クールノー競争における純戦略ナッシュ均衡をクールノー均衡と呼びます。ここでは標準的なクールノー競争におけるクールノー均衡を導出します。

クールノー均衡

クールノー競争における純ナッシュ均衡をクールノー均衡(Cournot Equilibrium)と呼びます。以下では、前回解説したシンプルなクールノー競争のモデル(市場の逆需要曲線が線型であるとともに、両企業が一定かつ等しい限界費用を持つ)におけるクールノー均衡を導出します。

クールノー競争について復習する 純ナッシュ均衡について復習する

モデルの復習です。クールノー競争を以下のような戦略型ゲーム\(G\)として定式化します。まず、ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は\(I=\{1,2\}\)です。ただし、\(i\in I\)は複占企業\(i\)を表します。また、企業\(i\)の純戦略集合を\(S_{i}=\mathbb{R} _{+}\)と定めます。つまり、それぞれの企業\(i\)は商品の生産量として任意の非負の実数\(q_{i}\geq 0\)を選択できます。プレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}\left( q_{1},q_{2}\right) \)としては様々な可能性がありますが、典型的なものは利潤を利得と同一視するというものです。両企業は生産した商品をすべて市場に供給するのであれば、純戦略の組\(\left( q_{1},q_{2}\right) \)のもとでの市場の総供給量は\(q_{1}+q_{2}\)となるため、企業\(1\)の利得関数\(u_{1}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)は、\begin{align*}
u_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) & =\left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) \right] \cdot q_{1}-c\cdot q_{1} \\
& =\left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) -c\right] \cdot q_{1}
\end{align*}となり、企業\(2\)の利得関数\(u_{2}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)は、\begin{align*}
u_{2}\left( q_{1},q_{2}\right) & =\left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) \right] \cdot q_{2}-c\cdot q_{2} \\
& =\left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) -c\right] \cdot q_{2}
\end{align*}となります。ただし、\(a,b,c>0\)はいずれも定数であり、\(a>c\)が成り立つものとします。

戦略型ゲームについて復習する

 

クールノー均衡の導出

まず、企業\(2\)の純戦略である生産量\(q_{2}\geq 0\)を所与とするとき、それに対する企業\(1\)の純最適反応は、\(q_{2}\)の水準を所与としたときの以下の最大化問題\begin{equation*}
\max_{q_{1}\in \mathbb{R} _{+}}u_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) =\max_{q_{1}\in \mathbb{R} _{+}}\left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) -c\right] \cdot q_{1}
\end{equation*}の解です。目的関数を変数\(q_{1}\)について整理すると、\begin{equation*}
u_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) =-bq_{1}^{2}+\left( a-bq_{2}-c\right) q_{1}
\end{equation*}となります。このとき、\begin{align*}
& \frac{\partial u_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) }{\partial q_{1}}=-2bq_{1}+a-bq_{2}-c \\
& \frac{\partial ^{2}u_{2}\left( q_{1},q_{2}\right) }{\partial q_{1}^{2}}=-2b<0 \end{align*}となるため、\(u_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) \)は\(q_{1}\)に関する狭義凹関数です。したがって、大域的最適化のための十分条件より、\begin{equation*} \frac{\partial u_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) }{\partial q_{1}}=0 \end{equation*}すなわち、\begin{equation*} -2bq_{1}+a-bq_{2}-c=0 \end{equation*}すなわち、\begin{equation} q_{1}=\frac{a-bq_{2}-c}{2b} \tag{1} \end{equation}が先の最大化問題の一意的な解となります。つまり、それぞれの\(q_{2}\)に対するプレイヤー\(1\)の純最適反応\(q_{1}\)は\(\left( 1\right) \)として定まります。 同様に考えると、企業\(1\)の純戦略であるそれぞれの生産量\(q_{1}\geq 0\)に対するプレイヤー\(2\)の純最適反応\(q_{2}\)は、\begin{equation} q_{2}=\frac{a-bq_{1}-c}{2b} \tag{2} \end{equation}となります。 純戦略の組\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)が純ナッシュ均衡であるならば、これは純最適反応の組であるため、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{eqnarray*} q_{1}^{\ast } &=&\frac{a-bq_{2}^{\ast }-c}{2b} \\ q_{2}^{\ast } &=&\frac{a-bq_{1}^{\ast }-c}{2b} \end{eqnarray*}がともに成り立つはずです。そこでこれを解くと、\begin{equation*} q_{1}^{\ast }=q_{2}^{\ast }=\frac{a-c}{3b} \end{equation*}を得ます。結果を命題としてまとめておきます。

