ベルトラン均衡の導出

ベルトラン競争における純戦略ナッシュ均衡をベルトラン均衡と呼びます。ここでは標準的なベルトラン競争におけるベルトラン均衡を導出します。
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ベルトラン均衡

ベルトラン競争における純ナッシュ均衡をベルトラン均衡(Bertrand Equilibrium)と呼びます。以下では、前回解説したシンプルなベルトラン競争のモデル(市場の需要曲線が線型であるとともに、両企業が一定かつ等しい限界費用を持つ)におけるベルトラン均衡を導出します。

ベルトラン競争について復習する

モデルの復習です。ベルトラン競争を以下のような戦略型ゲーム\(G\)として定式化します。まず、ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は\(I=\{1,2\}\)です。ただし、\(i\in I\)は複占企業\(i\)を表します。また、企業\(i\)の純戦略集合を\(S_{i}=\mathbb{R} _{+}\)と定めます。つまり、それぞれの企業\(i\)は商品の価格として任意の非負の実数\(p_{i}\geq 0\)を選択できます。プレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}\left( p_{1},p_{2}\right) \)としては様々な可能性がありますが、典型的なものは利潤を利得と同一視するというものです。両企業は生産した商品をすべて市場に供給するのであれば、企業\(1\)の利得関数\(u_{1}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{\left( p_{1}-c\right) \left( a-p_{1}\right) }{b} & \left( if\quad p_{1}<p_{2}\right) \\ \frac{\left( p_{1}-c\right) \left( a-p_{1}\right) }{2b} & \left( if\quad p_{1}=p_{2}\right) \\ 0 & \left( if\quad p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定め、企業\(2\)の利得関数\(u_{2}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)は、それぞれの\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\quad p_{1}<p_{2}\right) \\ \frac{\left( p_{2}-c\right) \left( a-p_{2}\right) }{2b} & \left( if\quad p_{1}=p_{2}\right) \\ \frac{\left( p_{2}-c\right) \left( a-p_{2}\right) }{2} & \left( if\quad p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。ただし、\(a,b,c>0\)はいずれも定数であり、\(a>c\)が成り立つものとします。

 

ベルトラン均衡の導出

企業は限界費用を下回る価格で商品を供給すると赤字になってしまいます。したがって、ベルトラン競争において両企業が提示し得る価格は限界費用以上であると考えられます。また、両企業が限界費用を上回る同一の価格を提示する場合、両企業は市場の需要を二等分することになってしまいますが、相手企業よりも少しでも低い価格を提示した企業は市場の需要をすべて奪うことがことができます。したがって、それぞれの企業は相手企業よりも低い価格を提示する動機があります。このような値下げは限界費用に到達するまで可能であることを考えると、ベルトラン競争においては、両企業が限界費用に一致する価格を提示するという純戦略の組\(\left( p_{1},p_{2}\right) =\left( c,c\right) \)がナッシュ均衡になりそうです。以上が直感的な考察ですが、これを以下で厳密に示します。

問題としている純戦略の組\(\left( p_{1},p_{2}\right) =\left( c,c\right) \)において企業\(i\ \left( =1,2\right) \)が得る利得は、\begin{equation*}
u_{i}\left( c,c\right) =\frac{\left( c-c\right) \left( a-c\right) }{2b}=0
\end{equation*}です。企業\(2\)が\(p_{2}=c\)を提示することを前提としたとき、企業\(1\)は\(c\)から逸脱してそれよりも少しでも低い価格\(p_{1}\ \left( <c\right) \)を提示すれば市場の需要をすべて奪うことができますが、そのときに企業\(1\)が得る利潤は、\begin{equation*}
u_{1}\left( p_{1},c\right) =\frac{\left( p_{1}-c\right) \left( a-p_{1}\right) }{b}<0
\end{equation*}となり、これは逸脱前の利得\(0\)を下回ります。つまり、\(p_{1}<c\)を満たす任意の\(p_{1}\)は\(p_{2}=c\)に対する純最適反応ではありません。また、企業\(1\)が\(c\)よりも少しでも高い価格\(p_{1}\ \left( >c\right) \)を提示すれば、企業\(2\)に市場の需要をすべて奪われてしまうため、そのときに企業\(1\)が得る利潤は、\begin{equation*}
u_{1}\left( p_{1},c\right) =0
\end{equation*}となり、これは逸脱前の利得\(0\)と同水準です。以上の議論より、\(p_{1}=c\)は\(p_{2}=c\)に対する純最適反応であることが示されました。同様の議論により、\(p_{2}=c\)が\(p_{1}=c\)に対する純最適反応であることが示されます。したがって、\(\left( p_{1},p_{2}\right) =\left( c,c\right) \)は純最適反応の組であるため、これは純ナッシュ均衡です。

ベルトラン競争にはこれ以外の純ナッシュ均衡は存在しません。そのことを示すためには、\(p_{1}=p_{2}\not=c\)を満たす任意の\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)が純ナッシュ均衡ではないこと、さらに、\(p_{1}\not=p_{2}\)を満たす任意の\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)が純ナッシュ均衡ではないことを示す必要がありますが、この証明は演習問題とします。

命題(ベルトラン均衡)

ベルトラン競争を表す戦略型ゲーム\(G\)において、市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q\geq 0:p\left( q\right) =a-bq
\end{equation*}を満たし、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q_{i}\geq 0:c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}
\end{equation*}を満たす。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。このゲーム\(G\)には純ナッシュ均衡\(\left( p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) \)が存在し、\begin{equation*}
p_{1}^{\ast }=p_{2}^{\ast }=c
\end{equation*}となる。

証明を見る(プレミアム会員限定)

モデルの仮定より\(c>0\)であることから、\(p_{1}^{\ast }=p_{2}^{\ast }>0\)が成り立ちます。つまり、ベルトラン均衡において両企業はともに限界費用に等しい価格を提示します。

次回はベルトラン・パラドクスについて学びます。

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