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クールノー均衡の非効率性

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クールノー均衡における社会的余剰

クールノー競争が行われる市場の逆需要曲線が線型であるとともに、両企業が一定かつ等しい限界費用を持つ場合には、以下のようなクールノー均衡が存在することを示しました。

命題(クールノー均衡)

クールノー競争を表す戦略型ゲーム\(G\)において、市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q\geq 0:p\left( q\right) =a-bq
\end{equation*}を満たし、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q_{i}\geq 0:c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}
\end{equation*}を満たす。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。このゲーム\(G\)には純粋戦略ナッシュ均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)が存在し、\begin{equation*}
q_{1}^{\ast }=q_{2}^{\ast }=\frac{a-c}{3b}
\end{equation*}となる。

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以上の結果を踏まえた上で、クールノー均衡における社会的余剰を求めます。繰り返しになりますが、クールノー均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)は、\begin{equation}
q_{1}^{\ast }=q_{2}^{\ast }=\frac{a-c}{3b} \quad\cdots (1)
\end{equation}です。クールノー均衡において、問題としている商品の市場価格は、\begin{eqnarray*}
p\left( q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) &=&p\left( \frac{2\left(
a-c\right) }{3b}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&a-b\cdot \frac{2\left( a-c\right) }{3b}\quad \because p\text{の定義} \\
&=&a-\frac{2\left( a-c\right) }{3} \\
&=&\frac{a+2c}{3}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
p\left( q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) =\frac{a+2c}{3} \quad\cdots (2)
\end{equation}で均衡します。このとき、\begin{eqnarray*}
p\left( q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) -c &=&\frac{a+2c}{3}-c \\
&=&\frac{a-c}{3} \\
&>&0\quad \because a>c
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
p\left( q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) >c
\end{equation*}が成り立ちます。クールノー均衡における商品の均衡価格は企業の限界費用を上回るため、クールノー均衡において両企業は正の利潤を得るということです。具体的には、クールノー均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)において企業\(1\)が得る利得すなわち利潤は、\begin{eqnarray*}
u_{1}\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) &=&p\left( q_{1}^{\ast
}+q_{2}^{\ast }\right) \cdot q_{1}^{\ast }-cq_{1}^{\ast }\quad \because u_{1}\text{の定義} \\
&=&\left[ p\left( q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) -c\right] \cdot
q_{1}^{\ast } \\
&=&\left( \frac{a+2c}{3}-c\right) \cdot \frac{a-c}{3b}\quad \because \left(
1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\frac{a-c}{3}\cdot \frac{a-c}{3b} \\
&=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{9b}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
u_{1}\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) =\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{9b}
\end{equation*}となります。\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)よりこれは正です。企業\(2\)についても同様に、\begin{equation*}
u_{2}\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) =\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{9b}
\end{equation*}となります。したがって、クールノー均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)における生産者余剰は、\begin{equation*}
u_{1}\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) +u_{2}\left( q_{1}^{\ast
},q_{2}^{\ast }\right) =\frac{2\left( a-c\right) ^{2}}{9b}
\end{equation*}であり、これは下図中の PS(Producer Surplus)に相当します。

図:クールノー均衡
図:クールノー均衡

クールノー均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)における消費者余剰は上図中の CS(Consumer Surplus)に相当するため、\begin{equation*}
\left( \frac{a+2c}{3}-c\right) \cdot \frac{2\left( a-c\right) }{3b}=\frac{2\left( a-c\right) ^{2}}{9b}
\end{equation*}となります。以上を踏まえると、クールノー均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)における社会的余剰(生産者余剰+消費者余剰)は、\begin{equation*}
\frac{2\left( a-c\right) ^{2}}{9b}+\frac{2\left( a-c\right) ^{2}}{9b}=\frac{4\left( a-c\right) ^{2}}{9b}
\end{equation*}となります。

命題(クールノー均衡における社会的余剰)
クールノー競争を表す戦略型ゲーム\(G\)において、市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q\geq 0:p\left( q\right) =a-bq
\end{equation*}を満たし、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q_{i}\geq 0:c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}
\end{equation*}を満たす。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。このゲーム\(G\)には純粋戦略ナッシュ均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)が存在し、\begin{equation*}
q_{1}^{\ast }=q_{2}^{\ast }=\frac{a-c}{3b}
\end{equation*}となる。さらに、そこでの生産者余剰は\(\frac{2\left( a-c\right) ^{2}}{9b}\)、消費者余剰は\(\frac{2\left( a-c\right) ^{2}}{3b}\)、社会的余剰は\(\frac{4\left( a-c\right) ^{2}}{9b}\)となる。
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完全競争均衡における社会的余剰

