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ゲーム理論におけるゲームの例

技術水準が異なる企業間のクールノー競争

目次

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技術水準が異なる企業間のクールノー競争モデル

逆需要曲線が線型であるような市場において、規模に関して収穫一定かつ等しい限界費用を持つ2つの複占企業が同質財の供給量をそれぞれ決定する戦略的状況をクールノー競争と呼ばれるモデルとして整理した上で、そのようなゲームにナッシュ均衡、すなわちクールノー均衡が存在することを明らかにしました。では、2つの企業の技術水準が異なる場合、すなわち企業間で限界費用に差がある場合には何が起こるのでしょうか。その場合にもクールノー均衡は存在するでしょうか。また、クールノー均衡が存在する場合、それはどのような性質を備えているのでしょうか。

ある商品が2つの企業によってのみ供給される複占市場において、カルテルを形成せずに競争する企業が互いに商品の生産量を決定する状況を想定します。

前提として、まずはこの市場において商品の価格がどのように決まるかを記述します。市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの総供給量\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}p\left( q\right) =a-bq\geq 0
\end{equation*}という均衡価格を定めるものとします。ただし、\(a\)と\(b\)はともに正の定数です。つまり、企業\(1\)による供給量が\(q_{1}\geq 0\)、企業\(2\)による供給量が\(q_{2}\geq 0\)であるとき、市場への商品の総供給量は\(q_{1}+q_{2}\geq 0\)となりますが、それらはすべて非負の価格\begin{equation*}p\left( q_{1}+q_{2}\right) \geq 0
\end{equation*}で消費者に売却されるということです。一般に、小規模かつ数多くの生産者が参入している完全競争市場では、個々の企業が商品の供給量を変えても価格に影響を与えることはできません。一方、複占企業では商品が2つの企業によってのみ供給されるため、それぞれの企業が供給量を変化させると商品の市場価格も変化します。上のモデルはこのような事情を反映したものになっています。

仮定より、両企業が商品を市場に供給しない場合の均衡価格は、\begin{equation*}
p\left( 0\right) =a>0
\end{equation*}という正の値ですが、問題としている商品が消費者にとって価値を持つ限りにおいて、これは当然の仮定です。\(b>0\)であるため逆需要関数は狭義の単調減少関数です。つまり、総供給量\(q\)が増えるほど均衡価格\(p\left( q\right) \)が下落します。需要と供給の関係を考慮するとこれもまた当然の仮定です。また、総需要曲線は線型であるため、総供給量\(q\)が増えるにつれて均衡価格\(p\left( q\right) \)は等しい割合で下落します。加えて、総供給量\(q\)が\(\frac{a}{b}\)以上になると商品の均衡価格が\(p\left( q\right) =0\)で一定になります。消費者が消費できる量には限りがあるため、需要と供給の関係を考慮するとこれもまた当然の仮定です。

特筆すべきは、商品の均衡価格\(p\left( q_{1}+q_{2}\right) \)が2つの企業による供給量\(q_{1},q_{2}\)を変数として持っていることです。つまり、企業\(1\)は自らの供給量\(q_{1}\)を変化させることを通じて商品の価格を変化させることができますが、同時に競争相手である企業\(2\)による供給量\(q_{2}\)もまた商品の価格に影響を与えます。企業\(2\)の立場からも同様のことが言えます。つまり、それぞれの企業にとって、商品の価格は自身の行動だけでなく相手の行動によっても左右されるという意味において、プレイヤーである両企業の間には戦略的相互依存関係が成立しています。こうした事情もあり、この複占市場はゲーム理論の分析対象となります。

