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ゲーム理論におけるゲームの例

技術水準が異なる企業間のベルトラン競争

目次

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技術水準が異なる企業間のベルトラン競争モデル

逆需要曲線が線型であるような市場において、規模に関して収穫一定かつ等しい限界費用を持つ2つの複占企業が同質財の価格をそれぞれ決定する戦略的状況をベルトラン競争と呼ばれるモデルとして整理した上で、そのようなゲームにナッシュ均衡、すなわちベルトラン均衡が存在するとともに、両企業の均衡価格は限界費用と一致し、したがって両企業の均衡利潤がゼロであることを明らかにしました。では、2つの企業の技術水準が異なる場合、すなわち企業間で限界費用に差がある場合には何が起こるのでしょうか。その場合にもベルトラン均衡は存在するでしょうか。また、ベルトラン均衡が存在する場合、それはどのような性質を備えているのでしょうか。

ある商品が2つの企業によってのみ供給される複占市場において、カルテルを形成せずに競争する企業が互いに商品の価格を決定する状況を想定します。

前提として、まずはこの市場において商品の価格と需要がどのように決まるかを記述します。市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの総供給量\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}p\left( q\right) =a-bq\geq 0
\end{equation*}という均衡価格を定めるものとします。ただし、\(a\)と\(b\)はともに正の定数です。両企業が商品を市場に供給しない場合の均衡価格は\begin{equation*}p\left( 0\right) =a>0
\end{equation*}という正の値ですが、問題としている商品が消費者にとって価値を持つ限りにおいて、これは当然の仮定です。\(b>0\)であるため逆需要関数は狭義の単調減少関数です。つまり、総供給量\(q\)が増えるほど均衡価格\(p\left( q\right) \)が下落します。需要と供給の関係を考慮するとこれもまた当然の仮定です。また、総需要曲線は線型であるため、総供給量\(q\)が増えるにつれて均衡価格\(p\left( q\right) \)は等しい割合で下落します。加えて、総供給量\(q\)が\(\frac{a}{b}\)以上になると商品の均衡価格が\(p\left( q\right) =0\)で一定になります。消費者が消費できる量には限りがあるため、需要と供給の関係を考慮するとこれもまた当然の仮定です。

上のように定義される逆需要関数\(p\)は連続な狭義の単調減少関数であるため、その逆関数に相当する市場の需要関数\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在し、これもまた連続な狭義の単調減少関数になります。具体的には、需要関数\(p\)はそれぞれの市場価格\(p\geq 0\)に対して、\begin{equation*}q\left( p\right) =\frac{a-p}{b}
\end{equation*}という均衡数量を定めます。逆関数の定義より、数量と価格の組\(\left( p,q\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}p=p\left( q\right) \Leftrightarrow q=q\left( p\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。以降では必要に応じて逆需要関数\(p\)と需要関数\(q\)を使い分けます。

両企業はこの市場において同じ商品を供給していますが、販売価格は各々が独自に決定します。では、両企業がそれぞれ価格を提示したとき、それに対してそれぞれの企業が得る需要はどのように決まるでしょうか。両企業が同じ商品を供給している状況を想定しているため、消費者は安い価格を提示した企業からその価格で商品を購入するものと考えるのがもっともらしいでしょう。つまり、企業\(1,2\)がそれぞれ価格\(p_{1},p_{2}\)を提示するとき、\(p_{1}<p_{2}\)の場合にはすべての消費者は企業\(1\)から商品を価格\(p_{1}\)で購入し(市場の需要\(q\left( p_{1}\right) \)のすべてを企業\(1\)が獲得する)、逆に\(p_{2}<p_{1}\)の場合にはすべての消費者は企業\(2\)から商品を価格\(p_{2}\)で購入する(市場の需要\(q\left( p_{2}\right) \)のすべてを企業\(2\)が獲得する)ということです。また、\(p_{1}=p_{2}\)の場合には、消費者の半数が企業\(1\)から、残りの半数は企業\(2\)から商品を価格\(p_{1}\ \left( =p_{2}\right) \)で購入する(市場の需要の半分\(\frac{q\left( p_{1}\right) }{2}\)をそれぞれの企業が獲得する)ものと仮定します。

