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DYNAMIC GAME OF COMPLETE INFORMATION

展開型ゲームにおける純粋戦略

目次

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完備情報の動学ゲームにおける戦略

プレイヤーたちが直面する戦略的状況が完備情報の動学ゲームである場合には、それを展開型ゲームとして定式化できます。では、プレイヤーたちの意思決定をどのように定式化すればよいでしょうか。プレイヤーの意思決定は戦略(strategy)と呼ばれる概念を用いて表現します。

一般に、プレイヤーの戦略とは、プレイヤーがゲーム中に意志決定を行うそれぞれの局面において、そこで与えられた情報と行動を踏まえた上でどの行動を選ぶかをあらかじめ包括的に定める行動計画として定義されます。以上を踏まえた上で、完備情報の静学ゲームにおける戦略とは何であるかを以下で説明します。

ゲームのルールが共有知識である完備情報ゲームでは、すべてのプレイヤーはゲームのルールについて確かな認識を持っているため、それぞれのプレイヤーはゲームのルールに関して起こり得る複数の状態を想定する必要がありません。

プレイヤーたちが順番に意思決定を行う動学ゲームでは、プレイヤーは自分とは異なるタイミングで意志決定を行う他のプレイヤーたちの選択の結果として実現し得るすべての経路を想定した上で、各経路において自分がどのような行動を選ぶかをあらかじめ包括的に定める必要があります。ただし、ゲームの木の定義より個々のノードとそこへ至る経路は1対1で対応するため、プレイヤーは自身が直面し得るそれぞれのノードに対して、そこで自分が選択するであろう行動をあらかじめ定めておけば、それは完全な行動計画になります。ただ、動学ゲームのプレイヤーは自身が意思決定を行う前のノードにおいて他のプレイヤーが選択した行動を観察できるとは限らないため、実際には、ノードを単位とする行動計画を立案することはできず、情報集合を単位とする行動計画を立案せざるを得ません。

以上の議論により、完備情報の動学ゲームにおけるプレイヤーの戦略とは、自身が直面し得るそれぞれの情報集合に対して、そこで自分が選択するであろう行動をあらかじめ包括的に定める行動計画であることが明らかになりました。

 

展開型ゲームにおける純粋戦略

問題としている戦略的状況が完備情報の動学ゲームであるならば、それは展開型ゲーム\(\Gamma \)として記述できます。このゲーム\(\Gamma \)においてプレイヤー\(i\in I\)が意思決定を行う可能性のあるすべての情報集合からなる集合族は、\begin{equation*}\mathcal{H}_{i}=\left\{ H\in \mathcal{H}\ |\ i\left( H\right) =i\right\}
\end{equation*}です。プレイヤー\(i\)の情報集合\(H\in \mathcal{H}_{i}\)を任意に選んだとき、そこでプレイヤー\(i\)が選択可能なすべての行動からなる集合は、\begin{equation*}A\left( H\right) =\left\{ A\left( x\right) \ |\ x\in H\right\}
\end{equation*}であるため、プレイヤー\(i\)がこのゲーム\(\Gamma \)において選択し得るすべての行動からなる集合は、\begin{equation*}A_{i}=\bigcup_{H\in \mathcal{H}_{i}}A\left( H\right)
\end{equation*}となります。以上を踏まえたとき、プレイヤー\(i\)のそれぞれの情報集合\(H\in \mathcal{H}_{i}\)に対して、そこでプレイヤー\(i\)が選択する行動\(s_{i}\left( H\right) \in A_{i}\)を1つずつ指定する写像\begin{equation*}s_{i}:\mathcal{H}_{i}\rightarrow A_{i}
\end{equation*}をプレイヤー\(i\)の純粋戦略(pure strategy)と呼びます。ただし、それぞれの情報集合において選ばれる行動はそこで選択可能なものでなければならないため、純粋戦略\(s_{i}\)は以下の条件\begin{equation*}\forall H\in \mathcal{H}_{i}:s_{i}\left( H\right) \in A\left( H\right)
\end{equation*}を満たす必要があります。

