企業数の変化がクールノー競争に与える影響

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クールノー競争において企業数が限りなく増えるにつれて企業間の競争が激化し、最終的にクールノー均衡は完全競争均衡へ限りなく近づいていきます。

2019年10月30日:公開

企業数を一般化したクールノー競争のモデル

これまでは線型の逆需要曲線によって特徴づけられる市場において、一定かつ等しい限界費用を持つ 2 つの企業が生産量を決定する状況を想定してきました。具体的には、市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、それぞれの総供給量\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}
p\left( q\right) =a-bq
\end{equation*}という均衡価格を定め、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、自身のそれぞれの生産量\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}
c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}\quad \left( i=1,2\right)
\end{equation*}という費用を定めるものとしました。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)が成り立ちます。

さらに、このような市場において、(1) 両企業がクールノー競争を行った場合のクールノー均衡、(2) 完全競争が行われた場合の完全競争均衡、(3) 両企業がカルテルを結んだ場合の独占均衡それぞれについて、均衡における価格や生産量、社会的余剰(死荷重)などを明らかにし、それらを比較しました。その結果を改めてまとめたものが以下の表です。ただし、完全競争均衡における各企業の供給\(\frac{a-c}{bn}\)に含まれる\(n\)は企業数を表しています。また、カルテルにおける各企業の供給は、両企業が独占均衡供給\(\frac{a-c}{2b}\)を二等分することを前提とした値になっています。

$$\begin{array}{ccccc}
\hline
\quad & 各企業の供給 & 市場の総供給 & 均衡価格 & 死荷重 \\ \hline
完全競争均衡 & \frac{a-c}{bn} & \frac{a-c}{b} & c & 0 \\ \hline
クールノー均衡 & \frac{a-c}{3b} & \frac{2\left( a-c\right) }{3b} & \frac{a+2c}{3} & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{18b} \\ \hline
カルテル & \frac{a-c}{4b} & \frac{a-c}{2b} & \frac{a+c}{2} & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{8b} \\ \hline
\end{array}$$

表:まとめ

これまで考えてきたクールノー競争は複占市場、すなわち 2 つの企業が競争する状況でのものでしたが、より一般的な寡占的状況においてもクールノー競争を考えることはできるでしょうか。言い換えると、2 社よりも多い企業がクールノー競争を行う場合には、企業数が増えるにつれて、それぞれの企業の供給がどのように変化し、それに応じて市場の総供給、均衡価格、そして死荷重にどのような影響を与えるでしょうか。このような疑問に答えるために、まずは企業数を\(n\)とするクールノー競争を表す戦略型ゲームをモデル化します。\(n=2\)であれば、それはこれまで考えた通常のクールノー競争であり、\(n=1\)であれば独占市場になります。

そこで、以下のような戦略型ゲーム\(G\)を考えます。まず、ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は\(I=\{1,2,\cdots ,n\}\)です。ただし、\(i\in I\)は企業\(i\)を表します。また、企業\(i\)の純戦略集合を\(S_{i}=\mathbb{R} _{+}\)と定めます。つまり、それぞれの企業\(i\)は商品の生産量として任意の非負の実数\(q_{i}\geq 0\)を選択できます。すべてのプレイヤーの純戦略の組、すなわち生産量の組を\(q_{I}=\left( q_{i}\right) _{i\in I}\)で表します。また、企業\(i\)以外の\(n-1\)個の企業による生産量の組を\(q_{-i}=\left( q_{j}\right) _{j\in I\backslash \{i\}}\)で表します。\(q_{I}=\left( q_{i},q_{-i}\right) \)です。プレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}\left( q_{I}\right) \)としては様々な可能性がありますが、典型的なものは利潤を利得と同一視するというものです。両企業は生産した商品をすべて市場に供給するのであれば、純戦略の組\(q_{I}\)のもとでの市場の総供給量は\(\sum_{j=1}^{n}q_{j}\)となるため、企業\(i\)の利得関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\)は、\begin{align*}
u_{i}\left( q_{i},q_{-i}\right) & =\left[ a-b\left( \sum_{j=1}^{n}q_{j}\right) \right] \cdot q_{i}-c\cdot q_{i} \\
& =\left[ a-b\left( \sum_{j=1}^{n}q_{j}\right) -c\right] \cdot q_{i}
\end{align*}となります。ただし、\(a,b,c>0\)はいずれも定数であり、\(a>c\)が成り立つものとします。

