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積分形式の包絡面定理

目次

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価値関数

変数\(x\in X\)とパラメータ\(t\in T\)に関する関数\(f:X\times T\rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。パラメータの値\(t\)を適当に選んだ上で関数\(f\)に代入すると、変数\(x\)に関する関数\(f\left( \cdot ,t\right):X\rightarrow \mathbb{R} \)が得られるため、この関数を目的関数とする最大化問題\begin{equation*}\sup_{x\in X}f\left( \cdot ,t\right)
\end{equation*}を構成できます。パラメータ\(t\)の値が変化すれば目的関数\(f\left( \cdot,t\right) \)の形状も変化するため、それに応じて上の最大化問題の解も変化し、その解のもとでの関数\(f\left( \cdot ,t\right) \)の値、すなわち\(f\left( \cdot,t\right) \)の最大値も変化します。以上を踏まえた上で、それぞれの値\(t\in T\)に対して、関数\(f\left( \cdot ,t\right) \)の最大値を値として定める関数を\(V:T\rightarrow \mathbb{R} \)と表記し、これを価値関数(value function)や包絡面関数(envelope planefunction)などと呼びます。定義より、それぞれの\(t\in T\)に対して、\begin{equation*}V\left( t\right) =\sup_{x\in X}f\left( \cdot ,t\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

それぞれの値\(t\in T\)に対して、関数\(f\left( \cdot ,t\right) \)を目的関数とする先の最大化問題の解は存在するとは限らず、存在する場合でも一意的に定まるとは限りません。そこで、それぞれの値\(t\in T\)に対して、関数\(f\left( \cdot ,t\right) \)を目的関数とする最大化問題の解からなる集合を定める対応\(X^{\ast}:T\twoheadrightarrow X\)を定義し、これを最適選択対応(optimal choice correspondence)と呼びます。定義より、それぞれの\(t\in T\)に対して、\begin{equation*}X^{\ast }\left( t\right) =\mathrm{argsup}_{x\in X}f\left( x,t\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。価値関数の定義より、それぞれの\(t\in T\)に対して、\begin{equation*}X^{\ast }\left( t\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x,t\right) =V\left(
t\right) \right\}
\end{equation*}という関係もまた成り立ちます。

値\(t\in T\)を任意に選んだときに、関数\(f\left( \cdot ,t\right) \)を目的関数とする最大化問題に解が存在することが保証される場合には、すなわち、任意の\(t\in T\)に対して、\begin{equation*}X^{\ast }\left( t\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つ場合には、それぞれの\(t\in T\)に対して\(X^{\ast }\left( t\right) \)の要素を像として定める写像\(x^{\ast }:T\rightarrow X\)が定義可能であるため、これを\(X^{\ast }\)からの選択子(selection)と呼びます。定義より、それぞれの\(t\in T\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( t\right) \in X^{\ast }\left( t\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

 

包絡面定理

以降ではパラメータ集合\(T\)を有界閉区間\(\left[a,b\right] \subset \mathbb{R} \)とした上で議論を行います。関数\(f:X\times \left[ a,b\right]\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、パラメータの値\(t\in \left[ a,b\right] \)を選べば最大化問題\begin{equation*}\sup_{x\in X}f\left( \cdot ,t\right)
\end{equation*}を構成できます。この問題の価値関数を\(V:T\rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。この問題を解けば\(V\left( t\right) \)の値が判明しますが、場合によっては、パラメータ\(t\)の値が変化したときに\(V\left( t\right) \)の値がどのように変化するかを知りたい場合があります。つまり、特定のパラメータ水準\(t=t_{0}\)における\(V\)の微分係数\(\frac{dV\left( t_{0}\right) }{dt}\)や\(V\)の導関数\(\frac{dV\left( t\right) }{dt}\)に興味がある状況は起こり得ます。この疑問に答えるのが以下の包絡面定理(envelope theorem)です。

命題(包絡面地理)
関数\(f:X\times \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、最適選択対応\(X^{\ast }:\left[ a,b\right]\twoheadrightarrow X\)は点\(t_{0}\in \left[ a,b\right] \)において\(X^{\ast }\left( t_{0}\right) \not=\phi \)を満たすものとする。\(X^{\ast }\)の選択子\(x^{\ast }:\left[ a,b\right]\rightarrow X\)を任意に選んだとき、関数\(f\)が点\(\left( x^{\ast}\left( t_{0}\right) ,t_{0}\right) \in X\times \left[ a,b\right] \)において変数\(t\)について偏微分可能であるものとする。つまり、偏微分係数\(f_{t}\left( x^{\ast }\left(t_{0}\right) ,t_{0}\right) \)が有限な実数として定まるものとする。このとき、価値関数\(V:\left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)に関して以下が成り立つ。

  1. \(t_{0}\in (a,b]\)であるとともに\(V\)が点\(t_{0}\)において左側微分可能である場合には、\begin{equation*}V^{\prime }\left( t_{0}-\right) \leq f_{t}\left( x^{\ast }\left(t_{0}\right) ,t_{0}\right)
    \end{equation*}という関係が成り立つ。
  2. \(t_{0}\in \lbrack a,b)\)であるとともに\(V\)が点\(t_{0}\)において右側微分可能である場合には、\begin{equation*}V^{\prime }\left( t_{0}+\right) \geq f_{t}\left( x^{\ast }\left(t_{0}\right) ,t_{0}\right)
    \end{equation*}という関係が成り立つ。
  3. \(t_{0}\in \left( a,b\right) \)であるとともに\(V\)が点\(t_{0}\)において微分可能である場合には、\begin{equation*}V^{\prime }\left( t_{0}\right) =f_{t}\left( x^{\ast }\left( t_{0}\right),t_{0}\right)
    \end{equation*}という関係が成り立つ。
証明

