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ベルトラン競争とカルテル

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カルテルがもたらす利得

ベルトラン競争が行われる市場の需要曲線が線型であるとともに、両企業が一定かつ等しい限界費用を持つ場合には、以下のようなベルトラン均衡が存在することを示しました

命題(ベルトラン均衡がもたらす利得)
ベルトラン競争を表す戦略型ゲーム\(G\)において、市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q\geq 0:p\left( q\right) =a-bq
\end{equation*}を満たし、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q_{i}\geq 0:c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}
\end{equation*}を満たす。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。このゲーム\(G\)には純粋戦略ナッシュ均衡\(\left( p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) \)が存在し、\begin{equation*}
p_{1}^{\ast }=p_{2}^{\ast }=c
\end{equation*}となる。さらに、この均衡\(\left( p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) \)において両企業はそれぞれ利得\(0\)を得る。
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では、本来ベルトラン競争が行われるはずの複占市場において、両企業が競争せずにカルテルを結び、共謀してあたかも1つの独占企業として振る舞う場合、両企業はどれほどの利得を得られるのでしょうか。この場合、両企業が得る利潤の和は独占利潤と一致します。そこで、議論のベンチマークとして独占利潤を求めます。ただし、市場の需要関数(逆需要関数)や企業の費用曲線に関する仮定については、これまで採用していたものをそのまま引継ぎます。

独占企業が価格\(p\geq 0\)を提示すると市場の需要は、\begin{equation}
q\left( p\right) =\frac{a-p}{b} \quad\cdots (1)
\end{equation}で均衡するため、その場合に独占企業が得る利潤は、\begin{eqnarray*}
\left( p-c\right) \cdot q\left( p\right) &=&\left( p-c\right) \cdot \left(
\frac{a-p}{b}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&-\frac{1}{b}p^{2}+\left( \frac{a+c}{b}\right) p-\frac{ac}{b}\quad
\because p\text{について整理}
\end{eqnarray*}となります。したがって、独占企業が解くべき最大化問題は、\begin{equation*}
\max_{p\in
\mathbb{R} _{+}}\left[ -\frac{1}{b}p^{2}+\left( \frac{a+c}{b}\right) p-\frac{ac}{b}\right] \end{equation*}となります。このとき、\begin{align*}
\frac{d}{dp}\left[ -\frac{1}{b}p^{2}+\left( \frac{a+c}{b}\right) p-\frac{ac}{b}\right] & =-\frac{2}{b}p+\frac{a+c}{b} \\
\frac{d^{2}}{dp^{2}}\left[ -\frac{1}{b}p^{2}+\left( \frac{a+c}{b}\right) p-\frac{ac}{b}\right] & =-\frac{2}{b}<0
\end{align*}となるため、目的関数は\(p\)に関する狭義凹関数です。したがって、大域的最適のための必要十分条件より、\begin{equation*}
\frac{d}{dp}\left[ -\frac{1}{b}p^{2}+\left( \frac{a+c}{b}\right) p-\frac{ac}{b}\right] =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
-\frac{2}{b}p+\frac{a+c}{b}=0
\end{equation*}を得ます。つまり、独占均衡価格、すなわち独占企業にとっての最適な価格水準を\(p^{m}\)で表すならば、これは上の条件を\(p\)について解くことで得られる、\begin{equation}
p^{m}=\frac{a+c}{2} \quad\cdots (2)
\end{equation}となります。モデルの仮定より\(a,c>0\)かつ\(a>c\)であるため、このとき、\begin{equation*}
p^{m}>c
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、独占均衡価格はベルトラン均衡価格すなわち完全競争価格\(c\)を上回ります。独占均衡数量、すなわち独占均衡価格のもとでの供給量は、\begin{equation*}
q\left( p^{m}\right) =\frac{a-p^{m}}{b}=\frac{a-c}{2b}\quad \because \left(
2\right)
\end{equation*}です。以上を踏まえると、独占利潤、すなわち独占均衡において独占企業が得る利潤は、\begin{eqnarray*}
\left( p^{m}-c\right) \cdot q\left( p^{m}\right) &=&\left( \frac{a+c}{2}-c\right) \cdot \frac{a-c}{2b}\quad \because \left( 2\right) ,\left(
3\right) \\
&=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{4b}
\end{eqnarray*}となります。複占市場のプレイヤーである企業\(1,2\)がカルテルを結んだ上で独占均衡価格\(p^{m}\)をともに提示すれば、両企業が得る利得の合計は上で求めた独占均衡利潤\(\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{4b}\)と一致します。仮に両企業がこの利潤を二等分するのであれば、それぞれの企業は利潤\(\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{8b}\)を得ます。