以上を踏まえると、両企業が提示する価格の組\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)に対して、そのときに企業\(1\)が得る需要\(q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \)を特定する関数を\(q_{1}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)と表記するのであれば、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
q\left( p_{1}\right) & \left( if\quad p_{1}<p_{2}\right) \\
\frac{q\left( p_{1}\right) }{2} & \left( if\quad p_{1}=p_{2}\right) \\
0 & \left( if\quad p_{1}>p_{2}\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。同様に、企業\(2\)が得る需要を特定する関数\(q_{2}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \left( if\quad p_{1}<p_{2}\right) \\
\frac{q\left( p_{2}\right) }{2} & \left( if\quad p_{1}=p_{2}\right) \\
q\left( p_{2}\right) & \left( if\quad p_{1}>p_{2}\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。ただし、\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は市場の需要関数です。

特筆すべきは、それぞれの企業\(i\)が得る需要\(q_{i}\left( p_{1},p_{2}\right) \)は2つの企業が提示する価格\(p_{1},p_{2}\)を変数として持っていることです。つまり、企業\(1\)は自身が提示する価格の水準\(p_{1}\)を変化させることを通じて自身が得る需要を変化させることができますが、同時に競争相手である企業\(2\)が提示する価格水準\(p_{2}\)もまた自身が得る需要に影響を与えます。企業\(2\)の立場からも同様のことが言えます。つまり、それぞれの企業にとって、自身が得る需要は自身の行動だけでなく相手の行動によっても左右されるという意味において、プレイヤーである両企業の間には戦略的相互依存関係が成立しています。こうした事情もあり、この複占市場はゲーム理論の分析対象となります。

続いて、この市場において商品を供給する2つの企業の生産コストがどのように決まるかを記述します。企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は自身のそれぞれの生産量\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{eqnarray*}c_{1}\left( q_{1}\right) &=&\left( c-d\right) \cdot q_{1} \\
c_{2}\left( q_{2}\right) &=&\left( c+d\right) \cdot q_{2}
\end{eqnarray*}という生産費用を定めるものとします。つまり、企業\(i\)が商品を\(q_{i}\)だけ市場に供給する場合、費用が\(c_{i}\left(q_{i}\right) \)だけかかるということです。ただし、\(c,d\)は定数であり、両者の間には、\begin{equation*}c>d>0
\end{equation*}という関係が成り立つものと仮定します。企業\(i\)が商品を生産しない場合の費用は、\begin{eqnarray*}c_{1}\left( 0\right) &=&\left( c-d\right) \cdot 0=0 \\
c_{2}\left( 0\right) &=&\left( c+d\right) \cdot 0=0
\end{eqnarray*}ですが、これは両企業の固定費用が\(0\)であることを意味します。また、任意の\(q_{i}\geq 0\)において、\begin{eqnarray*}\frac{dc_{1}\left( q_{1}\right) }{dq_{1}} &=&c-d \\
\frac{dc_{2}\left( q_{2}\right) }{dq_{2}} &=&c+d
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、両企業は生産量に依存しない限界費用を持つということです。ただし、\(c>d>0\)を仮定しているため、企業\(1\)の限界費用\(c-d\)と企業\(2\)の限界費用\(c+d\)の間には、\begin{equation*}0<c-d<c+d
\end{equation*}という関係が成立します。つまり、企業\(1\)は企業\(2\)よりも商品を効率的に生産できるということです。\(d\)が大きくなるほど企業\(1\)はより効率的に、企業\(2\)はより非効率的になるため、両企業の効率性の差が大きくなります。つまり、\(d\)は両企業の技術力の差を表す指標です。

加えて、市場の逆需要曲線を規定する定数\(a\)と、非効率的な企業の限界費用\(c+d\)の間には、\begin{equation*}a>c+d
\end{equation*}という関係が成り立つものと仮定します。このとき、\begin{equation*}
p\left( \frac{a-\left( c+d\right) }{b}\right) =c+d
\end{equation*}を満たす正の実数\(\frac{a-\left( c+d\right) }{b}>0\)が存在します。つまり、企業\(2\)の限界費用\(c+d\)と市場の均衡価格が一致するような正の生産量\(\frac{a-\left( c+d\right) }{b}\)が存在するということです。一般に、完全競争市場では企業の限界費用と市場の均衡価格が一致します。したがって、上の仮定は、仮にこの市場が複占市場ではなく完全競争市場である場合においても、企業\(2\)は市場に参入し続けることが可能であることを意味します。効率的な企業\(1\)についても同様です。