純粋戦略はプレイヤーが直面し得る「すべての」情報集合に対して行動を1つずつ定めるものでなければなりません。自分が実際に到達するであろうと思われる情報集合に対して行動を1つずつ定めただけでは、その行動計画は純粋戦略としての要件を満たしません。自分が実際には到達しないであろうと思われるような情報集合に対しても、そこで自分が選択するであろう行動をあらかじめ定める必要があります。戦略とは、客観的に起こり得るすべてのシナリオに対して、そこで自分が選ぶであろう行動を包括的に記述した行動計画だからです。

すべてのプレイヤーの純粋戦略の組を\(s_{I}=\left( s_{i}\right) _{i\in I}\)で表記し、プレイヤー\(i\)以外のプレイヤーたちの純粋戦略の組を\(s_{-i}=\left( s_{j}\right) _{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }\)で表記します。\(s_{I}=\left( s_{i},s_{-i}\right) \)です。

プレイヤー\(i\)が選択可能なすべての純粋戦略からなる集合をプレイヤー\(i\)の純粋戦略集合(pure strategy set)や戦略集合(strategy set)、もしくは戦略空間(strategy space)などと呼び、これを\(S_{i}\)で表記します。\(s_{i}\in S_{i}\)です。すべてのプレイヤーの純粋戦略集合の直積を\(S_{I}=\prod_{i\in I}S_{i}\)で表記し、プレイヤー\(i\)以外のプレイヤーたちの純粋戦略集合の直積を\(S_{-i}=\prod_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }S_{i}\)で表記します。\(s_{I}\in S_{I}\)かつ\(s_{-i}\in S_{-i}\)です。

繰り返しになりますが、プレイヤー\(i\)の純粋戦略\(s_{i}:\mathcal{H}_{i}\rightarrow A_{i}\)とは、自身のそれぞれの情報集合\(H\in \mathcal{H}_{i}\)に対して、そこで自分が選択する行動\(s_{i}\left(H\right) \in A_{i}\)を1つずつ定める行動計画です。プレイヤー\(i\)が情報集合\(H\)において選択可能なすべての行動からなる集合が\(A\left( H\right) \)であることを踏まえると、プレイヤー\(i\)が選択可能なすべての純粋戦略からなる集合、すなわちプレイヤー\(i\)の純粋戦略集合は、\begin{equation*}S_{i}=\prod_{H\in \mathcal{H}_{i}}A\left( H\right)
\end{equation*}となります。

