価格に関するカルテルの不安定性（カルテル破り）

2つの企業が価格に関するカルテルを形成した場合の結果

同質財が2つの企業によって供給される複占市場において企業どうしが価格に関するカルテルを形成する状況を定式化しました。特に、市場の逆需要曲線および企業の費用関数が線型であるような線型モデルにおいて生産量に関するカルテルが結ばれる場合の均衡を特定しました。簡単に復習します。

市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}p\left( q\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
a-bq & \left( if\ 0\leq q\leq \frac{a}{b}\right) \\
0 & \left( if\ q>\frac{a}{b}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この場合、市場の需要関数\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在して、それぞれの\(p\geq 0\)に対して、\begin{equation*}q\left( p\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\dfrac{a-p}{b} & \left( if\ 0\leq p\leq a\right) \\
0 & \left( if\ p>a\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。さらに、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}c_{i}\left( q\right) =cq+d
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(a,b,c,d>0\)かつ\(a>c\)です。

カルテルが価格\(p\in \mathbb{R} _{+}\)を選択した場合に得る結合利潤は、\begin{equation*}q\left( p\right) =q_{1}+q_{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\dfrac{a-p}{b}=q_{1}+q_{2}
\end{equation*}を満たす\(\left( q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を用いて、\begin{eqnarray*}p\cdot q_{1}-c_{1}\left( q_{1}\right) +p\cdot q_{2}-c_{2}\left( q_{2}\right)
&=&p\cdot \left( q_{1}+q_{2}\right) -cq_{1}-cq_{2} \\
&=&\left( p-c\right) \cdot \left( q_{1}+q_{2}\right) \\
&=&\left( p-c\right) \cdot \dfrac{a-p}{b} \\
&=&-\frac{1}{b}p^{2}+\left( \frac{a+c}{b}\right) p-\frac{ac}{b}
\end{eqnarray*}と表されるため、カルテルが解くべき結合利潤最大化問題は、\begin{equation*}
\max_{p\geq 0}\ -\frac{1}{b}p^{2}+\left( \frac{a+c}{b}\right) p-\frac{ac}{b}
\end{equation*}となります。

カルテルの結合利潤最大化問題の解に相当する価格\(p^{m}\in \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation}p^{m}=\frac{a+c}{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。モデルの仮定である\(a,b>0\)より、\begin{equation*}p^{m}>0
\end{equation*}です。カルテルの均衡数量は、\begin{eqnarray*}
q\left( p^{m}\right) &=&\dfrac{a-p^{m}}{b} \\
&=&\dfrac{a-\frac{a+c}{2}}{b}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{a-c}{2b}
\end{eqnarray*}です。以上より、カルテルにとっての最適な生産計画\(\left(q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)は、\begin{equation}q_{1}^{m}+q_{2}^{m}=\frac{a-c}{2b} \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たすことが明らかになりました。複占均衡\(\left( p^{m},q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)においてカルテルが得る結合利潤は、\begin{eqnarray*}p\left( q_{1}^{m}+q_{2}^{m}\right) \cdot \left( q_{1}^{m}+q_{2}^{m}\right)
-cq_{1}^{m}-cq_{2}^{m} &=&\left[ p\left( q_{1}^{m}+q_{2}^{m}\right) -c\right] \cdot \left( q_{1}^{m}+q_{2}^{m}\right) \\
&=&\left[ \frac{a+c}{2}-c\right] \cdot \frac{a-c}{2b} \\
&=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{4b}
\end{eqnarray*}となります。

先の条件\(\left( 2\right) \)を満たす生産計画\(\left( q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)として様々な可能性がありますが、仮に、両企業が同じ量を生産することに合意するのであれば、それは、\begin{equation*}q_{1}^{m}=q_{2}^{m}=\frac{a-c}{4b}
\end{equation*}を満たす\(\left( q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)として表現されます。この場合、利潤も二等分するのが自然であるため、この場合、個々の企業が得る利潤は、\begin{equation*}\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{8b}
\end{equation*}となります。

2つの企業がベルトラン競争を行う場合の結果

同様の市場において、同様の生産技術を持つ2つの企業が価格に関するカルテルを形成せずに、ベルトラン競争を行う場合の均衡結果を簡単に復習します。

市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}p\left( q\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
a-bq & \left( if\ 0\leq q\leq \frac{a}{b}\right) \\
0 & \left( if\ q>\frac{a}{b}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この場合、市場の需要関数\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在して、それぞれの\(p\geq 0\)に対して、\begin{equation*}q\left( p\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\dfrac{a-p}{b} & \left( if\ 0\leq p\leq a\right) \\
0 & \left( if\ p>a\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。さらに、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}c_{i}\left( q\right) =cq+d
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(a,b,c,d>0\)かつ\(a>c\)です。

