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ゲーム理論におけるゲームの例

ホテリングモデル(最小差別化原理)

目次

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ホテリングモデル

商品の大きさや重さ、色、味、香りなど、連続的に変化する何らかの特性に注目した場合、その特性に対する消費者による好みの違いを線分上の分布として表現することができます。具体例を挙げると、ワインの「渋み」は連続的に変化する特性であるため、まずは、線分の左側の端点を最も渋みが少ない味に対応させ、右へ移動するにつれて渋みが強くなり、右側の端点を最も渋みが強い味に対応させます。ワインの渋みに対する好みは消費者ごとに異なりますが、それぞれの消費者の好みを線分上の点として表現することにより、渋みに対する好みの分布を線分上の分布として表現できます。

ライバル関係にある2つの企業がある商品を新たに販売しようとしていますが、その商品のある特性に関して消費者ごとに好みが異なることが判明しているため、企業はその特性を通じて製品差別化を図ろうとしています。このような差別化を水平的差別化(horizontal differentiation)と呼びます。先の例に即して言うと、2つのワインメーカーが新たにワインを1種類ずつ販売するにあたり、ワインの渋みを決定しようとしているということです。

問題としている特性に対する消費者たちの好みが等しい密度で分布しているものと仮定し、それを、有界閉区間\begin{equation*}
\left[ 0,1\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x\leq 1\right\}
\end{equation*}上の連続一様分布にしたがう確率変数\(X\)として表現します。つまり、\(X\)の確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるということです。例えば、特性\(t\in \left[0,1\right] \)を任意に選んだとき、区間\(\left[ 0,t\right] \)上に存在する消費者が全体に占める割合は、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{t}f\left( x\right) dx &=&\int_{0}^{t}1dx\quad \because t\in \left[
0,1\right] \\
&=&\left[ x\right] _{0}^{t} \\
&=&t-0 \\
&=&t
\end{eqnarray*}となります。特に、\(t=1\)の場合には、\begin{equation*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx=1
\end{equation*}となります。

それぞれの企業\(i\ \left(=1,2\right) \)は自身が販売する商品の特性\begin{equation*}x_{i}\in \left[ 0,1\right] \end{equation*}を自由に選択できるものとします。ただし、各企業は競争相手が選択した特性を観察できない状態で自身の特性を決定しなければならない状況を想定します。また、両企業の間で価格競争は行われず、両企業とも与えられた同一の価格\(p>0\)で商品を販売するものと仮定します。両企業による商品の品質やグレードが同程度であり、差別化に必要なコストに大きな差がない場合、これはもっともらしい仮定です。価格競争を考慮したモデルについては、場を改めて解説します。

それぞれの消費者はどちらか一方の企業から商品を\(1\)単位だけ購入します。ただし、2つの商品は同じ価格で販売されているため、購入する商品を決定する上で判断基準となるのは商品の特性だけです。そこで、それぞれの消費者は自分の好みに近い商品を\(1\)単位だけ購入するものとします。つまり、消費者の好みを\(\theta \in \left[ 0,1\right] \)で表記するのであれば、\begin{equation*}\left\vert \theta -x_{1}\right\vert <\left\vert \theta -x_{2}\right\vert
\end{equation*}が成り立つ場合には企業\(1\)の商品を\(1\)単位購入し、\begin{equation*}\left\vert \theta -x_{1}\right\vert >\left\vert \theta -x_{2}\right\vert
\end{equation*}が成り立つ場合には企業\(2\)の商品を\(1\)単位購入するということです。2つの商品が同程度望ましい場合、すなわち、\begin{equation*}\left\vert \theta -x_{1}\right\vert =\left\vert \theta -x_{2}\right\vert
\end{equation*}が成り立つ場合には等しい確率でどちらか一方の商品を\(1\)単位だけ購入するものとします。