逆需要関数\(p\left( q\right) \)もしくは需要関数\(q\left( p\right) \)によって特徴づけられる商品市場において、費用関数\(c_{i}\left( q_{i}\right) \)によって特徴づけられるコスト構造を持つそれぞれの企業\(i\)が自身の利潤を最大化するように価格\(p_{i}\)を選択する状況を想定します。ただし、すでに記述したように、市場の逆需要曲線が線型であるとともに、両企業は異なる限界費用を持つものと仮定します。加えて、両企業は互いにカルテルを結ぶことはできず、両者の間には価格に関する拘束的合意が成立しないものとします。また各企業は競争相手が設定する価格を観察できない状態で自身の価格を決定しなければならない状況を想定します。

繰り返しになりますが、完全競争市場では企業が商品の市場価格を所与として意志決定を行うのに対し、複占市場には商品を供給する企業が2つしか存在せず、企業\(1,2\)が商品の価格\(p_{1},p_{2}\)をそれぞれ選択するとそれぞれの企業は需要\(q_{i}\left( p_{1},p_{2}\right) \)を得ます。つまり、2つの企業が提示する価格に応じて需要が変化し得るという意味において、複占企業は価格支配力を持ちます。ただし、企業\(i\ \left(=1,2\right) \)が操作可能であるのは自身が提示する価格\(p_{i}\)だけであり、競争相手\(j\ \left( \not=i\right) \)が提示する価格\(p_{j}\)を直接操作することはできません。

企業\(1,2\)がそれぞれ価格\(p_{1},p_{2}\)を提示すると企業\(1\)は需要\(q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \)を獲得するため、そこから収入\(p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \)を得ます。その一方で、商品を\(q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \)だけ供給するために企業\(1\)が負担すべき費用は\(c_{1}\left( q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \right) \)であるため、価格の組\(\left(p_{1},p_{2}\right) \)のもとで企業\(1\)が得る利潤は、収入から費用を差し引いて得られる、\begin{equation*}p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) -c_{1}\left( q_{1}\left(
p_{1},p_{2}\right) \right)
\end{equation*}となります。具体的には、\(p_{1}<p_{2}\)の場合には、\begin{eqnarray*}p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) -c_{1}\left( q_{1}\left(
p_{1},p_{2}\right) \right) &=&p_{1}\cdot q\left( p_{1}\right) -c_{1}\left(
q\left( p_{1}\right) \right) \quad \because q_{1}\text{の定義} \\
&=&p_{1}\cdot \frac{a-p_{1}}{b}-\left( c-d\right) \cdot \frac{a-p_{1}}{b}\quad \because q,c_{1}\text{の定義} \\
&=&\frac{\left[ p_{1}-\left( c-d\right) \right] \left( a-p_{1}\right) }{b}
\end{eqnarray*}であり、\(p_{1}=p_{2}\)の場合には、\begin{eqnarray*}p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) -c_{1}\left( q_{1}\left(
p_{1},p_{2}\right) \right) &=&p_{1}\cdot \frac{q\left( p_{1}\right) }{2}-c_{1}\left( \frac{q\left( p_{1}\right) }{2}\right) \quad \because q_{1}\text{の定義} \\
&=&p_{1}\cdot \frac{a-p_{1}}{2b}-\left( c-d\right) \cdot \frac{a-p_{1}}{2b}\quad \because q,c_{1}\text{の定義} \\
&=&\frac{\left[ p_{1}-\left( c-d\right) \right] \left( a-p_{1}\right) }{2b}
\end{eqnarray*}であり、\(p_{2}>p_{1}\)の場合には、\begin{eqnarray*}p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) -c_{1}\left( q_{1}\left(
p_{1},p_{2}\right) \right) &=&p_{1}\cdot 0-c_{1}\left( 0\right) \quad
\because q_{1}\text{の定義} \\
&=&p_{1}\cdot 0-\left( c-d\right) \cdot 0\quad \because q,c_{1}\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。つまり、価格の組\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)のもとで企業\(1\)が得る利潤は、\begin{equation*}p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) -c_{1}\left( q_{1}\left(
p_{1},p_{2}\right) \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{\left[ p_{1}-\left( c-d\right) \right] \left( a-p_{1}\right) }{b} &
\left( if\ p_{1}<p_{2}\right) \\
\frac{\left[ p_{1}-\left( c-d\right) \right] \left( a-p_{1}\right) }{2b} &
\left( if\ p_{1}=p_{2}\right) \\
0 & \left( if\ p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるということです。企業\(1\)は競争相手である企業\(2\)が提示する価格\(p_{2}\)を操作できないため、\(p_{2}\)の値を所与としながら自身の利潤を最大化するような価格\(p_{1}\)を提示します。つまり、企業\(1\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(p_{2}\)に対して、\begin{equation*}\max_{p_{1}\geq 0}\left[ p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right)
-c_{1}\left( q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \right) \right] \end{equation*}となります。同様に考えると、価格の組\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)のもとで企業\(2\)が得る利潤は、\begin{equation*}p_{2}\cdot q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) -c_{2}\left( q_{2}\left(
p_{1},p_{2}\right) \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\quad p_{1}<p_{2}\right) \\
\frac{\left[ p_{2}-\left( c+d\right) \right] \left( a-p_{2}\right) }{2b} &
\left( if\quad p_{1}=p_{2}\right) \\
\frac{\left[ p_{2}-\left( c+d\right) \right] \left( a-p_{2}\right) }{2} &
\left( if\quad p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であり、企業\(2\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(p_{1}\)に対して、\begin{equation*}\max_{p_{2}\geq 0}\left[ p_{2}\cdot q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right)
-c_{2}\left( q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) \right) \right] \end{equation*}となります。繰り返しますが、\(a,b,c,d>0\)はいずれも定数であり、\(c>d\)かつ\(a>c+d\)が成り立つものとします。このような状況において各企業はどのような意思決定を行うでしょうか。