続いて、この市場において商品を供給する2つの企業の生産コストがどのように決まるかを記述します。企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は自身のそれぞれの生産量\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{eqnarray*}c_{1}\left( q_{1}\right) &=&\left( c-d\right) \cdot q_{1} \\
c_{2}\left( q_{2}\right) &=&\left( c+d\right) \cdot q_{2}
\end{eqnarray*}という生産費用を定めるものとします。つまり、企業\(i\)が商品を\(q_{i}\)だけ市場に供給する場合、費用が\(c_{i}\left(q_{i}\right) \)だけかかるということです。ただし、\(c,d\)は定数であり、両者の間には、\begin{equation*}c>d>0
\end{equation*}という関係が成り立つものと仮定します。企業\(i\)が商品を生産しない場合の費用は、\begin{eqnarray*}c_{1}\left( 0\right) &=&\left( c-d\right) \cdot 0=0 \\
c_{2}\left( 0\right) &=&\left( c+d\right) \cdot 0=0
\end{eqnarray*}ですが、これは両企業の固定費用が\(0\)であることを意味します。また、任意の\(q_{i}\geq 0\)において、\begin{eqnarray*}\frac{dc_{1}\left( q_{1}\right) }{dq_{1}} &=&c-d \\
\frac{dc_{2}\left( q_{2}\right) }{dq_{2}} &=&c+d
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、両企業は生産量に依存しない限界費用を持つということです。ただし、\(c>d>0\)を仮定しているため、企業\(1\)の限界費用\(c-d\)と企業\(2\)の限界費用\(c+d\)の間には、\begin{equation*}0<c-d<c+d
\end{equation*}という関係が成立します。つまり、企業\(1\)は企業\(2\)よりも商品を効率的に生産できるということです。\(d\)が大きくなるほど企業\(1\)はより効率的に、企業\(2\)はより非効率的になるため、両企業の効率性の差が大きくなります。つまり、\(d\)は両企業の技術力の差を表す指標です。

加えて、市場の逆需要曲線を規定する定数\(a\)と、非効率的な企業の限界費用\(c+d\)の間には、\begin{equation*}a>c+d
\end{equation*}という関係が成り立つものと仮定します。このとき、\begin{equation*}
p\left( \frac{a-\left( c+d\right) }{b}\right) =c+d
\end{equation*}を満たす正の実数\(\frac{a-\left( c+d\right) }{b}>0\)が存在します。つまり、企業\(2\)の限界費用\(c+d\)と市場の均衡価格が一致するような正の生産量\(\frac{a-\left( c+d\right) }{b}\)が存在するということです。一般に、完全競争市場では企業の限界費用と市場の均衡価格が一致します。したがって、上の仮定は、仮にこの市場が複占市場ではなく完全競争市場である場合においても、企業\(2\)は市場に参入し続けることが可能であることを意味します。効率的な企業\(1\)についても同様です。

逆需要関数\(p\left( q\right) \)によって特徴づけられる商品市場において、費用関数\(c_{i}\left( q_{i}\right) \)によって特徴づけられるコスト構造を持つそれぞれの企業\(i\)が自身の利潤を最大化するように供給量\(q_{i}\)を選択する状況を想定します。ただし、すでに記述したように、市場の逆需要曲線が線型であるとともに、両企業は異なる限界費用を持つものと仮定します。加えて、両企業は互いにカルテルを結ぶことはできず、両者の間には生産量に関する拘束的合意が成立しないものとします。また各企業は競争相手の生産量を観察できない状態で自身の生産量を決定しなければならない状況を想定します。

繰り返しになりますが、完全競争市場では企業が商品の市場価格を所与として意志決定を行うのに対し、複占市場には商品を供給する企業が2つしか存在せず、企業\(1,2\)が商品の供給量\(q_{1},q_{2}\)をそれぞれ選択すると市場において商品の価格が\(p\left( q_{1}+q_{2}\right) \)で均衡します。つまり、複占企業が選択する供給量に応じて商品の価格が変化し得るという意味において、複占企業は価格支配力を持ちます。ただし、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)が操作可能であるのは自身の供給量\(q_{i}\)だけであり、競争相手\(j\ \left( \not=i\right) \)の供給量\(q_{j}\)を直接操作することはできません。つまり、複占企業は市場の総供給量を完全に操作できるわけではなく、それゆえ商品の市場価格を完全に自由に操作できるわけではありません。

