生産量に関するカルテルの不安定性（カルテル破り）

2つの企業が生産量に関するカルテルを形成した場合の結果

同質財が2つの企業によって供給される複占市場において企業どうしが生産量に関するカルテルを形成する状況を定式化しました。特に、市場の逆需要曲線および企業の費用関数が線型であるような線型モデルにおいて生産量に関するカルテルが結ばれる場合の均衡を特定しました。簡単に復習します。

市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}p\left( q\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
a-bq & \left( if\ 0\leq q\leq \frac{a}{b}\right) \\
0 & \left( if\ q>\frac{a}{b}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるとともに、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}c_{i}\left( q_{i}\right) =cq_{i}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)です。カルテルが生産計画\(\left( q_{1},q_{2}\right) \)を実行した場合に得る結合利潤は、\begin{eqnarray*}&&p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{1}-c_{1}\left( q_{1}\right) +p\left(
q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{2}-c_{2}\left( q_{2}\right) \\
&=&p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot \left( q_{1}+q_{2}\right) -c_{1}\left(
q_{1}\right) -c_{2}\left( q_{2}\right) \\
&=&\left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) \right] \cdot \left(
q_{1}+q_{2}\right) -cq_{1}-cq_{2} \\
&=&-b\left( q_{1}+q_{2}\right) ^{2}+\left( a-c\right) \left(
q_{1}+q_{2}\right)
\end{eqnarray*}であるため、カルテルが解くべき結合利潤最大化問題は、\begin{equation*}
\max_{\left( q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}}\ -b\left( q_{1}+q_{2}\right) ^{2}+\left( a-c\right) \left(
q_{1}+q_{2}\right)
\end{equation*}となります。

カルテルの結合利潤最大化問題の解に相当する複占数量\(\left(q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)は以下の条件\begin{equation}q_{1}^{m}+q_{2}^{m}=\frac{a-c}{2b} \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たします。モデルの仮定である\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)より、\begin{equation*}q_{1}^{m}+q_{2}^{m}>0
\end{equation*}です。条件\(\left( 1\right) \)を満たす生産計画\(\left(q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)として様々な可能性がありますが、仮に、両企業が同じ量を生産することに合意するのであれば、それは、\begin{equation*}q_{1}^{m}=q_{2}^{m}=\frac{a-c}{4b}
\end{equation*}を満たす\(\left( q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)として表現されます。

複占市場の均衡価格は、\begin{eqnarray*}
p^{m} &=&p\left( q_{1}^{m}+q_{2}^{m}\right) \\
&=&a-b\left( q_{1}^{m}+q_{2}^{m}\right) \quad \because p\left( q\right) =a-bq
\\
&=&a-b\cdot \frac{a-c}{2b}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{a+c}{2}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
p^{m}=\frac{a+c}{2}
\end{equation*}であり、複占均衡\(\left(p^{m},q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)においてカルテルが得る結合利潤は、\begin{eqnarray*}p\left( q_{1}^{m}+q_{2}^{m}\right) \cdot \left( q_{1}^{m}+q_{2}^{m}\right)
-cq_{1}^{m}-cq_{2}^{m} &=&\left[ p\left( q_{1}^{m}+q_{2}^{m}\right) -c\right] \cdot \left( q_{1}^{m}+q_{2}^{m}\right) \\
&=&\left[ \frac{a+c}{2}-c\right] \cdot \frac{a-c}{2b} \\
&=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{4b}
\end{eqnarray*}となります。特に、2つの企業の間で需要を等分する先の生産計画のもとでは利潤も二等分するのが自然であるため、この場合、個々の企業が得る利潤は、\begin{equation*}
\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{8b}
\end{equation*}となります。

