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個人合理的メカニズム

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個人合理的なメカニズム

単一財オークション環境において、何らかの均衡を遂行できるオークションメカニズムの設計に成功した場合においても、そもそも入札者たちがメカニズムに参加しなければ、メカニズムが意図する結果を遂行できなくなってしまう可能性があります。ただ、オークションの主催者は入札者たちに対してメカニズムに参加するよう強制できるとは限りません。入札者たちをメカニズムへ参加させるためには、入札者たちがメカニズムに参加しても損をしないことを制度の中で保証する必要があります。

何らかの均衡を遂行するメカニズムが与えられたとき、すべての入札者にとって、均衡において得られる利得ないし期待利得が、メカニズムに参加しない場合に得られる利得ないし期待利得以上であることが保証されている場合、そのようなメカニズムは個人合理的(indivisual rational)であると言います。

入札者は個人合理的なメカニズムに参加しても損することはありません。したがって、個人合理性はすべての入札者をメカニズムに参加させる上で最低限必要な条件です。このような意味において、個人合理性は参加制約(participation constraint)とも呼ばれます。

 

事後個人合理的なメカニズム

単一財オークション環境におけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)が何らかの純粋戦略の組を均衡として遂行可能であるものとします。このメカニズムにおいて入札者たちは自身のタイプを入札し、それに対してメカニズムが結果を決定した後、その結果が実行される前の段階においてメカニズムから自由に抜けられるものとします。以上の条件のもとで、すべての入札者にはなおもメカニズムから逸脱しようとするインセンティブがない場合には、そのメカニズムは事後個人合理的(ex-post individual rational)であると言います。

メカニズム\(\left( a,t\right) \)のもとでの均衡\(s_{I}\)を任意に選びます。市場の状態が\(\theta _{I}\)である場合、入札者たちは先の均衡\(s_{I}\)にもとづいて入札\(s_{I}\left( \theta _{I}\right) \)を行い、その入札に対してメカニズムは結果\(\left(a\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) ,t\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \right) \)を定め、その結果からそれぞれの入札者\(i\)は利得\(u_{i}\left( a\left(s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) ,t\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) ,\theta _{I}\right) \)を得ます。一方、入札者\(i\)がメカニズムに参加しない場合の利得は\(0\)であるものとします。メカニズムを設計する段階において、オークションの主催者はどの状態が真の状態であるか分からないため、メカニズムが事後個人合理的であることを保証するためには、起こり得るあらゆる状態において、任意の入札者が任意の均衡において得る利得が非負になることを保証する必要があります。したがって、メカニズム\(\left( a,t\right) \)が事後個人合理的であることとは、メカニズム\(\left( a,t\right) \)のもとでの任意の均衡\(s_{I}\in S_{I}\)において、\begin{equation}\forall i\in I,\ \forall \theta _{I}\in \Theta _{I}:u_{i}\left( a\left(
s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) ,t\left( s_{I}\left( \theta
_{I}\right) \right) ,\theta _{I}\right) \geq 0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味します。

特に、メカニズム\(\left(a,t\right) \)が誘因両立的である場合には正直戦略の組\(s_{I}\)が均衡になりますが、正直戦略の定義より、このとき、\begin{equation}\forall i\in I,\ \forall \theta _{i}\in \Theta _{i}:s_{i}\left( \theta
_{i}\right) =\theta _{i} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t\right) \)が事後個人合理的であることとは、\(\left( 1\right) \)および\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}\forall i\in I,\ \forall \theta _{I}\in \Theta _{I}:u_{i}\left( a\left(
\theta _{I}\right) ,t\left( \theta _{I}\right) ,\theta _{I}\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

 

中間個人合理的なメカニズム

単一財オークション環境におけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)が何らかの純粋戦略の組を均衡として遂行可能であるものとします。このメカニズムにおいて、入札者たちは自身のタイプを知った後、自身のタイプを入札する前にメカニズムから自由に抜けられるものとします。以上の条件のもとで、すべての入札者にはなおもメカニズムから逸脱しようとするインセンティブがない場合には、そのメカニズムは中間個人合理的(interim individualrational)であると言います。

メカニズム\(\left( a,t\right) \)のもとでの均衡\(s_{I}\)を任意に選びます。市場の状態が\(\theta _{I}\)である場合、入札者たちは先の均衡\(s_{I}\)にもとづいて入札\(s_{I}\left( \theta _{I}\right) \)を行い、その入札に対してメカニズムは結果\(\left(a\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) ,t\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \right) \)を定め、その結果からそれぞれの入札者\(i\)は利得\(u_{i}\left( a\left(s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) ,t\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) ,\theta _{I}\right) \)を得ます。ただ、入札者\(i\)が自身のタイプ\(\theta _{i}\)を知った後、入札を行う前の段階において他の入札者たちのタイプ\(\theta _{-i}\)は分からないため、その時点において入札者\(i\)は自身が直面する中間期待利得\begin{equation*}E_{\theta _{-i}}\left[ u_{i}\left( a\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right)
\right) ,t\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) ,\theta _{I}\right)
\ |\ \theta _{i}\right] \end{equation*}をもとにメカニズムへ参加するか否かを判断せざるを得ません。一方、入札者\(i\)がメカニズムに参加しない場合の中間期待利得は\(0\)であるものとします。メカニズムを設計する段階において、オークションの主催者は入札者たちの真のタイプを知らないため、メカニズムが中間個人合理的であることを保証するためには、メカニズムの任意の均衡において、それぞれの入札者のそれぞれのタイプにおける中間期待利得が非負になることを保証する必要があります。したがって、メカニズム\(\left( a,t\right) \)が中間個人合理的であることとは、メカニズム\(\left( a,t\right) \)のもとでの任意の均衡\(s_{I}\in S_{I}\)において、\begin{equation}\forall i\in I,\ \forall \theta _{i}\in \Theta _{i}:E_{\theta _{-i}}\left[
u_{i}\left( a\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) ,t\left(
s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) ,\theta _{I}\right) \ |\ \theta _{i}\right] \geq 0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味します。