企業\(1,2\)がそれぞれ供給量\(q_{1},q_{2}\)を選択すると商品の価格は\(p\left( q_{1}+q_{2}\right) \)で均衡するため、企業\(1\)は収入\(p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{1}\)を得ます。その一方で、商品を\(q_{1}\)だけ供給するために企業\(1\)が負担すべき費用は\(c_{1}\left(q_{1}\right) \)であるため、生産量の組\(\left( q_{1},q_{2}\right) \)のもとで企業\(1\)が得る利潤は、収入から費用を差し引いて得られる、\begin{eqnarray*}p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{1}-c_{1}\left( q_{1}\right) &=&\left[
a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) \right] \cdot q_{1}-\left( c-d\right) \cdot
q_{1}\quad \because p,c_{1}\text{の定義} \\
&=&\left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) -\left( c-d\right) \right] \cdot q_{1}
\end{eqnarray*}となります。企業\(1\)は競争相手である企業\(2\)による生産量\(q_{2}\)を操作できないため、\(q_{2}\)の値を所与としながら自身の利潤を最大化するような生産量\(q_{1}\)を選択します。つまり、企業\(1\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(q_{2}\)の値に対して、\begin{equation*}\max_{q_{1}\geq 0}\ \left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) -\left( c-d\right) \right] \cdot q_{1}
\end{equation*}となります。同様に考えると、企業\(2\)が直面する最大化問題は、\(q_{1}\)の値を所与としながら自身の利潤を最大化するような生産量\(q_{2}\)を選択するという最大化問題\begin{equation*}\max_{q_{2}\geq 0}\ \left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) -\left( c+d\right) \right] \cdot q_{2}
\end{equation*}です。繰り返しますが、\(a,b,c,d>0\)はいずれも定数であり、\(c>d\)かつ\(a>c+d\)が成り立つものとします。このような状況において各企業はどのような意思決定を行うでしょうか。

 

完備情報の静学ゲームとしてクールノー競争

クールノー競争が想定する状況を2つの複占企業をプレイヤーとするゲームと解釈します。独占禁止法などによってカルテルが禁じられている場合には、企業の間に生産量に関する拘束的合意が成立しません。したがってクールノー競争は非協力ゲームです。さらに、2つの企業は事前に相談することはできず、各自が相手の供給量を観察できない状態で自身の供給量を決定するのであればクールノー競争は静学ゲームです。また、市場の逆需要関数、両企業の費用関数、さらに両者の目的が利潤の最大化であることなど、ゲームのルールの要素が両企業にとって共有知識であるならば、クールノー競争は完備情報の静学ゲームとして記述されます。

そこで、クールノー競争を以下のような戦略型ゲーム\(G\)としてモデル化します。まず、ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は\(I=\{1,2\}\)です。ただし、\(i\in I\)は企業\(i\)を表します。また、企業\(i\)の純粋戦略集合を\(\mathbb{R} _{+}\)と定めます。つまり、それぞれの企業\(i\)は商品の供給量として任意の非負の実数\(q_{i}\geq 0\)を選択できます。プレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)としては様々な可能性がありますが、典型的なものは利潤を利得と同一視するというものです。この場合、両企業による純粋戦略からなるそれぞれの組\(\left( q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&\left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right)
-\left( c-d\right) \right] \cdot q_{1} \\
u_{2}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&\left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right)
-\left( c+d\right) \right] \cdot q_{2}
\end{eqnarray*}を定めるということです。ただし、\(a,b,c,d>0\)はいずれも定数であり、\(c>d\)かつ\(a>c+d\)が成り立つものとします。

 

技術水準が高い企業による独占が成立するための条件

相対的に技術水準の高い企業\(1\)があたかも独占企業として振る舞った場合の独占均衡価格が、相対的に技術水準の低い企業\(2\)の限界費用\(c+d\)を下回る場合には、企業\(2\)は商品を供給すると赤字になってしまいます。したがって、この場合には企業\(2\)は商品を供給せず、企業\(1\)が市場を独占することになります。では、そのようなことは可能なのでしょうか。

