ベルトラン均衡における社会的余剰
同質財が2つの企業によって供給される複占市場において企業どうしが価格競争を行う状況をベルトラン競争と呼ばれるモデルとして定式化しました。特に、市場の逆需要曲線（需要曲線）および企業の費用関数が線型であるような線型モデルにおいてベルトラン競争が行われる状況を完備情報の静学ゲームとして定式化するとともに、そこでのナッシュ均衡を求めました。簡単に復習します。
市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}p\left( q\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
a-bq & \left( if\ 0\leq q\leq \frac{a}{b}\right) \\
0 & \left( if\ q>\frac{a}{b}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}定めるものとします。この場合、市場の需要関数\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在して、それぞれの\(p\geq 0\)に対して、\begin{equation*}q\left( p\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\dfrac{a-p}{b} & \left( if\ 0\leq p\leq a\right) \\
0 & \left( if\ p>a\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。さらに、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}c_{i}\left( q_{i}\right) =cq_{i}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)です。価格の組\(\left(p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)のもとで企業\(1\)が得る利潤は、\begin{equation*}p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) -c_{i}\left( q_{1}\left(
p_{1},p_{2}\right) \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{\left( p_{1}-c\right) \left( a-p_{1}\right) }{b} & \left( if\
p_{1}<p_{2}\right) \\
\frac{\left( p_{1}-c\right) \left( a-p_{1}\right) }{2b} & \left( if\
p_{1}=p_{2}\right) \\
0 & \left( if\ p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であり、企業\(2\)が得る利潤は、\begin{equation*}p_{2}\cdot q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) -c_{i}\left( q_{2}\left(
p_{1},p_{2}\right) \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ p_{1}<p_{2}\right) \\
\frac{\left( p_{2}-c\right) \left( a-p_{2}\right) }{2b} & \left( if\
p_{1}=p_{2}\right) \\
\frac{\left( p_{2}-c\right) \left( a-p_{2}\right) }{b} & \left( if\
p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。ただし、\(q_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は価格の組\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)のもとで企業\(i\)が得る需要\(q_{i}\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} \)を特定する関数です。したがって、企業\(1\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(p_{2}\)に対して、\begin{equation*}\max_{p_{1}\geq 0}\ \left[ p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right)
-c_{1}\left( q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \right) \right]
\end{equation*}となり、企業\(2\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(p_{1}\)に対して、\begin{equation*}\max_{p_{2}\geq 0}\ \left[ p_{2}\cdot q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right)
-c_{1}\left( q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) \right) \right]
\end{equation*}となります。
ベルトラン競争は以下のような戦略型ゲーム\(G\)として定式化されます。まず、ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は、\begin{equation*}I=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}です。ただし、\(i\in I\)は企業\(i\)を表します。また、企業\(i\)の純粋戦略集合は、\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}\end{equation*}です。つまり、それぞれの企業\(i\)は商品の価格として任意の非負の実数\(p_{i}\geq 0\)を選択できます。企業が得る利潤を利得と同一視するのであれば、プレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が両企業による純粋戦略からなるそれぞれの組\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{\left( p_{1}-c\right) \left( a-p_{1}\right) }{b} & \left( if\
p_{1}<p_{2}\right) \\
\frac{\left( p_{1}-c\right) \left( a-p_{1}\right) }{2b} & \left( if\
p_{1}=p_{2}\right) \\
0 & \left( if\ p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right. \\
u_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ p_{1}<p_{2}\right) \\
