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ゲーム理論におけるゲームの例

企業数の変化がベルトラン競争に与える影響

目次

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企業数を一般化したベルトラン競争のモデル

これまでは線型の逆需要曲線によって特徴づけられる同質財市場において、一定かつ等しい限界費用を持つ2つの企業が商品の価格を決定する状況を想定してきました。具体的には、市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、それぞれの総供給量\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}p\left( q\right) =a-bq
\end{equation*}という均衡価格を定めるものとします。このとき、市場の需要関数\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在して、これはそれぞれの価格\(p\geq 0\)に対して、\begin{equation*}q\left( p\right) =\frac{a-p}{b}
\end{equation*}という均衡数量を定めます。さらに、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、自身のそれぞれの生産量\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}\quad \left( i=1,2\right)
\end{equation*}という費用を定めるものとしました。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)が成り立ちます。

さらに、このような市場において、(1) 両企業がベルトラン競争を行った場合のベルトラン均衡、(2) 完全競争が行われた場合の完全競争均衡、(3) 両企業がカルテルを結んだ場合の独占均衡それぞれについて、均衡における価格や生産量、社会的余剰(死荷重)などを明らかにし、それらを比較しました。その結果を改めてまとめたものが以下の表です。ただし、完全競争均衡における各企業の供給\(\frac{a-c}{bn}\)に含まれる\(n\)は企業数を表しています。また、カルテルにおける各企業の供給は、両企業が独占均衡供給\(\frac{a-c}{2b}\)を二等分することを前提とした値になっています。

$$\begin{array}{ccccc}\hline
\quad & 各企業の供給 & 市場の総供給 & 均衡価格 & 死荷重 \\ \hline
完全競争均衡 & \frac{a-c}{bn} & \frac{ a-c}{b} & c & 0 \\ \hline
ベルトラン均衡 & \frac{a-c}{2b} & \frac{a-c}{b} & c & 0 \\ \hline
カルテル & \frac{a-c}{4b} & \frac{a-c}{2b} & \frac{a+c}{2} & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{8b} \\ \hline
\end{array}$$

表:複占市場

これまで考えてきたベルトラン競争では複占市場、すなわち2つの企業が競争する状況を想定してきましたが、2社よりも多い企業がベルトラン競争を行う場合にもベルトラン均衡は存在するのでしょうか。また、ベルトラン均衡が存在する場合、企業数が増えるにつれて均衡価格や供給量、社会的余剰(死荷重)などはどのように変化するのでしょうか。このような疑問に答えるために、企業数を\(n\)とするベルトラン競争をモデル化した上で、そこでのベルトラン均衡を明らかにします。\(n\)社の企業がプレイヤーとして参加するベルトラン競争を\(n\)企業ベルトラン競争(\(n\)-firms Bertrand competition)と呼びます。これまで考えてきた複占市場におけるベルトラン競争は\(n\)企業ベルトラン競争の特別なケース(\(n=2\))です。