 

クールノー均衡の導出

企業\(i\)以外の\(n-1\)個の企業の純戦略の組\(q_{-i}=\left( q_{j}\right) _{i\in I\backslash \{i\}}\)を所与とするとき、それに対する企業\(i\)の純最適反応は、\(q_{-i}\)の水準を所与としたときの以下の最大化問題\begin{equation*}
\max_{q_{1}\in \mathbb{R} _{+}}u_{i}\left( q_{i},q_{-1}\right) =\max_{q_{1}\in \mathbb{R} _{+}}\left[ a-b\left( \sum_{j=1}^{n}q_{j}\right) -c\right] \cdot q_{i}
\end{equation*}の解です。目的関数を変数\(q_{i}\)について整理すると、\begin{equation*}
u_{i}\left( q_{i},q_{-1}\right) =-bq_{i}^{2}+\left[ a-b\left( \sum_{j\in I\backslash \{i\}}q_{j}\right) -c\right] \cdot q_{i}
\end{equation*}となります。このとき、\begin{align*}
& \frac{\partial u_{i}\left( q_{i},q_{-1}\right) }{\partial q_{i}}=-2bq_{i}+a-b\left( \sum_{j\in I\backslash \{i\}}q_{j}\right) -c \\
& \frac{\partial ^{2}u_{i}\left( q_{i},q_{-1}\right) }{\partial q_{i}^{2}}=-2b<0 \end{align*}となるため、\(u_{i}\left( q_{i},q_{-1}\right) \)は\(q_{i}\)に関する狭義凹関数です。したがって大域的最適化のための十分条件より、\begin{equation*} \frac{\partial u_{i}\left( q_{i},q_{-1}\right) }{\partial q_{i}}=0 \end{equation*}すなわち、\begin{equation*} -2bq_{i}+a-b\left( \sum_{j\in I\backslash \{i\}}q_{j}\right) -c=0 \end{equation*}すなわち、\begin{equation} q_{i}=\frac{a-b\left( \sum\limits_{j\in I\backslash \{i\}}q_{j}\right) -c}{2b} \tag{1} \end{equation}が先の最大化問題の一意的な解となります。つまり、それぞれの\(q_{-i}\)に対するプレイヤー\(i\)の純最適反応\(q_{i}\)は\(\left( 1\right) \)として定まります。 同様の議論は任意の企業\(i\in I\)について成り立ちます。したがって、純戦略の組\(q_{I}^{\ast }=\left( q_{i}^{\ast }\right) _{i\in I}\)が純ナッシュ均衡であるならばそれは純最適反応の組であるため、\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation} q_{i}^{\ast }=\frac{a-b\left( \sum\limits_{j\in I\backslash \{i\}}q_{j}^{\ast }\right) -c}{2b} \tag{2} \end{equation}が成り立つはずです。ただし、ここではすべての企業が対称的であること、すなわち同一の利得関数を持っている状況を想定しているため、ナッシュ均衡を構成するそれぞれの企業の純戦略もまた等しくなるはずです。つまり、任意の\(i\in I\)について\(q_{i}^{\ast }=q^{\ast }\)を満たすような生産量\(q^{\ast }\geq 0\)が存在するということです。すると\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation*} q^{\ast }=\frac{a-b\left( n-1\right) q^{\ast }-c}{2b} \end{equation*}が得られます。これを\(q^{\ast }\)について解くと、\begin{eqnarray*} q^{\ast }=\frac{a-b\left( n-1\right) q^{\ast }-c}{2b} &\Leftrightarrow &\left[ 1+\frac{1}{2}\left( n-1\right) \right] q^{\ast }=\frac{a-c}{2b} \\ &\Leftrightarrow &q^{\ast }=\frac{a-c}{\left( n+1\right) b} \end{eqnarray*}となります。したがって、純ナッシュ均衡\(q_{I}^{\ast }=\left( q_{i}^{\ast }\right) _{i\in I}\)は任意の企業\(i\in I\)について、\begin{equation*} q_{i}^{\ast }=\frac{a-c}{\left( n+1\right) b} \end{equation*}を満たします。結果を命題としてまとめておきます。

