IPVモデルにおける利得同値定理

誘因両立メカニズムの均衡における中間期待利得

単一オークション環境の中でもIPVモデルを分析対象とします。つまり、入札者たちの利得関数に関して非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値を仮定するとともに、入札者たちのタイプに関して共通事前分布と分布独立性を仮定するということです。つまり、入札者\(i\in I\)が状態\(\theta_{I}\in \Theta _{I}\)において結果\(\left(a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =a_{i}\cdot \theta _{i}-t_{i}
\end{equation*}であり、オークションの主催者が得る利得は、\begin{equation*}
\sum_{i\in I}t_{i}
\end{equation*}です。入札者\(i\)のタイプ集合\(\Theta _{i}\)は連続型であり、具体的には以下のような有界閉区間\begin{equation*}\Theta _{i}=\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \subset \mathbb{R} \end{equation*}であるものとします。状態\(\theta _{I}\)の分布は同時分布関数\(F:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)によって記述され、それぞれの入札者\(i\)のタイプ\(\theta _{i}\)の分布は\(F\)の周辺分布関数\(F_{i}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されるとともに、それに対応する密度関数を\(f_{i}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。\(f_{i}\)が連続である場合には、微分積分学の基本定理より、\begin{equation*}\frac{d}{dx}F_{i}\left( x\right) =f_{i}\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。さらに、入札者たちのタイプ\(\theta_{1},\cdots ,\theta _{n}\)は互いに独立です。つまり、任意の状態\(\theta _{I}\in \left( \theta _{1},\cdots ,\theta_{n}\right) \in \Theta _{I}\)に対して、\begin{equation*}F\left( \theta _{I}\right) =F_{1}\left( \theta _{1}\right) \times \cdots
\times F_{n}\left( \theta _{n}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

以上の仮定のもと、メカニズム\(\left( a,t\right) \)において入札者\(i\in I\)以外の入札者たちが正直戦略にしたがって入札を行う状況を想定します。入札者\(i\)以外の入札者たちのタイプが\(\theta _{-i}\)である場合、彼らは正直戦略のもとで\(\theta _{-i}\)を入札します。このとき、入札者\(i\)による入札額が\(\hat{\theta}_{i}\)であるならば、それに対してメカニズム\(\left( a,t\right) \)は結果\begin{equation*}\left( a\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \right) =\left( \left( a_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \right) _{i\in I},\left( t_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \right) _{i\in I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を定め、この結果において入札者\(i\)は確率\(a_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \)で商品を落札する対価として所得移転\(t_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta_{-i}\right) \)を課されます。ただ、実際には入札者\(i\)は他の入札者たちの真のタイプを観察できないため、\(\theta _{-i}\)の分布を描写する同時密度関数\(f_{-i}:\Theta _{-i}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)を用いて落札確率や所得移転の期待値を評価せざるを得ず、それらを、\begin{eqnarray*}\alpha _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) &=&\int_{\theta _{-i}\in \Theta
_{-i}}\left[ a_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \cdot
f_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right] d\theta _{-i} \\
\tau _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) &=&\int_{\theta _{-i}\in \Theta
_{-i}}\left[ t_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \cdot
f_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right] d\theta _{-i}
\end{eqnarray*}で表記します。\(\alpha _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) \)を入札者\(i\)の中間期待配分と呼び、\(\tau _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) \)を入札者\(i\)の中間期待支払いと呼ぶこととします。これらはいずれも入札者\(i\)による入札額\(\hat{\theta}_{i}\)にのみ依存することを踏まえた上で、入札者\(i\)によるそれぞれの入札額\(\hat{\theta}_{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に対して、そのときの中間期待配分\(\alpha _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) \in \left[ 0,1\right] \)を値として返す関数\begin{equation*}\alpha _{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \left[ 0,1\right] \end{equation*}と、入札者\(i\)によるそれぞれの入札額\(\hat{\theta}_{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に対して、そのときの中間期待支払い\(\tau _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) \in \mathbb{R} \)を値として返す関数\begin{equation*}\tau _{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}をそれぞれ定義します。\(\alpha _{i}\)を入札者\(i\)の中間期待配分関数と呼び、\(\tau _{i}\)を入札者\(i\)の中間期待支払い関数と呼ぶこととします。

