と交わるならば、a を A の触点と呼びます。また、A のすべての触点からなる集合を A の閉包と呼びます。
ハイネ・ボレルの被覆定理
ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、A が有界な閉集合であることと、A がコンパクト集合であることは必要十分です。これをハイネ・ボレルの被覆定理と呼びます。