命題(n 社の企業が参加するクールノー競争)
\(n\)社の企業が参加するクールノー競争を表す戦略型ゲーム\(G\)において、市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*} \forall q\geq 0:p\left( q\right) =a-bq \end{equation*}を満たし、企業\(i\in I=\{1,2,\cdots ,n\}\)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*} \forall q_{i}\geq 0:c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i} \end{equation*}を満たす。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。このゲーム\(G\)には純ナッシュ均衡\(q_{I}^{\ast }=\left( q_{i}^{\ast }\right) _{i\in I}\)が存在し、それは、\begin{equation*}
\forall i\in I:q_{i}^{\ast }=\frac{a-c}{\left( n+1\right) b}
\end{equation*}を満たす。

モデルの仮定より\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)であることから、\(n\)が有限な自然数である限り\(q_{i}^{\ast }>0\)が成り立ちます。つまり、有限個の企業が参加するクールノー均衡において、すべての企業は正の量の商品を生産します。

クールノー均衡\(q_{I}^{\ast }\)における総供給量は\(\sum\limits_{i=1}^{n}q_{i}^{\ast }=\frac{n\left( a-c\right) }{\left( n+1\right) b}\)であるため、クールノー均衡における商品の市場価格は、\begin{eqnarray*}
p\left( q_{I}^{\ast }\right) &=&p\left( \frac{n\left( a-c\right) }{\left( n+1\right) b}\right) \\
&=&a-b\cdot \frac{n\left( a-c\right) }{\left( n+1\right) b} \\
&=&a-\frac{n\left( a-c\right) }{n+1} \\
&=&\frac{a+nc}{n+1}
\end{eqnarray*}となります。このとき、\begin{eqnarray*}
p\left( q_{I}^{\ast }\right) -c &=&\frac{a+nc}{n+1}-c \\
&=&\frac{\left( a+nc\right) -c\left( n+1\right) }{n+1} \\
&=&\frac{a-c}{n+1} \\
&>&0\quad \because a>c
\end{eqnarray*}すなわち\(p\left( q_{I}^{\ast }\right) >c\)が成り立ちます。

クールノー均衡\(q_{I}^{\ast }\)においてそれぞれの企業\(i\)が得る利得すなわち利潤は、\begin{eqnarray*}
u_{i}\left( q_{I}^{\ast }\right) &=&p\left( q_{I}^{\ast }\right) \cdot q_{i}^{\ast }-cq_{i}^{\ast } \\
&=&\left[ p\left( q_{I}^{\ast }\right) -c\right] \cdot q_{i}^{\ast } \\
&=&\frac{a-c}{n+1}\cdot \frac{a-c}{\left( n+1\right) b} \\
&=&\frac{\left( a-c\right) ^{2}}{\left( n+1\right) ^{2}b}
\end{eqnarray*}となります。したがって、クールノー均衡\(q_{I}^{\ast }\)における生産者余剰は、\begin{equation*}
n\cdot u_{i}\left( q_{I}^{\ast }\right) =\frac{n\left( a-c\right) ^{2}}{\left( n+1\right) ^{2}b}
\end{equation*}であり、これは下図中の \(PS\) に相当します。

図:クールノー均衡における社会的余剰
図:クールノー均衡における社会的余剰

クールノー均衡\(q_{I}^{\ast }\)における消費者余剰は上図中の \(CS\) に相当するため、\begin{equation*}
\left( \frac{a+nc}{n+1}-c\right) \cdot \frac{n\left( a-c\right) }{\left( n+1\right) b}=\frac{n\left( a-c\right) ^{2}}{\left( n+1\right) ^{2}b}
\end{equation*}となります。したがって、クールノー均衡\(q_{I}^{\ast }\)における社会的余剰(生産者余剰+消費者余剰)は、\begin{equation*}
\frac{n\left( a-c\right) ^{2}}{\left( n+1\right) ^{2}b}+\frac{n\left( a-c\right) ^{2}}{\left( n+1\right) ^{2}b}=\frac{2n\left( a-c\right) ^{2}}{\left( n+1\right) ^{2}b}
\end{equation*}となります。