\(n\)企業ベルトラン競争を表す戦略型ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は\(I=\left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)であり、それぞれの企業\(i\in I\)の純粋戦略集合を\(\mathbb{R} _{+}\)と定めます。つまり、これまでと同様、それぞれの企業\(i\)は商品の価格として任意の非負の実数\(p_{i}\geq 0\)を選択できます。すべてのプレイヤーによる純粋戦略の組、すなわち価格の組を\(p_{I}=\left(p_{i}\right) _{i\in I}\)で表します。また、企業\(i\)以外の\(n-1\)個の企業による価格の組を\(p_{-i}=\left( p_{j}\right) _{j\in I\backslash \{i\}}\)で表します。\(p_{I}=\left(p_{i},p_{-i}\right) \)です。すべての企業が選択した価格からなる組が\(p_{I}\in \mathbb{R} _{+}^{n}\)であるとき、企業\(i\)の価格\(p_{i}\)が単独で最小である場合には、すなわち、\begin{equation*}p_{i}<\min \left\{ p_{j}\right\} _{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }
\end{equation*}が成り立つ場合には、市場の需要は\(q\left(p_{i}\right) \)であり、そのすべてを企業\(i\)が獲得します。一方、企業\(i\)の価格\(p_{i}\)が他の企業の価格と並ぶ形で最小である場合には、すなわち、\begin{equation*}p_{i}=\min \left\{ p_{j}\right\} _{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }
\end{equation*}が成り立つ場合には市場の需要は\(q\left( p_{i}\right) \)であり、それを最低価格を提示した企業間で等分するため、この場合に企業\(i\)が得る需要は、\begin{equation*}\frac{q\left( p_{i}\right) }{\left\vert \left\{ j\in I\ |\
p_{j}=p_{i}\right\} \right\vert }
\end{equation*}となります。ただし、\begin{equation*}
\left\vert \left\{ j\in I\ |\ p_{j}=p_{i}\right\} \right\vert
\end{equation*}は\(p_{i}\)と等しい価格を提示する企業の数です。最後に、企業\(i\)の価格\(p_{i}\)が最小ではない場合には、すなわち、\begin{equation*}p_{i}>\min \left\{ p_{j}\right\} _{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }
\end{equation*}が成り立つ場合には企業\(i\)の需要は\(0\)です。以上を踏まえると、すべての企業が提示する価格からなる組が\(p_{I}\)であるときに企業\(i\)が得る需要\(q_{i}\left(p_{I}\right) \)を特定する関数を\(q_{i}:\mathbb{R} _{+}^{n}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)と表記するのであれば、これはそれぞれの\(p_{I}\in \mathbb{R} _{+}^{n}\)に対して、\begin{equation*}q_{i}\left( p_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
q\left( p_{i}\right) & \left( if\ p_{i}<\min \left\{ p_{j}\right\} _{j\in
I\backslash \left\{ i\right\} }\right) \\
\frac{q\left( p_{i}\right) }{\left\vert \left\{ j\in I\ |\
p_{j}=p_{i}\right\} \right\vert } & \left( if\ p_{i}=\min \left\{
p_{j}\right\} _{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }\right) \\
0 & \left( if\ p_{i}>\min \left\{ p_{j}\right\} _{j\in I\backslash \left\{
i\right\} }\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。ただし、\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は市場の需要関数であり、これはそれぞれの\(p\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}q\left( p\right) =\frac{a-p}{b}
\end{equation*}を定めることを踏まえると、\begin{equation*}
q_{i}\left( p_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{a-p_{i}}{b} & \left( if\ p_{i}<\min \left\{ p_{j}\right\} _{j\in
I\backslash \left\{ i\right\} }\right) \\
\frac{a-p_{i}}{b\cdot \left\vert \left\{ j\in I\ |\ p_{j}=p_{i}\right\}
\right\vert } & \left( if\ p_{i}=\min \left\{ p_{j}\right\} _{j\in
I\backslash \left\{ i\right\} }\right) \\
0 & \left( if\ p_{i}>\min \left\{ p_{j}\right\} _{j\in I\backslash \left\{
i\right\} }\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。

すべての企業が提示する価格からなる組が\(p_{I}\)である場合に企業\(i\)は需要\(q_{i}\left( p_{I}\right) \)を獲得するため、そこから収入\begin{equation*}p_{i}\cdot q_{i}\left( p_{I}\right)
\end{equation*}を得ます。その一方で、商品を\(q_{i}\left( p_{I}\right) \)だけ供給するために企業\(i\)が負担すべき費用は、\begin{equation*}c_{i}\left( q_{i}\left( p_{I}\right) \right) =c\cdot q_{i}\left(
p_{I}\right)
\end{equation*}であるため、企業\(i\)の利得関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(p_{I}\in \mathbb{R} _{+}^{n}\)に対して定める値、すなわち\(p_{I}\)のもとで企業\(i\)が得る利潤は、\begin{align*}u_{i}\left( p_{i},p_{-i}\right) & =p_{i}\cdot q_{i}\left( p_{I}\right)
-c\cdot q_{i}\left( p_{I}\right) \\
& =\left( p_{i}-c\right) \cdot q_{i}\left( p_{I}\right)
\end{align*}となります。

 

ベルトラン均衡(\(n\)企業ベルトラン競争におけるナッシュ均衡)

