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ベルトランのパラドクス

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ベルトラン均衡における社会的余剰

ベルトラン競争が行われる市場の需要曲線が線型であるとともに、両企業が一定かつ等しい限界費用を持つ場合には、以下のようなベルトラン均衡が存在することを示しました

命題(ベルトラン均衡)

ベルトラン競争を表す戦略型ゲーム\(G\)において、市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q\geq 0:p\left( q\right) =a-bq
\end{equation*}を満たし、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q_{i}\geq 0:c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}
\end{equation*}を満たす。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。このゲーム\(G\)には純粋戦略ナッシュ均衡\(\left( p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) \)が存在し、\begin{equation*}
p_{1}^{\ast }=p_{2}^{\ast }=c
\end{equation*}となる。

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以上の結果を踏まえた上で、ベルトラン均衡における社会的余剰を求めます。繰り返しになりますが、ベルトラン均衡\(\left( p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) \)は、\begin{equation*}
p_{1}^{\ast }=p_{2}^{\ast }=c
\end{equation*}です。ベルトラン均衡において両企業は限界費用\(c\)と一致する等しい価格を提示しているため、市場の均衡価格もまた\(c\)で一致し、そこにおける市場の需要\begin{equation*}
q\left( c\right) =a-bc
\end{equation*}を両企業を二等分します。その結果、ベルトラン均衡\(\left( p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) \)において企業\(1\)が得る利得すなわち利潤は、\begin{eqnarray*}
u_{1}\left( p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) &=&\frac{\left( p_{2}^{\ast
}-c\right) \left( a-p_{2}^{\ast }\right) }{2b}\quad \because u_{1}\text{の定義} \\
&=&\frac{\left( c-c\right) \left( a-p_{2}^{\ast }\right) }{2b}\quad \because
p_{2}^{\ast }=c \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。企業\(2\)についても同様に、\begin{equation*}
u_{2}\left( p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) =0
\end{equation*}となります。したがって、ベルトラン均衡\(\left( p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) \)における生産者余剰は、\begin{equation*}
u_{1}\left( p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) +u_{2}\left( p_{1}^{\ast
},p_{2}^{\ast }\right) =0
\end{equation*}となります。

図:ベルトラン均衡
図:ベルトラン均衡

ベルトラン均衡\(\left( p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) \)における消費者余剰は上図中の CS(Consumer Surplus)に相当するため、\begin{equation*}
\frac{1}{2}\cdot \left( a-c\right) \cdot \left( \frac{a-c}{b}\right) =\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}
\end{equation*}となります。以上を踏まえると、ベルトラン均衡\(\left( p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) \)における社会的余剰(生産者余剰+消費者余剰)は、\begin{equation*}
0+\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}=\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}
\end{equation*}となります。

命題(ベルトラン均衡における社会的余剰)
ベルトラン競争を表す戦略型ゲーム\(G\)において、市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q\geq 0:p\left( q\right) =a-bq
\end{equation*}を満たし、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q_{i}\geq 0:c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}
\end{equation*}を満たす。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。このゲーム\(G\)には純粋戦略ナッシュ均衡\(\left( p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) \)が存在し、\begin{equation*}
p_{1}^{\ast }=p_{2}^{\ast }=c
\end{equation*}となる。さらに、そこでの生産者余剰は\(0\)、消費者余剰は\(\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}\)、社会的余剰は\(\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}\)となる。
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完全競争均衡における社会的余剰