例(展開型ゲームにおける純粋戦略)
以下のゲームの木によって表現される展開型ゲーム\(\Gamma \)について考えます。ただし、利得を省略しています。

図:ゲームの木
図:ゲームの木

プレイヤー\(1\)の情報集合からなる集合族は、\begin{equation*}\mathcal{H}_{1}=\left\{ \left\{ x_{0}\right\} \right\}
\end{equation*}であるため、プレイヤー\(1\)の純粋戦略集合は、\begin{eqnarray*}S_{1} &=&A\left( \left\{ x_{0}\right\} \right) \\
&=&\left\{ \left( a_{11}\right) ,\left( a_{12}\right) \right\}
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(\left( a_{11}\right) \)は「情報集合\(\left\{ x_{0}\right\} \)において行動\(a_{11}\)を選ぶ」という純粋戦略であり、\(\left(a_{12}\right) \)は「情報集合\(\left\{x_{0}\right\} \)において行動\(a_{12}\)を選ぶ」という純粋戦略です。プレイヤー\(1\)は以上の2つの純粋戦略を持ちます。一方、プレイヤー\(2\)の情報集合からなる集合族は、\begin{equation*}\mathcal{H}_{2}=\left\{ \left\{ x_{1}\right\} ,\left\{ x_{2}\right\}
\right\}
\end{equation*}であるため、プレイヤー\(2\)の純粋戦略集合は、\begin{eqnarray*}S_{2} &=&A\left( \left\{ x_{1}\right\} \right) \times A\left( \left\{
x_{2}\right\} \right) \\
&=&\left\{ a_{21},a_{22}\right\} \times \left\{ a_{21},a_{22}\right\} \\
&=&\left\{ \left( a_{21},a_{21}\right) ,\left( a_{21},a_{22}\right) ,\left(
a_{22},a_{21}\right) ,\left( a_{22},a_{22}\right) \right\}
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(\left( a_{21},a_{21}\right) \)は「情報集合\(\left\{ x_{1}\right\} \)において行動\(a_{21}\)を選び、情報集合\(\left\{ x_{2}\right\} \)において行動\(a_{21}\)を選ぶ」という純粋戦略であり、\(\left( a_{21},a_{22}\right) \)は「情報集合\(\left\{ x_{1}\right\} \)において行動\(a_{21}\)を選び、情報集合\(\left\{ x_{2}\right\} \)において行動\(a_{22}\)を選ぶ」という純粋戦略であり、\(\left(a_{22},a_{21}\right) \)は「情報集合\(\left\{ x_{1}\right\} \)において行動\(a_{22}\)を選び、情報集合\(\left\{ x_{2}\right\} \)において行動\(a_{21}\)を選ぶ」という純粋戦略であり、\(\left(a_{22},a_{22}\right) \)は「情報集合\(\left\{ x_{1}\right\} \)において行動\(a_{22}\)を選び、情報集合\(\left\{ x_{2}\right\} \)において行動\(a_{22}\)を選ぶ」という純粋戦略です。プレイヤー\(2\)は以上の4つの純粋戦略を持ちます。

例(展開型ゲームにおける純粋戦略)
以下のゲームの木によって表現される展開型ゲーム\(\Gamma \)について考えます。ただし、利得を省略しています。

図:ゲームの木
図:ゲームの木

プレイヤー\(1\)の情報集合からなる集合族は、\begin{equation*}\mathcal{H}_{1}=\left\{ \left\{ x_{0}\right\} \right\}
\end{equation*}であるため、プレイヤー\(1\)の純粋戦略集合は、\begin{eqnarray*}S_{1} &=&A\left( \left\{ x_{0}\right\} \right) \\
&=&\left\{ \left( a_{11}\right) ,\left( a_{12}\right) \right\}
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(\left( a_{11}\right) \)は「情報集合\(\left\{ x_{0}\right\} \)において行動\(a_{11}\)を選ぶ」という純粋戦略であり、\(\left(a_{12}\right) \)は「情報集合\(\left\{x_{0}\right\} \)において行動\(a_{12}\)を選ぶ」という純粋戦略です。プレイヤー\(1\)は以上の2つの純粋戦略を持ちます。一方、プレイヤー\(2\)の情報集合からなる集合族は、\begin{equation*}\mathcal{H}_{2}=\left\{ \left\{ x_{1},x_{2}\right\} \right\}
\end{equation*}であるため、プレイヤー\(2\)の純粋戦略集合は、\begin{eqnarray*}S_{2} &=&A\left( \left\{ x_{1},x_{2}\right\} \right) \\
&=&\left\{ \left( a_{21}\right) ,\left( a_{22}\right) \right\}
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(\left( a_{21}\right) \)は「情報集合\(\left\{ x_{1},x_{2}\right\} \)において行動\(a_{21}\)を選ぶ」という純粋戦略であり、\(\left( a_{22}\right) \)は「情報集合\(\left\{ x_{1},x_{2}\right\} \)において行動\(a_{22}\)を選ぶ」という純粋戦略です。プレイヤー\(2\)は以上の2つの純粋戦略を持ちます。

 

演習問題

問題(展開型ゲームにおける純粋戦略)
以下のゲームの木によって表現される展開型ゲーム\(\Gamma \)について考えます。ただし、利得を省略しています。それぞれのプレイヤーの純粋戦略集合を特定してください。

図:ゲームの木
図:ゲームの木
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