価格の組\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)のもとで企業\(1\)が得る利潤は、\begin{equation*}p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) -c\left( q_{1}\left(
p_{1},p_{2}\right) \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\dfrac{\left( p_{1}-c\right) \left( a-p_{1}\right) }{b} & \left( if\
p_{1}<p_{2}\right) \\
\dfrac{\left( p_{1}-c\right) \left( a-p_{1}\right) }{2b} & \left( if\
p_{1}=p_{2}\right) \\
0 & \left( if\ p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるため、企業\(1\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(q_{2}\)に対して、\begin{equation*}\max_{p_{1}\geq 0}\ \left[ p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right)
-c\left( q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \right) \right] \end{equation*}となります。同様に、価格の組\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)のもとで企業\(2\)が得る利潤は、\begin{equation*}p_{2}\cdot q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) -c\left( q_{2}\left(
p_{1},p_{2}\right) \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ p_{1}<p_{2}\right) \\
\dfrac{\left( p_{2}-c\right) \left( a-p_{2}\right) }{2b} & \left( if\
p_{1}=p_{2}\right) \\
\dfrac{\left( p_{2}-c\right) \left( a-p_{2}\right) }{b} & \left( if\
p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であり、企業\(2\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(q_{1}\)に対して、\begin{equation*}\max_{p_{2}\geq 0}\ \left[ p_{2}\cdot q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right)
-c\left( q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) \right) \right] \end{equation*}となります。

ベルトラン競争は以下のような戦略型ゲーム\(G\)として定式化されます。まず、ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は、\begin{equation*}I=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}です。ただし、\(i\in I\)は企業\(i\)を表します。また、企業\(i\)の純粋戦略集合は、\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}\end{equation*}です。つまり、それぞれの企業\(i\)は商品の価格として任意の非負の実数\(p_{i}\geq 0\)を選択できます。企業が得る利潤を利得と同一視するのであれば、プレイヤー\(i\)の\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が両企業による純粋戦略からなるそれぞれの組\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
\dfrac{\left( p_{1}-c\right) \left( a-p_{1}\right) }{b} & \left( if\
p_{1}<p_{2}\right) \\
\dfrac{\left( p_{1}-c\right) \left( a-p_{1}\right) }{2b} & \left( if\
p_{1}=p_{2}\right) \\
0 & \left( if\ p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right. \\
u_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ p_{1}<p_{2}\right) \\
\dfrac{\left( p_{2}-c\right) \left( a-p_{2}\right) }{2b} & \left( if\
p_{1}=p_{2}\right) \\
\dfrac{\left( p_{2}-c\right) \left( a-p_{2}\right) }{b} & \left( if\
p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となります。

以上のゲーム\(G\)には広義の純粋戦略ナッシュ均衡\(\left( p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) \)が存在し、それは、\begin{equation}p_{1}^{\ast }=p_{2}^{\ast }=c \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たします。これをベルトラン均衡と呼びます。したがって、ベルトラン均衡においてそれぞれの企業\(i\in I\)が得る利潤は、\begin{eqnarray*}u_{i}\left( p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) &=&\dfrac{\left( p_{i}^{\ast
}-c\right) \left( a-p_{i}^{\ast }\right) }{2b} \\
&=&\dfrac{\left( c-c\right) \left( a-c\right) }{2b} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。

一方の企業がカルテルを破る場合の結果

同様の市場において、同様の生産技術を持つ2つの企業が価格に関するカルテルを形成したにも関わらず、すなわち、\begin{equation*}
p_{1}=p_{2}=p^{m}=\frac{a+c}{2}
\end{equation*}を遂行する約束をしたにも関わらず、企業\(1\)だけが約束を破ってベルトラン競争を行った場合の結果は以下の通りです。

つまり、企業\(2\)がカルテルを守ることを前提とする場合、企業\(1\)は約束した価格\(p^{m}\)よりもわずかに低い価格をつけてすべての需要を奪うことが最適であり、その結果、企業\(2\)は独占利潤に限りなく等しい利潤を得ます。裏切られた企業\(2\)の利潤は\(0\)です。企業\(1\)と企業\(2\)の立場を入れ替えた場合にも同様の議論が成立します。

価格に関するカルテルの不安定性

複占市場の線型モデルにおいて2つの企業が価格に関するカルテルを形成するとともに事前の約束通りに振る舞った場合、2つの企業がベルトラン競争を行った場合、一方の企業だけがカルテルを破った場合のそれぞれについて、各企業が得る利潤を求めました。得られた結果を以下の表に整理しました。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)であるとともに、\(\varepsilon \)は限りなく\(0\)に近い正の実数です。

