WIIS

教材一覧
教材一覧
教材検索
EXAMPLES OF GAMES

クールノー均衡の効率性

目次

Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有

クールノー均衡における社会的余剰

逆需要曲線が線型であるような市場において、規模に関して収穫一定の技術を持つ2つの複占企業が同質財の供給量をそれぞれ決定する戦略的状況をクールノー競争と呼ばれるモデルとして整理した上で、そのようなゲームにナッシュ均衡が存在することを明らかにしました

モデルの復習です。市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は総供給量\(q\geq 0\)に対して以下の均衡価格\begin{equation*}p\left( q\right) =a-bq\geq 0
\end{equation*}を定めるものとします。また、それぞれの企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は自身の供給量\(q_{i}\in \mathbb{R} _{+}\)に対して以下の費用\begin{equation*}c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)です。このような市場において両企業がクールノー競争を行う場合、その戦略的状況は以下のような戦略型ゲーム\(G\)として表されるとともに、以下のようなナッシュ均衡存在します。ちなみに、クールノー競争におけるナッシュ均衡をクールノー均衡と呼びます。

命題(クールノー均衡)

戦略型ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は\(I=\left\{ 1,2\right\} \)であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合は\(\mathbb{R} _{+}\)であり、利得関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( q_{1},q_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&\left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) -c\right] \cdot q_{1} \\
u_{2}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&\left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) -c\right] \cdot q_{2}
\end{eqnarray*}を定めるものとする。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。このゲーム\(G\)には狭義の純粋戦略ナッシュ均衡\(\left( q_{1}^{\ast},q_{2}^{\ast }\right) \)が存在し、\begin{equation*}q_{1}^{\ast }=q_{2}^{\ast }=\frac{a-c}{3b}>0
\end{equation*}となる。

加えて、このゲーム\(G\)は純粋戦略によって狭義支配される戦略の逐次消去によって解けることを示すとともに、その解がクールノー均衡\(\left( q_{1}^{\ast},q_{2}^{\ast }\right) \)と一致することを確かめました。したがって、プレイヤーたちの合理性が共有知識である場合、両企業がクールノー均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)を実際にプレーすることが理論的に予測されます。

では、クールノー均衡がもたらす結果はどの程度効率的なのでしょうか。効率性の尺度として社会的余剰を採用します。繰り返しになりますが、クールノー均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)は、\begin{equation}q_{1}^{\ast }=q_{2}^{\ast }=\frac{a-c}{3b} \quad \cdots (1)
\end{equation}です。クールノー均衡において、問題としている商品の均衡価格は、\begin{eqnarray*}
p\left( q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) &=&p\left( \frac{2\left(
a-c\right) }{3b}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&a-b\cdot \frac{2\left( a-c\right) }{3b}\quad \because \text{逆需要曲線}p\text{の定義} \\
&=&a-\frac{2\left( a-c\right) }{3} \\
&=&\frac{a+2c}{3}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
p\left( q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) =\frac{a+2c}{3} \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。この均衡価格\(p\left( q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) \)と両企業が共有する限界費用\(c\)を比較すると、\begin{eqnarray*}p\left( q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) -c &=&\frac{a+2c}{3}-c\quad
\because \left( 2\right) \\
&=&\frac{a-c}{3} \\
&>&0\quad \because a>c
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
p\left( q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) >c \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。つまり、クールノー均衡における商品の市場均衡価格は企業の限界費用を上回ります。これは何を意味するのでしょうか。

一般に、市場において完全競争が行われる場合には均衡において商品の価格と企業の限界費用と一致するとともに、その均衡において社会的余剰が最大化されます。一方、クールノー競争は完全競争市場ではなく複占市場を想定しているため、2つの企業の間で競争が行われはするものの、結局、均衡において商品の価格は限界費用までは下がらず、したがって社会的余剰は最大化されません。以上が\(\left(3\right) \)の定性的な解釈ですが、この解釈が妥当であることを定量的に確認するために、まずは、クールノー均衡において達成される社会的余剰を計算します。

