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ベルトラン均衡の効率性(ベルトランのパラドクス)

目次

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ベルトラン均衡における社会的余剰

逆需要曲線が線型であるような市場において、規模に関して収穫一定の技術を持つ2つの複占企業が同質財の価格をそれぞれ決定する戦略的状況をベルトラン競争と呼ばれるモデルとして整理した上で、そのようなゲームにナッシュ均衡が存在することを明らかにしました

モデルの復習です。市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は総供給量\(q\geq 0\)に対して以下の均衡価格\begin{equation*}p\left( q\right) =a-bq\geq 0
\end{equation*}を定めるものとします。また、それぞれの企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は自身の供給量\(q_{i}\in \mathbb{R} _{+}\)に対して以下の費用\begin{equation*}c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)です。このような市場において両企業がベルトラン競争を行う場合、その戦略的状況は以下のような戦略型ゲーム\(G\)として表されるとともに、以下のようなナッシュ均衡存在します。ちなみに、ベルトラン競争におけるナッシュ均衡をベルトラン均衡と呼びます。

命題(ベルトラン均衡)

戦略型ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は\(I=\left\{ 1,2\right\} \)であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略は\(\mathbb{R} _{+}\)であり、利得関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{\left( p_{1}-c\right) \left( a-p_{1}\right) }{b} & \left( if\
p_{1}<p_{2}\right) \\
\frac{\left( p_{1}-c\right) \left( a-p_{1}\right) }{2b} & \left( if\
p_{1}=p_{2}\right) \\
0 & \left( if\ p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right. \\
u_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ p_{1}<p_{2}\right) \\
\frac{\left( p_{2}-c\right) \left( a-p_{2}\right) }{2b} & \left( if\
p_{1}=p_{2}\right) \\
\frac{\left( p_{2}-c\right) \left( a-p_{2}\right) }{2} & \left( if\
p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を定めるものとする。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。このゲーム\(G\)には広義の純粋戦略ナッシュ均衡\(\left( p_{1}^{\ast},p_{2}^{\ast }\right) \)が存在し、\begin{equation*}p_{1}^{\ast }=p_{2}^{\ast }=c
\end{equation*}となる。しかも、これは唯一の広義の純粋戦略ナッシュ均衡である。

では、ベルトラン均衡がもたらす結果はどの程度効率的なのでしょうか。効率性の尺度として社会的余剰を採用します。繰り返しになりますが、ベルトラン均衡\(\left( p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) \)は、\begin{equation*}p_{1}^{\ast }=p_{2}^{\ast }=c
\end{equation*}であり、ベルトラン均衡において両企業は限界費用\(c\)と一致する価格を提示します。これは何を意味するのでしょうか。一般に、市場において完全競争が行われる場合には均衡において商品の価格と企業の限界費用と一致するとともに、その均衡において社会的余剰が最大化されます。したがって、ベルトラン均衡においても社会的余剰が最大化されます。以上がベルトラン均衡の定性的な解釈ですが、この解釈が妥当であることを確認するために、まずは、ベルトラン均衡において達成される社会的余剰を計算します。

命題(ベルトラン均衡における社会的余剰)
市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は総供給量\(q\in \mathbb{R} _{+}\)に対して以下の均衡価格\begin{equation*}p\left( q\right) =a-bq
\end{equation*}を定めるものとする。また、それぞれの企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は自身の供給量\(q_{i}\in \mathbb{R} _{+}\)に対して以下の費用\begin{equation*}c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。以上の市場においてベルトラン競争が行われる場合、ベルトラン均衡において、\begin{eqnarray*}PS &=&0 \\
CS &=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b} \\
TS &=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}
\end{eqnarray*}となる。ただし、PSは生産者余剰、CSは消費者余剰、TSは総余剰(社会的余剰)である。

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完全競争均衡における社会的余剰

ベルトラン均衡において達成される社会的余剰が明らかになりました。では、同様の市場において、同様の費用関数を持つ多数の企業が競争を行う場合の社会的余剰はどうなるでしょうか。つまり、完全競争市場を想定するということです。

