教材一覧
教材検索
SINGLE OBJECT AUCTION

IPVモデルにおける利得同値定理

目次

Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有

誘因両立メカニズムの均衡における中間期待利得

単一オークション環境の中でもIPVモデルを分析対象とします。つまり、入札者たちの利得関数に関して非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値を仮定するとともに、入札者たちのタイプに関して共通事前分布と分布独立性を仮定するということです。加えて、それぞれの入札者\(i\)のタイプ集合\(\Theta _{i}\)は連続型であり、具体的には以下のような有界閉区間\begin{equation*}\Theta _{i}=\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \subset \mathbb{R} \end{equation*}であるものとします。

メカニズム\(\left( a,t\right) \)において入札者\(i\)以外の入札者たちが正直戦略にしたがって入札を行う状況を想定します。入札者\(i\)以外の入札者たちのタイプが\(\theta _{-i}\)である場合、彼らは正直戦略のもとで\(\theta _{-i}\)を入札します。このとき、入札者\(i\)による入札額が\(\hat{\theta}_{i}\)であるならばメカニズムは結果\(\left( a\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right),t\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \right) \)を定め、この結果において入札者\(i\)は確率\(a_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \)で商品を落札する一方で支払い\(t_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \)が課されます。ただ、実際には入札者\(i\)は他の入札者たちの真のタイプを観察できないため、\(\theta _{-i}\)の分布を描写する同時密度関数\(f_{-i}:\Theta _{-i}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)を用いて落札確率や支払いの期待値を評価せざるを得ず、それらをそれぞれ、\begin{eqnarray*}\alpha _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) &=&\int_{\theta _{-i}\in \Theta
_{-i}}\left[ a_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \cdot
f_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right] d\theta _{-i} \\
\tau _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) &=&\int_{\theta _{-i}\in \Theta
_{-i}}\left[ t_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \cdot
f_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right] d\theta _{-i}
\end{eqnarray*}で表記します。\(\alpha _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) \)を入札者\(i\)の中間期待配分と呼び、\(\tau _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) \)を入札者\(i\)の中間期待支払いと呼ぶこととします。これらはいずれも入札者\(i\)による入札額\(\hat{\theta}_{i}\)にのみ依存することを踏まえた上で、入札者\(i\)によるそれぞれの入札額\(\hat{\theta}_{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に対して、そのときの中間期待配分\(\alpha _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) \in \left[ 0,1\right] \)を値として返す関数\begin{equation*}\alpha _{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \left[ 0,1\right] \end{equation*}と、入札者\(i\)によるそれぞれの入札額\(\hat{\theta}_{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に対して、中間期待支払い\(\tau _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) \in \mathbb{R} \)を値として返す関数\begin{equation*}\tau _{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}をそれぞれ定義します。\(\alpha _{i}\)を入札者\(i\)の中間期待配分関数と呼び、\(\tau _{i}\)を入札者\(i\)の中間期待支払い関数と呼ぶこととします。

引き続き、メカニズム\(\left( a,t\right) \)において入札者\(i\)以外の入札者たちが正直戦略にしたがって入札を行う状況を想定します。入札者\(i\)のタイプが\(\theta _{i}\)であるときに入札額\(\hat{\theta}_{i}\)を申告した場合に直面する中間期待利得は、\begin{eqnarray*}&&E_{\theta _{-i}}\left[ u_{i}\left( a\left( \hat{\theta}_{i},\theta
_{-i}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) ,\theta
_{I}\right) \ |\ \theta _{i}\right] \\
&=&E_{\theta _{-i}}\left[ a_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right)
\cdot \theta _{i}-t_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \ |\
\theta _{i}\right] \quad \because \text{IPVモデル} \\
&=&\int_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}\left\{ \left[ a_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \cdot \theta _{i}-t_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \right] \cdot f_{-i}\left( \theta _{-i}\right)
\right\} d\theta _{-i} \\
&=&\left\{ \int_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}\left[ a_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \cdot f_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right] d\theta _{-i}\right\} \cdot \theta _{i}-\int_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}\left[ t_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \cdot f_{-i}\left(
\theta _{-i}\right) \right] d\theta _{-i} \\
&=&\alpha _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) \cdot \theta _{i}-\tau
_{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) \quad \because \alpha _{i}\text{および}\tau _{i}\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。以上の値は入札者\(i\)による入札額\(\hat{\theta}_{i}\)とタイプ\(\theta_{i}\)の双方に依存することを踏まえた上で、入札者\(i\)による入札額とタイプからなるそれぞれの組\(\left( \hat{\theta}_{i},\theta_{i}\right) \in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \times \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に対して、上の中間期待利得\begin{equation*}U_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{i}\right) =\alpha _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) \cdot \theta _{i}-\tau _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right)
\end{equation*}を値として返す関数\begin{equation*}
U_{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \times \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義し、これを入札者\(i\)の中間期待利得関数と呼ぶこととします。