線型の逆需要曲線によって表される市場において、一定かつ等しい限界費用を持つ2つの企業がクールノー競争を行う場合の社会的余剰を求めましたが、同様の市場において同様の費用関数を持つ多数の企業が競争する場合にはどうなるでしょうか。つまり、完全競争市場を想定するということです。完全競争市場の理論により、完全競争均衡において市場の均衡価格は企業の限界費用と一致するとともに、その均衡において社会的余剰は最大化されます。具体的には、完全競争均衡における市場の総供給量を\(q^{\ast }\)で表すとき、そこでの均衡価格は、\begin{equation}
p\left( q^{\ast }\right) =c \quad\cdots (1)
\end{equation}を満たすため、完全競争均衡においてそれぞれの企業\(i\)が得る利得すなわち利潤は、\begin{eqnarray*}
u_{i}\left( q^{\ast }\right) &=&\left[ p\left( q^{\ast }\right) -c\right] \cdot q_{i}^{\ast }\quad \because u_{i}\text{の定義} \\
&=&\left( c-c\right) \cdot q_{i}^{\ast }\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。任意の企業について同様の議論が成り立つため、完全競争均衡における生産者余剰は\(0\)です。

図:ベルトラン均衡
図:完全競争均衡

一方、完全競争均衡における生産者余剰は上図中の\(CS\) に相当するため、それは、\begin{equation*}
\frac{1}{2}\cdot \left( a-c\right) \cdot \left( \frac{a-c}{b}\right) =\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}
\end{equation*}となります。以上を踏まえると、完全競争均衡における社会的余剰(生産者余剰+消費者余剰)は、\begin{equation*}
0+\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}=\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}
\end{equation*}となります。

命題(完全競争均衡における社会的余剰)
市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q\geq 0:p\left( q\right) =a-bq
\end{equation*}を満たし、任意の企業\(i\)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q_{i}\geq 0:c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}
\end{equation*}を満たす。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。この市場が完全競争市場であるならば、すなわちすべての企業が限界費用\(c\)で商品を供給するならば、そこでの生産者余剰は\(0\)、消費者余剰は\(\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}\)、社会的余剰は\(\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}\)となる。
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ベルトランのパラドクス

通常、独占市場では死荷重が発生しますし、複占市場や寡占市場においてカルテルが形成される場合にも死荷重が発生します。また、以前に分析したように、複占市場においてクールノー競争が行われる場合には、均衡価格は完全競争市場の均衡である限界費用を上回るため、そこでも死荷重が発生し社会的余剰は最大化されません。以上が不完全競争市場における一般的な見方です。

一方、今回明らかになったように、複占市場においてベルトラン競争すなわち価格競争が行われる場合には、完全競争市場と同様に、市場の均衡価格は限界費用と一致するため、ベルトラン均衡においても社会的余剰は最大化されます。不完全競争市場であっても、そこでベルトラン競争が行われる場合には完全競争市場と同様の結論が得られるという現象を指してベルトランのパラドクス(Bertrand paradox)と呼びます。

ベルトランのパラドクスは現実の経済を上手く描写できているでしょうか。ベルトランのパラドクスによると、ある商品が1つの企業によって独占的に供給されている状態から、1つの企業だけが加わり2企業間で価格競争が行われるようになると、商品の市場価格は独占価格から完全競争市場価格(限界費用)にまで急速に下落します。しかし、いくつかの実証研究が示すように、また私たちが日常において感じるように、現実の経済においては、複占市場や寡占市場において企業は限界費用を上回る価格をつけ、正の利潤を獲得しているようです。

ベルトランのパラドクスが現実の経済と整合的ではないことの原因としてしばしば指摘されるのは、議論の前提となっているベルトラン競争のモデルが単純化されすぎているという点です。今回の分析では、線型の逆需要曲線によって表される市場において、一定かつ等しい限界費用を持つ2つの企業が価格競争を行う状況を想定しました。また、それぞれの企業は、競争相手が提示する価格を観察できない状態で、自身の販売価格を1回だけ提示する状況を想定しました。こうした条件を緩めることにより、ベルトランのパラドクスが解消されることを示す研究は数多く存在します。これらの研究については、場を改めて紹介します。

次回はベルトラン競争とカルテルの関係について分析した上で、ベルトラン競争が囚人のジレンマにおける均衡としての側面を持つことを指摘します。

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