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不完全競争市場の理論

企業数の変化がベルトラン競争に与える影響(n企業ベルトラン競争)

目次

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企業数に関するベルトラン競争の一般化

同質財が2つの企業によって供給される複占市場において企業どうしが価格競争を行う状況をベルトラン競争と呼ばれるモデルとして定式化しました。特に、市場の逆需要曲線(需要曲線)および企業の費用関数が線型であるような線型モデルにおいてベルトラン競争が行われる状況を完備情報の静学ゲームとして定式化するとともに、そこでのナッシュ均衡を求めました。簡単に復習します。

市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}p\left( q\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
a-bq & \left( if\ 0\leq q\leq \frac{a}{b}\right) \\
0 & \left( if\ q>\frac{a}{b}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}定めるものとします。この場合、市場の需要関数\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在して、それぞれの\(p\geq 0\)に対して、\begin{equation*}q\left( p\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\dfrac{a-p}{b} & \left( if\ 0\leq p\leq a\right) \\
0 & \left( if\ p>a\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。さらに、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}c_{i}\left( q_{i}\right) =cq_{i}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)です。価格の組\(\left(p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)のもとで企業\(1\)が得る利潤は、\begin{equation*}p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) -c_{i}\left( q_{1}\left(
p_{1},p_{2}\right) \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{\left( p_{1}-c\right) \left( a-p_{1}\right) }{b} & \left( if\
p_{1}<p_{2}\right) \\
\frac{\left( p_{1}-c\right) \left( a-p_{1}\right) }{2b} & \left( if\
p_{1}=p_{2}\right) \\
0 & \left( if\ p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であり、企業\(2\)が得る利潤は、\begin{equation*}p_{2}\cdot q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) -c_{i}\left( q_{2}\left(
p_{1},p_{2}\right) \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ p_{1}<p_{2}\right) \\
\frac{\left( p_{2}-c\right) \left( a-p_{2}\right) }{2b} & \left( if\
p_{1}=p_{2}\right) \\
\frac{\left( p_{2}-c\right) \left( a-p_{2}\right) }{b} & \left( if\
p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。ただし、\(q_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は価格の組\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)のもとで企業\(i\)が得る需要\(q_{i}\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} \)を特定する関数です。したがって、企業\(1\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(p_{2}\)に対して、\begin{equation*}\max_{p_{1}\geq 0}\ \left[ p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right)
-c_{1}\left( q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \right) \right] \end{equation*}となり、企業\(2\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(p_{1}\)に対して、\begin{equation*}\max_{p_{2}\geq 0}\ \left[ p_{2}\cdot q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right)
-c_{1}\left( q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) \right) \right] \end{equation*}となります。

ベルトラン競争は以下のような戦略型ゲーム\(G\)として定式化されます。まず、ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は、\begin{equation*}I=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}です。ただし、\(i\in I\)は企業\(i\)を表します。また、企業\(i\)の純粋戦略集合は、\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}\end{equation*}です。つまり、それぞれの企業\(i\)は商品の価格として任意の非負の実数\(p_{i}\geq 0\)を選択できます。企業が得る利潤を利得と同一視するのであれば、プレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が両企業による純粋戦略からなるそれぞれの組\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{\left( p_{1}-c\right) \left( a-p_{1}\right) }{b} & \left( if\
p_{1}<p_{2}\right) \\
\frac{\left( p_{1}-c\right) \left( a-p_{1}\right) }{2b} & \left( if\
p_{1}=p_{2}\right) \\
0 & \left( if\ p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right. \\
u_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ p_{1}<p_{2}\right) \\
\frac{\left( p_{2}-c\right) \left( a-p_{2}\right) }{2b} & \left( if\
p_{1}=p_{2}\right) \\
\frac{\left( p_{2}-c\right) \left( a-p_{2}\right) }{b} & \left( if\
p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となります。このゲーム\(G\)には広義の純粋戦略ナッシュ均衡\(\left(p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) \)が存在し、それは、\begin{equation*}p_{1}^{\ast }=p_{2}^{\ast }=c
\end{equation*}を満たします。これをベルトラン均衡と呼びます。