企業\(1\)が独占企業として振る舞う場合に直面する最大化問題は、\begin{equation*}\max_{q_{1}\geq 0}\ \left[ a-bq_{1}-\left( c-d\right) \right] q_{1}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{q_{1}\geq 0}\ -bq_{1}^{2}+\left[ a-\left( c-d\right) \right] q_{1}
\end{equation*}となります。このとき、\begin{align*}
\frac{d\left[ -bq_{1}^{2}+\left[ a-\left( c-d\right) \right] q_{1}\right] }{dq_{1}}& =-2bq_{1}+\left[ a-\left( c-d\right) \right] \\
\frac{d^{2}\left[ -bq_{1}^{2}+\left[ a-\left( c-d\right) \right] q_{1}\right] }{dq_{1}^{2}}& =-2b<0
\end{align*}となるため、目的関数は\(q\)に関する狭義凹関数です。したがって、大域的最適のための必要十分条件より、\begin{equation*}\frac{d\left[ -bq_{1}^{2}+\left[ a-\left( c-d\right) \right] q_{1}\right] }{dq_{1}}=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
-2bq_{1}+\left[ a-\left( c-d\right) \right] =0
\end{equation*}を得ます。つまり、企業\(1\)による独占生産量を\(q^{m}\)で表すならば、これは上の条件を\(q_{1}\)について解くことで得られる、\begin{equation}q^{m}=\frac{a-\left( c-d\right) }{2b} \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。ちなみに、モデルの仮定である\(a,b,c,d>0\)かつ\(a>c+d\)より\(q^{m}>0\)です。

企業\(1\)が独占生産量\(q^{m}\)を市場に供給する場合、商品の市場価格、すなわち独占均衡価格は、\begin{eqnarray*}p\left( q^{m}\right) &=&a-bq^{m}\quad \because p\text{の定義} \\
&=&a-b\cdot \frac{a-\left( c-d\right) }{2b}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{a+\left( c-d\right) }{2}
\end{eqnarray*}となります。したがって、これが企業\(2\)の限界費用\(c+d\)を下回る場合には、すなわち、\begin{equation*}\frac{a+\left( c-d\right) }{2}<c+d
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\frac{a-c}{3}<d \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つ場合には、企業\(1\)は市場を独占できます。つまり、2つの企業の技術水準の差\(d\)が\(\left( 2\right) \)を満たすほど十分大きい場合には、相対的に技術水準の高い企業\(1\)が市場を独占し、独占価格を享受できるということです。

 

技術水準が異なる企業間でクールノー競争が行われる場合のナッシュ均衡(クールノー均衡)

2つの企業の技術水準の差\(d\)が大きい場合には、すなわち、\begin{equation*}\frac{a-c}{3}<d
\end{equation*}が成り立つ場合には、相対的に技術水準の高い企業\(1\)によって市場が独占されることが明らかになりました。一方、上の条件が成り立たない場合には、すなわち、\begin{equation*}\frac{a-c}{3}\geq d
\end{equation*}が成り立つほど2つの企業の技術水準の差\(d\)が十分小さい場合には、以下のようなクールノー均衡が存在することが保証されます。

命題(技術水準が異なる企業間のクールノー均衡)
戦略型ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は\(I=\left\{ 1,2\right\} \)であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合は\(\mathbb{R} _{+}\)であり、利得関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( q_{1},q_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&\left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right)
-\left( c-d\right) \right] \cdot q_{1} \\
u_{2}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&\left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right)
-\left( c+d\right) \right] \cdot q_{2}
\end{eqnarray*}を定めるものとする。ただし、\(a,b,c,d>0\)かつ\(a>c+d\)である。さらに、\begin{equation*}\frac{a-c}{3}\geq d
\end{equation*}が成り立つ場合、このゲーム\(G\)には狭義の純粋戦略ナッシュ均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)が存在し、それは、\begin{eqnarray*}q_{1}^{\ast } &=&\frac{a-c+3d}{3b} \\
q_{2}^{\ast } &=&\frac{a-c-3d}{3b}
\end{eqnarray*}を満たす。

