個人合理的なメカニズム
単一財オークション環境において何らかの均衡を遂行できるメカニズムの設計に成功した場合においても、そもそも入札者たちがメカニズムに参加しなければ、メカニズムが意図する結果を遂行できない可能性があります。ただ、オークションの主催者は入札者たちに対してメカニズムへ参加するよう強制できるとは限りません。入札者たちをメカニズムへ参加させるためには、入札者たちがメカニズムに参加しても損をしないことを制度の中で保証する必要があります。
何らかの均衡を遂行するメカニズムが与えられたとき、すべての入札者にとって、均衡において直面する結果がメカニズムに参加しない場合に直面する結果以上に望ましいことが保証されている場合、そのようなメカニズムは個人合理的（indivisual rational）であると言います。
入札者は個人合理的なメカニズムに参加しても損することはありません。したがって、個人合理性はすべての入札者をメカニズムに参加させる上で最低限必要な条件です。このような意味において、個人合理性は参加制約（participation constraint）とも呼ばれます。
事後個人合理的なメカニズム
単一財オークション環境において状態\(\theta_{I}\in \Theta _{I}\)を任意に選びます。このとき、結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)が、\begin{equation*}\forall i\in I:u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) \geq 0
\end{equation*}を満たすのであれば、つまり、任意のエージェントにとって結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)から得る利得が\(0\)以上である場合には、状態\(\theta _{I}\)において\(\left( a_{I},t_{I}\right) \)は事後個人合理的（ex-post individual rational）であると言います。ただし、ここでの利得\(0\)は、入札者がオークションに参加しない場合に得られる留保利得に相当します。一般に、事後個人合理的な結果は状態\(\theta _{I}\)に依存して変化します。つまり、ある状態\(\theta _{I}\)において事後個人合理的な結果が、別の状態\(\theta _{I}^{\prime }\)においても事後個人合理的であるとは限りません。
\end{equation*}となります。したがって、状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)において結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)が事後個人合理的であることとは、\begin{equation*}\forall i\in I:a_{i}\cdot \theta _{i}-t_{i}\geq 0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall i\in I:a_{i}\cdot \theta _{i}\geq t_{i}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
単一財オークション環境におけるメカニズムが何らかの純粋戦略の組を均衡として遂行可能であるものとします。ただし、表明原理より、正直戦略の組が均衡になるケース、すなわち誘因両立的なメカニズムに対象を限定しても一般性は失われません。このメカニズムにおいて入札者たちは商品への評価額を入札し、それに対してメカニズムが結果を決定した後、その結果が実行される直前にメカニズムから自由に抜けられるものとします。以上の条件のもとでもなお、すべての入札者にはメカニズムから抜ける動機がない場合、そのメカニズムは事後個人合理的（ex-post individual rational）であると言います。
状態が\(\theta _{I}\)である場合、誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t\right) \)のもとで入札者たちは正直戦略にもとづいて\(\theta _{I}\)を入札し、その入札に対してメカニズムは均衡結果\(\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left(\theta _{I}\right) \right) \)を定めます。この結果が状態\(\theta _{I}\)のもとで事後個人合理的であるならば、すなわち、以下の条件\begin{equation*}\forall i\in I:u_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta
_{I}\right) ,\theta _{I}\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つ場合には、任意の入札者\(i\)はメカニズムから離脱する動機がありません。ただ、入札者たちのタイプは私的情報であるため、メカニズムを設計する段階において、オークションの主催者は真の状態を特定できません。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t\right) \)が事後個人合理的であることを保証するためには、起こり得るあらゆる状態\(\theta _{I}\)において先の条件が成り立つこと、すなわち、\begin{equation}\forall \theta _{I}\in \Theta _{I},\ \forall i\in I:u_{i}\left( a\left(
\theta _{I}\right) ,t\left( \theta _{I}\right) ,\theta _{I}\right) \geq 0
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを保証する必要があります。誘因両立的なメカニズムメカニズム\(\left( a,t\right) \)が事後個人合理的であることの定義は以上の通りです。
メカニズム\(\left( a,t\right) \)のもとでのベイジアンゲーム\(G\left( a,t\right) \)に均衡が存在することを前提としない場合にはどうなるでしょうか。この場合、メカニズム\(\left( a,t\right) \)が事後個人合理的であることとは、入札額からなる組\(\theta_{I}\in \Theta _{I}\)を任意に選んだときに、それに対して\(\left( a,t\right) \)が定める結果\(\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta _{I}\right) \right) \)が入札額からなるタイプ\(\theta _{I}\)のもとで事後個人合理的であること、すなわち、\begin{equation*}\forall \theta _{I}\in \Theta _{I},\ \forall i\in I:u_{i}\left( a\left(