\(n\)企業ベルトラン競争には以下のような純粋戦略ナッシュ均衡、すなわちクールノー均衡が存在します。

命題((n)企業ベルトラン均衡)
戦略型ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は\(I=\left\{ 1,\cdots,n\right\} \)であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合は\(\mathbb{R} _{+}\)であり、利得関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(p_{I}\in \mathbb{R} _{+}^{n}\)に対して、\begin{equation*}u_{i}\left( p_{i},p_{-i}\right) =\left( p_{i}-c\right) \cdot q_{i}\left(
p_{I}\right)
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\(q_{i}:\mathbb{R} _{+}^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(p_{I}\in \mathbb{R} _{+}^{n}\)に対して、\begin{equation*}q_{i}\left( p_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{a-p_{i}}{b} & \left( if\ p_{i}<\min \left\{ p_{j}\right\} _{j\in
I\backslash \left\{ i\right\} }\right) \\
\frac{a-p_{i}}{b\cdot \left\vert \left\{ j\in I\ |\ p_{j}=p_{i}\right\}
\right\vert } & \left( if\ p_{i}=\min \left\{ p_{j}\right\} _{j\in
I\backslash \left\{ i\right\} }\right) \\
0 & \left( if\ p_{i}>\min \left\{ p_{j}\right\} _{j\in I\backslash \left\{
i\right\} }\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。\(n\geq 2\)である場合、このゲーム\(G\)には広義の純粋戦略ナッシュ均衡\(p_{I}^{\ast}\in \mathbb{R} _{+}^{n}\)が存在し、\begin{equation*}\forall i\in I:p_{i}^{\ast }=c
\end{equation*}を満たす。

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ベルトラン均衡の効率性

では、\(n\)企業ベルトラン均衡がもたらす結果はどの程度効率的なのでしょうか。繰り返しになりますが、ベルトラン均衡\(p_{I}^{\ast}\)は、\begin{equation*}\forall i\in I:p_{i}^{\ast }=c
\end{equation*}であり、ベルトラン均衡においてすべての企業は限界費用\(c\)と一致する価格を提示します。これは何を意味するのでしょうか。一般に、市場において完全競争が行われる場合には均衡において商品の価格と企業の限界費用と一致するとともに、その均衡において社会的余剰が最大化されます。したがって、ベルトラン均衡においても社会的余剰が最大化されます。以上がベルトラン均衡の定性的な解釈ですが、この解釈が妥当であることを定量的に確認するために、まずは、ベルトラン均衡において達成される社会的余剰を計算します。

命題((n)企業ベルトラン均衡における社会的余剰)
市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は総供給量\(q\geq 0\)に対して以下の均衡価格\begin{equation*}p\left( q\right) =a-bq
\end{equation*}を定めるものとする。また、それぞれの企業\(i\in I=\left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は自身の供給量\(q_{i}\in \mathbb{R} _{+}\)に対して以下の費用\begin{equation*}c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。以上の市場においてベルトラン競争が行われる場合、ベルトラン均衡において、\begin{eqnarray*}PS &=&0 \\
CS &=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b} \\
TS &=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b} \\
DWL &=&0
\end{eqnarray*}となる。ただし、PSは生産者余剰、CSは消費者余剰、TSは総余剰(社会的余剰)、DWLは死荷重である。

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企業数の変化がベルトラン均衡に与える影響

\(n\)企業ベルトラン競争において達成される社会的余剰および死荷重が明らかになりました。得られた結果を先の表に加えると以下が得られます。

$$\begin{array}{ccccc}\hline
\quad & 各企業の供給 & 市場の総供給 & 均衡価格 & 死荷重 \\ \hline
完全競争均衡 & \frac{a-c}{bn} & \frac{ a-c}{b} & c & 0 \\ \hline
ベルトラン均衡(2企業) & \frac{a-c}{2b} & \frac{a-c}{b} & c & 0 \\ \hline
ベルトラン均衡(n企業) & \frac{a-c}{bn} & \frac{a-c}{b} & c & 0 \\ \hline
カルテル & \frac{a-c}{4b} & \frac{a-c}{2b} & \frac{a+c}{2} & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{8b} \\ \hline
\end{array}$$

表:複占市場

上の表から確認できるように、\(n\)企業ベルトラン競争の結果において\(n=2\)とおけば、それはそのまま複占市場におけるベルトラン均衡の結果と一致します。したがって、\(n\)企業間のベルトラン競争は複占市場におけるベルトラン競争の一般化になっています。市場の総供給や均衡価格、死荷重などはいずれも企業数\(n\)に依存しない値であるとともに、これは\(2\)企業ベルトラン均衡における値と一致します。つまり、ベルトラン競争が行われる市場において企業数が\(1\)から\(2\)へ変化すると均衡価格が限界費用まで急激に下落して死荷重が喪失しますが、企業数をそれ以上増やした場合、均衡における各企業の供給量は企業数に逆比例する形で減少していく一方で、均衡価格や死荷重は変化しません。

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