クールノー均衡は社会的に非効率的

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クールノー均衡における社会的余剰

クールノー競争が行われる市場の逆需要曲線が線型であるとともに、両企業が一定かつ等しい限界費用を持つ場合には、以下のようなクールノー均衡が存在することを示しました。

命題(クールノー均衡)
クールノー競争を表す戦略型ゲーム\(G\)において、市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q\geq 0:p\left( q\right) =a-bq
\end{equation*}を満たし、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q_{i}\geq 0:c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}
\end{equation*}を満たす。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。このゲーム\(G\)には純ナッシュ均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)が存在し、\begin{equation*}
q_{1}^{\ast }=q_{2}^{\ast }=\frac{a-c}{3b}
\end{equation*}となる。

したがって、クールノー均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)における均衡価格は、\begin{eqnarray*}
p\left( q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) &=&p\left( \frac{2\left( a-c\right) }{3b}\right) \\
&=&a-b\cdot \frac{2\left( a-c\right) }{3b} \\
&=&a-\frac{2\left( a-c\right) }{3} \\
&=&\frac{a+2c}{3}
\end{eqnarray*}となります。このとき、\begin{eqnarray*}
p\left( q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) -c &=&\frac{a+2c}{3}-c \\
&=&\frac{a-c}{3} \\
&>&0\quad \because a>c
\end{eqnarray*}すなわち\(p\left( q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) >c\)が成り立ちます。

クールノー均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)において企業\(1\)が得る利得すなわち利潤は、\begin{eqnarray*}
u_{1}\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) &=&p\left( q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) \cdot q_{1}^{\ast }-cq_{1}^{\ast } \\
&=&\left[ p\left( q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) -c\right] \cdot q_{1}^{\ast } \\
&=&\left( \frac{a+2c}{3}-c\right) \cdot \frac{a-c}{3b} \\
&=&\frac{a-c}{3}\cdot \frac{a-c}{3b} \\
&=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{9b}
\end{eqnarray*}となります。企業\(2\)についても同様に、\begin{equation*}
u_{2}\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) =\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{9b}
\end{equation*}となります。したがって、クールノー均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)における生産者余剰は、\begin{equation*}
u_{1}\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) +u_{2}\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) =\frac{2\left( a-c\right) ^{2}}{9b}
\end{equation*}であり、これは下図中の \(PS\)(Producer Surplus)に相当します。

図:クールノー均衡における総余剰
図:クールノー均衡における総余剰

クールノー均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)における消費者余剰は上図中の \(CS\)(Consumer Surplus)に相当するため、\begin{equation*}
\left( \frac{a+2c}{3}-c\right) \cdot \frac{2\left( a-c\right) }{3b}=\frac{2\left( a-c\right) ^{2}}{9b}
\end{equation*}となります。したがって、クールノー均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)における社会的余剰(生産者余剰+消費者余剰)は、\begin{equation*}
\frac{2\left( a-c\right) ^{2}}{9b}+\frac{2\left( a-c\right) ^{2}}{9b}=\frac{4\left( a-c\right) ^{2}}{9b}
\end{equation*}となります。

命題(クールノー均衡における社会的余剰)
クールノー競争を表す戦略型ゲーム\(G\)において、市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q\geq 0:p\left( q\right) =a-bq
\end{equation*}を満たし、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q_{i}\geq 0:c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}
\end{equation*}を満たす。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。このゲーム\(G\)には純ナッシュ均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)が存在し、そこでの生産者余剰は\(\frac{2\left( a-c\right) ^{2}}{9b}\)、消費者余剰は\(\frac{2\left( a-c\right) ^{2}}{3b}\)、社会的余剰は\(\frac{4\left( a-c\right) ^{2}}{9b}\)となる。

 

完全競争均衡における社会的余剰

これまでは線型の逆需要曲線によって表される市場において、一定かつ等しい限界費用を持つ 2 つの企業が競争する状況を想定しました。このような市場においてこれまでと同様の費用関数を持つ多数の企業が競争する場合には、すなわち完全競争市場を想定するのであれば、完全競争市場の理論により、この市場の均衡価格は企業の限界費用と一致し、そのとき社会的余剰は最大化されます。