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積分形式で表現された価値関数

価値関数\(V:\left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\left[
a_{i},b_{i}\right] \subset \left[ a,b\right] \\
&&\left( b\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\left[
a_{i},b_{i}\right] \cap \left[ a_{j},b_{j}\right] =\phi
\end{eqnarray*}を満たす区間列\(\left\{ \left[a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{n}\)を任意に選びます。つまり、この区間列は有限個の有界閉区間を要素として持ち、それぞれの区間は\(f\)の定義域\(\left[ a,b\right] \)の部分集合であり、それぞれの区間は互いに素です。以上の条件を満たす区間列\(\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{n}\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\left[ \sum_{i=1}^{n}\left(
b_{i}-a_{i}\right) <\delta \Rightarrow \sum_{i=1}^{n}\left\vert V\left(
b_{i}\right) -V\left( a_{i}\right) \right\vert <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つ場合、\(V\)は絶対連続(absolutely continuous)であると言います。

関数の絶対連続性は、上記の定義以外にも様々な形で表現できることが知られています。具体例を挙げると、\begin{equation*}
\forall t\in \left[ a,b\right] :V\left( t\right) =V\left( a\right)
+\int_{a}^{t}V^{\prime }\left( s\right) ds
\end{equation*}という関係が成り立つ場合にも関数\(V:\left[ a,b\right]\rightarrow \mathbb{R} \)は絶対連続です。

価値関数が絶対連続であることを仮定すると、先に示した包絡面定理より、価値関数を以下のような積分形式で表現できることが明らかになります。

命題(積分形式で表現された価値関数)
関数\(f:X\times \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、最適選択対応\(X^{\ast }:\left[ a,b\right]\twoheadrightarrow X\)はほとんどすべての点\(s\in \left[ a,b\right] \)において\(X^{\ast }\left( s\right) \not=\phi \)を満たすものとする。また、\(x\in X\)を任意に選んだとき、関数\(f\left( x,\cdot \right) :\left[ a,b\right]\rightarrow \mathbb{R} \)は変数\(t\)について微分可能であるものとする。さらに、価値関数\(V:\left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は絶対連続であるものとする。この場合、\(X^{\ast }\)の選択子\(x^{\ast }\)と点\(t\in \left[ a,b\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}V\left( t\right) =V\left( a\right) +\int_{a}^{t}f_{t}\left( x^{\ast }\left(
s\right) ,s\right) dx
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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価値関数が絶対連続であるための条件

価値関数を積分形式で表現するためには絶対関数が絶対連続であることを保証する必要があります。では、価値関数はどのような条件のもとで絶対連続になるのでしょうか。以下の命題が答えを与えます。

命題(価値関数が絶対連続であるための条件)
関数\(f:X\times \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の点\(x\in X\)について関数\(f\left( x,\cdot \right) :\left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は絶対連続であるものとする。加えて、積分可能な関数\(h:\left[ a,b\right]\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在して、任意の点\(x\in X\)とほとんどすべての点\(t\in \left[ a,b\right] \)において、\begin{equation*}\left\vert f_{t}\left( x,t\right) \right\vert \leq h\left( t\right)
\end{equation*}が成り立つものとする。以上の条件のもとでは価値関数\(V:\left[ a,b\right]\rightarrow \mathbb{R} \)は絶対連続になる。
証明

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積分形式の包絡面定理

価値関数が絶対連続であれば積分形式で表現可能であること、および価値関数が絶対連続になるため条件が明らかになりました。以上の2つの命題を総合すると以下を得ます。これを積分形式の包絡面定理(integral form envelope theorem)と呼びます。

命題(積分形式の包絡面定理)
関数\(f:X\times \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の点\(x\in X\)について関数\(f\left( x,\cdot \right) :\left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は絶対連続であるとともに変数\(t\)について微分可能であるものとする。また、積分可能な関数\(h:\left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在して、任意の点\(x\in X\)とほとんどすべての点\(t\in \left[ a,b\right] \)において、\begin{equation*}\left\vert f_{t}\left( x,t\right) \right\vert \leq h\left( t\right)
\end{equation*}が成り立つものとする。さらに、最適選択対応\(X^{\ast }:\left[ a,b\right] \twoheadrightarrow X\)はほとんどすべての点\(s\in \left[ a,b\right] \)において\(X^{\ast}\left( s\right) \not=\phi \)を満たすものとする。この場合、\(X^{\ast }\)の選択子\(x^{\ast }\)と点\(t\in \left[ a,b\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}V\left( t\right) =V\left( a\right) +\int_{a}^{t}f_{t}\left( x^{\ast }\left(
s\right) ,s\right) dx
\end{equation*}という関係が成り立つ。

次回は均衡利得関数と呼ばれる概念を紹介するとともに、積分形式の包絡面定理を用いて均衡利得関数が積分形式で表現されることを示します。

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