これまでは一般のメカニズムについて考えてきましたが、ここからはメカニズム\(\left( a,t\right) \)が誘因両立的であるものとします。誘因両立的なメカニズムでは正直戦略の組が均衡になるため、均衡においてタイプ\(\theta _{i}\)の入札者\(i\)が直面する中間期待利得は、中間利得関数\(U_{i}\)を用いて、\begin{equation*}U_{i}\left( \theta _{i},\theta _{i}\right) =\alpha _{i}\left( \theta
_{i}\right) \cdot \theta _{i}-\tau _{i}\left( \theta _{i}\right)
\end{equation*}と表すことができます。これは入札者\(i\)のタイプ\(\theta _{i}\)のみに依存することを踏まえた上で、入札者\(i\)のそれぞれのタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に対して、\begin{equation*}V_{i}\left( \theta _{i}\right) =U_{i}\left( \theta _{i},\theta _{i}\right)
\end{equation*}を値として返す関数\begin{equation*}
V_{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義し、これを入札者\(i\)の均衡中間期待利得関数と呼ぶこととします。つまり、入札者\(i\)の均衡中間利得関数とは、誘因両立的なメカニズムの均衡において、入札者\(i\)がそれぞれのタイプのもとで得られる中間期待利得を明らかにする関数です。

メカニズムの誘因両立性より、タイプ\(\theta _{i}\)の入札者は正直戦略のもとで\(\theta _{i}\)を入札することが最適であるため、入札者\(i\)のタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)と入札額\(\hat{\theta}_{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、中間期待利得関数\(U_{i}\)と均衡中間期待利得関数\(V_{i}\)の間には、\begin{equation*}V_{i}\left( \theta _{i}\right) \geq U_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta
_{i}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

 

積分形式で表現された均衡中間期待利得関数

引き続き、誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t\right) \)について考えます。中間期待利得関数\(U_{i}:\left[\underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \times \left[
\underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)において、入札者\(i\)による入札額\(\hat{\theta}_{i}\)を変数とみなし、入札者\(i\)のタイプ\(\theta _{i}\)をパラメータとみなします。パラメータであるタイプの値\(\theta _{i}\)を適当に選んだ上で関数\(U_{i}\)に代入すると変数\(\hat{\theta}_{i}\)に関する関数\(U_{i}\left( \cdot ,\theta_{i}\right) :\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が得られるため、この関数を目的関数とする最大化問題\begin{equation*}\sup_{\hat{\theta}_{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] }U_{i}\left( \cdot ,\theta _{i}\right)
\end{equation*}を構成できます。

メカニズムの誘因両立性より、タイプ\(\theta _{i}\)の入札者\(i\)は正直戦略にしたがって\(\theta _{i}\)を表明することにより中間期待利得を最大化できるため、この最大化問題に関する価値関数は、それぞれのタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に対して、均衡中間期待利得\begin{equation*}V_{i}\left( \theta _{i}\right) =U_{i}\left( \theta _{i},\theta _{i}\right)
=\alpha _{i}\left( \theta _{i}\right) \cdot \theta _{i}-\tau _{i}\left(
\theta _{i}\right)
\end{equation*}を値として定める均衡中間期待利得関数\(V_{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right]\rightarrow \mathbb{R} \)と一致します。また、この最大化問題に関する最適選択対応は、それぞれのタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に対して、\begin{equation*}s_{i}\left( \theta _{i}\right) =\theta _{i}
\end{equation*}を値として定める正直戦略\(s_{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)と一致します。