命題(クールノー均衡)
クールノー競争を表す戦略型ゲーム\(G\)には純ナッシュ均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)が存在し、それは、\begin{equation*} q_{1}^{\ast }=q_{2}^{\ast }=\frac{a-c}{3b} \end{equation*}を満たす。

モデルの仮定より\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)であることから、\(q_{1}^{\ast }=q_{2}^{\ast }=\frac{a-c}{3b}>0\)が成り立つことに注意してください。つまり、クールノー均衡において両企業はともに正の量の商品を生産します。

 

クールノー競争を強く支配される戦略の逐次消去で解く

クールノー競争を表すゲーム\(G\)には純戦略均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)が存在し、それは、\begin{equation}
q_{1}^{\ast }=q_{2}^{\ast }=\frac{a-c}{3b} \tag{1}
\end{equation}を満たすことを示しましたが、実は、このゲーム\(G\)は強く支配される戦略の逐次消去によって解くこともできます。一般に、強く支配される逐次消去によって一意的な純戦略の組が導かれるとき、それは純ナッシュ均衡と一致するため、クールノー競争を表すゲーム\(G\)を強く支配される逐次消去によって解くことで得られる解はクールノー均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)と一致するはずです。以下で確認しましょう。

強く支配される戦略の逐次消去について復習する

プレイヤー\(1\)の純最適反応を\(b_{1}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R}\)で表すとき、前節の議論より、これはプレイヤー\(2\)のそれぞれの生産量\(q_{2}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}
b_{1}\left( q_{2}\right) =\frac{a-bq_{2}-c}{2b}
\end{equation*}を定めます。また、プレイヤー\(1\)の純最適反応を\(b_{2}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R}\)で表すとき、やはり前節の議論より、これはプレイヤー\(1\)のそれぞれの生産量\(q_{1}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}
b_{2}\left( q_{1}\right) =\frac{a-bq_{1}-c}{2b}
\end{equation*}を定めます。この関係を以下に図示しました。

図:純最適反応関数
図:強く支配される戦略の逐次消去の第1期

上図より、\(q_{2}\)が変化するときに\(b_{1}\left( q_{2}\right) \)が取り得る値の範囲は\(\left[ 0,\frac{a-c}{2b}\right] \)ですので、純戦略\(q_{1}=\frac{a-c}{2b}\)はそれより大きい任意の数量を強く支配します。したがってプレイヤー\(1\)の純戦略集合から\(\frac{a-c}{2b}\)より大きい任意の値を消去できます。プレイヤー\(2\)についても同様に考えると、プレイヤー\(2\)の純戦略集合から\(\frac{a-c}{2b}\)より大きい任意の値を消去できます。消去後に残った 2 人の純戦略の組が上図のグレーの領域で表されています。

図:純最適反応関数
図:強く支配される戦略の逐次消去の第2期

新たに得られたゲームにおいて、\(q_{2}\)が変化するときに\(b_{1}\left( q_{2}\right) \)が取り得る値の範囲は\(\left[ \frac{a-c}{4b},\frac{a-c}{2b}\right] \)ですので、純戦略\(q_{1}=\frac{a-c}{4b}\)はそれより小さい任意の数量を強く支配します。したがってプレイヤー\(1\)の純戦略集合から\(\frac{a-c}{4b}\)より小さい任意の値を消去できます。プレイヤー\(2\)についても同様に考えると、プレイヤー\(2\)の純戦略集合から\(\frac{a-c}{4b}\)より小さい任意の値を消去できます。消去後に残った 2 人の純戦略の組が上図のグレーの領域で表されています。

同様のプロセスを繰り返すと、最終的に両者には純戦略\(\frac{a-c}{3b}\)だけが残ります。したがってこのゲーム\(G\)は強く支配される戦略の逐次消去によって解くことができて、最終的に得られる解は\(q_{1}=q_{2}=\frac{a-c}{3b}\)を満たす純戦略の組\(\left( q_{1},q_{2}\right) \)であり、これは先に求めたクールノー均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)と一致します。結果をまとめておきます。

命題(支配される戦略の逐次消去によるクールノー競争の解)
クールノー競争を表す戦略型ゲーム\(G\)は強く支配される戦略の逐次消去によって解くことができる。さらにその解は、クールノー均衡\begin{equation*}
q_{1}^{\ast }=q_{2}^{\ast }=\frac{a-c}{3b}
\end{equation*}と一致する。

次回はクールノー均衡がどのような性質を持つのか、その均衡分析を行います。

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