引き続き、メカニズム\(\left( a,t\right) \)において入札者\(i\)以外の入札者たちが正直戦略にしたがって入札を行う状況を想定します。入札者\(i\)のタイプが\(\theta _{i}\)であるときに入札額\(\hat{\theta}_{i}\)を申告した場合に直面する中間期待利得は、\begin{eqnarray*}&&E_{\theta _{-i}}\left[ u_{i}\left( a\left( \hat{\theta}_{i},\theta
_{-i}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) ,\theta
_{I}\right) \ |\ \theta _{i}\right] \\
&=&E_{\theta _{-i}}\left[ a_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right)
\cdot \theta _{i}-t_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \ |\
\theta _{i}\right] \quad \because \text{IPVモデル} \\
&=&\int_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}\left\{ \left[ a_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \cdot \theta _{i}-t_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \right] \cdot f_{-i}\left( \theta _{-i}\right)
\right\} d\theta _{-i} \\
&=&\int_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}\left[ a_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \cdot f_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right] d\theta _{-i}\cdot \theta _{i}-\int_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}\left[
t_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{-i}\right) \cdot f_{-i}\left( \theta
_{-i}\right) \right] d\theta _{-i} \\
&=&\alpha _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) \cdot \theta _{i}-\tau
_{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) \quad \because \alpha _{i}\text{および}\tau _{i}\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。以上の値は入札者\(i\)による入札額\(\hat{\theta}_{i}\)とタイプ\(\theta_{i}\)の双方に依存することを踏まえた上で、入札者\(i\)による入札額とタイプからなるそれぞれの組\(\left( \hat{\theta}_{i},\theta_{i}\right) \in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \times \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に対して、上の中間期待利得\begin{equation*}U_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta _{i}\right) =\alpha _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right) \cdot \theta _{i}-\tau _{i}\left( \hat{\theta}_{i}\right)
\end{equation*}を値として返す関数\begin{equation*}
U_{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \times \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義し、これを入札者\(i\)の中間期待利得関数と呼ぶこととします。つまり、入札者\(i\)の中間期待利得関数\(U_{i}\)とは、メカニズム\(\left( a,t\right) \)のもとで他の入札者たちが正直戦略にしたがって入札するという前提のもと、入札者\(i\)のタイプが\(\theta _{i}\)であるときに入札額\(\hat{\theta}_{i}\)を申告した場合に直面する中間期待利得\(U_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta_{i}\right) \)を特定する関数です。

これまでは一般のメカニズムについて考えてきましたが、ここからはメカニズム\(\left( a,t\right) \)が誘因両立的であるものとします。誘因両立的なメカニズムでは正直戦略の組が均衡になるため、均衡においてタイプ\(\theta _{i}\)の入札者\(i\)が直面する中間期待利得は、中間利得関数\(U_{i}\)を用いて、\begin{equation*}U_{i}\left( \theta _{i},\theta _{i}\right) =\alpha _{i}\left( \theta
_{i}\right) \cdot \theta _{i}-\tau _{i}\left( \theta _{i}\right)
\end{equation*}と表すことができます。これは入札者\(i\)のタイプ\(\theta _{i}\)のみに依存することを踏まえた上で、入札者\(i\)のそれぞれのタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に対して、\begin{equation*}V_{i}\left( \theta _{i}\right) =U_{i}\left( \theta _{i},\theta _{i}\right)
\end{equation*}を値として返す関数\begin{equation*}
V_{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義し、これを入札者\(i\)の均衡中間期待利得関数と呼ぶこととします。つまり、入札者\(i\)の均衡中間期待利得関数\(V_{i}\)とは、誘因両立的なメカニズムの均衡において、入札者\(i\)がそれぞれのタイプ\(\theta _{i}\)のもとで得られる中間期待利得\(V_{i}\left( \theta _{i}\right) \)を明らかにする関数です。

