囚人のジレンマとしての軍拡競争

冷戦期に行われた米ソ間の軍拡競争は囚人のジレンマとしての側面を持っていることを解説した上で、そこでのナッシュ均衡を求めます。

冷戦期の軍拡競争

第2次世界大戦が終結した1945年からソビエト連邦崩壊の1991年までの45年間は冷戦(the Cold War)と呼ばれる時期であり、世界は米国を中心とする西側陣営とソ連を中心とする東側陣営とに分かれて激しく対立しました。ただ、米ソ両国が直接的に軍事衝突することはなく、両者の激しい争いは政治や経済、技術、イデオロギーなどの分野で繰り広げられました。軍事力を用いて直接戦う熱戦(hot war)との対比で、この時期の両国間の緊張状態は冷戦と呼ばれています。

米ソ対立が熱戦へと発展しなかった最大の理由は原子爆弾(atomic bomb)の登場にあります。原爆の開発は1942年から米国で始まったマンハッタン計画(Manhattan Project)で進められ、1945年に実験が成功します。一方、ソ連が初めて核実験に成功したのが1949年です。つまり、冷戦の当初、原爆を保有していたのは米国だけでした。対立する2国の内の一方だけが核兵器を保有する場合、核保有国は核の脅し(nuclear blackmail)を背景に相手国を従わせることができます。しかし、両国がともに核兵器を保有するようになると状況が一変します。

核保有国どうしの軍事衝突がエスカレートして一方が核兵器を使用した場合、攻撃を受けた側に核戦力が残っていれば、核による報復を行います。このような戦略を相互確証破壊(Mutual Assured Destruction, MAD)と言います。MADが遂行される結果、両国において無数の人々が命を失い、主要都市が壊滅するとともに放射性物質で汚染されるため、両国の文明そのものが消滅してしまいます。したがって、核保有国どうしが対立している場合でも、両国はそれを熱戦へと発展させるインセンティブを持ちません。熱戦は核戦争の発端となり、両国の滅亡へつながるからです。ソ連が核を保有するようになったことで、米国による核の脅しは信憑性を失いました。

核保有国の間にMADが成立するためには、仮に相手から核の先制攻撃を受けた場合でも核戦力を残存させることができ、なおかつ核による報復が可能であることを相手に知らしめておく必要があります。そのような証明が不可能である場合、相手国から核の脅しを受けることになってしまいます。そのようなこともあり、冷戦期の米ソ両国は核兵器の増産と新型核兵器の開発を大々的に行い、それが両国の財政を圧迫しました。こうした現象は軍拡競争(the Arms Race)と呼ばれています。

 

完備情報の静学ゲームとしての軍拡競争

冷戦期に行われた軍拡競争を米ソ両国をプレイヤーとするゲームと解釈します。仮に両国が核兵器の増産や新型核兵器の開発を抑制するよう約束した場合でも、その約束には拘束力はありません。したがって軍拡競争は非協力ゲームです。また、両国は相手国の戦略を観察できない状態で自身の戦略を決めることを強いられるのであれば、軍拡競争は静学ゲームです。さらにゲームのルールが両国にとって共有知識であることを仮定するのであれば、軍拡競争が描写する戦略的相互依存の状況は完備情報の静学ゲームとして記述可能です。

そこで、軍拡競争を以下のような戦略型ゲーム\(G\)としてモデル化します。まず、ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は\(I=\{1,2\}\)です。ただし、プレイヤー\(1\)は米国を、プレイヤー\(2\)はソ連を表します。それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合は\(S_{i}=\{D,A\}\)です。ただし、\(D\)は軍拡を行わないことを表し(Disarm の D)、\(A\)は軍拡を進めることを表します(Arm の A)。

両国がともに軍拡を行わない場合、両国の核戦力バランスは変わらないため、両国の安全保障水準も変わりません。そこで、この場合に各国が得る利得を\(1\)で表します。

両国がともに軍拡を行う場合、両国の核戦力バランスは変わらないため、両国の安全保障水準も変わりません。しかし、軍拡には膨大な軍事支出がかかるため、この場合に各国が得る利得を\(0\)で表します。