 

完備情報の静学ゲームとしてのベルトラン競争

ベルトラン競争が想定する状況を2つの複占企業をプレイヤーとするゲームと解釈します。独占禁止法などによってカルテルが禁じられている場合には、企業の間に価格に関する拘束的合意が成立しません。したがってベルトラン競争は非協力ゲームです。さらに、2つの企業は事前に相談することはできず、各自が相手の価格を観察できない状態で自身の価格を決定するのであればベルトラン競争は静学ゲームです。また、市場の需要関数(逆需要関数)、両企業の費用関数、さらに両者の目的が利潤の最大化であることなど、ゲームのルールの要素が両企業にとって共有知識であるならば、ベルトラン競争は完備情報ゲームとして記述されます。

そこで、ベルトラン競争を以下のような戦略型ゲーム\(G\)としてモデル化します。まず、ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は\(I=\{1,2\}\)です。ただし、\(i\in I\)は企業\(i\)を表します。また、企業\(i\)の純粋戦略集合を\(\mathbb{R} _{+}\)と定めます。つまり、それぞれの企業\(i\)は商品の価格として任意の非負の実数\(p_{i}\geq 0\)を選択できます。プレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)としては様々な可能性がありますが、典型的なものは利潤を利得と同一視するというものです。この場合、両企業が選ぶ純粋戦略からなる組が\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)であるとき、そこからそれぞれの企業が得る利得は、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{\left[ p_{1}-\left( c-d\right) \right] \left( a-p_{1}\right) }{b} &
\left( if\ p_{1}<p_{2}\right) \\
\frac{\left[ p_{1}-\left( c-d\right) \right] \left( a-p_{1}\right) }{2b} &
\left( if\ p_{1}=p_{2}\right) \\
0 & \left( if\ p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right. \\
u_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\quad p_{1}<p_{2}\right) \\
\frac{\left[ p_{2}-\left( c+d\right) \right] \left( a-p_{2}\right) }{2b} &
\left( if\quad p_{1}=p_{2}\right) \\
\frac{\left[ p_{2}-\left( c+d\right) \right] \left( a-p_{2}\right) }{2} &
\left( if\quad p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(a,b,c,d>0\)はいずれも定数であり、\(c>d\)かつ\(a>c+d\)が成り立つものとします。

 

