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SINGLE OBJECT AUCTION

競り下げ式公開オークション(ダッチ・オークション)

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競り下げ式公開オークション

オークションの主催者が最高値から価格を段階的に下げていき、最初に買い手がついた価格で売買が成立し、落札者はその価格に相当する金額を支払うオークションを競り下げ式公開オークション(descending open bid auction)やクロックオークション(clock
auction)、ダッチ・オークション(Dutch auction)、オランダ式オークション(Dutch auction)などと呼びます。

例(競り下げ式公開オークション)
単一財オークション環境において非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定が成り立つ場合、入札者\(i\in I\)が状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)において結果\(\left( a,t\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =a_{i}\cdot \theta _{i}-t_{i}
\end{equation*}となります。入札者集合は\(I=\left\{ 1,2,3\right\} \)であり、彼らはそれぞれ、オークションの主催者による提示額が以下の金額にまで下がった瞬間に入札を行う意思があるものとします。\begin{equation*}\hat{\theta}_{I}=\left( \hat{\theta}_{1},\hat{\theta}_{2},\hat{\theta}_{3}\right) =\left( 10,9,8\right)
\end{equation*}例えば、入札者が最高値\(20\)から価格を段階的に下げていくと、価格が\(10\)まで下がった瞬間に売買が成立するため、競り下げ式公開オークションの配分ルール\(a\)が定める配分は、\begin{equation*}a\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left( a_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right)
,a_{2}\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,a_{3}\left( \hat{\theta}_{I}\right)
\right) =\left( 1,0,0\right)
\end{equation*}であり、移転ルール\(t\)が定める所得移転は、\begin{equation*}t\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left( t_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right)
,t_{2}\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t_{3}\left( \hat{\theta}_{I}\right)
\right) =\left( 10,0,0\right)
\end{equation*}となります。したがって、状態が\(\theta _{I}=\left( \theta_{1},\theta _{2},\theta _{3}\right) \)であるとき、以上の結果からそれぞれの入札者が得る利得は、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right)
,\theta _{I}\right) &=&a_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \cdot \theta
_{1}-t_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\theta _{1}-10 \\
u_{2}\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right)
,\theta _{I}\right) &=&a_{2}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \cdot \theta
_{2}-t_{2}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =0 \\
u_{3}\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right)
,\theta _{I}\right) &=&a_{3}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \cdot \theta
_{3}-t_{3}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =0
\end{eqnarray*}となります。

 

競り下げ式オークションと第一価格封印オークションの関係

復習になりますが、単一財オークション環境におけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)のもとで入札者たちが直面する戦略的状況はベイジアンゲーム\(G\left( a,t\right) \)として記述されるとともに、プレイヤーに相当する入札者たちは以下のルールのもとで意思決定を行うことが想定されています。

  1. 自身の真のタイプ\(\theta _{i}\in \Theta _{i}\)を知っているが他の入札者たちの真のタイプを知らないそれぞれの入札者\(i\in I\)は自身のタイプ集合\(\mathcal{\Theta }_{i}\)の中から特定の支払い意思額\(\hat{\theta}_{i}\)を選択してそれを入札する。その際、他の入札者たちによる入札額を観察できない。入札者\(i\)による入札額\(\hat{\theta}_{i}\)は自身の真のタイプ\(\theta _{i}\)と一致するとは限らない。
  2. 入札者たちによる入札額の組\(\hat{\theta}_{I}\in \mathcal{\Theta }_{I}\)に対して、メカニズム\(\left( a,t\right) :\Theta _{I}\rightarrow A\times \mathbb{R} ^{n}\)が結果\(\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right),t\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)を定める。
  3. 真の状態\(\theta _{I}\)と入札者たちが選択した行動の組\(\hat{\theta}_{I}\)に応じて、それぞれの入札者\(i\)は利得関数\(u_{i}\left[ \theta _{I}\right] \)のもとで先の結果\(\left(a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right) \)を評価する。

特に、第一価格封印オークション\(\left( a,t\right) :\Theta_{I}\rightarrow A\times \mathbb{R} ^{n}\)とは、入札者たちが表明するタイプの組\(\hat{\theta}_{I}\in \Theta _{I}\)に対して、以下の結果\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \hat{\theta}_{i}>\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in
I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right) \\
0 & \left( if\ \hat{\theta}_{i}<\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in
I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right)
\end{array}\right. \\
&&\left( b\right) \ t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\hat{\theta}_{i} & \left( if\ \hat{\theta}_{i}>\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right) \\
0 & \left( if\ \hat{\theta}_{i}<\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in
I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を定めるメカニズムです。第一価格封印オークションのもとで入札者たちが直面する戦略的状況は先のような静学ゲーム\(G\left( a,t\right) \)であることが想定されています。一方、競り下げ式公開オークションにおいて入札者たちが直面する戦略的状況は動学ゲームです。ただ、以下で解説するように、競り下げ式公開オークションにおいて入札者たちが直面する戦略的状況は、第一価格封印オークションのもとでのベイジアンゲーム\(G\left(a,t\right) \)と実質的に等しくなります。

