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IPVモデルにおける収入同値定理

目次

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誘因両立メカニズムの均衡における事前期待収入

単一オークション環境の中でもIPVモデルを分析対象とします。つまり、入札者たちの利得関数に関して非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値を仮定するとともに、入札者たちのタイプに関して共通事前分布と分布独立性を仮定するということです。加えて、それぞれの入札者\(i\)のタイプ集合\(\Theta _{i}\)は連続型であり、具体的には以下のような有界閉区間\begin{equation*}\Theta _{i}=\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \subset \mathbb{R} \end{equation*}であるものとします。

誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t\right) \)では正直戦略の組が均衡になるため、状態が\(\theta _{I}\)である場合、入札者たちは正直戦略のもとで\(\theta _{I}\)を入札し、これに対してメカニズムは所得移転\(t\left( \theta _{I}\right) \)を定め、この結果においてオークションの主催者は以下の収入\begin{equation*}\sum_{i\in I}t_{i}\left( \theta _{I}\right)
\end{equation*}を得ます。ただ、実際には主催者は真のタイプを観察できないため、\(\theta _{I}\)の分布を描写する同時密度関数\(f:\Theta _{I}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)を用いて収入の期待値を評価せざるを得ず、それを、\begin{equation*}E_{\theta _{I}}\left[ \sum_{i\in I}t_{i}\left( \theta _{I}\right) \right] =\int_{\theta _{I}\in \Theta _{I}}\left[ \sum_{i\in I}t_{i}\left( \theta
_{I}\right) \cdot f\left( \theta _{I}\right) \right] d\theta _{I}
\end{equation*}で表記し、これを主催者の均衡事前期待収入と呼ぶこととします。

 

積分形式で表現された均衡事前期待収入

均衡事前期待収入に関する同値定理を示す上での準備として、均衡事前期待収入関数を積分形式で表現します。

命題(積分形式で表現された均衡事前期待収入)
単一オークションのIPVモデルにおけるメカニズム\(\left( a,t\right) \)が誘因両立的であるならば、均衡事前期待収入は均衡中間期待利得関数\(V_{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right]\rightarrow \mathbb{R} \)と中間期待落札関数\(\alpha _{i}:\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right]\rightarrow \left[ 0,1\right] \)を用いて、\begin{equation*}E_{\theta _{I}}\left[ \sum_{i\in I}t_{i}\left( \theta _{I}\right) \right] =-\sum_{i\in I}V_{i}\left( \underline{\theta }_{i}\right) +\sum_{i\in
I}\int_{\theta _{I}\in \Theta _{I}}\left[ \left( \theta _{i}-\frac{1-F_{i}\left( \theta _{i}\right) }{f_{i}\left( \theta _{i}\right) }\right)
\cdot \alpha _{i}\left( \theta _{I}\right) \cdot f\left( \theta _{I}\right) \right] d\theta _{I}
\end{equation*}という形で表すことができる。

証明

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均衡事前期待収入に関する同値定理

均衡事前期待収入が積分形式で表現されることを踏まえると以下が導かれます。これを収入同値定理(revenue equivalence theorem)と呼びます。

命題(均衡事前期待収入に関する同値定理)
単一オークションのIPVモデルにおいて、同一の配分ルールを持つ2つの誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t^{1}\right) ,\left(\alpha ,t^{2}\right) \)を任意に選ぶ。このとき、ある定数\(c_{i}\in \mathbb{R} \)が存在して、\begin{equation*}E_{\theta _{I}}\left[ \sum_{i\in I}t_{i}^{1}\left( \theta _{I}\right) \right] -E_{\theta _{I}}\left[ \sum_{i\in I}t_{i}^{2}\left( \theta _{I}\right) \right] =c_{i}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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上の命題より、配分ルールを共有する2つの誘因両立的なメカニズム\(\left( a,t^{1}\right) ,\left( \alpha ,t^{2}\right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation}\sum_{i\in I}V_{i}^{1}\left( \underline{\theta }_{i}\right) =\sum_{i\in
I}V_{i}^{2}\left( \underline{\theta }_{i}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立つ場合には、\begin{equation*}
E_{\theta _{I}}\left[ \sum_{i\in I}t_{i}^{1}\left( \theta _{I}\right) \right] =E_{\theta _{I}}\left[ \sum_{i\in I}t_{i}^{2}\left( \theta _{I}\right) \right] \end{equation*}が成り立ちます。つまり、いずれのメカニズムにおいても、任意の入札者\(i\)について、最低水準のタイプ\(\underline{\theta }_{i}\)を入札した場合に商品を落札できる確率が\(0\)である場合には、オークションの主催者が直面する事前期待収入は、どちらのメカニズムを採用する場合でも同じです。このような意味において上の命題は収入同値定理と呼ばれます。

一方、条件\(\left( 1\right) \)が成り立たない場合には、2つのメカニズムにおいてオークションの主催者が直面する事前期待収入は、\begin{equation*}\sum_{i\in I}\left[ V_{i}^{1}\left( \underline{\theta }_{i}\right)
-V_{i}^{2}\left( \underline{\theta }_{i}\right) \right] \end{equation*}だけ乖離します。つまり、誘因両立メカニズムにおける事前期待収入は厳密な意味において一致するとは限らないため、より大きな事前期待収入をもたらす誘因両立的なメカニズムを模索する余地が存在します。

次回はマイヤーソンの定理について解説します。

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