企業\(1,2\)がそれぞれ商品の特性\(x_{1},x_{2}\in \left[ 0,1\right] \)を選択した場合、それぞれの企業が得る消費者のシェアはどのように決定されるでしょうか。\(x_{1}<x_{2}\)の場合、2つの特性の中点\(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\)より左側に分布する消費者はいずれも企業\(1\)の商品を購入する一方で、中点\(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\)より右側に分布する消費者はいずれも企業\(2\)の商品を購入するため、連続一様分布の仮定より、この場合の企業\(1\)のシェアは\(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\)であり、企業\(2\)のシェアは\(1-\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\)となります。\(x_{1}=x_{2}\)の場合、いずれの消費者にとっても2つの商品は同じ程度好ましいため、消費者は等しい確率でどちらか一方の商品を選びます。その結果、確率的に半数の消費者が企業\(1\)の商品を、残りの半数の消費者が企業\(2\)の商品を購入します。したがって、この場合の企業\(1\)のシェアは\(\frac{1}{2}\)であり、企業\(2\)のシェアも\(\frac{1}{2}\)となります。\(x_{1}>x_{2}\)の場合、先と同様に考えることにより、この場合の企業\(1\)のシェアは\(1-\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\)であり、企業\(2\)のシェアは\(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\)となります。

消費者が商品を\(1\)単位ずつ購入する状況を想定しているため、消費者の総数は商品への総需要と等しくなります。加えて、消費者の総数を\(1\)と表現するのであれば、企業が得る消費者のシェアと需要を同一視しても一般性は失われません。以上を踏まえた上で、両企業が提示する特性の組\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)に対して、そのときにそれぞれの企業\(i\ \left( =1,2\right) \)が得る需要\(d_{i}\left( x_{1},x_{2}\right) \)を特定する関数を、\begin{equation*}d_{i}:\left[ 0,1\right] ^{2}\rightarrow \left[ 0,1\right] \end{equation*}と表記するのであれば、これはそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \left[ 0,1\right] ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}d_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{x_{1}+x_{2}}{2} & \left( if\ x_{1}<x_{2}\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x_{1}=x_{2}\right) \\
1-\frac{x_{1}+x_{2}}{2} & \left( if\ x_{1}>x_{2}\right)
\end{array}\right. \\
d_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
1-\frac{x_{1}+x_{2}}{2} & \left( if\ x_{1}<x_{2}\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x_{1}=x_{2}\right) \\
\frac{x_{1}+x_{2}}{2} & \left( if\ x_{1}>x_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を定めます。

特筆すべきは、それぞれの企業\(i\)が得る需要\(d_{i}\left( x_{1},x_{2}\right) \)は2つの企業が選択する商品特性\(x_{1},x_{2}\)をともに変数として持っているということです。つまり、企業\(1\)は自社商品の特性\(x_{1}\)を変化させることを通じて自身が得る需要を変化させることができますが、同時に、競争相手である企業\(2\)が選択する商品特性\(x_{2}\)もまた企業\(1\)が得る需要に影響を与えます。企業\(2\)の立場からも同様のことが言えます。つまり、それぞれの企業にとって、自身が得る需要は自身の行動だけでなく相手の行動によっても左右されるという意味において、プレイヤーである両企業の間には戦略的相互依存関係が成立しています。このような事情もあり、この市場はゲーム理論の分析対象となります。

続いて、この市場において商品を供給する2つの企業の生産コストがどのように決まるかを記述します。企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は自身のそれぞれの生産量\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}
\end{equation*}という費用を定めるものとします。ただし、\(c\)は正の定数です。つまり、企業\(i\)が商品を\(q_{i}\)だけ市場に供給する場合、費用が\(c_{i}\left( q_{i}\right) \)だけかかるということです。企業\(i\)が商品を生産しない場合の費用は\(c_{i}\left( 0\right) =0\)ですが、これは企業の固定費用が\(0\)であることを意味します。また、任意の\(q_{i}\geq 0\)において、\begin{equation*}\frac{dc_{i}\left( q_{i}\right) }{dq_{i}}=c
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、企業は生産量に依存しない共通の限界費用\(c>0\)を持つということです。これをテクニカルに表現すると、両企業はともに規模に関して収穫一定の技術を持つということです。加えて、限界費用\(c\)と商品の価格\(p\)の間には、\begin{equation*}p>c
\end{equation*}という関係が成り立つものとします。つまり、企業は市場に参入し続けることが可能であるということです。

