展開型ゲームを用いた完全情報ゲームと不完全情報ゲームの表現

展開型ゲームを用いた完全情報ゲームの表現

問題としている戦略的状況が完備情報の動学ゲームであるとともに、それが展開型ゲーム\begin{equation*}
\Gamma =\left( I\cup \left\{ 0\right\} ,A,X,>,a,\mathcal{H},i,p,\left\{
u_{i}\right\} _{i\in I}\right)
\end{equation*}として記述されているものとします。ただし、\(I\cup \left\{ 0\right\} \)は自然に相当するプレイヤー\(0\)を含めたプレイヤー集合、\(A\)は行動集合、\(\left( X,>\right) \)はゲームの木、\(a:X\backslash \left\{ x_{0}\right\} \rightarrow A\)はそれぞれの手番へ到達する直前に選択される行動を特定する写像、\(\mathcal{H}\)は情報分割、\(i:\mathcal{H}\rightarrow I\cup \left\{ 0\right\} \)はそれぞれの情報集合において意思決定を行うプレイヤーを特定する写像、\(p:\mathcal{H}_{0}\times A\rightarrow \left[0,1\right] \)は自然による意思決定を記述する確率分布、\(u_{i}:Z\rightarrow \mathbb{R} \)はプレイヤー\(i\)の利得関数です。

動学ゲームのプレイヤーは意志決定を行う際に、自分より前に意志決定を行ったプレイヤーの意志決定の内容を観察できるとは限りません。自分より前に行われた意思決定を観察できる場合とそうでない場合とではプレイヤーによる意思決定の内容が変わってくるため、動学ゲームを分析する際には、そこにおいてプレイヤーたちが自分より前に行われた意思決定をどの程度観察できるかを事前に明らかにしておく必要があります。

動学ゲームに参加するすべてのプレイヤーが、自身が意思決定をおこなうすべての局面において、それ以前に行われたすべてのプレイヤーによる意志決定の内容を観察できるのであれば、そのようなゲームを完全情報ゲーム（game of perfect information）と呼びます。

展開型ゲーム\(\Gamma \)においてプレイヤーが意思決定を行う際、それ以前に行われたすべての意思決定を観察していたのであれば、彼はその局面において、それまで観察して得た情報を頼りに、現在、自身がどの手番にいるかを特定できます。このような事情を踏まえると、完全情報ゲームとは、任意のプレイヤーは自身が意思決定を行う任意の局面において、現在、自身がどの手番にいるかを特定できるようなゲームであると理解できます。

以上を踏まえた上で、このゲーム\(\Gamma \)において任意のプレイヤーの任意の情報集合が1点集合であるものとします。つまり、\begin{equation}\forall i\in I,\ \forall H\in \mathcal{H}_{i}:\left\vert H\right\vert =1
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。この場合、情報集合と手番は実質的に等しくなります。プレイヤー\(i\)および彼が意思決定を行う情報集合\(H\)をそれぞれ任意に選びます。\(\left( 1\right) \)より、ゲームの初期点から情報集合\(H\)へ至る経路上にあるすべての手番はそれぞれ単独で情報集合を構成するため、プレイヤー\(1\)は自身が情報集合\(H\)に到達していることを認識できます。しかも、やはり\(\left( 1\right) \)より、この情報集合\(H\)は1点集合であるため、プレイヤー\(1\)が情報集合\(H\)に到達していることだけでなく、自身が到達している手番も判別できます。同様の議論は任意のプレイヤーと情報集合について成立するため、結局、\(\left(1\right) \)が成り立つ場合には、任意のプレイヤーは自身が意思決定を行う任意の局面において、現在、自身がどの手番にいるかを特定できるようなゲームであると理解できます。以上を踏まえた上で、展開型ゲーム\(\Gamma \)が\(\left( 1\right) \)を満たす場合には、それを完全情報ゲームと呼びます。

例（完全情報ゲーム）

以下のゲームの木によって表現される展開型ゲーム\(\Gamma \)について考えます。ただし、利得を省略しています。

です。すべての情報集合は1点集合であるため、この展開型ゲーム\(\Gamma \)は完全情報ゲームを表現しています。例えば、プレイヤー\(2\)はプレイヤー\(1\)による情報集合\(\left\{x_{0}\right\} \)における意思決定を観察できるため、観察した情報をもとに、自身が\(x_{1}\)と\(x_{2}\)のどちらのノードへ到達するか判別できます。

展開型ゲームを用いた不完全情報ゲームの表現

完全情報ゲームではない動学ゲームを不完全情報ゲーム（game of imperfect information）と呼びます。具体的には、動学ゲームにおいて、少なくとも1人のプレイヤーが、意思決定を行う少なくとも1つの時点において、それ以前に行われた少なくとも1人のプレイヤーが行った意思決定の内容を観察できないのであれば、それは不完全情報ゲームと呼ばれます。

展開型ゲーム\(\Gamma \)が完全情報ゲームであることは、\begin{equation*}\forall i\in I,\ \forall H\in \mathcal{H}_{i}:\left\vert H\right\vert =1
\end{equation*}が成り立つことを意味するため、逆に、展開型ゲーム\(\Gamma \)が不完全情報ゲームであることは、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation}\exists i\in I,\ \exists H\in \mathcal{H}_{i}:\left\vert H\right\vert \geq 2
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことを意味します。つまり、少なくとも1人のプレイヤーについて、彼が意思決定を行う少なくとも1つの情報集合に複数の手番が含まれるということです。実際、\(\left( 2\right) \)を満たすプレイヤー\(i\)が同じく\(\left( 2\right) \)を満たす情報集合\(H\)に到達したとき、\(H\)には複数の手番が含まれるため、プレイヤー\(i\)は自身が\(H\)中のどの手番に到達したかを判別できません。そして、そのような状況が発生する理由は、\(H\)より以前に位置する情報集合において行われた意思決定をプレイヤー\(i\)が観察できないからに他なりません。これはゲームが不完全情報ゲームであることの定義に他なりません。そこで、展開型ゲーム\(\Gamma \)が\(\left( 2\right) \)を満たす場合には、それを完全情報ゲームと呼びます。

例（不完全情報ゲーム）

以下のゲームの木によって表現される展開型ゲーム\(\Gamma \)について考えます。ただし、利得を省略しています。

このゲームの情報分割は、\begin{equation*}
\mathcal{H}=\left\{ \left\{ x_{0}\right\} ,\left\{ x_{1},x_{2}\right\}
\right\}
\end{equation*}です。情報集合\(\left\{x_{1},x_{2}\right\} \)には複数の手番が含まれるため、この展開型ゲーム\(\Gamma \)は完全情報ゲームを表現しています。実際、プレイヤー\(2\)はプレイヤー\(1\)による情報集合\(\left\{ x_{0}\right\} \)における意思決定を観察できないため、自身が\(x_{1}\)と\(x_{2}\)のどちらのノードへ到達するか判別できません。