$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\backslash 2 & カルテルを守る & カルテルを破る \\ \hline
カルテルを守る & \dfrac{\left(a-c\right) ^{2}}{8b},\dfrac{\left( a-c\right) ^{2}}{8b} & 0,\dfrac{\left(a-c\right) ^{2}}{4b}-\varepsilon \left( \dfrac{a-c}{2b}\right) \\ \hline
カルテルを破る & \dfrac{\left(a-c\right) ^{2}}{4b}-\varepsilon \left( \dfrac{a-c}{2b}\right) ,0 & 0,0
\\ \hline
\end{array}$$

左上の結果は、両企業がカルテルで取り決めた価格\(\left( p^{m},p^{m}\right) \)をそのまま提示した上で、得られた結合利潤を二等分する場合に相当します。左下の結果は、約束\(\left(p^{m},p^{m}\right) \)を遂行するようカルテルを結んだものの、企業\(1\)だけが約束を守ってベルトラン競争を行った場合に相当します。ただし、\(\varepsilon >0\)は微小量であり、これは企業\(1\)が提示する価格\(p_{1}\)がカルテル価格\(p^{m}\)と比べてどれくらい下回っているかを表す指標であり、\(\varepsilon \)が限りなく小さくなれば、すなわち企業\(1\)がカルテル価格に限りなく近い価格をつければ企業\(1\)が得る利得は独占利潤\(\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{4b}\)に限りなく近づきます。右上の結果は、逆に企業\(2\)だけが約束を破ったケースです。右下の結果は、両企業がともに約束を破り、両企業の間でベルトラン競争が行われる場合に相当します。

上の表を利得行列とする新たな戦略型ゲーム\(G\)について考えます。つまり、このゲーム\(G\)のプレイヤー集合は、\begin{equation*}I=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合は、\begin{equation*}S_{i}=\left\{ \text{カルテルを守る},\text{カルテルを破る}\right\}
\end{equation*}であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の利得関数\(u_{i}:S_{1}\times S_{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は先の表で与えられています。このゲームには以下のような支配戦略均衡が存在します。

先のゲーム\(G\)の均衡において両企業はともにベルトラン均衡利得\(0\)を得ますが、これは両企業がともにカルテルを守った場合の利得\(\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{8b}\)を下回ります。つまり、両企業はベルトラン競争を行うのではなく共謀すればより多くの利得を得られるということです。しかし、実際には、両企業がカルテルを破ることが広義の支配戦略均衡であるため、プレイヤーの行動原理として合理性の仮定と警戒心の仮定を採用する限りにおいて、両企業が実際に選択するのはカルテル破りであり、そこではベルトラン競争が行われます。

このゲーム\(G\)は囚人のジレンマと同じ構造です。プレイヤーが合理的である場合、囚人のジレンマのプレイヤーはともに支配戦略である裏切り戦略\(D\)を選び、その結果、支配戦略均衡である\(\left( D,D\right) \)が実現します。しかし、\(\left( D,D\right) \)においてそれぞれのプレイヤーが得る利得は、双方がともに協力戦略\(C\)を選んだ場合\(\left( C,C\right) \)に得る利得を下回ってしまいます。複占市場においてプレイヤーがカルテルを破ることは囚人のジレンマにおける裏切り戦略\(D\)に対応し、カルテルを守ることは協力戦略\(C\)に対応します。

複占企業が共謀しない理由

そもそも独占禁止法はカルテルを禁じているため、複占市場のプレイヤーである2つの企業は結合利潤を最大化する価格\(p^{m}\)の履行を事前に約束することはできません。

また、両企業が秘密裏に談合を行い、結合利潤を最大化する価格\(\left( p^{m},p^{m}\right) \)を遂行するよう口裏を合わせた場合にも、先に確認したように、両企業が合理的かつ警戒的である限りにおいて、両企業には約束を履行するインセンティブがありません。実際、相手企業が約束通りに行動することを前提とした場合、自分は約束を守ってベルトラン競争を行い、約束した価格よりもわずかに低い価格をつければより多くの利潤を得られるからです。つまり、両企業ともカルテルから逸脱するインセンティブがあるため、カルテルの履行はナッシュ均衡ではありません。

議論を整理しましょう。複占市場において両企業にとって効率的な結果を実現するためには結合利潤を最大化する価格\(\left(p^{m},p^{m}\right) \)を履行する必要があります。そこで、企業どうしが事前にそのような価格を提示するよう約束した場合においても、その約束はナッシュ均衡にはならず、両企業は約束した水準よりも低い価格を提示するインセンティブを持ちます。その結果、市場の均衡価格はカルテルにとって最適な価格\(p^{m}\)を下回ってしまうため、両社にとって効率的な結果が実現しません。