\frac{\left( p_{2}-c\right) \left( a-p_{2}\right) }{2b} & \left( if\
p_{1}=p_{2}\right) \\
\frac{\left( p_{2}-c\right) \left( a-p_{2}\right) }{b} & \left( if\
p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となります。このゲーム\(G\)には広義の純粋戦略ナッシュ均衡\(\left(p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) \)が存在し、それは、\begin{equation*}p_{1}^{\ast }=p_{2}^{\ast }=c
\end{equation*}を満たします。これをベルトラン均衡と呼びます。
では、クールノー均衡がもたらす結果はどの程度効率的なのでしょうか。効率性の尺度として社会的余剰を採用します。ベルトラン均衡\(\left( p_{1}^{\ast},p_{2}^{\ast }\right) \)は、\begin{equation*}p_{1}^{\ast }=p_{2}^{\ast }=c
\end{equation*}を満たします。つまり、ベルトラン均衡において両企業は限界費用\(c\)と一致する価格を提示します。これは何を意味するのでしょうか。一般に、市場において完全競争が行われる場合には均衡において商品の価格と企業の限界費用と一致するとともに、その均衡において社会的余剰が最大化されます。したがって、ベルトラン均衡においても社会的余剰が最大化されます。以上がベルトラン均衡の定性的な解釈ですが、この解釈が妥当であることを定量的に確認するために、まずは、ベルトラン均衡において達成される社会的余剰を計算します。
\begin{array}{cl}
a-bq & \left( if\ 0\leq q\leq \frac{a}{b}\right) \\
0 & \left( if\ q>\frac{a}{b}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定め、市場の需要関数\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(p\geq 0\)に対して、\begin{equation*}q\left( p\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\dfrac{a-p}{b} & \left( if\ 0\leq p\leq a\right) \\
0 & \left( if\ p>a\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定め、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}c_{i}\left( q_{i}\right) =cq_{i}
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。以上の市場においてベルトラン競争が行われる場合、ベルトラン均衡において、\begin{eqnarray*}PS &=&0 \\
CS &=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b} \\
TS &=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}
\end{eqnarray*}となる。ただし、PSは生産者余剰、CSは消費者余剰、TSは総余剰（社会的余剰）である。
カルテルが形成される場合の社会的余剰
ベルトラン均衡において達成される社会的余剰が明らかになりました。では、同様の市場において、同様の費用関数を持つ2つの企業が価格に関するカルテルを結び、なおかつ事前の約束通りに行動した場合の社会的余剰はどうなるでしょうか。
先と同様に、市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}p\left( q\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
a-bq & \left( if\ 0\leq q\leq \frac{a}{b}\right) \\
0 & \left( if\ q>\frac{a}{b}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定め、市場の需要関数\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(p\geq 0\)に対して、\begin{equation*}q\left( p\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\dfrac{a-p}{b} & \left( if\ 0\leq p\leq a\right) \\
0 & \left( if\ p>a\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定め、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}c_{i}\left( q_{i}\right) =cq_{i}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)です。先とは異なり、両企業はカルテルを形成するとともに、カルテルにおいて決定した合意には拘束力があるするものとします。カルテルは2つの企業が得る利潤の合計、すなわち結合利潤を最大化するような価格\(p\)を選択するものとします。
カルテルが価格\(p\)に関する合意を形成する場合に直面する結合利潤は、\begin{equation*}q\left( p\right) =q_{1}+q_{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\dfrac{a-p}{b}=q_{1}+q_{2}
\end{equation*}を満たす\(\left( q_{1},q_{2}\right) \)を用いて、\begin{eqnarray*}p\cdot q_{1}-c_{1}\left( q_{1}\right) +p\cdot q_{2}-c_{2}\left( q_{2}\right)
&=&p\cdot \left( q_{1}+q_{2}\right) -cq_{1}-cq_{2} \\
&=&\left( p-c\right) \cdot \left( q_{1}+q_{2}\right) \\
&=&\left( p-c\right) \cdot \dfrac{a-p}{b} \\
&=&-\frac{1}{b}p^{2}+\left( \frac{a+c}{b}\right) p-\frac{ac}{b}
\end{eqnarray*}と表されるため、カルテルが解くべき結合利潤最大化問題は、\begin{equation*}
\max_{p\geq 0}\ -\frac{1}{b}p^{2}+\left( \frac{a+c}{b}\right) p-\frac{ac}{b}
\end{equation*}となります。
以上の問題の解\(p^{m}\)における社会的余剰は以下の通りです。
\begin{array}{cl}
a-bq & \left( if\ 0\leq q\leq \frac{a}{b}\right) \\
0 & \left( if\ q>\frac{a}{b}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定め、市場の需要関数\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(p\geq 0\)に対して、\begin{equation*}q\left( p\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\dfrac{a-p}{b} & \left( if\ 0\leq p\leq a\right) \\