メカニズムの誘因両立性より、タイプ\(\theta _{i}\)の入札者は正直戦略のもとで\(\theta _{i}\)を入札することが最適であるため、入札者\(i\)のタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)と入札額\(\hat{\theta}_{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、中間期待利得関数\(U_{i}\)と均衡中間期待利得関数\(V_{i}\)の間には、\begin{equation*}V_{i}\left( \theta _{i}\right) \geq U_{i}\left( \hat{\theta}_{i},\theta
_{i}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

積分形式で表現された均衡中間期待利得関数

引き続き、誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t\right) \)について考えます。中間期待利得関数\(U_{i}:\left[\underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \times \left[
\underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)において、入札者\(i\)による入札額\(\hat{\theta}_{i}\)を変数とみなし、入札者\(i\)のタイプ\(\theta _{i}\)をパラメータとみなします。パラメータであるタイプの値\(\theta _{i}\)を適当に選んだ上で関数\(U_{i}\)に代入すると変数\(\hat{\theta}_{i}\)に関する関数\(U_{i}\left( \cdot ,\theta_{i}\right) :\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が得られるため、この関数を目的関数とする最大化問題\begin{equation*}\sup_{\hat{\theta}_{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] }U_{i}\left( \cdot ,\theta _{i}\right)
\end{equation*}を構成できます。

メカニズムの誘因両立性より、タイプ\(\theta _{i}\)の入札者\(i\)は正直戦略にしたがって\(\theta _{i}\)を表明することにより中間期待利得を最大化できるため、この最大化問題に関する価値関数は、それぞれのタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に対して、均衡中間期待利得\begin{equation*}V_{i}\left( \theta _{i}\right) =U_{i}\left( \theta _{i},\theta _{i}\right)
=\alpha _{i}\left( \theta _{i}\right) \cdot \theta _{i}-\tau _{i}\left(
\theta _{i}\right)
\end{equation*}を値として定める均衡中間期待利得関数\(V_{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right]\rightarrow \mathbb{R} \)と一致します。また、この最大化問題に関する最適選択対応は、それぞれのタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)に対して、\begin{equation*}s_{i}\left( \theta _{i}\right) =\theta _{i}
\end{equation*}を値として定める正直戦略\(s_{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \rightarrow \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)と一致します。

均衡中間利得関数を以上のような形でパラメータ付き最大化問題の価値関数と位置づける理由は、積分形式の包絡面定理を用いて、均衡中間期待利得を積分形式で表現するためです。実際、上のモデルは積分形式の包絡面定理が要求する条件を満たすため、均衡中間利得関数を以下のように積分形式で表現できます。

以上の命題より、IPVモデルにおけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)が誘因両立的である場合、入札者\(i\in I\)とそのタイプ\(\theta_{i}\in \Theta _{i}\)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}V_{i}\left( \theta _{i}\right) =V_{i}\left( \underline{\theta }_{i}\right)
+\int_{\underline{\theta }_{i}}^{\theta _{i}}\alpha _{i}\left( u\right) du
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。つまり、誘因両立メカニズムのもとで入札者\(i\)以外の入札者たちが均衡戦略である正直戦略にしたがうことを前提とした場合、タイプ\(\theta _{i}\)の入札者\(i\)もまた均衡戦略である正直戦略にしたがうことで得られる均衡中間利得（左辺）を特定するためには、タイプ\(\underline{\theta }_{i}\)の入札者が正直戦略にしたがうことで得られる均衡中間利得（右辺の第1項）と、自身が入札額\(u\)を表明した場合に商品を落札できる確率の期待値\(\alpha _{i}\left( u\right) \)を\(\underline{\theta }_{i}\)から\(\theta _{i}\)まで積分した値（右辺の第2項）を加えればよいということです。言い換えると、自身のタイプが\(\underline{\theta }_{i}\)である場合の均衡中間期待利得\(V_{i}\left( \underline{\theta }_{i}\right) \)と、自身の入札額が\(u\)である場合の中間期待配分\(\alpha _{i}\left( u\right) \)を\(\underline{\theta }_{i}\)から\(\theta _{i}\)まで積分して得られる値の和をとれば、自身のタイプが\(\theta _{i}\)である場合の均衡中間期待利得\(V_{i}\left( \theta _{i}\right) \)が得られるということです。