2つの企業がクールノー競争を行う場合の結果

同様の市場において、同様の生産技術を持つ2つの企業が生産量に関するカルテルを形成せずに、クールノー競争を行う場合の均衡結果を簡単に復習します。

市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}p\left( q\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
a-bq & \left( if\ 0\leq q\leq \frac{a}{b}\right) \\
0 & \left( if\ q>\frac{a}{b}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるとともに、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}c_{i}\left( q_{i}\right) =cq_{i}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)です。生産量の組\(\left(q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)のもとで企業\(1\)が得る利潤は、\begin{eqnarray*}p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{1}-c_{1}\left( q_{1}\right) &=&\left[
a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) \right] q_{1}-cq_{1} \\
&=&\left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) -c\right] \cdot q_{1}
\end{eqnarray*}であるため、企業\(1\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(q_{2}\)に対して、\begin{equation*}\max_{q_{1}\geq 0}\ \left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) -c\right] \cdot q_{1}
\end{equation*}となります。同様に、企業\(2\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(q_{1}\)に対して、\begin{equation*}\max_{q_{2}\geq 0}\ \left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) -c\right] \cdot q_{2}
\end{equation*}となります。

クールノー競争は以下のような戦略型ゲーム\(G\)として定式化されます。まず、ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は、\begin{equation*}I=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}です。ただし、\(i\in I\)は企業\(i\)を表します。また、企業\(i\)の純粋戦略集合は、\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}\end{equation*}です。つまり、それぞれの企業\(i\)は商品の供給量として任意の非負の実数\(q_{i}\geq 0\)を選択できます。企業が得る利潤を利得と同一視するのであれば、プレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が両企業による純粋戦略からなるそれぞれの組\(\left( q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&\left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) -c\right] \cdot q_{1} \\
u_{2}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&\left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) -c\right] \cdot q_{2}
\end{eqnarray*}となります。

以上のゲーム\(G\)には狭義の純粋戦略ナッシュ均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)が存在し、それは、\begin{equation}q_{1}^{\ast }=q_{2}^{\ast }=\frac{a-c}{3b}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たします。これをクールノー均衡と呼びます。

クールの均衡において、商品の市場均衡価格は、\begin{eqnarray*}
p\left( q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) &=&p\left( \frac{2\left(
a-c\right) }{3b}\right) \\
&=&a-b\cdot \frac{2\left( a-c\right) }{3b}\quad \because p\left( q\right)
=a-bq \\
&=&\frac{a+2c}{3}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
p\left( q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) =\frac{a+2c}{3} \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。したがって、クールノー均衡においてそれぞれの企業\(i\in I\)が得る利潤は、\begin{eqnarray*}u_{i}\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) &=&\left[ p\left(
q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) -c\right] \cdot q_{i}^{\ast }\quad
\because u_{i}\text{の定義} \\
&=&\left( \frac{a+2c}{3}-c\right) \cdot \frac{a-c}{3b}\quad \because \left(
1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{9b}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
u_{i}\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) =\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{9b}
\end{equation*}となります。

一方の企業がカルテルを破る場合の結果

同様の市場において、同様の生産技術を持つ2つの企業が生産量に関するカルテルを形成したにも関わらず、すなわち、\begin{equation*}
q_{1}^{m}=q_{2}^{m}=\frac{a-c}{4b}
\end{equation*}を満たす生産計画\(\left(q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)を遂行する約束をしたにも関わらず、企業\(1\)だけが約束を破ってクールノー競争を行った場合の結果は以下の通りです。

企業\(1\)と企業\(2\)の立場を入れ替えた場合にも同様の議論が成立します。

生産量に関するカルテルの不安定性

複占市場の線型モデルにおいて2つの企業がカルテルを形成するとともに事前の約束通りに振る舞った場合、2つの企業がクールノー競争を行った場合、一方の企業だけがカルテルを破った場合のそれぞれについて、各企業が得る利潤を求めました。得られた結果を以下の表に整理しました。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)です。

$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\backslash 2 & カルテルを守る & カルテルを破る \\ \hline
カルテルを守る & \dfrac{\left(a-c\right) ^{2}}{8b},\dfrac{\left( a-c\right) ^{2}}{8b} & \dfrac{3\left(a-c\right) ^{2}}{32b},\dfrac{9\left( a-c\right) ^{2}}{64b} \\ \hline
カルテルを破る & \dfrac{9\left(a-c\right) ^{2}}{64b},\dfrac{3\left( a-c\right) ^{2}}{32b} & \dfrac{\left(a-c\right) ^{2}}{9b},\dfrac{\left( a-c\right) ^{2}}{9b} \\ \hline
\end{array}$$