命題(カルテルがもたらす利得)
市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q\geq 0:p\left( q\right) =a-bq
\end{equation*}を満たし、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q_{i}\geq 0:c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}
\end{equation*}を満たす。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。この市場において2つの企業\(1,2\)がカルテルを結んで独占企業として振る舞う場合、均衡価格は\(p^{m}=\frac{a+c}{2}\)となる。さらに、この均衡における両企業の利得の合計は\(\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{4b}\)となる。
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カルテル破りがもたらす利得

複占市場において両企業がカルテルを結び、両社がともに独占均衡価格\(p^{m}\)をともに提示する約束をしたにも関わらず、企業\(1\)だけが約束を破ってベルトラン競争を行った場合にはどうなるでしょうか。企業\(2\)が当初の約束にもとづいて\(p_{2}=p^{m}\)を提示することを前提としたとき、企業\(1\)はそれよりもわずかに低い価格を提示するだけですべての需要を奪うことができます。具体的には、企業\(2\)が約束\(p_{2}=p^{m}\)を守ることを前提とした場合、企業\(1\)が自身の約束\(p_{1}=p^{m}\)よりも微小量\(\varepsilon >0\)だけ低い価格\(p_{1}=p^{m}-\varepsilon \)をつけることで得られる利得すなわち利益は、\begin{eqnarray*}
u_{1}\left( p^{m}-\varepsilon ,p^{m}\right) &=&\frac{\left(
p^{m}-\varepsilon -c\right) \left( a-p^{m}\right) }{b} \\
&=&\frac{1}{b}\left( \frac{a+c}{2}-\varepsilon -c\right) \left( a-\frac{a+c}{2}\right) \quad \because p^{m}=\frac{a+c}{2} \\
&=&\frac{1}{b}\left( \frac{a-c}{2}-\varepsilon \right) \left( \frac{a-c}{2}\right) \\
&=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{4b}-\varepsilon \left( \frac{a-c}{2b}\right)
\end{eqnarray*}となります。企業\(2\)の利益は\(0\)です。特に、\(\varepsilon \rightarrow 0\)の場合の極限をとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}u_{1}\left( p^{m}-\varepsilon ,p^{m}\right)
&=&\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\left[ \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{4b}-\varepsilon \left( \frac{a-c}{2b}\right) \right] \\
&=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{4b}
\end{eqnarray*}となり、企業\(1\)の利潤は独占利潤\(\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{4b}\)に限りなく近づきます。企業\(2\)だけが約束を破る場合にも同様の議論が成立します。

命題(カルテル破りがもたらす利得)
市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q\geq 0:p\left( q\right) =a-bq
\end{equation*}を満たし、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q_{i}\geq 0:c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}
\end{equation*}を満たす。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。この市場において2つの企業\(1,2\)がカルテルを結んで独占企業として振る舞うことを約束したにも関わらず一方の企業だけがカルテルを破ってベルトラン競争を行った場合、カルテルを破った企業が得る利得は、\begin{equation*}
\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{4b}-\varepsilon \left( \frac{a-c}{2b}\right)
\end{equation*}であり、カルテルを守った企業が得る利得は\(0\)である。ただし、\(\varepsilon \)は十分小さい正の実数である。
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囚人のジレンマとしてのベルトラン競争

これまでの議論を踏まえた上で、以下の利得行列によって定義される戦略型ゲーム\(G\)について考えます。このゲーム\(G\)のプレイヤーは複占市場の参加者である企業\(1,2\)であり、それぞれの企業の純粋戦略として\(C\)と\(D\)の2つが与えられています。ただし、\(C\)はカルテルを守ること(Cooperate の C)に、\(D\)はカルテルを破ること(Defect の D)にそれぞれ対応します。

$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\backslash 2 & C & D \\ \hline
C & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{8b},\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{8b}
& 0,\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{4b}-\varepsilon \left( \frac{a-c}{2b}\right) \\ \hline
D & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{4b}-\varepsilon \left( \frac{a-c}{2b}\right) ,0 & 0,0 \\ \hline
\end{array}$$