\theta _{I}\right) ,t\left( \theta _{I}\right) ,\theta _{I}\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。この条件は形式的には\(\left( 1\right) \)と一致します。ただし、この場合、メカニズム\(\left( a,t\right) \)は誘因両立的であるとは限らないため、メカニズムが定める結果は入札額からなる状態のもとで事後個人合理的である一方で、真の状態のもとで個人合理的であるとは限りません。つまり、真の意味で事後個人合理的な配分を遂行するためには、メカニズムは事後個人合理的であるとともに誘因両立的である必要があるということです。
\end{equation*}となります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t\right) \)が事後個人合理的であることは、\begin{equation}\forall \theta _{I}\in \Theta _{I},\ \forall i\in I:a_{i}\left( \theta
_{I}\right) \cdot \theta _{i}\geq t_{i}\left( \theta _{I}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味します。つまり、状態\(\theta _{I}\)がいかなるものであるかに関わらず、任意の入札者\(i\)にとって真の評価額\(\theta _{i}\)を正直に表明することが最適になるとともに、均衡結果において自身が直面する配分への真の評価額\(a_{i}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta _{i}\)が自身に課される所得移転\(t_{i}\left( \theta _{I}\right) \)以上になるということです。一方、メカニズム\(\left( a,t\right) \)が均衡を持つことを前提としない場合、\(\left( a,t\right) \)が事後個人合理的であることは、\begin{equation*}\forall \theta _{I}\in \Theta _{I},\ \forall i\in I:a_{i}\left( \theta
_{I}\right) \cdot \theta _{i}\geq t_{i}\left( \theta _{I}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、これは形式的には\(\left( 1\right) \)と一致します。つまり、入札額からなる組\(\theta _{I}\)がいかなるものであるかに関わらず、任意の入札者\(i\)にとって、自身が直面する配分を自身の入札額にもとづいて評価した値\(a_{i}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta _{i}\)が、自身に課される所得移転\(t_{i}\left( \theta _{I}\right) \)以上になるということです。
中間個人合理的なメカニズム
単一財オークション環境におけるメカニズムが何らかの純粋戦略の組を均衡として遂行可能であるものとします。ただし、表明原理より、正直戦略の組が均衡になるケース、すなわち誘因両立的なメカニズムに対象を限定しても一般性は失われません。入札者は自身のタイプを観察した後、正直戦略にもとづいて自身のタイプを正直に入札することになりますが、入札する直前にメカニズムから自由に抜けられるものとします。以上の条件のもとでもなお、すべての入札者にはメカニズムから抜ける動機がない場合、そのメカニズムは中間個人合理的（interim individual rational）であると言います。
入札者\(i\)のタイプが\(\theta_{i}\)である場合、誘因両立的なメカニズム\(\left(a,t\right) \)の均衡戦略である正直戦略にもとづいて\(\theta _{i}\)を入札します。他の入札者たちのタイプが\(\theta _{-i}\)である場合、メカニズムの誘因両立性より、他の入札者たちも正直戦略にもとづいて\(\theta _{-i}\)を入札します。以上の入札に対してメカニズムは均衡結果\(\left(a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta _{I}\right) \right) \)を定めます。ただし、入札者\(i\)は他の入札者たちのタイプ\(\theta _{-i}\)を観察できないため、中間期待利得\begin{equation*}E_{\theta _{-i}}\left[ u_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left(
\theta _{I}\right) ,\theta _{I}\right) \ |\ \theta _{i}\right] =\int_{\theta
_{-i}\in \Theta _{-i}}\left[ u_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left(
\theta _{I}\right) ,\theta _{I}\right) \cdot f_{i}\left( \theta _{-i}|\theta
_{i}\right) \right] d\theta _{-i}
\end{equation*}の水準をもとに、メカニズムへ参加するかどうかを判断せざるを得ません。言い換えると、以下の条件\begin{equation*}
E_{\theta _{-i}}\left[ u_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left(
\theta _{I}\right) ,\theta _{I}\right) \ |\ \theta _{i}\right] \geq 0
\end{equation*}が成り立つ場合には、タイプ\(\theta _{i}\)の入札者\(i\)はメカニズムへ参加する動機があります。ただし、\(0\)は入札者\(i\)がメカニズムに参加しない場合に得る留保利得です。ただ、入札者たちのタイプは私的情報であるため、メカニズムを設計する段階において、オークションの主催者は入札者たちの真のタイプを特定できません。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t\right) \)が中間個人合理的であることを保証するためには、任意の入札者\(i\)とその任意のタイプ\(\theta _{i}\)に関して先の条件が成り立つこと、すなわち、\begin{equation}\forall i\in I,\ \forall \theta _{i}\in \Theta _{i}:E_{\theta _{-i}}\left[
