述語論理

恒真式・恒偽式・事実式

述語論理において論理式が恒真式であるとは、任意の解釈においてその論理式の値が真であることを意味します。また、論理式が恒偽式であるとは、任意の解釈においてその論理式の値が偽であることを意味します。恒真式や恒偽式ではない論理式を事実式と呼びます。

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演習問題:論理式の解釈

本節では述語論理において論理式を解釈する方法を解説しました。演習問題を通じて理解度を確認してください。次節では恒真式について解説します。

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述語論理

論理式の解釈

述語論理において論理式の値を特定するためには、変数の定義域を特定し、論理式に含まれるすべての命題関数の形状を特定し、さらに(開論理式の場合には)変数の自由な現れに代入する値を指定する必要があります。以上の 3 つの要素の組を論理式の解釈と呼びます。

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量化記号の置換

論理式中の全称記号どうし、存在記号どうしを入れ替えて得られる論理式はもとの論理式と同値です。一方、論理式中の全称記号と存在記号を入れ替えて得られる論理式はもとの論理式と同値であるとは限りません。

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量化記号と論理和

存在命題の論理和は論理和に対する存在命題と同値です。一方、全称命題の論理和は論理和に関する全称命題と同値ではありません。

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述語論理

量化記号と論理積

全称命題の論理積は論理積に対する全称命題と同値です。一方、存在命題の論理積は論理積に関する存在命題と同値ではありません。

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量化記号と否定

全称命題の否定は否定の存在命題と同値であり、存在命題の否定は否定の全称命題と同値です。

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存在命題の解釈

論理式 A と変数 x∈X に対して量化記号 ∃ を作用させることで得られる ∃x∈X A もまた論理式です。∃ は存在記号と呼ばれる量化記号であり、量化記号 ∃ を作用して得られる ∃x∈X A を存在命題と呼びます。

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真理集合

論理式が与えられたとき、議論領域と関数の形状、そして変数に代入する値をそれぞれ具体的に定めれば、1または0を値としてとる命題が得られます。また、論理式の値が1になるような変数の値からなる集まりを真理集合と呼びます。

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条件付き証明

推論を証明する際には、推論の前提とは異なる論理式を便宜的に真と仮定した上で、その論理式と推論の前提に対して推論規則を適用していく手法が時として有効です。仮定を利用する証明方法の代表的なものは条件付き証明です。

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証明

推論の妥当性を示すために、前提を出発点として推論規則を用いて結論を次々に導出し、最終的に当初の推論式の結論を導出する手法を証明や演繹などと呼びます。

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全称導入

カテゴリーの中から任意に選んだものは同種のものを代表しているため、それが満たす性質は他のすべてのものも共通して持っていることを保証する推論規則を全称導入と呼びます。

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