均衡中間期待利得に関する同値定理

均衡中間期待利得関数が積分形式で表現されることを踏まえると以下が導かれます。これを利得同値定理（payoff equivalence theorem）と呼びます。

上の命題の証明から明らかになったように、IPVモデルにおいて配分ルールを共有する2つの誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t^{1}\right) ,\left(\alpha ,t^{2}\right) \)を任意に選んだとき、任意の入札者\(i\)について、\begin{equation*}\forall \theta _{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] :V_{i}^{1}\left( \theta _{i}\right) -V_{i}^{2}\left( \theta
_{i}\right) =V_{i}^{1}\left( \underline{\theta }_{i}\right) -V_{i}^{2}\left(
\underline{\theta }_{i}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。右辺\(V_{i}^{1}\left( \underline{\theta }_{i}\right) -V_{i}^{2}\left( \underline{\theta }_{i}\right) \)は定数であるため、以上の事実は、均衡中間期待利得関数\(V_{i}^{1},V_{i}^{2}\)のグラフが互いに平行であることを意味します。特に、\begin{equation*}V_{i}^{1}\left( \underline{\theta }_{i}\right) =V_{i}^{2}\left( \underline{\theta }_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\forall \theta _{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] :V_{i}^{1}\left( \theta _{i}\right) =V_{i}^{2}\left( \theta
_{i}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \theta _{i}\in \left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] :E_{\theta _{-i}}\left[ a_{i}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta
_{i}-t_{i}^{1}\left( \theta _{I}\right) \ |\ \theta _{i}\right] =E_{\theta
_{-i}}\left[ a_{i}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta
_{i}-t_{i}^{2}\left( \theta _{I}\right) \ |\ \theta _{i}\right] \end{equation*}を得ます。つまり、IPVモデルにおける複数の誘因両立的なメカニズムが配分ルールを共有する場合、入札者\(i\)が均衡において直面する中間期待利得は、入札者\(i\)のタイプに関わらず、どちらのメカニズムを採用する場合でも一致するということです。言い換えると、たとえ移転ルールが異なる場合でも、配分ルールが同じであれば、それらのメカニズムがもたらす結果は実質的な違いを生みません。このような意味において上の命題は利得同値定理と呼ばれます。

事前期待利得に関する同値定理

均衡における事前期待利得に関しても同値定理が成り立ちますが、その前に、誘因両立メカニズムの均衡における事前期待利得を積分形式で表現します。

以上の命題から以下が導かれます。

上の命題の証明から明らかになったように、IPVモデルにおいて配分ルールを共有する2つの誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t^{1}\right) ,\left(\alpha ,t^{2}\right) \)を任意に選んだとき、任意の入札者\(i\)について、\begin{equation*}E_{\theta _{I}}\left[ a_{i}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta
_{i}-t_{i}^{1}\left( \theta _{I}\right) \right] -E_{\theta _{I}}\left[
a_{i}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta _{i}-t_{i}^{2}\left( \theta
_{I}\right) \right] =V_{i}^{1}\left( \underline{\theta }_{i}\right)
-V_{i}^{2}\left( \underline{\theta }_{i}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。右辺\(V_{i}^{1}\left( \underline{\theta }_{i}\right) -V_{i}^{2}\left( \underline{\theta }_{i}\right) \)は定数ですが、特に、\begin{equation*}V_{i}^{1}\left( \underline{\theta }_{i}\right) =V_{i}^{2}\left( \underline{\theta }_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
E_{\theta _{I}}\left[ a_{i}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta
_{i}-t_{i}^{1}\left( \theta _{I}\right) \right] =E_{\theta _{I}}\left[
a_{i}\left( \theta _{I}\right) \cdot \theta _{i}-t_{i}^{2}\left( \theta
_{I}\right) \right] \end{equation*}を得ます。以上の事実は、IPVモデルにおける複数の誘因両立的なメカニズムが配分ルールを共有する場合、入札者\(i\)が均衡において直面する事前期待利得は、どちらのメカニズムを採用する場合でも一致するということです。言い換えると、たとえ移転ルールが異なる場合でも、配分ルールが同じであれば、それらのメカニズムがもたらす結果は実質的な違いを生みません。このような意味において上の命題もまた利得同値定理と呼ばれます。