さらに、同様の市場において完全競争が行われる場合の完全競争均衡や、複占企業がクールノー競争を行う代わりに価格に関するカルテルを結んだ場合の均衡について、そこでの均衡価格や供給量、社会的余剰(死荷重)などを明らかにし、それらを比較しました。結果をまとめたものが以下の表です。ただし、完全競争均衡における各企業の供給\(\frac{a-c}{bn}\)に含まれる\(n\)は企業数を表しています。また、カルテルにおける各企業の生産量は、カルテルにとっての最適供給量\(\frac{a-c}{2b}\)を二等分することを前提とした値になっています。

$$\begin{array}{ccccc}
\hline
\quad & 各企業の供給量 & 市場の総供給量 & 均衡価格 & 総余剰 \\ \hline
完全競争 & \frac{a-c}{bn} & \frac{a-c}{b} & c& \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b} \\ \hline
ベルトラン均衡 & \frac{a-c}{2b}& \frac{a-c}{b} & c & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b} \\ \hline
カルテル & \frac{a-c}{4b} & \frac{a-c}{2b} & \frac{a+c}{2} & \frac{3\left( a-c\right) ^{2}}{8b} \\ \hline
\end{array}$$

これまで考えてきたベルトラン競争では複占市場、すなわち2つの企業が競争する状況を想定してきましたが、2社よりも多い企業がベルトラン競争を行う場合にもベルトラン均衡は存在するのでしょうか。また、ベルトラン均衡が存在する場合、企業数が増えるにつれて均衡価格や供給量、社会的余剰(死荷重)などはどのように変化するのでしょうか。このような疑問に答えるために、企業数を\(n\)とするベルトラン競争をモデル化した上で、そこでのベルトラン均衡を明らかにします。\(n\)社の企業がプレイヤーとして参加するベルトラン競争を\(n\)企業ベルトラン競争(\(n\)-firms Bertrand competition)と呼びます。これまで考えてきた複占市場におけるベルトラン競争は\(n\)企業ベルトラン競争の特別なケース(\(n=2\))です。

\(n\)企業ベルトラン競争を表す戦略型ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は、\begin{equation*}I=\left\{ 1,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}であり、それぞれの企業\(i\in I\)の純粋戦略集合を、\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}\end{equation*}と定めます。つまり、これまでと同様、それぞれの企業\(i\)は商品の価格として任意の非負の実数\(p_{i}\geq 0\)を選択できます。すべてのプレイヤーによる純粋戦略の組、すなわち価格の組を、\begin{equation*}p_{I}=\left( p_{i}\right) _{i\in I}
\end{equation*}で表記します。また、企業\(i\)以外の\(n-1\)個の企業による価格の組を、\begin{equation*}p_{-i}=\left( p_{j}\right) _{j\in I\backslash \{i\}}
\end{equation*}で表記します。\(p_{I}=\left(p_{i},p_{-i}\right) \)です。すべての企業が選択した価格からなる組が\(p_{I}\in \mathbb{R} _{+}^{n}\)であるとき、企業\(i\)の価格\(p_{i}\)が単独で最小である場合には、すなわち、\begin{equation*}p_{i}<\min \left\{ p_{j}\right\} _{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }
\end{equation*}が成り立つ場合には、市場の需要は\(q\left(p_{i}\right) \)であり、そのすべてを企業\(i\)が獲得します。一方、企業\(i\)の価格\(p_{i}\)が他の企業の価格と並ぶ形で最小である場合には、すなわち、\begin{equation*}p_{i}=\min \left\{ p_{j}\right\} _{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }
\end{equation*}が成り立つ場合には、市場の需要は\(q\left(p_{i}\right) \)であり、それを最低価格を提示した企業間で等分するため、この場合に企業\(i\)が得る需要は、\begin{equation*}\frac{q\left( p_{i}\right) }{\left\vert \left\{ j\in I\ |\
p_{j}=p_{i}\right\} \right\vert }
\end{equation*}となります。ただし、分母は\(p_{i}\)と等しい価格を提示する企業の数です。最後に、企業\(i\)の価格\(p_{i}\)が最小ではない場合には、すなわち、\begin{equation*}p_{i}>\min \left\{ p_{j}\right\} _{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }
\end{equation*}が成り立つ場合には企業\(i\)の需要は\(0\)です。以上を踏まえると、すべての企業が提示する価格からなる組が\(p_{I}\)であるときに企業\(i\)が得る需要\(q_{i}\left(p_{I}\right) \)を特定する関数を\(q_{i}:\mathbb{R} _{+}^{n}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)と表記するのであれば、これはそれぞれの\(p_{I}\in \mathbb{R} _{+}^{n}\)に対して、\begin{equation*}q_{i}\left( p_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
q\left( p_{i}\right) & \left( if\ p_{i}<\min \left\{ p_{j}\right\} _{j\in
I\backslash \left\{ i\right\} }\right) \\
\dfrac{q\left( p_{i}\right) }{\left\vert \left\{ j\in I\ |\
p_{j}=p_{i}\right\} \right\vert } & \left( if\ p_{i}=\min \left\{
p_{j}\right\} _{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }\right) \\
0 & \left( if\ p_{i}>\min \left\{ p_{j}\right\} _{j\in I\backslash \left\{
i\right\} }\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。ただし、\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は市場の需要関数であり、これはそれぞれの\(p\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}q\left( p\right) =\frac{a-p}{b}
\end{equation*}を定めることを踏まえると、\begin{equation*}
q_{i}\left( p_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\dfrac{a-p_{i}}{b} & \left( if\ p_{i}<\min \left\{ p_{j}\right\} _{j\in
I\backslash \left\{ i\right\} }\right) \\
\dfrac{a-p_{i}}{b\left\vert \left\{ j\in I\ |\ p_{j}=p_{i}\right\}
\right\vert } & \left( if\ p_{i}=\min \left\{ p_{j}\right\} _{j\in
I\backslash \left\{ i\right\} }\right) \\
0 & \left( if\ p_{i}>\min \left\{ p_{j}\right\} _{j\in I\backslash \left\{
i\right\} }\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。