均衡中間利得関数を以上のような形でパラメータ付き最大化問題の価値関数と位置づける理由は、積分形式の包絡面定理を用いて、均衡中間期待利得を積分形式で表現するためです。実際、上のモデルは積分形式の包絡面定理が要求する条件を満たすため、均衡中間利得関数を以下のように積分形式で表現できます。

命題(積分形式で表現された均衡中間期待利得)
単一オークションのIPVモデルにおけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)が誘因両立的であるならば、入札者\(i\in I\)とそのタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、均衡中間期待利得関数\(V_{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)と中間期待配分関数\(\alpha _{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right]\rightarrow \left[ 0,1\right] \)の間には、\begin{equation*}V_{i}\left( \theta _{i}\right) =V_{i}\left( \underline{\theta }_{i}\right)
+\int_{\underline{\theta }_{i}}^{\theta _{i}}\alpha _{i}\left( u\right) du
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

上の命題より、IPVモデルにおける誘因両立的メカニズムのもとでは、均衡である正直戦略の組において、入札者\(i\)のタイプが\(\theta _{i}\)である場合に直面する中間期待利得は、\begin{equation*}V_{i}\left( \theta _{i}\right) =V_{i}\left( \underline{\theta }_{i}\right)
+\int_{\underline{\theta }_{i}}^{\theta _{i}}\alpha _{i}\left( u\right) du
\end{equation*}という形で表現されます。つまり、自身のタイプが\(\underline{\theta }_{i}\)である場合の中間期待利得\(V_{i}\left( \underline{\theta }_{i}\right) \)と、自身のタイプが\(u\)である場合の中間期待配分\(\alpha _{i}\left( u\right) \)を\(\underline{\theta }_{i}\)から\(\theta _{i}\)まで積分して得られる値の和をとれば、自身のタイプが\(\theta _{i}\)である場合の中間期待利得\(V_{i}\left( \theta _{i}\right) \)が得られるということです。

 

誘因両立メカニズムの均衡における中間期待配分

繰り返しになりますが、入札者\(i\)の中間期待配分関数\(\alpha _{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \left[ 0,1\right] \)とは、メカニズム\(\left(a,t\right) \)において入札者\(i\)以外の入札者たちが正直戦略にしたがって入札することを前提としたとき、入札者\(i\)が入札額\(\hat{\theta}_{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)を入札した場合に直面する中間期待配分、すなわち自分が商品を落札する確率の期待値\begin{equation*}\alpha _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) =\int_{\theta _{-i}\in \Theta
_{-i}}\left[ \alpha _{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \cdot
f_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right] d\theta _{-i}
\end{equation*}を特定する関数です。特に、メカニズム\(\left( a,t\right) \)が誘因両立的である場合には、入札者\(i\)のタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に対して中間期待配分関数\(\alpha _{i}\)が定める値\begin{equation*}\alpha _{i}\left( \theta _{i}\right) =\int_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}
\left[ \alpha _{i}\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right) \cdot f_{-i}\left(
\theta _{-i}\right) \right] d\theta _{-i}
\end{equation*}は、メカニズムの均衡である正直戦略の組においてタイプ\(\theta _{i}\)の入札者が直面する中間期待配分に相当します。中間期待配分関数\(\alpha _{i}\)を以上のように読み替えたとき、これを均衡中間期待配分関数と呼ぶこととします。

均衡中間期待配分関数は単調増加関数(単調非減少関数)であることが示されます。つまり、入札者\(i\)による商品への支払い意思額が高いほど、誘因両立的メカニズムの均衡において入札者\(i\)が商品を落札できる確率の期待値もまた高くなります。

命題(均衡中間期待配分関数は単調増加関数)
単一オークションのIPVモデルにおけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)が誘因両立的であるならば、任意の入札者\(i\in I\)の均衡中間期待配分関数\(\alpha _{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right]\rightarrow \left[ 0,1\right] \)は単調増加関数である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