左上の結果は、両企業がカルテルで取り決めた生産量\(q_{1}^{m}=q_{2}^{m}=\frac{a-c}{4b}\)通りに生産を行い、得られた結合利潤を二等分する場合に相当します。左下の結果は、約束\(\left(q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)を遂行するようカルテルを結んだものの、企業\(1\)だけが約束を破ってクールノー競争を行った場合に相当します。右上の結果は、逆に企業\(2\)だけが約束を破ったケースです。右下の結果は、両企業がともに約束を破り、両企業の間でクールノー競争が行われる場合に相当します。

上の表を利得行列とする新たな戦略型ゲーム\(G\)について考えます。つまり、このゲーム\(G\)のプレイヤーは、\begin{equation*}I=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合は、\begin{equation*}S_{i}=\left\{ \text{カルテルを守る},\text{カルテルを破る}\right\}
\end{equation*}であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の利得関数\(u_{i}:S_{1}\times S_{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は先の表で与えられています。このゲームには以下のような支配戦略均衡が存在します。

先のゲーム\(G\)の均衡において両企業はともにクールノー均衡利得\(\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{9b}\)を得ますが、これは両企業がともにカルテルを守った場合の利得\(\frac{\left(a-c\right) ^{2}}{8b}\)を下回ります。つまり、両企業はクールノー競争を行うのではなく共謀すればより多くの利得を得られるということです。しかし、実際には、両企業がカルテルを破ることが狭義の支配戦略均衡であるため、プレイヤーの行動原理として合理性の仮定を採用する限りにおいて、両企業が実際に選択するのはカルテル破りであり、そこではクールノー競争が行われます。

このゲーム\(G\)は囚人のジレンマと同じ構造です。プレイヤーが合理的である場合、囚人のジレンマのプレイヤーはともに支配戦略である裏切り戦略\(D\)を選び、その結果、支配戦略均衡である\(\left( D,D\right) \)が実現します。しかし、\(\left( D,D\right) \)においてそれぞれのプレイヤーが得る利得は、双方がともに協力戦略\(C\)を選んだ場合\(\left( C,C\right) \)に得る利得を下回ってしまいます。複占市場においてプレイヤーがカルテルを破ることは囚人のジレンマにおける裏切り戦略\(D\)に対応し、カルテルを守ることは協力戦略\(C\)に対応します。

複占企業が共謀しない理由

そもそも独占禁止法はカルテルを禁じているため、複占市場のプレイヤーである2つの企業は結合利潤を最大化する生産計画\(\left( q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)の履行を事前に約束することはできません。

また、両企業が秘密裏に談合を行い、結合利潤を最大化する生産計画\(\left( q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)を遂行するよう口裏を合わせた場合にも、先に確認したように、両企業が合理的である限りにおいて、両企業には約束を履行するインセンティブがありません。実際、相手企業が約束通りに行動することを前提とした場合、自分は約束を守ってクールノー競争を行い、約束した生産量よりも多くを生産すればより多くの利得が得られるからです。つまり、両企業ともカルテルから逸脱するインセンティブがあるため、カルテルの履行はナッシュ均衡ではありません。

議論を整理しましょう。複占市場において両企業にとって効率的な結果を実現するためには結合利潤を最大化する生産計画\(\left( q_{1}^{m},q_{2}^{m}\right) \)を履行する必要があります。そこで、企業どうしが事前にそのような生産計画を履行するよう約束した場合においても、その約束はナッシュ均衡にはならず、両企業は約束した水準を上回る数量を生産するインセンティブを持ちます。その結果、両企業の生産量の和はカルテルにとって最適な数量\(q_{1}^{m}+q_{2}^{m}\)を超過してしまうため、市場の均衡価格はカルテルにとって最適な価格\(p^{m}\)を下回り、両社にとって効率的な結果が実現しません。