表:利得行列

左上の結果は、両企業がカルテルを守った場合\(\left( C,C\right) \)に得られる独占利潤を二等分する場合に相当します。左下の結果は、企業\(1\)だけがカルテルを破ってベルトラン競争を行った場合\(\left( D,C\right) \)に相当します。ただし、\(\varepsilon >0\)は微小量であり、これは企業\(1\)が提示する価格\(p_{1}\)がカルテル価格\(p^{m}\)と比べてどれくらい下回っているかを表す指標であり、\(\varepsilon \)が限りなく小さくなれば、すなわち企業\(1\)がカルテル価格に限りなく近い価格をつければ企業\(1\)が得る利得は独占利潤\(\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{4b}\)に限りなく近づきます。右上の結果は、企業\(2\)だけがカルテルを破ってベルトラン競争を行った場合\(\left( C,D\right) \)に相当します。右下の結果は、両企業がベルトラン競争を行った場合\(\left( D,D\right) \)に相当します。

このゲーム\(G\)の均衡を求めましょう。上の利得行列より、企業\(1\)については、\begin{eqnarray*}
u_{1}\left( D,C\right) &>&u_{1}\left( C,C\right) \\
u_{1}\left( D,D\right) &=&u_{1}\left( C,D\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、企業\(1\)にとって純粋戦略\(D\)は弱支配純粋戦略です。企業\(2\)についても、\begin{eqnarray*}
u_{2}\left( D,C\right) &>&u_{2}\left( C,C\right) \\
u_{2}\left( D,D\right) &=&u_{2}\left( C,D\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、企業\(2\)にとっても純粋戦略\(D\)は弱支配純粋戦略です。したがって、純粋戦略の組\(\left( D,D\right) \)は弱支配純粋戦略の組であるため、これはゲーム\(G\)の弱支配戦略均衡であることが明らかになりました。したがって、プレイヤーの行動原理に関して合理性の仮定と警戒心の仮定を認める限りにおいて、両企業ともカルテルを破ってベルトラン競争を行うことが理論的に予測されます。なお、この均衡\(\left( D,D\right) \)において両企業はともに利得\(0\)を得る一方、両企業がカルテルを守る場合\(\left( C,C\right) \)には両企業が得る利得の和を最大化できます。しかし、プレイヤーの行動原理として合理性の仮定を採用する限りにおいて、つまり、それぞれの企業が自己の利得を最大化するために最善な行動を選択する場合、実現するのは両者にとって最適ではないベルトラン競争になるのです。

これは囚人のジレンマと同じ構造です。プレイヤーの目的が自己の利得の最大化である限りにおいて、囚人のジレンマのプレイヤーである2人の囚人はともに裏切り戦略である自白\(D\)を選び、そうして実現する\(\left( D,D\right) \)が支配戦略均衡になります。しかし、\(\left( D,D\right) \)においてそれぞれのプレイヤーが得る利得は、2人が協力してともに黙秘\(C\)を選んだときに実現する\(\left( C,C\right) \)において得る利得よりも小さくなってしまいます。複占市場においてベルトラン競争を行うことは囚人のジレンマにおける自白\(D\)に対応し、複占市場において共謀することは囚人のジレンマにおける黙秘\(C\)に対応します。

 

複占企業が共謀しない理由

そもそも独占禁止法はカルテルを禁じているため、複占市場のプレイヤーである企業\(1,2\)は、両社の利得の和を最大化するような価格の組\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)、すなわち両社が独占均衡価格\(p^{m}\)と一致するような価格付け\(p_{1}=p_{2}=p^{m}\)の履行を事前に約束することは許されていません。また、両企業が秘密裏に談合を行い、\(p_{1}=p_{2}=p^{m}\)を満たすような\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)を遂行するよう口裏を合わせた場合にも、それぞれの企業の行動指針が自己の利得の最大化である限りにおいて、両企業ともその約束を履行するインセンティブを持ちません。実際、相手企業がカルテル通りに行動するかどうかに関わらず、自分は約束を破ってベルトラン競争を行ったほうが、約束を守る場合以上の利益を常に獲得できるからです。つまり、両企業ともカルテルから逸脱するインセンティブがあるため、カルテルは最適反応の組になっていません。

議論を整理しましょう。複占市場において両企業にとって効率的な結果を実現するためには、\(p_{1}=p_{2}=p^{m}\)を満たすような価格の組\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)を履行する必要があります。そこで企業どうしが事前にそのような条件を満たす価格を設定するよう約束した場合においても、その約束は均衡にはならず、両企業は約束した水準よりも低い価格を提示するインセンティブを持ちます。その結果、市場の均衡価格は独占均衡価格\(p^{m}\)を下回るため、両社にとって効率的な結果が実現しません。

次回は~について解説します。

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