すべての企業が提示する価格からなる組が\(p_{I}\)である場合に企業\(i\)は需要\(q_{i}\left( p_{I}\right) \)を獲得するため、そこから収入\begin{equation*}p_{i}\cdot q_{i}\left( p_{I}\right)
\end{equation*}を得ます。その一方で、商品を\(q_{i}\left( p_{I}\right) \)だけ供給するために企業\(i\)が負担すべき費用は、\begin{equation*}c_{i}\left( q_{i}\left( p_{I}\right) \right) =c\cdot q_{i}\left(
p_{I}\right)
\end{equation*}であるため、企業\(i\)の利得関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(p_{I}\in \mathbb{R} _{+}^{n}\)に対して定める値、すなわち\(p_{I}\)のもとで企業\(i\)が得る利潤は、\begin{align*}u_{i}\left( p_{i},p_{-i}\right) & =p_{i}\cdot q_{i}\left( p_{I}\right)
-c\cdot q_{i}\left( p_{I}\right) \\
& =\left( p_{i}-c\right) \cdot q_{i}\left( p_{I}\right) \\
& =\left\{
\begin{array}{cc}
\dfrac{\left( p_{i}-c\right) \left( a-p_{i}\right) }{b} & \left( if\
p_{i}<\min \left\{ p_{j}\right\} _{j\in I\backslash \left\{ i\right\}
}\right) \\
\dfrac{\left( p_{i}-c\right) \left( a-p_{i}\right) }{b\left\vert \left\{
j\in I\ |\ p_{j}=p_{i}\right\} \right\vert } & \left( if\ p_{i}=\min \left\{
p_{j}\right\} _{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }\right) \\
0 & \left( if\ p_{i}>\min \left\{ p_{j}\right\} _{j\in I\backslash \left\{
i\right\} }\right)
\end{array}\right.
\end{align*}となります。

 