完全競争均衡において企業の利潤は\(0\)になります。つまり、完全競争均衡における企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の供給量を\(q_{i}^{\ast \ast }\)で表すと、そこでの均衡価格は\(p\left( q_{1}^{\ast \ast }+q_{2}^{\ast \ast }\right) =c\)となるため、完全競争均衡\(\left( q_{1}^{\ast \ast },q_{2}^{\ast \ast }\right) \)において企業\(1\)が得る利潤は、\begin{eqnarray*}
u_{1}\left( q_{1}^{\ast \ast },q_{2}^{\ast \ast }\right) &=&\left[ p\left( q_{1}^{\ast \ast }+q_{2}^{\ast \ast }\right) -c\right] \cdot q_{1}^{\ast \ast } \\
&=&\left[ c-c\right] \cdot q_{1}^{\ast } \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。企業\(2\)についても同様です。

図:クールノー競争がもたらす死荷重
図:クールノー競争がもたらす死荷重

一方、完全競争均衡\(\left( q_{1}^{\ast \ast },q_{2}^{\ast \ast }\right) \)における生産者余剰は上図中の \(CS\)に相当するため、\begin{equation*}
\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}
\end{equation*}となります。

命題(完全競争均衡における社会的余剰)
市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q\geq 0:p\left( q\right) =a-bq
\end{equation*}を満たし、任意の企業\(i\)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q_{i}\geq 0:c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}
\end{equation*}を満たす。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。この市場が完全競争市場であるならば、すなわちすべての企業が限界費用\(c\)で財を供給するならば、そこでの生産者余剰は\(0\)、消費者余剰は\(\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}\)、社会的余剰は\(\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}\)となる。

 

クールノー均衡は社会的に非効率的

繰り返しになりますが、クールノー競争が行われる複占市場の均衡価格\(p\left( q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) \)と完全競争価格\(c\)の間には、\begin{equation*}
p\left( q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) >c
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、クールノー競争が行われる場合の均衡価格は完全競争市場の均衡と一致しません。したがって、問題としている市場が完全競争的ではなく、そこでクールノー競争が行われる複占市場である場合には、社会的余剰が最大化されないことを意味します。

$$\begin{array}{cccc}
\hline
& 生産者余剰 & 消費者余剰 & 社会的余剰 \\ \hline
完全競争均衡 & 0 & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b} & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b} \\ \hline
クールノー均衡 & \frac{2\left( a-c\right) ^{2}}{9b} & \frac{2\left( a-c\right) ^{2}}{9b} & \frac{4\left( a-c\right) ^{2}}{9b} \\ \hline
\end{array}$$

表:完全競争均衡とクールノー均衡の比較

この結果は社会的余剰を比較することによっても確かめることができます。完全競争均衡における社会的余剰は\(\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}\)、クールノー均衡における社会的余剰は\(\frac{4\left( a-c\right) ^{2}}{9b}\)ですが、両者を比較すると、\begin{equation*}
\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}-\frac{4\left( a-c\right) ^{2}}{9b}=\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{18b}
\end{equation*}となりますが\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)よりこれは正です。両者の差\(\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{18b}\)は死荷重に他なりません。この死荷重は下図において\(DWL\)(Dead Weight Loss)として表されています。

図:クールノー競争がもたらす死荷重
図:クールノー競争がもたらす死荷重

つまり、クールノー競争が行われるとき社会的余剰は最大化されず死荷重が発生します。結果をまとめます。

命題(クールノー均衡は社会的に非効率的)
クールノー競争を表す戦略型ゲーム\(G\)において、市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q\geq 0:p\left( q\right) =a-bq
\end{equation*}を満たし、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q_{i}\geq 0:c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}
\end{equation*}を満たす。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。このゲーム\(G\)のクールノー均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)において死荷重\(\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{18b}\ \left( >0\right) \)が発生する。

次回はクールノー競争が囚人のジレンマと同様の構造を持つことを解説します。

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