以上の状況において、それぞれの企業\(i\)は自身の利潤を最大化するように自社商品の特性\(x_{i}\)を選択するものとします。ただし、両企業はカルテルを結ぶことはできず、商品特性に関する拘束的合意が成立しないものとします。企業\(1,2\)がそれぞれ商品特性\(x_{1},x_{2}\)を選択すると企業\(1\)は需要\(d_{1}\left(x_{1},x_{2}\right) \)を獲得するため、そこから収入\(p\cdot d_{1}\left(x_{1},x_{2}\right) \)を得ます。その一方で、商品を\(d_{1}\left(x_{1},x_{2}\right) \)だけ供給するために企業\(1\)が負担すべき費用は\(c_{1}\left( d_{1}\left( x_{1},x_{2}\right)\right) \)であるため、商品特性の組\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)のもとで企業\(1\)が得る利潤は、収入から費用を差し引いて得られる、\begin{eqnarray*}p\cdot d_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) -c_{1}\left( d_{1}\left(
x_{1},x_{2}\right) \right) &=&p\cdot d_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) -c\cdot
d_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) \quad \because c_{1}\text{の定義} \\
&=&\left( p-c\right) \cdot d_{1}\left( x_{1},x_{2}\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、企業\(1\)にとって\(p\)と\(c\)の水準は所与であるとともに\(p>c\)すなわち\(p-c>0\)であることを仮定しているため、企業\(1\)が自身の利得\(\left( p-c\right) \cdot d_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) \)を最大化することは、自身が得る需要\(d_{1}\left(x_{1},x_{2}\right) \)を最大化することと実質的に等しくなります。企業\(1\)は競争相手である企業\(2\)が供給する商品の特性\(x_{2}\)を操作できないため、\(x_{2}\)の値を所与としながら自身の利潤を最大化するような商品特性\(x_{1}\)を選択します。つまり、企業\(1\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(x_{2}\)に対して、\begin{equation*}\max_{x_{1}\in \left[ 0,1\right] }d_{1}\left( x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}となります。同様に考えると、企業\(2\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(x_{1}\)に対して、\begin{equation*}\max_{x_{2}\in \left[ 0,1\right] }d_{2}\left( x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}となります。

このような状況において各企業はどのような意思決定を行うでしょうか。このような水平的製品差別化モデルをホテリングモデル(Hotelling model)と呼びます。ホテリングモデルは米国の経済学者であるハロルド・ホテリング(Harold Hotelling)が1929年に発表したモデルです。

 

完備情報の静学ゲームとしてのホテリングモデル

ホテリングモデルが想定する状況を2つの企業をプレイヤーとするゲームと解釈します。2つの企業の間には、商品の特性に関する拘束的合意が成立しない状況を想定しているため、ホテリングモデルは非協力ゲームです。さらに、2つの企業は相手が供給する商品の特性を観察できない状態で自社商品の特性を決定する必要があるため、ホテリングモデルは静学ゲームです。また、消費者の分布と行動原理、両企業の費用関数、さらに両企業の目的が利潤の最大化であることなど、ゲームのルールの要素が両企業にとって共有知識であれば、ホテリングモデルは完備情報ゲームとして記述されます。

そこで、ホテリングモデルを以下のような戦略型ゲーム\(G\)としてモデル化します。まず、ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は\(I=\left\{ 1,2\right\} \)です。ただし、\(i\in I\)は企業\(i\)を表します。また、企業\(i\)の純粋戦略集合を\(\left[ 0,1\right] \)と定めます。つまり、それぞれの企業\(i\)は自身が販売する商品の特性\(x_{i}\in \left[ 0,1\right] \)を選択します。プレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}:\left[ 0,1\right] ^{2}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)として様々な可能性がありますが、典型的な利潤を利得と同一視するというものです。この場合、両企業が選択する純粋戦略からなる組\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \left[ 0,1\right] ^{2}\)に対してプレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}\)が定める値は、\begin{equation*}u_{i}\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( p-c\right) \cdot d_{i}\left(
x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}となります。ただし、\(d_{i}:\left[ 0,1\right] ^{2}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)は企業\(i\)が得る需要を特定する関数であり、これはそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \left[ 0,1\right] ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}d_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{x_{1}+x_{2}}{2} & \left( if\ x_{1}<x_{2}\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x_{1}=x_{2}\right) \\
1-\frac{x_{1}+x_{2}}{2} & \left( if\ x_{1}>x_{2}\right)
\end{array}\right. \\
d_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
1-\frac{x_{1}+x_{2}}{2} & \left( if\ x_{1}<x_{2}\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x_{1}=x_{2}\right) \\
\frac{x_{1}+x_{2}}{2} & \left( if\ x_{1}>x_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を定めます。また、\(p,c>0\)はいずれも定数であり、\(p>c\)が成り立ちます。

 

ホテリングモデルにおけるナッシュ均衡(最小差別化原理)

ホテリングモデルには以下のような純粋戦略ナッシュ均衡が存在します。

命題(ホテリングモデルの純粋戦略ナッシュ均衡)