証明

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クールノー均衡における生産シェアに関する比較静学

企業間の技術水準の差が十分小さい場合には、両企業の間でクールノー競争が行われるとともに、クールノー均衡\begin{equation}
\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) =\left( \frac{a-c+3d}{3b},\frac{a-c-3d}{3b}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が存在することが明らかになりました。均衡における総供給量は、\begin{eqnarray*}
q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast } &=&\frac{a-c+3d}{3b}+\frac{a-c-3d}{3b}\quad
\because \left( 1\right) \\
&=&\frac{2\left( a-c\right) }{3b}
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(d\)に依存しない値です。つまり、企業間の技術水準の差\(d\)に変化が生じても、クールノー均衡における総供給\(q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\)は変化しないということです。クールノー均衡における両企業の供給量を比較すると、\begin{eqnarray*}q_{1}^{\ast }-q_{2}^{\ast } &=&\frac{a-c+3d}{3b}-\frac{a-c-3d}{3b}\quad
\because \left( 1\right) \\
&=&\frac{6d}{3b} \\
&=&\frac{2d}{b} \\
&>&0\quad \because b,d>0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
q_{1}^{\ast }>q_{2}^{\ast }
\end{equation*}が成り立ちます。クールノー均衡では、より効率的な企業がより多くの需要を得るということです。

では、企業間の技術水準の差\(d\)の水準が変化した場合、クールノー均衡における企業間の生産シェア、すなわち\(q_{1}^{\ast }\)と\(q_{2}^{\ast }\)の大きさの割合は変化するでしょうか。そのことを調べるために、企業\(1\)の均衡生産量\(q_{1}^{\ast }\)を\(d\)について微分すると、\begin{eqnarray*}\frac{\partial q_{1}^{\ast }}{\partial d} &=&\frac{\partial }{\partial d}\left( \frac{a-c+3d}{3b}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{1}{b} \\
&>&0\quad \because b>0
\end{eqnarray*}となるため、\(q_{1}^{\ast }\)は\(d\)に関する単調増加関数です。一方、企業\(2\)の均衡生産量\(q_{2}^{\ast }\)については、\begin{eqnarray*}\frac{\partial q_{2}^{\ast }}{\partial d} &=&\frac{\partial }{\partial d}\left( \frac{a-c-3d}{3b}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&-\frac{1}{b} \\
&<&0\quad \because b>0
\end{eqnarray*}となるため、\(q_{2}^{\ast }\)は\(d\)に関する単調減少関数です。

命題(クールノー均衡における生産シェアに関する比較静学)
戦略型ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は\(I=\left\{ 1,2\right\} \)であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合は\(\mathbb{R} _{+}\)であり、利得関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( q_{1},q_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&\left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right)
-\left( c-d\right) \right] \cdot q_{1} \\
u_{2}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&\left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right)
-\left( c+d\right) \right] \cdot q_{2}
\end{eqnarray*}を定めるものとする。ただし、\(a,b,c,d>0\)かつ\(a>c+d\)である。さらに、\begin{equation*}\frac{a-c}{3}\geq d
\end{equation*}が成り立つ場合、このゲーム\(G\)には狭義の純粋戦略ナッシュ均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)が存在し、それは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }=\frac{2\left( a-c\right) }{3b} \\
&&\left( b\right) \ q_{1}^{\ast }>q_{2}^{\ast } \\
&&\left( c\right) \ \frac{\partial q_{1}^{\ast }}{\partial d}>0 \\
&&\left( d\right) \ \frac{\partial q_{2}^{\ast }}{\partial d}<0
\end{eqnarray*}を満たす。

繰り返しになりますが、モデルの仮定より企業\(1\)の限界費用は\(c-d\)であり、企業\(2\)の限界費用は\(c+d\)であるため、企業\(1\)は企業\(2\)よりも効率的です。\(d\)が大きくなるほど企業\(1\)はより効率的に、企業\(2\)はより非効率的になるため、両企業の効率性の差が大きくなります。以上を踏まえると、クールノー均衡における総供給量\(q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\)が\(d\)の水準によらず一定である中で、企業\(1\)の均衡生産量\(q_{1}^{\ast }\)が\(d\)に関する単調増加関数であることは、企業\(1\)のコスト優位の度合いが強くなるにつれて、企業\(1\)のシェアが増加することを意味します。逆に、企業\(2\)の均衡生産量\(q_{2}^{\ast }\)が\(d\)に関する単調減少関数であることは、企業\(1\)のコスト優位の度合いが強くなるにつれて、企業\(2\)のシェアが減少することを意味します。