特に、メカニズム\(\left(a,t\right) \)が誘因両立的である場合には正直戦略の組\(s_{I}\)が均衡になりますが、正直戦略の定義より、このとき、\begin{equation}\forall i\in I,\ \forall \theta _{i}\in \Theta _{i}:s_{i}\left( \theta
_{i}\right) =\theta _{i} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t\right) \)が中間個人合理的であることとは、\(\left( 1\right) \)および\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}\forall i\in I,\ \forall \theta _{i}\in \Theta _{i}:E_{\theta _{-i}}\left[
u_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta _{I}\right) ,\theta
_{I}\right) \ |\ \theta _{i}\right] \geq 0
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

事後個人合理性は、入札者たちが自身のタイプを入札して結果が決まった後にメカニズムから抜けられるにも関わらず、すべての入札者たちをメカニズムから離脱させないために必要な条件です。一方、中間個人合理性は、入札者たちが自身のタイプを入札する前にメカニズムから抜けるか否かを決定しなければならないという、入札者たちにとってより厳しい条件のもとで、すべての入札者たちをメカニズムから離脱させないために必要な条件です。つまり、事後個人合理性は中間個人合理性よりも入札者たちにより自由な選択を与えていますが、それでもなおすべての入札者たちをメカニズムから離脱させないようするために必要な条件であるため、メカニズムに課される条件は厳しくなります。したがって以下の命題が成り立ちます。

命題(事後個人合理的なメカニズムは中間個人合理的)
単一財オークション環境におけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)が事後個人合理性を満たすならば、\(\left( a,t\right) \)は中間個人合理性を満たす。
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事前個人合理性

単一財オークション環境におけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)が何らかの純粋戦略の組を均衡として遂行可能であるものとします。このメカニズムにおいて、入札者たちは自身のタイプを知る前の段階において、メカニズムに参加するか否かの意思決定をしなければならない状況を想定します。以上の条件のもとで、すべての入札者にはなおもメカニズムから逸脱しようとするインセンティブがない場合には、そのメカニズムは事前個人合理的(ex-ante individual rational)であると言います。

メカニズム\(\left( a,t\right) \)のもとでの均衡\(s_{I}\)を任意に選びます。市場の状態が\(\theta _{I}\)である場合、入札者たちは先の均衡\(s_{I}\)にもとづいて入札\(s_{I}\left( \theta _{I}\right) \)を行い、その入札に対してメカニズムは結果\(\left(a\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) ,t\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \right) \)を定め、その結果からそれぞれの入札者\(i\)は利得\(u_{i}\left( a\left(s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) ,t\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) ,\theta _{I}\right) \)を得ます。ただ、入札者\(i\)が自身のタイプを含めてすべての入札者のタイプを知らない場合、その時点において入札者\(i\)は自身が直面する事前期待利得\begin{equation*}E_{\theta _{I}}\left[ u_{i}\left( a\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right)
\right) ,t\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) ,\theta _{I}\right) \right] \end{equation*}をもとにメカニズムへ参加するか否かを判断せざるを得ません。一方、入札者\(i\)がメカニズムに参加しない場合の事前期待利得は\(0\)であるものとします。メカニズムを設計する段階において、オークションの主催者は真の状態を知らないため、メカニズムが事前個人合理的であることを保証するためには、メカニズムの任意の均衡において、それぞれの入札者の事前期待利得が非負になることを保証する必要があります。したがって、メカニズム\(\left( a,t\right) \)が事前個人合理的であることとは、メカニズム\(\left( a,t\right) \)のもとでの任意の均衡\(s_{I}\in S_{I}\)において、\begin{equation}\forall i\in I,\ \forall \theta _{I}\in \Theta _{I}:E_{\theta _{I}}\left[
u_{i}\left( a\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) ,t\left(
s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) ,\theta _{I}\right) \right] \geq 0
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味します。

特に、メカニズム\(\left(a,t\right) \)が誘因両立的である場合には正直戦略の組\(s_{I}\)が均衡になりますが、正直戦略の定義より、このとき、\begin{equation}\forall i\in I,\ \forall \theta _{i}\in \Theta _{i}:s_{i}\left( \theta
_{i}\right) =\theta _{i} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t\right) \)が事前個人合理的であることとは、\(\left( 1\right) \)および\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}\forall i\in I,\ \forall \theta _{I}\in \Theta _{I}:E_{\theta _{I}}\left[
u_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta _{I}\right) ,\theta
_{I}\right) \right] \geq 0
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

中間個人合理性は、入札者たちが自身のタイプを知った後にメカニズムに参加するか否かの意思決定を行える場合に、すべての入札者たちをメカニズムから離脱させないために必要な条件です。一方、事前個人合理性は、入札者たちが自身のタイプを知る前にメカニズムに参加するか否かの意思決定を行わなければならない場合に、すべての入札者たちをメカニズムから離脱させないために必要な条件です。つまり、中間個人合理性は事前個人合理性よりも入札者たちにより自由な選択を与えていますが、それでもなおすべての入札者たちをメカニズムから離脱させないようするために必要な条件であるため、メカニズムに課される条件は厳しくなります。したがって以下の命題が成り立ちます。

命題(中間個人合理的なメカニズムは事前個人合理的)
単一財オークション環境におけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)が中間個人合理性を満たすならば、\(\left( a,t\right) \)は事前個人合理性を満たす。
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次回は予算均衡と呼ばれるメカニズムの性質について解説します。

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