線型の逆需要曲線によって表される市場において、一定かつ等しい限界費用を持つ2つの企業がクールノー競争を行う場合の社会的余剰を求めましたが、同様の市場において同様の費用関数を持つ多数の企業が競争する場合にはどうなるでしょうか。つまり、完全競争市場を想定するということです。完全競争市場の理論により、完全競争均衡において市場の均衡価格は企業の限界費用と一致するとともに、その均衡において社会的余剰は最大化されます。具体的には、完全競争均衡における市場の総供給量を\(q^{\ast }\)で表すとき、そこでの均衡価格は、\begin{equation}
p\left( q^{\ast }\right) =c \quad\cdots (1)
\end{equation}を満たすため、完全競争均衡においてそれぞれの企業\(i\)が得る利得すなわち利潤は、\begin{eqnarray*}
u_{i}\left( q^{\ast }\right) &=&\left[ p\left( q^{\ast }\right) -c\right] \cdot q_{i}^{\ast }\quad \because u_{i}\text{の定義} \\
&=&\left[ c-c\right] \cdot q_{i}^{\ast }\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。任意の企業について同様の議論が成り立つため、完全競争均衡における生産者余剰は\(0\)です。

図:完全競争均衡
図:完全競争均衡

一方、完全競争均衡における生産者余剰は上図中の CS に相当するため、それは、\begin{equation*}
\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}
\end{equation*}となります。消費者余剰は\(0\)であるため、生産者余剰は社会的余剰と一致します。

命題(完全競争均衡における社会的余剰)
市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q\geq 0:p\left( q\right) =a-bq
\end{equation*}を満たし、任意の企業\(i\)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q_{i}\geq 0:c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}
\end{equation*}を満たす。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。この市場が完全競争市場であるならば、すなわちすべての企業が限界費用\(c\)で商品を供給するならば、そこでの生産者余剰は\(0\)、消費者余剰は\(\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}\)、社会的余剰は\(\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}\)となる。
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クールノー均衡は社会的に非効率的

繰り返しになりますが、クールノー競争が行われる複占市場の均衡価格\(p\left( q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) \)と完全競争価格\(c\)の間には、\begin{equation*}
p\left( q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) >c
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、クールノー競争が行われる場合の均衡価格は完全競争市場の均衡価格と一致しません。したがって、問題としている市場が完全競争的ではなく、そこでクールノー競争が行われる複占市場である場合には、社会的余剰が最大化されません。

$$\begin{array}{cccc}
\hline
& 生産者余剰 & 消費者余剰 & 社会的余剰 \\ \hline
完全競争均衡 & 0 & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b} & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b} \\ \hline
クールノー均衡 & \frac{2\left( a-c\right) ^{2}}{9b} & \frac{2\left( a-c\right) ^{2}}{9b} & \frac{4\left( a-c\right) ^{2}}{9b} \\ \hline
\end{array}$$

表:完全競争均衡とクールノー均衡の比較

以上の結果は両者の社会的余剰を比較することによって確かめることもできます。先に求めたように、完全競争均衡における社会的余剰は\(\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}\)であり、クールノー均衡における社会的余剰は\(\frac{4\left( a-c\right) ^{2}}{9b}\)ですが、両者を比較すると、\begin{equation*}
\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}-\frac{4\left( a-c\right) ^{2}}{9b}=\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{18b}
\end{equation*}となりますが、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)よりこれは正です。両者の差\(\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{18b}\)は死荷重に他なりません。この死荷重は下図において DWL(Dead Weight Loss)として表されています。クールノー競争が行われるとき社会的余剰は最大化されず死荷重が発生するということです。

図:クールノー競争がもたらす死荷重
図:クールノー競争がもたらす死荷重
命題(クールノー均衡は社会的に非効率的)
クールノー競争を表す戦略型ゲーム\(G\)において、市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q\geq 0:p\left( q\right) =a-bq
\end{equation*}を満たし、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q_{i}\geq 0:c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}
\end{equation*}を満たす。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。このゲーム\(G\)のクールノー均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)において死荷重\begin{equation*}
\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{18b}>0
\end{equation*}が発生する。
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次回はクールノー競争が囚人のジレンマと同様の構造を持つことを解説します。

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