競り下げ式公開オークションにおいても、それぞれの入札者\(i\in I\)は自身の真のタイプ\(\theta _{i}\in \Theta _{i}\)を知っている一方で、他の入札者たちの真のタイプを知りません。入札者\(i\)はオークションの主催者による提示額が\(\hat{\theta}_{i}\)にまで下がった瞬間に入札しようと考えているものとします。この金額\(\hat{\theta}_{i}\)は自身の真のタイプ\(\theta _{i}\)と一致するとは限りません。戦略的に嘘をつく可能性があるということです。加えて、それぞれの入札者\(i\)は他の任意の入札者\(j\)による入札額\(\hat{\theta}_{j}\)を観察できない状態で入札を行う必要があります。なぜなら、競り下げ式公開オークションでは誰かが入札した時点において売買が成立してプロセスが終了するため、他の入札者による入札額を観察する余地がないからです。また、競り下げ式公開オークションが進行している間、それぞれの入札者\(i\)は他の任意の入札者\(j\)の真のタイプ\(\theta _{j}\)に関する追加的な情報を得られません。なぜなら、競り下げ式公開オークションでは誰かが入札するまで誰も行動せず、なおかつ誰かが入札した時点においてオークションが終わってしまうため、他の入札者に関する新たな情報を収集できる余地がないからです(正確には、オークションが進行している間、それぞれの時点において、まだ誰も入札していないという事実だけを新たに知ることができる)。以上より、競り下げ式公開と第一封印オークションの双方において、それぞれの入札者は、他の入札者による入札額や真の支払い意思額を知らないまま意思決定を行う必要があることが明らかになりました。つまり、双方のメカニズムにおいて、それぞれの入札者がアクセス可能な情報は等しいということです。

加えて、競り下げ式公開オークションオークションが進行し、主催者が最高値から価格を段階的に下げていき、\begin{equation*}
\hat{\theta}_{i}>\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in I\backslash \left\{
i\right\} \right\}
\end{equation*}を満たす価格\(\hat{\theta}_{i}\)に到達した瞬間に売買が成立し、入札者\(i\)が確率\(1\)で商品を得るとともに、対価として\(\hat{\theta}_{i}\)だけ支払います。他の任意の入札者は商品を入手できず、所得移転は課されません。つまり、競り下げ式オークションにおける入札額の組\(\hat{\theta}_{I}\)を第一価格オークションにおける入札額の組と同一視した場合、競り下げ式公開オークションがもたらす結果は、第一価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)が定める結果\(\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right) \)と一致します。

以上の意味において2つのメカニズムは戦略的に同等(strategically equivalent)であると言われます。両メカニズムが戦略的に同等であることは、競り下げ式公開オークションにおいて入札者たちが直面する戦略的状況を分析するかわりに、第一価格封印オークションのもとでの戦略的状況を分析しても一般性は失われないことを意味します。

 

競り下げ式公開オークションの性質

第一価格封印オークションは誘因両立的ではない一方で、SIPVモデルにおいてベイジアンナッシュ均衡を持ちます。競り下げ式公開オークションは第一価格封印オークションと戦略的に同等であるため、同様の結論が導かれます。

命題(競り下げ式公開オークションにおけるベイジアンナッシュ均衡)
単一オークションのSIPVモデルにおいて、入札者\(i\in I\)の純粋戦略\(s_{i}:\left[\underline{\theta },\overline{\theta }\right] \rightarrow \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \)はそれぞれの\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \)に対して、\begin{equation*}s_{i}\left( \theta _{i}\right) =\frac{\int_{\underline{\theta }}^{\theta
_{i}}\left[ x\cdot \left( n-1\right) \cdot \left[ F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot f\left( x\right) \right] dx}{\left[ F\left( \theta _{i}\right) \right] ^{n-1}}
\end{equation*}を定めるものとする。以上のような純粋戦略の組\(s_{I}\in S_{I}\)は競り下げ式公開オークション\(\left( a,t\right) \)のもとでベイジアンナッシュ均衡になる。

