近傍・近傍系

ユークリッド空間における点の近傍、近傍系、およびユークリッド空間の近傍系という概念を定義します。これは実数の開区間を一般化した概念です。

演習問題:内部・外部・境界

本節ではユークリッド空間の部分集合について、その内点や内部について学びました。演習問題を通じて理解を深めてください。

命題の証明:内部・外部・境界

本節ではユークリッド空間の部分集合について、その内点や内部について学びました。本文中に登場した命題を証明します。

内点・内部

ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a を中心とする開近傍の中に A の部分集合になるものが存在するならば、a を A の内点と呼びます。また、A のすべての内点を集めてできる集合を A の内部と呼びます。集合 A とその内部が一致することは、A が開集合であるための必要十分条件です。

演習問題:近傍・開集合・閉集合

本節ではユークリッド空間の点の近傍、ユークリッド空間上の開集合および閉集合について学びました。演習問題を通じて理解を深めてください。次回から内部・外部・境界などについて学びます。

命題の証明:近傍・開集合・閉集合

本節ではユークリッド空間の点の近傍、ユークリッド空間上の開集合および閉集合について学びました。本文中に登場した命題を証明します。次回から内部・外部・境界などについて学びます。

閉集合・閉集合系

ユークリッド空間の部分集合Aが与えられたとき、Aの補集合がユークリッド空間上の開集合である場合には、Aをユークリッド空間上の閉集合であるといいます。また、ユークリッド空間上のすべての閉集合からなる集合族を閉集合系と呼びます。

開集合・開集合系

ユークリッド空間の部分集合Aが与えられたとき、Aのそれぞれの点aについて、aを中心とする開近傍の中にAの部分集合であるようなものが存在するのであれば、Aをユークリッド空間上の開集合と呼びます。また、ユークリッド空間上の開集合をすべて集めてできる集合系を開集合系と呼びます。

境界点・境界

ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a の任意の近傍が A と A の補集合の双方と交わるならば、a を A の境界点と呼びます。また、A のすべての境界点からなる集合を A の境界と呼びます。

外点・外部

ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a を中心とする開近傍の中に A の補集合の部分集合になるものが存在するならば、a を A の外点と呼びます。また、A のすべての外点を集めてできる集合を A の外部と呼びます。