u_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta _{I}\right) ,\theta
_{I}\right) \ |\ \theta _{i}\right] \geq 0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを保証する必要があります。誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t\right) \)が中間個人合理的であることの定義は以上の通りです。
メカニズム\(\left( a,t\right) \)のもとでのベイジアンゲーム\(G\left( a,t\right) \)に均衡が存在することを前提としない場合にはどうなるでしょうか。この場合、メカニズム\(\left( a,t\right) \)が中間個人合理的であることとは、入札者\(i\in I\)とその入札額\(\theta _{i}\in \Theta _{i}\)を任意に選んだときに、入札額\(\theta _{i}\)をタイプとする入札者\(i\)が直面する中間期待利得が非負であること、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in I,\ \forall \theta _{i}\in \Theta _{i}:E_{\theta _{-i}}\left[
u_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta _{I}\right) ,\theta
_{I}\right) \ |\ \theta _{i}\right] \geq 0
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。この条件は形式的には\(\left( 1\right) \)と一致します。ただし、この場合、メカニズム\(\left( a,t\right) \)は誘因両立的であるとは限らないため、それぞれの入札者\(i\)が直面する中間期待利得は自身の入札額\(\theta _{i}\)のもとで非負である一方で、真のタイプ\(\theta _{i}\)のもとで非負であるとは限りません。つまり、真の意味で中間個人合理的な配分を遂行するためには、メカニズムは中間個人合理的であるとともに誘因両立的である必要があるということです。
\end{equation*}となります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t\right) \)が中間個人合理的であることは、入札者\(i\in I\)およびそのタイプ\(\theta _{i}\in\Theta \)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}E_{\theta _{-i}}\left[ a_{i}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta
_{i}-t_{i}\left( \theta _{I}\right) \ |\ \theta _{i}\right] \geq 0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int\limits_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}\left[ a_{i}\left( \theta
_{i},\theta _{-i}\right) \cdot \theta _{i}-t_{i}\left( \theta _{i},\theta
_{-i}\right) \right] \cdot f_{i}\left( \theta _{-i}|\theta _{i}\right)
d\theta _{-i}\geq 0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\theta _{i}\cdot \int\limits_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}a_{i}\left(
\theta _{i},\theta _{-i}\right) \cdot f_{i}\left( \theta _{-i}|\theta
_{i}\right) d\theta _{-i}\geq \int\limits_{\theta _{-i}\in \Theta
_{-i}}t_{i}\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right) \cdot f_{i}\left( \theta
_{-i}|\theta _{i}\right) d\theta _{-i}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、任意の入札者\(i\)にとって真の評価額\(\theta _{i}\)を正直に表明することが最適になるとともに、均衡結果において自身が直面する配分への真の評価額の期待値が自身に課される所得移転の期待値以上になるということです。
事後個人合理性は、結果が決まった後にメカニズムから抜けられることを認めてもなお、すべての入札者をメカニズムから離脱させないために必要な条件です。一方、中間個人合理性は、入札する前にメカニズムから抜けるか否かを決定しなければならないという、入札者たちにとってより厳しい条件のもとで、すべての入札者をメカニズムから離脱させないために必要な条件です。つまり、事後個人合理性は中間個人合理性よりも入札者たちにより自由な選択を与えていますが、それでもなお入札者たちをメカニズムから離脱させないための条件であるため、条件としてより厳しいものになります。したがって以下が成り立ちます。
事前個人合理的なメカニズム
単一財オークション環境におけるメカニズムが何らかの純粋戦略の組を均衡として遂行可能であるものとします。ただし、表明原理より、正直戦略の組が均衡になるケース、すなわち誘因両立的なメカニズムに対象を限定しても一般性は失われません。入札者は自身のタイプを観察した後、正直戦略にもとづいて自身のタイプを正直に入札することになりますが、自身のタイプを観察する前にメカニズムへ参加するか否かの意思決定を行わなければならに状況を想定します。以上の条件のもとでもなお、すべての入札者にはメカニズムから抜ける動機がない場合、そのメカニズムは事前個人合理的（ex-ante individual rational）であると言います。