0 & \left( if\ p>a\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定め、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}c_{i}\left( q_{i}\right) =cq_{i}
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。以上の市場において価格に関するカルテルが形成される場合、均衡において、\begin{eqnarray*}PS &=&0 \\
CS &=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b} \\
TS &=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}
\end{eqnarray*}となる。ただし、PSは生産者余剰、CSは消費者余剰、TSは総余剰（社会的余剰）である。
完全競争均衡における社会的余剰
ベルトラン均衡やカルテルのもとで達成される社会的余剰が明らかになりました。では、同様の市場において、同様の費用関数を持つ多数の企業が競争を行う場合の社会的余剰はどうなるでしょうか。つまり、完全競争市場を想定するということです。
完全競争市場における社会的余剰は以下の通りです。
\begin{array}{cl}
a-bq & \left( if\ 0\leq q\leq \frac{a}{b}\right) \\
0 & \left( if\ q>\frac{a}{b}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定め、市場の需要関数\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(p\geq 0\)に対して、\begin{equation*}q\left( p\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\dfrac{a-p}{b} & \left( if\ 0\leq p\leq a\right) \\
0 & \left( if\ p>a\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定め、企業の費用関数\(c:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}c\left( q\right) =cq
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。以上の市場において完全競争が行われる場合、均衡において、\begin{eqnarray*}PS &=&0 \\
CS &=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b} \\
TS &=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}
\end{eqnarray*}となる。ただし、PSは生産者余剰、CSは消費者余剰、TSは総余剰（社会的余剰）である。
ベルトラン均衡の社会的効率性（ベルトランのパラドクス）
これまでの議論から得られた結果を以下の表にまとめました。
$$\begin{array}{cccc}
\hline
& PS & CS & TS \\ \hline
完全競争 & 0 & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}
& \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b} \\ \hline
ベルトラン競争 & 0 & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b} & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b} \\ \hline
カルテル & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{4b} & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{8b} & \frac{3\left( a-c\right) ^{2}}{8b} \\
\hline
\end{array}$$
それぞれのケースにおける社会的余剰どうしを比較すると、\begin{equation*}
\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}=\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}>\frac{3\left( a-c\right) ^{2}}{8b}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\text{完全競争における}TS=\text{ベルトラン競争における}TS>\text{カルテルにおける}TS
\end{equation*}を得ます。
ベルトラン競争のもとで実現する資源配分は完全競争の場合と同様に効率的であることが明らかになりました。複占市場においてベルトラン競争すなわち価格競争が行われる場合には、完全競争市場と同様に、市場の均衡価格は限界費用と一致するため、ベルトラン均衡において社会的余剰は最大化されます。不完全競争市場であっても、そこでベルトラン競争が行われる場合には完全競争市場と同様の結論が得られるという現象を指してベルトランのパラドクス（Bertrand paradox）と呼びます。
その一方で、ベルトラン競争のもとで実現する資源配分はカルテルの場合よりも社会的に効率的であることが明らかになりました。カルテルは2つの企業があたかも1つの独占企業として振るまう状況に相当する一方でベルトラン競争では2つの企業が競争を行うため、ベルトラン競争が行われる場合にはカルテルの場合と比べて死荷重が減少します。しかも、先に確認したように、ベルトラン競争がもたらす結果は完全競争の場合と同様です。
ベルトランのパラドクスは現実の経済を上手く描写できているでしょうか。ベルトランのパラドクスによると、ある商品が1つの企業（もしくはカルテル）によって独占的に供給されている状態から、1つの企業だけが加わり2企業間で価格競争が行われるようになると、商品の市場価格は独占価格から完全競争市場価格（限界費用）にまで急速に下落します。しかし、いくつかの実証研究が示すように、また私たちが日常的に経験しているように、現実の経済においては、複占市場や寡占市場において企業は限界費用を上回る価格をつけ、正の利潤を獲得しています。
ベルトランのパラドクスが現実の経済と整合的ではないことの原因としてしばしば指摘されるのは、議論の前提となっているベルトラン競争のモデルが単純化されすぎているという点です。今回の分析では、線型の逆需要曲線によって表される市場において、一定かつ等しい限界費用を持つ2つの企業が価格競争を行う状況を想定しました。また、それぞれの企業は、競争相手が提示する価格を観察できない状態で、自身の販売価格を1回だけ提示する状況を想定しました。こうした条件を緩めることにより、ベルトランのパラドクスが解消されることを示す研究は数多く存在します。これらの研究については場を改めて紹介します。
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