命題(クールノー均衡における社会的余剰)
市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は総供給量\(q\geq 0\)に対して以下の均衡価格\begin{equation*}p\left( q\right) =a-bq\geq 0
\end{equation*}を定めるものとする。また、それぞれの企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は自身の供給量\(q_{i}\in \mathbb{R} _{+}\)に対して以下の費用\begin{equation*}c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。以上の市場においてクールノー競争が行われる場合、クールノー均衡において、\begin{eqnarray*}PS &=&\frac{2\left( a-c\right) ^{2}}{9b} \\
CS &=&\frac{2\left( a-c\right) ^{2}}{9b} \\
TS &=&\frac{4\left( a-c\right) ^{2}}{9b}
\end{eqnarray*}となる。ただし、PSは生産者余剰、CSは消費者余剰、TSは総余剰(社会的余剰)である。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

 

完全競争均衡における社会的余剰

クールノー均衡において達成される社会的余剰が明らかになりました。では、同様の市場において、同様の費用関数を持つ多数の企業が競争を行う場合の社会的余剰はどうなるでしょうか。つまり、完全競争市場を想定するということです。

完全競争市場の理論により、完全競争均衡において市場の均衡価格は企業の限界費用と一致するとともに、その均衡において社会的余剰は最大化されます。

命題(完全競争均衡における社会的余剰)
市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は総供給量\(q\geq 0\)に対して以下の均衡価格\begin{equation*}p\left( q\right) =a-bq\geq 0
\end{equation*}を定めるものとする。また、それぞれの企業\(i\)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は自身の供給量\(q_{i}\in \mathbb{R} _{+}\)に対して以下の費用\begin{equation*}c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。以上の市場において完全競争市場が行われる場合、完全競争均衡において、\begin{eqnarray*}PS &=&0 \\
CS &=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b} \\
TS &=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}
\end{eqnarray*}となる。ただし、PSは生産者余剰、CSは消費者余剰、TSは総余剰(社会的余剰)である。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

 

クールノー均衡は社会的に非効率的

繰り返しになりますが、クールノー競争が行われる複占市場の均衡価格\(p\left( q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast}\right) \)と完全競争価格\(c\)の間には、\begin{equation*}p\left( q_{1}^{\ast }+q_{2}^{\ast }\right) >c
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、クールノー競争が行われる場合の均衡価格は完全競争市場の均衡価格と一致しません。したがって、問題としている市場が完全競争的ではなく、そこでクールノー競争が行われる複占市場である場合には社会的余剰が最大化されません。

$$\begin{array}{cccc}\hline
& PS & CS & TS \\ \hline
完全競争均衡 & 0 & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b} & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b} \\ \hline
クールノー均衡 & \frac{2\left( a-c\right) ^{2}}{9b} & \frac{2\left( a-c\right) ^{2}}{9b} & \frac{4\left( a-c\right) ^{2}}{9b} \\ \hline
\end{array}$$

表:完全競争均衡とクールノー均衡の比較

そのことを定量的に確認するために、それぞれの場合における生産者余剰、消費者余剰、社会的余剰を求めました。得られた結果を整理したものが上の表です。完全競争均衡における社会的余剰は\(\frac{\left(a-c\right) ^{2}}{2b}\)であり、クールノー均衡における社会的余剰は\(\frac{4\left( a-c\right) ^{2}}{9b}\)ですが、両者を比較すると、\begin{eqnarray*}\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}-\frac{4\left( a-c\right) ^{2}}{9b} &=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{18b} \\
&>&0\quad \because b>0,a>c
\end{eqnarray*}となるため、やはりクールノー均衡は非効率的です。両者の社会的余剰の差\begin{equation*}
\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{18b}
\end{equation*}はクールノー均衡がもたらす死荷重に相当します。この死荷重は下図においてDWL(Dead Weight Loss)として表されています。クールノー競争が行われる場合には社会的余剰は最大化されず、死荷重に相当する社会的損失が発生するということです。

図:クールノー競争がもたらす死荷重
図:クールノー競争がもたらす死荷重

次回はクールノー競争が囚人のジレンマと同様の構造を持つことを解説します。

Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有
RELATED KNOWLEDGE

関連知識

クールノー競争

戦略型ゲーム(標準型ゲーム)

完備情報の静学ゲームを記述するためにはプレイヤー、行動、結果、利得などをそれぞれ具体的に特定する必要があります。それらの要素を記述する方法はいくつか存在しますが、ここでは戦略型ゲームと呼ばれるモデルについて解説します。

クールノー競争

クールノー競争(クールノー均衡)

同質財を生産する複占市場における数量競争をモデル化したゲームをクールノー競争と呼び、そこでのナッシュ均衡をクールノー均衡と呼びます。

DISCUSSION

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

ゲームの例