完全競争市場の理論により、完全競争均衡において市場の均衡価格は企業の限界費用と一致するとともに、その均衡において社会的余剰は最大化されます。

命題(完全競争均衡における社会的余剰)
市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は総供給量\(q\geq 0\)に対して以下の均衡価格\begin{equation*}p\left( q\right) =a-bq\geq 0
\end{equation*}を定めるものとする。また、それぞれの企業\(i\)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は自身の供給量\(q_{i}\in \mathbb{R} _{+}\)に対して以下の費用\begin{equation*}c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。以上の市場において完全競争市場が行われる場合、完全競争均衡において、\begin{eqnarray*}PS &=&0 \\
CS &=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b} \\
TS &=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}
\end{eqnarray*}となる。ただし、PSは生産者余剰、CSは消費者余剰、TSは総余剰(社会的余剰)である。

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ベルトラン均衡は社会的に効率的(ベルトランのパラドクス)

繰り返しになりますが、ベルトラン競争が行われる複占市場の均衡価格\(p_{1}^{\ast }\ \left( =p_{2}^{\ast}\right) \)と完全競争価格\(c\)の間には、\begin{equation*}p_{1}^{\ast }=p_{2}^{\ast }=c
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、ベルトラン競争が行われる場合の均衡価格は完全競争市場の均衡価格と一致します。通常、複占市場や寡占市場においてカルテルが形成される場合には死荷重が発生するため社会的余剰が最大化されません。しかし、複占市場においてベルトラン競争が行われる場合には社会的余剰が最大化されます。

$$\begin{array}{cccc}\hline
& PS & CS & TS \\ \hline
完全競争均衡 & 0 & \frac{\left(a-c\right) ^{2}}{2b} & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b} \\ \hline
ベルトラン均衡 & 0 & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b} & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b} \\ \hline\end{array}$$

表:完全競争均衡とベルトラン均衡の比較

そのことを定量的に確認するために、それぞれの場合における生産者余剰、消費者余剰、社会的余剰を求めました。得られた結果を整理したものが上の表です。完全競争均衡における社会的余剰とベルトラン均衡における社会的均衡はともに\(\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}\)で一致するため、ベルトラン均衡では死荷重が発生しません。

繰り返しになりますが、複占市場においてベルトラン競争すなわち価格競争が行われる場合には、完全競争市場と同様に、市場の均衡価格は限界費用と一致するため、ベルトラン均衡において社会的余剰は最大化されます。不完全競争市場であっても、そこでベルトラン競争が行われる場合には完全競争市場と同様の結論が得られるという現象を指してベルトランのパラドクス(Bertrand paradox)と呼びます。

ベルトランのパラドクスは現実の経済を上手く描写できているでしょうか。ベルトランのパラドクスによると、ある商品が1つの企業によって独占的に供給されている状態から、1つの企業だけが加わり2企業間で価格競争が行われるようになると、商品の市場価格は独占価格から完全競争市場価格(限界費用)にまで急速に下落します。しかし、いくつかの実証研究が示すように、また私たちが日常において感じるように、現実の経済においては、複占市場や寡占市場において企業は限界費用を上回る価格をつけ、正の利潤を獲得しているようです。

ベルトランのパラドクスが現実の経済と整合的ではないことの原因としてしばしば指摘されるのは、議論の前提となっているベルトラン競争のモデルが単純化されすぎているという点です。今回の分析では、線型の逆需要曲線によって表される市場において、一定かつ等しい限界費用を持つ2つの企業が価格競争を行う状況を想定しました。また、それぞれの企業は、競争相手が提示する価格を観察できない状態で、自身の販売価格を1回だけ提示する状況を想定しました。こうした条件を緩めることにより、ベルトランのパラドクスが解消されることを示す研究は数多く存在します。これらの研究については、場を改めて紹介します。

次回はベルトラン競争とカルテルの関係について分析した上で、ベルトラン競争が囚人のジレンマにおける均衡としての側面を持つことを指摘します。

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ベルトラン競争(ベルトラン均衡)

同質財を供給する複占市場における企業間の価格競争をモデル化したゲームをベルトラン競争と呼び、ベルトラン競争におけるナッシュ均衡をベルトラン均衡と呼びます。

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