数列を用いた開集合・閉集合の判定

実数空間 R の部分集合 A が閉集合であることの意味を数列を用いて表現することもでき、こちらの定義を採用した方が閉集合であることを容易に判定できる場合があります。

命題の証明:可算公理

本節では可算公理について学びました。本文中に登場した命題を証明します。次回から関数について学びます。

開基と第2可算公理

実数空間において、開集合系の部分集合族が存在し、任意の開集合がその部分集合族に属する開集合の和集合として表現できることが保証されている場合、その部分集合族を開基と呼びます。また、可算集合であるような開基が存在する場合、第2可算公理が成り立つと言います。

基本近傍系と第1可算公理

実数空間の点に対してその基本近傍系が存在する場合、その点との距離感を知るためには基本近傍系の要素である近傍だけがあれば十分で、その点のすべての近傍を議論の対象にする必要はありません。また、任意の点に対して可算集合であるような基本近傍系が存在する場合には第1可算公理が成り立つと言います。

演習問題:内部・外部・境界

本節では実数空間について、その内部、外部、境界などについて学びました。演習問題を通じて理解度を確認してください。

演習問題:コンパクト集合

本節では実数空間上のコンパクト集合について学びました。演習問題を通じて理解度を確認してください。次回から関数について学びます。

命題の証明:コンパクト集合

本節では実数空間上のコンパクト集合について学びました。本文中に登場した命題を証明します。次回から関数について学びます。

コンパクト集合の演算

実数空間において、コンパクト集合どうしの共通部分や和集合もまたコンパクト集合になることを示します。

点列コンパクト集合

実数空間の部分集合が与えられたとき、その集合の要素を項とする任意の点列がその集合の点に収束する部分列を持つとき、その集合を点列コンパクト集合と呼びます。ある集合が点列コンパクトであることと、その集合がコンパクトであることは必要十分です。

ハイネ・ボレルの被覆定理

実数空間の部分集合が有界な閉集合であることと、その集合がコンパクト集合であることは必要十分条件です。これをハイネ・ボレルの被覆定理と呼びます。

コンパクト集合

被覆という概念を解説した上で、実数の部分集合がコンパクト集合であることの意味を定義します。