技術水準が高い企業による独占が成立するための条件

相対的に技術水準の高い企業\(1\)があたかも独占企業として振る舞った場合の独占均衡価格が、相対的に技術水準の低い企業\(2\)の限界費用\(c+d\)を下回る場合には、企業\(2\)は商品を供給すると赤字になってしまいます。したがって、この場合には企業\(2\)は商品を供給せず、企業\(1\)が市場を独占することになります。では、そのようなことは可能なのでしょうか。

企業\(1\)が独占企業として振る舞う場合に直面する最大化問題は、\begin{equation*}\max_{p_{1}\geq 0}\ \left[ p_{1}-\left( c-d\right) \right] \cdot q\left(
p_{1}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{p_{1}\geq 0}\ \left[ p_{1}-\left( c-d\right) \right] \cdot \frac{a-p_{1}}{b}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{p_{1}\geq 0}\ \left[ -\frac{1}{b}p_{1}^{2}+\left[ \frac{a+\left(
c-d\right) }{b}\right] p_{1}-\frac{a\left( c-d\right) }{b}\right] \end{equation*}となります。このとき、\begin{align*}
\frac{d}{dp_{1}}\left[ -\frac{1}{b}p_{1}^{2}+\left[ \frac{a+\left(
c-d\right) }{b}\right] p_{1}-\frac{a\left( c-d\right) }{b}\right] & =-\frac{2}{b}p_{1}+\frac{a+\left( c-d\right) }{b} \\
\frac{d^{2}}{dp_{1}^{2}}\left[ -\frac{1}{b}p_{1}^{2}+\left[ \frac{a+\left(
c-d\right) }{b}\right] p_{1}-\frac{a\left( c-d\right) }{b}\right] & =-\frac{2}{b}<0
\end{align*}となるため、目的関数は\(p_{1}\)に関する狭義凹関数です。したがって、大域的最適のための必要十分条件より、\begin{equation*}\frac{d}{dp_{1}}\left[ -\frac{1}{b}p_{1}^{2}+\left[ \frac{a+\left(
c-d\right) }{b}\right] p_{1}-\frac{a\left( c-d\right) }{b}\right] =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
-\frac{2}{b}p_{1}+\frac{a+\left( c-d\right) }{b}=0
\end{equation*}を得ます。つまり、独占均衡価格、すなわち独占企業にとっての最適な価格水準を\(p^{m}\)で表すならば、これは上の条件を\(p_{1}\)について解くことで得られる、\begin{equation*}p^{m}=\frac{a+\left( c-d\right) }{2}
\end{equation*}となります。したがって、これが企業\(2\)の限界費用\(c+d\)を下回る場合には、すなわち、\begin{equation*}\frac{a+\left( c-d\right) }{2}<c+d
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{a-c}{3}<d
\end{equation*}が成り立つ場合には、企業\(1\)は市場を独占できます。つまり、2つの企業の技術水準の差\(d\)が上の条件を満たすほど十分大きい場合には、相対的に技術水準の高い企業\(1\)が市場を独占し、独占価格を享受できるということです。

 

技術水準が異なる企業間でベルトラン競争が行われる場合のナッシュ均衡(ベルトラン均衡)

2つの企業の技術水準の差\(d\)が大きい場合には、すなわち、\begin{equation*}\frac{a-c}{3}<d
\end{equation*}が成り立つ場合には、相対的に技術水準の高い企業\(1\)によって市場が独占されることが明らかになりました。一方、上の条件が成り立たない場合には、すなわち、\begin{equation}\frac{a-c}{3}\geq d \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つほど2つの企業の技術水準の差\(d\)が十分小さい場合には、企業\(1\)は独占企業として振る舞うことはできません。実際、企業\(1\)が独占価格\begin{equation*}p_{1}=\frac{a+\left( c-d\right) }{2}
\end{equation*}を提示したとき、企業\(2\)はそれよりもわずかに低い価格を提示すれば、すなわち、限りなく小さい\(\varepsilon >0\)を用いて、\begin{equation}p_{2}=\frac{a+\left( c-d\right) }{2}-\varepsilon \quad \cdots (2)
\end{equation}と表される価格\(p_{2}\)を提示すれば市場の需要をすべて奪うことができますが、この価格\(p_{2}\)と企業\(2\)の限界費用\(c+d\)を比較すると、\begin{eqnarray*}p_{2}-\left( c+d\right) &=&\left[ \frac{a+\left( c-d\right) }{2}-\varepsilon \right] -\left( c+d\right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\frac{a-c-3d}{2}+\varepsilon \\
&\geq &\varepsilon \quad \because \left( 1\right) \\
&>&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
p_{2}>c+d
\end{equation*}となるため、企業\(2\)は正の利潤を得られます。したがって、企業\(1\)は独占企業として振る舞うことはできません。\(\left( 3\right) \)が成り立つほど2つの企業の技術水準の差\(d\)が十分小さい場合には、以下のようなベルトラン均衡が存在します。