状態が\(\theta _{I}\)である場合、誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t\right) \)の均衡である正直戦略の組にもとづいて入札者たちは\(\theta _{I}\)を入札し、以上の入札に対してメカニズムは均衡結果\(\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta _{I}\right) \right) \)を定めます。ただし、入札者\(i\)は自身のタイプを含めた全員のタイプ\(\theta _{I}\)を観察できない状況を想定しているため、事前期待利得\begin{equation*}E_{\theta _{I}}\left[ u_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta
_{I}\right) ,\theta _{I}\right) \right] =\int_{\theta _{I}\in \Theta _{I}}\left[ u_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta _{I}\right)
,\theta _{I}\right) \cdot f^{\ast }\left( \theta _{I}\right) \right] d\theta
_{-i}
\end{equation*}の水準をもとに、メカニズムへ参加するかどうかを判断せざるを得ません。言い換えると、以下の条件\begin{equation*}
E_{\theta _{I}}\left[ u_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta
_{I}\right) ,\theta _{I}\right) \right] \geq 0
\end{equation*}が成り立つ場合には、入札者\(i\)はメカニズムへ参加する動機があります。ただし、\(0\)は入札者\(i\)がメカニズムに参加しない場合に得る留保利得です。ただ、入札者たちのタイプは私的情報であるため、メカニズムを設計する段階において、オークションの主催者は真の状態を特定できません。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t\right) \)が事前個人合理的であることを保証するためには、任意の入札者\(i\)と任意の状態\(\theta _{I}\)に関して先の条件が成り立つこと、すなわち、\begin{equation}\forall i\in I,\ \forall \theta _{I}\in \Theta _{I}:E_{\theta _{I}}\left[
u_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta _{I}\right) ,\theta
_{I}\right) \right] \geq 0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを保証する必要があります。誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t\right) \)が事前個人合理的であることの定義は以上の通りです。
メカニズム\(\left( a,t\right) \)のもとでのベイジアンゲーム\(G\left( a,t\right) \)に均衡が存在することを前提としない場合にはどうなるでしょうか。この場合、メカニズム\(\left( a,t\right) \)が事前個人合理的であることとは、入札者\(i\in I\)と全員の入札額からなる組\(\theta _{I}\in\Theta _{I}\)を任意に選んだときに、入札者\(i\)が直面する中間期待利得が非負であること、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in I,\ \forall \theta _{I}\in \Theta _{I}:E_{\theta _{I}}\left[
u_{i}\left( a\left( \theta _{I}\right) ,t\left( \theta _{I}\right) ,\theta
_{I}\right) \right] \geq 0
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。この条件は形式的には\(\left( 1\right) \)と一致します。ただし、この場合、メカニズム\(\left( a,t\right) \)は誘因両立的であるとは限らないため、それぞれの入札者\(i\)が直面する中間期待利得は入札額の組に相当するタイプのもとで非負である一方で、真の状態のもとで非負であるとは限りません。つまり、真の意味で事前個人合理的な配分を遂行するためには、メカニズムは事前個人合理的であるとともに誘因両立的である必要があるということです。
\end{equation*}となります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t\right) \)が事前個人合理的であることは、入札者\(i\in I\)および状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}E_{\theta _{I}}\left[ a_{i}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta
_{i}-t_{i}\left( \theta _{I}\right) \right] \geq 0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int\limits_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}\left[ a_{i}\left( \theta
_{I}\right) \cdot \theta _{i}-t_{i}\left( \theta _{I}\right) \right] \cdot
f^{\ast }\left( \theta _{I}\right) d\theta _{I}\geq 0
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
中間個人合理性は、入札者が自身のタイプを知った後にメカニズムから抜けられることを認めてもなお、すべての入札者をメカニズムから離脱させないために必要な条件です。一方、事前個人合理性は、入札者たちが自身のタイプを知る前にメカニズムから抜けるか否かを決定しなければならないという、入札者たちにとってより厳しい条件のもとで、すべての入札者をメカニズムから離脱させないために必要な条件です。つまり、中間個人合理性は事前個人合理性よりも入札者たちにより自由な選択を与えていますが、それでもなお入札者たちをメカニズムから離脱させないための条件であるため、条件としてより厳しいものになります。したがって以下が成り立ちます。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】