n企業ベルトラン競争におけるナッシュ均衡

\(n\)企業ベルトラン競争には以下のような純粋戦略ナッシュ均衡、すなわちベルトラン均衡が存在します。

命題(n企業ベルトラン均衡)
戦略型ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は\(I=\left\{ 1,\cdots,n\right\} \)であり、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合は\(\mathbb{R} _{+}\)であり、利得関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(p_{I}\in \mathbb{R} _{+}^{n}\)に対して、\begin{equation*}u_{i}\left( p_{i},p_{-i}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\dfrac{\left( p_{i}-c\right) \left( a-p_{i}\right) }{b} & \left( if\
p_{i}<\min \left\{ p_{j}\right\} _{j\in I\backslash \left\{ i\right\}
}\right) \\
\dfrac{\left( p_{i}-c\right) \left( a-p_{i}\right) }{b\left\vert \left\{
j\in I\ |\ p_{j}=p_{i}\right\} \right\vert } & \left( if\ p_{i}=\min \left\{
p_{j}\right\} _{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }\right) \\
0 & \left( if\ p_{i}>\min \left\{ p_{j}\right\} _{j\in I\backslash \left\{
i\right\} }\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。このゲーム\(G\)には広義の純粋戦略ナッシュ均衡\(p_{I}^{\ast }\in \mathbb{R} _{+}^{n}\)が存在し、それは、\begin{equation*}\forall i\in I:p_{i}^{\ast }=c
\end{equation*}を満たす。

証明

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n企業ベルトラン均衡の効率性

\(n\)企業ベルトラン均衡がもたらす結果はどの程度効率的なのでしょうか。効率性の尺度として社会的余剰を採用します。先に求めたように、\(n\)企業ベルトラン均衡\(p_{I}^{\ast}\)は、\begin{equation*}\forall i\in I:p_{i}^{\ast }=c
\end{equation*}であり、\(n\)企業ベルトラン均衡においてすべての企業は限界費用\(c\)と一致する価格を提示します。これは何を意味するのでしょうか。一般に、市場において完全競争が行われる場合には均衡において商品の価格と企業の限界費用と一致するとともに、その均衡において社会的余剰が最大化されます。したがって、\(n\)企業ベルトラン均衡においても社会的余剰が最大化されます。以上が\(n\)企業ベルトラン均衡の定性的な解釈ですが、この解釈が妥当であることを定量的に確認するために、まずは、\(n\)企業ベルトラン均衡において達成される社会的余剰を計算します。

命題(n企業ベルトラン均衡における社会的余剰)
市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}p\left( q\right) =a-bq
\end{equation*}を定めるとともに、それぞれの企業\(i\in I=\left\{1,\cdots ,n\right\} \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(q_{i}\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}c_{i}\left( q_{i}\right) =cq_{i}
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。以上の市場においてベルトラン競争が行われる場合、ベルトラン均衡において、\begin{eqnarray*}PS &=&0 \\
CS &=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b} \\
TS &=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b}
\end{eqnarray*}となる。ただし、PSは生産者余剰、CSは消費者余剰、TSは総余剰(社会的余剰)である。

証明

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企業数に関する比較静学

\(n\)企業ベルトラン競争において達成される社会的余剰が明らかになりました。得られた結果を先の表に加えると以下が得られます。

$$\begin{array}{ccccc}
\hline
\quad & 各企業の供給量 & 市場の総供給量 & 均衡価格 & 総余剰 \\ \hline
完全競争 & \frac{a-c}{bn} & \frac{a-c}{b} & c& \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{2b} \\ \hline
ベルトラン均衡(2企業) & \frac{a-c}{2b} & \frac{a-c}{b} & c & \frac{\left(a-c\right) ^{2}}{2b} \\ \hline
ベルトラン均衡(n企業) & \frac{a-c}{bn} & \frac{a-c}{b} & c & \frac{\left(a-c\right) ^{2}}{2b} \\ \hline
カルテル & \frac{a-c}{4b} & \frac{a-c}{2b} & \frac{a+c}{2} & \frac{3\left( a-c\right) ^{2}}{8b} \\ \hline
\end{array}$$

上の表から確認できるように、\(n\)企業ベルトラン競争の結果において\(n=2\)とおけば、それはそのまま複占市場におけるベルトラン均衡の結果と一致します。したがって、\(n\)企業間のベルトラン競争は複占市場におけるベルトラン競争の一般化になっています。市場の総供給や均衡価格、総余剰などはいずれも企業数\(n\)に依存しない値であるとともに、これは\(2\)企業ベルトラン均衡における値と一致します。つまり、ベルトラン競争が行われる市場において企業数が\(1\)から\(2\)へ変化すると均衡価格が限界費用まで急激に下落して死荷重が喪失しますが、企業数をそれ以上増やした場合、均衡における各企業の供給量は企業数に逆比例する形で減少していく一方で、均衡価格や総余剰は変化しません。

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