命題(技術水準が異なる企業間のベルトラン均衡)
戦略型ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は\(I=\left\{ 1,2\right\} \)であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合は\(\mathbb{R} _{+}\)であり、利得関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( q_{1},q_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{\left[ p_{1}-\left( c-d\right) \right] \left( a-p_{1}\right) }{b} &
\left( if\ p_{1}<p_{2}\right) \\
\frac{\left[ p_{1}-\left( c-d\right) \right] \left( a-p_{1}\right) }{2b} &
\left( if\ p_{1}=p_{2}\right) \\
0 & \left( if\ p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right. \\
u_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\quad p_{1}<p_{2}\right) \\
\frac{\left[ p_{2}-\left( c+d\right) \right] \left( a-p_{2}\right) }{2b} &
\left( if\quad p_{1}=p_{2}\right) \\
\frac{\left[ p_{2}-\left( c+d\right) \right] \left( a-p_{2}\right) }{2} &
\left( if\quad p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を定めるものとする。ただし、\(a,b,c,d>0\)かつ\(c>d\)かつ\(a>c+d\)である。さらに、\begin{equation*}\frac{a-c}{3}\geq d
\end{equation*}が成り立つ場合、このゲーム\(G\)には広義の純粋戦略ナッシュ均衡\(\left( p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) \)が存在し、それは、限りなく小さい\(\varepsilon >0\)を用いて、\begin{eqnarray*}p_{1}^{\ast } &=&\left( c+d\right) -\varepsilon \\
p_{2}^{\ast } &=&c+d
\end{eqnarray*}と表現される。

証明

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企業間の技術水準の差が十分小さい場合には、両企業の間でベルトラン競争が行われるとともに、ベルトラン均衡\begin{equation*}
\left( p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) =\left( \left( c+d\right)
-\varepsilon ,c+d\right)
\end{equation*}が存在することが明らかになりました。つまり、ベルトラン均衡において、非効率的な企業\(2\)は自身の限界費用\(c+d\)に等しい価格をつける一方で、効率的な企業\(1\)は相手の限界費用\(c+d\)をわずかに下回る価格をつけます。その結果、均衡において企業\(1\)だけが需要を獲得するとともに、利潤\begin{eqnarray*}u_{1}\left( p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) &=&\frac{\left[ p_{1}^{\ast
}-\left( c-d\right) \right] \left( a-p_{1}^{\ast }\right) }{b} \\
&=&\frac{\left[ \left( c+d\right) -\varepsilon -\left( c-d\right) \right] \left[ a-\left( c+d\right) +\varepsilon \right] }{b} \\
&=&\frac{\left( 2d-\varepsilon \right) \left[ a-\left( c+d\right)
+\varepsilon \right] }{b}
\end{eqnarray*}を得ますが、\(\varepsilon \)は\(0\)に限りなく近い値であるため、企業\(1\)の均衡需要は近似的に、\begin{equation*}\frac{2d\left[ a-\left( c+d\right) \right] }{b}
\end{equation*}と等しくなります。\(a,d>0\)かつ\(a>c+d\)であるため、\begin{equation*}\frac{2d\left[ a-\left( c+d\right) \right] }{b}>0
\end{equation*}であることに注意してください。一方、ベルトラン均衡において企業\(2\)は需要を得られないため、企業\(2\)の均衡需要は、\begin{equation*}u_{2}\left( p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) =0
\end{equation*}となります。

等しい限界費用を持つ2つの企業がベルトラン競争を行う場合、均衡において両企業の利潤はゼロになります。一方、これまでの議論から明らかになったように、限界