IPVモデルにおける誘因両立的メカニズムのもとでは、均衡である正直戦略の組において、入札者\(i\)のタイプが\(\theta _{i}\)である直面する中間期待利得は、\begin{equation*}V_{i}\left( \theta _{i}\right) =V_{i}\left( \underline{\theta }_{i}\right)
+\int_{\underline{\theta }_{i}}^{\theta _{i}}\alpha _{i}\left( u\right) du
\end{equation*}となります。\(V_{i}\)は微分可能であり、これを\(\theta _{i}\)について微分すると、\begin{equation}V_{i}^{\prime }\left( \theta _{i}\right) =\alpha _{i}\left( \theta
_{i}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。つまり、入札者\(i\)による商品への支払い意思額\(\theta _{i}\)が微量増加すると、均衡において入札者\(i\)が直面する中間期待利得は均衡中間期待配分\(\alpha _{i}\left( \theta _{i}\right) \)と同じ水準だけ増加します。さらに、先に示したように均衡中間期待配分関数\(\alpha _{i}\)は単調増加であるため、\(V_{i}\)の導関数\(V_{i}^{\prime }\)もまた\(\theta _{i}\)に関する単調増加関数になります。つまり、入札者\(i\)による商品への支払い意思額が高くなるほど、さらにそこから支払い意思額が微量増加したときの中間期待利得の増分はより大きくなります。同じことを言い換えると、\begin{eqnarray*}V_{i}^{\prime \prime }\left( \theta _{i}\right) &=&\alpha _{i}^{\prime
}\left( \theta _{i}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&\geq &0\quad \because \alpha _{i}\text{は単調増加}
\end{eqnarray*}となるため、均衡中間期待利得関数\(V_{i}\)は凸関数であることが明らかになりました。

 

均衡中間期待利得に関する同値定理

均衡中間期待利得関数\(V_{i}\)が積分形式で表現されることを踏まえると以下が導かれます。これを利得同値定理(payoff equivalence theorem)と呼びます。

命題(均衡中間期待利得に関する同値定理)
単一オークションのIPVモデルにおいて、同一の配分ルールを持つ2つの誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t^{1}\right) ,\left(\alpha ,t^{2}\right) \)を任意に選ぶ。このとき、それぞれの入札者\(i\in I\)に対してある定数\(c_{i}\in \mathbb{R} \)が存在して、入札者\(i\)の任意のタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に関して、\begin{equation*}E_{\theta _{-i}}\left[ a_{i}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta
_{i}-t_{i}^{1}\left( \theta _{I}\right) \ |\ \theta _{i}\right] -E_{\theta
_{-i}}\left[ a_{i}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta
_{i}-t_{i}^{2}\left( \theta _{I}\right) \ |\ \theta _{i}\right] =c_{i}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

上の命題より、配分ルールを共有する2つの誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t^{1}\right) ,\left( \alpha ,t^{2}\right) \)を任意に選んだとき、任意の入札者\(i\)について、均衡中間期待利得関数\(V_{i}^{1},V_{i}^{2}\)のグラフは互いに平行な曲線になり、なおかつ、任意の\(\theta _{i}\)における両者の差\(V_{i}^{1}\left( \theta _{i}\right)-V_{i}^{2}\left( \theta _{i}\right) \)は\(V_{i}^{1}\left( \underline{\theta }_{i}\right) -V_{i}^{2}\left( \underline{\theta }_{i}\right) \)と一致する定数であることが明らかになりました。特に、入札者\(i\)について\(V_{i}^{1}\left( \underline{\theta }_{i}\right) =V_{i}^{2}\left( \underline{\theta }_{i}\right) \)が成り立つ場合には、任意の\(\theta _{i}\)について、\begin{equation*}E_{\theta _{-i}}\left[ a_{i}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta
_{i}-t_{i}^{1}\left( \theta _{I}\right) \ |\ \theta _{i}\right] =E_{\theta
_{-i}}\left[ a_{i}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta
_{i}-t_{i}^{2}\left( \theta _{I}\right) \ |\ \theta _{i}\right] \end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、IPVモデルにおける複数の誘因両立的なメカニズムが配分ルールを共有する場合、入札者\(i\)が均衡において直面する中間期待利得は、入札者\(i\)のタイプに関わらず、どちらのメカニズムを採用する場合でも一致するということです。言い換えると、たとえ移転ルールが異なる場合でも、配分ルールが同じであれば、それらのメカニズムがもたらす結果は実質的な違いを生みません。このような意味において上の命題は利得同値定理と呼ばれます。