 

クールノー均衡における利潤に関する比較静学

繰り返しになりますが、企業間の技術水準の差が十分小さい場合には、両企業の間でクールノー競争が行われるとともに、クールノー均衡\begin{equation}
\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) =\left( \frac{a-c+3d}{3b},\frac{a-c-3d}{3b}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が存在します。クールノー均衡における総供給量は、\begin{equation}
q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }=\frac{2\left( a-c\right) }{3b} \quad \cdots (2)
\end{equation}であり、これは\(d\)の水準に依らず一定です。以上を踏まえると、クールノー均衡価格は、\begin{eqnarray*}p\left( q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) &=&a-b\left( q_{1}^{\ast
}+q_{2}^{\ast }\right) \quad \because p\text{の定義} \\
&=&a-\frac{2\left( a-c\right) }{3}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\frac{a+2c}{3}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
p\left( q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) =\frac{a+2c}{3} \quad \cdots (3)
\end{equation}となり、これもまた\(d\)の水準に依らず一定です。したがって、クールノー均衡における企業\(1\)の利潤は、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) &=&\left[ p\left(
q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) -\left( c-d\right) \right] \cdot
q_{1}^{\ast }\quad \because u_{1}\text{の定義} \\
&=&\left[ \left( \frac{a+2c}{3}\right) -\left( c-d\right) \right] \cdot
q_{1}^{\ast }\quad \because \left( 3\right) \\
&=&\left( \frac{a-c+3d}{3}\right) \cdot q_{1}^{\ast } \\
&=&\frac{\left( q_{1}^{\ast }\right) ^{2}}{b}\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}であり、企業\(2\)の利潤は、\begin{eqnarray*}u_{2}\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) &=&\left[ p\left(
q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) -\left( c+d\right) \right] \cdot
q_{2}^{\ast }\quad \because u_{2}\text{の定義} \\
&=&\left[ \left( \frac{a+2c}{3}\right) -\left( c+d\right) \right] \cdot
q_{2}^{\ast }\quad \because \left( 3\right) \\
&=&\left( \frac{a-c-3d}{3}\right) \cdot q_{2}^{\ast } \\
&=&\frac{\left( q_{2}^{\ast }\right) ^{2}}{b}\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となります。

先ほど明らかになったように、企業\(1\)のコスト優位の度合いを表す\(d\)が大きくなるにつれて、クールノー均衡における企業\(1\)の生産シェアは増加増加しますが、利潤についてはどうでしょうか。それを調べるために、企業\(1\)の均衡利潤\(u_{1}\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)を\(d\)について微分すると、\begin{eqnarray*}\frac{\partial u_{1}\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) }{\partial d}
&=&\frac{\partial }{\partial d}\left[ \frac{\left( q_{2}^{\ast }\right) ^{2}}{b}\right] \\
&>&0\quad \because \frac{\partial q_{1}^{\ast }}{\partial d}>0
\end{eqnarray*}となるため、\(u_{1}\left( q_{1}^{\ast},q_{2}^{\ast }\right) \)は\(d\)に関する単調増加関数となります。つまり、企業\(1\)のコスト優位の度合いが強くなるにつれて、企業\(1\)の均衡利潤はより大きくなります。また、企業\(2\)の均衡利潤\(u_{2}\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)については、\begin{eqnarray*}\frac{\partial u_{2}\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) }{\partial d}
&=&\frac{\partial }{\partial d}\left[ \frac{\left( q_{2}^{\ast }\right) ^{2}}{b}\right] \\
&<&0\quad \because \frac{\partial q_{2}^{\ast }}{\partial d}<0
\end{eqnarray*}となるため、企業\(1\)のコスト優位の度合いが強くなるにつれて、企業\(2\)の均衡利潤はより小さくなります。

命題(クールノー均衡における利潤に関する比較静学)
戦略型ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は\(I=\left\{ 1,2\right\} \)であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合は\(\mathbb{R} _{+}\)であり、利得関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( q_{1},q_{2}\right)\in \ma