一方の国が軍拡を行うとともに他方の国が軍拡を行わない場合、軍拡を行った国が核戦力で優位に立ちます。その結果、相手国がMADを遂行できなくなるため、相手に対して核の脅しを仕掛けることができるようになります。軍拡には軍事支出が必要ですが、核の脅しによって得られる諸々の利益はそれを上回るため、両国が軍拡を行わない場合の利得\(1\)よりも大きな利得\(a\)を得られるものとします。\(a>1\)です。軍拡を行わなかった国は相手から核の脅しを受けて服従せざるを得なくなりますが、その場合に被る諸々の不利益は、軍拡を行わないことで節約できる財政支出よりも大きいため、この場合、軍拡を行う場合の利得\(0\)よりも小さい利得\(b\)を得るものとします。\(b<0\)です。

以上を踏まえると、このゲームは以下の利得行列として整理されます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & D & A \\ \hline
D & 1,1 & b,a \\ \hline
A & a,a & 0,0 \\ \hline
\end{array}$$

表:軍拡競争

ただし、\(a>1\)かつ\(b<0\)です。

 

軍拡競争ゲームにおける均衡

軍拡競争を表す戦略型ゲーム\(G\)において、任意のプレイヤー\(i\in I\)について、\begin{equation}
u_{i}\left( D,A\right) <u_{i}\left( A,A\right) <u_{i}\left( D,D\right)
<u_{i}\left( A,D\right) \tag{1}
\end{equation}が成り立ちますが、これは囚人のジレンマの定義に他なりません。軍拡を行わない\(D\)は協調戦略に、軍拡を行う\(A\)は裏切り戦略にそれぞれ対応します。\(\left( 1\right) \)より、それぞれの国\(i\in I\)について、\begin{eqnarray*}
u_{i}\left( D,A\right) &<&u_{i}\left( A,A\right) \\
u_{i}\left( D,D\right) &<&u_{i}\left( A,D\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちますが、これは、相手国が軍拡を行う場合と行わないのどちらの選ぶ場合においても、自国は常に軍拡を行ったほうがよいことを意味します。したがって、軍拡競争では、両国が軍拡を行う\(\left( A,A\right) \)が強支配戦略均衡になります。やはり\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}
u_{i}\left( A,A\right) <u_{i}\left( D,D\right)
\end{equation*}が成り立つため、仮に、両国が軍拡を行わなければ、両国が軍拡を行う場合よりも双方はより大きい利得を得られることを意味します。しかし、実際には\(\left( A,A\right) \)が強支配戦略均衡であるため、両国が合理的である限りにおいて、均衡である\(\left( A,A\right) \)が実際にプレーされることになります。

次回は完全代替財を販売する企業間の価格競争が囚人のジレンマとしての側面を持つことを解説します。

次へ進む 質問・コメントを投稿する 演習問題(プレミアム会員限定)
Share on facebook
Share on twitter
Share on email

プレミアム会員になると、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。プレミアム会員の方は以下からログインしてください。

会員登録 | パスワードを忘れましたか?

有料のプレミアム会員になると、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

本サイトは MathJax を実装しているため、コメント文中で LaTex コマンドを利用することで美しい数式を入力できます。その際、インライン数式は\(数式\)で、ディスプレイ数式は$$数式$$という形式でそれぞれ入力してください。 例えば、\(ax^{2}+bx+c=0\)と入力すると\(ax^{2}+bx+c=0\)と表示され、$$ax^{2}+bx+c=0$$と入力すると$$ax^{2}+bx+c=0$$と表示されます。MathJax(LaTex)の文法については次のサイト( https://easy-copy-mathjax.xxxx7.com )などを参照してください。 紙に手書きした数式や図をカメラやスマホで撮影した上で、コメント欄に張り付けることもできます。その場合、コメント入力欄にある「ファイルを選択」ボタンをクリックした上で画像をアップロードしてください。アップロード可能な画像フォーマットは jpg, gif, png の 3 種類、ファイルサイズの上限は 5 MB です。PDF ファイルの添付も可能です。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員だけが質問やコメントを投稿・閲覧できます。

アカウント
ログイン