では、配分ルールを共有する2つの誘因両立的なメカニズム\(\left(a,t^{1}\right) ,\left( \alpha ,t^{2}\right) \)に関して、どのような条件のもとで\(V_{i}^{1}\left( \underline{\theta }_{i}\right)=V_{i}^{2}\left( \underline{\theta }_{i}\right) \)という関係が成り立つのでしょうか。均衡中間期待利得関数の定義より、\begin{eqnarray*}V_{i}^{1}\left( \underline{\theta }_{i}\right) &=&\alpha _{i}^{1}\left(
\underline{\theta }_{i}\right) \cdot \underline{\theta }_{i}-\tau _{i}\left(
\underline{\theta }_{i}\right) \\
V_{i}^{2}\left( \underline{\theta }_{i}\right) &=&\alpha _{i}^{2}\left(
\underline{\theta }_{i}\right) \cdot \underline{\theta }_{i}-\tau _{i}\left(
\underline{\theta }_{i}\right)
\end{eqnarray*}などと表すことができます。したがって、例えば、これらのメカニズムにおいて、入札者が最低水準のタイプ\(\underline{\theta }_{i}\)を表明した場合に商品を落札できる確率が\(0\)である場合には\(\alpha _{i}^{1}\left( \underline{\theta }_{i}\right) =\alpha _{i}^{2}\left( \underline{\theta }_{i}\right) =0\)となるため、この場合には\(V_{i}^{1}\left( \underline{\theta }_{i}\right) =V_{i}^{2}\left( \underline{\theta }_{i}\right) \)が成立します。

 

事前期待利得に関する同値定理

均衡における事前期待利得に関しても同値定理が成り立ちますが、その前に、誘因両立メカニズムの均衡における事前期待利得を積分形式で表現します。

命題(積分形式で表現された均衡事前期待利得)
単一オークションのIPVモデルにおけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)が誘因両立的であるならば、入札者\(i\in I\)とそのタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、均衡中間期待利得関数\(V_{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)と中間期待落札関数\(\alpha _{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right]\rightarrow \left[ 0,1\right] \)に関して、\begin{equation*}E_{\theta _{I}}\left[ a_{i}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta
_{i}-t_{i}\left( \theta _{I}\right) \right] =V_{i}\left( \underline{\theta }_{i}\right) +\int_{\underline{\theta }_{i}}^{\overline{\theta }_{i}}\left[
\alpha _{i}\left( \theta _{i}\right) \cdot \left( 1-F_{i}\left( \theta
_{i}\right) \right) \right] d\theta _{i}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

以上の命題から以下が導かれます。

命題(均衡事前期待利得に関する同値定理)
単一オークションのIPVモデルにおいて、同一の配分ルールを持つ2つの誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t^{1}\right) ,\left(\alpha ,t^{2}\right) \)を任意に選ぶ。このとき、それぞれの入札者\(i\in I\)に対してある定数\(c_{i}\in \mathbb{R} \)が存在して、\begin{equation*}E_{\theta _{I}}\left[ a_{i}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta
_{i}-t_{i}^{1}\left( \theta _{I}\right) \right] -E_{\theta _{I}}\left[
a_{i}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta _{i}-t_{i}^{2}\left( \theta
_{I}\right) \right] =c_{i}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

次回は支払い同値定理について解説します。

Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有
RELATED KNOWLEDGE

関連知識

包絡面定理

積分形式の包絡面定理

最大化問題に関する価値関数が積分形式で表現可能であるための条件を明らかにします。この命題はオークション理論における同値定理の理論的土台になります。

包絡面定理

IPVモデルにおける支払い同値定理

配分ルールを共有する2つの誘因両立メカニズムを任意に選んだとき、一定の条件のもとでは、入札者が均衡において直面する中間期待支払いは、入札者のタイプに関わらず、どちらのメカニズムを採用する場合でも一致します。これを支払い同値定理と呼びます。

包絡面定理

IPVモデルにおける収入同値定理

配分ルールを共有する2つの誘因両立メカニズムを任意に選んだとき、一定の条件のもとでは、オークションの主催者が直面する事前期待収入は、どちらのメカニズムを採用する場合でも一致します。これを収入同値定理と呼びます。

SIPVモデル

SIPVモデルにおける利得同値定理

単一オークションのSIPVモデルにおいて異なるメカニズムを採用した場合においても、メカニズムの均衡において入札者が直面する期待利得が等しくなるための条件を明らかにします。

DISCUSSION

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

単一財オークション