第一価格封印オークションはSIPVモデルにおいて事後効率性を満たします。競り下げ式公開オークションは第一価格封印オークションと戦略的に同等であるため、同様の結論が導かれます。

命題(競り下げ式公開オークションの事後効率性)
単一オークションのSIPVモデルにおいて、競り下げ式公開オークション\(\left( a,t\right) \)は事後効率的である。
例(競り下げ式公開オークションの性質)
SIPVモデルにおいて、入札者たちのタイプが集合\(\left[ 0,100\right] \)上の連続一様分布にしたがって分布しているものとします。つまり、確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{100} & \left( if\ 0\leq x\leq 100\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるとともに、分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
\frac{x}{100} & \left( if\ 0\leq x<100\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 100\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるということです。入札者\(i\in I\)およびそのタイプ\(\theta _{i}\in \left[ 0,100\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\frac{\int_{0}^{\theta _{i}}\left[ x\cdot \left( n-1\right) \cdot \left[
F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot f\left( x\right) \right] dx}{\left[
F\left( \theta _{i}\right) \right] ^{n-1}}=\left( \frac{n-1}{n}\right)
\theta _{i}
\end{equation*}となるため(確認してください)、競り下げ式公開オークションにおける入札者\(i\)の均衡戦略\(s_{i}:\left[ 0,100\right]\rightarrow \left[ 0,100\right] \)はそれぞれの\(\theta _{i}\in \left[ 0,100\right] \)に対して、\begin{equation*}s_{i}\left( \theta _{i}\right) =\left( \frac{n-1}{n}\right) \theta _{i}
\end{equation*}を定めます。したがって、競り下げ式公開オークションにおけるベイジアンナッシュ均衡は、\begin{equation*}
s_{I}\left( \theta _{I}\right) =\left( \frac{n-1}{n}\theta _{1},\cdots ,\frac{n-1}{n}\theta _{n}\right)
\end{equation*}となります。つまり、主催者が最高値から価格を段階的に下げていく中、それぞれの入札者は、価格が自分の真の支払い意思額と一致する所まで下がってもまだ入札しません(その時点で落札すると利得が\(0\)になってしまう)。さらに価格が下がり、自身の支払い意思額の\(\frac{n-1}{n}\)の金額にまで下がった瞬間に入札を行うことが最適であるということです。仮に、状態\(\theta _{I}\)において入札者\(i\)の支払い意思額\(\theta _{i}\)が最高額であるならば、上の均衡\(s_{I}\left( \theta _{I}\right) \)において入札者\(i\)が商品を落札し、その対価として\(\frac{n-1}{n}\theta _{i}\)だけ支払い、利得\(\theta _{i}-\frac{n-1}{n}\theta _{i}=\frac{\theta _{i}}{n}\)を獲得します。他の入札者は商品を落札できず、所得移転も課されないため、彼らの利得は\(0\)です。主催者は収入\(\frac{n-1}{n}\theta _{i}\)を得るため、社会的余剰は\(\theta _{i}\)となります。競り下げ式公開オークションは事後効率的であるため、この結果は効率的です。

 

競り下げ式公開オークションの利点

競り下げ式公開オークションが第一価格封印オークションと戦略的に同等であるならば、得られる結果も同じになるはずであり、したがってどちらを採用しても良いということになります。それにも関わらず競り下げ式公開オークションが利用されるのは固有のメリットがあるからです。

競り下げ式公開オークションではオークションの主催者が最高値から価格を段階的に下げていくため、終了までに要する時間を任意に設定できます。加えて、最初に買い手がついた段階で売買が成立するため、行われる入札は高々1回であり、取引スピードを高速化できます。このような事情もあり、競り下げ式公開オークションは生花や魚など傷みやすい商品を取り扱う市場において広く利用されています。

競り下げ式公開オークションと第一価格封印オークションは戦略的に同等であることを指摘しましたが、様々な実験や観察を通じて、必ずしもそうではないことが明らかになっています。つまり、両者は異なる結果を導き得るため、市場の状況によっては一方が他方よりも好まれるというわけです。この論点の詳細については、場を改めて解説します。

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第一価格封印オークション(ファーストプライス・オークション)

最高額を入札した入札者を勝者とし、勝者に対して自身の入札額に等しい金額を支払わせるオークションを第一価格封印オークション(ファーストプライス・オークション)と呼びます。第一価格封印オークションは誘因両立的ではありませんが、一定の条件のもとで均衡を持ちます。

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