図:クールノー均衡における死荷重
図:クールノー均衡における死荷重

ちなみに、この場合の死荷重は上図の \(DWL\) として表されているため、その水準は、\begin{equation*}
\left( \frac{a+nc}{n+1}-c\right) \left( \frac{a-c}{b}-\frac{n\left( a-c\right) }{\left( n+1\right) b}\right) \frac{1}{2}=\frac{1}{2b}\left( \frac{a-c}{n+1}\right) ^{2}
\end{equation*}となります。

 

企業数の変化がクールノー均衡に与える影響

得られた結果を先の表に加えると以下が得られます。

$$\begin{array}{ccccc}
\hline
\quad & 各企業の供給 & 市場の総供給 & 均衡価格 & 死荷重 \\ \hline
完全競争均衡 & \frac{a-c}{bn} & \frac{a-c}{b} & c & 0 \\ \hline
クールノー均衡(2企業) & \frac{a-c}{3b} & \frac{2\left( a-c\right) }{3b} & \frac{a+2c}{3} & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{18b} \\ \hline
クールノー均衡(n企業) & \frac{a-c}{\left( n+1\right) b} & \frac{n\left( a-c\right) }{\left( n+1\right) b} & \frac{a+nc}{n+1} & \frac{1}{2b}\left( \frac{a-c}{n+1}\right) ^{2} \\ \hline
カルテル & \frac{a-c}{4b} & \frac{a-c}{2b} & \frac{a+c}{2} & \frac{\left( a-c\right) ^{2}}{8b} \\ \hline
\end{array}$$

表:まとめ

上の表から確認できるように、\(n\)企業間のクールノー競争の結果において\(n=2\)とおけば、それはそのまま\(2\)企業間のクールノー競争の結果と一致します。したがって、\(n\)企業間のクールノー競争は\(2\)企業間のクールノー競争のきちんとした一般化になっています。また、\(n=1\)とおけばそれはカルテル(独占均衡)の結果と一致するため、\(n\)企業間のクールノー競争は独占の一般化にもなっています。では、\(n\)企業間のクールノー競争と完全競争均衡の間にはどのような関係が成り立つでしょうか。

\(n\)企業間のクールノー競争の均衡における市場の供給量\(\frac{n\left( a-c\right) }{\left( n+1\right) b}\)や均衡価格\(\frac{a+nc}{n+1}\)、そして死荷重\(\frac{1}{2b}\left( \frac{a-c}{n+1}\right) ^{2}\)それぞれについて、\(n\rightarrow +\infty \)のときの極限をとると、\begin{eqnarray*}
&&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n\left( a-c\right) }{\left( n+1\right) b}=\frac{a-c}{b} \\
&&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{a+nc}{n+1}=c \\
&&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[ \frac{1}{2b}\left( \frac{a-c}{n+1}\right) ^{2}\right] =0
\end{eqnarray*}となり、これらはそれぞれ完全競争均衡における市場の供給量、均衡価格、そして死荷重と一致します。つまり、クールノー競争において企業数が限りなく増えるにつれて企業間の競争が激化し、最終的にクールノー均衡は完全競争均衡へ限りなく近づくということです。

では、企業数\(n\)が増えるにつれてクールノー競争はどのように激化していくのでしょうか。そのことを確認するために、横軸に企業数\(n\)、縦軸にクールノー均衡における均衡価格\(\frac{a+nc}{n+1}\)をとった上でグラフを描きます。ただし、グラフを描くためには\(a\)(市場供給が\(0\)のときの商品価格)と\(c\)(すべての企業に共通する限界費用)を特定する必要があります。モデルの条件である\(a,c>0\)かつ\(a>c\)を満たす範囲で\(\left( a,c\right) \)の組み合わせを何通りか選び、それぞれの場合についてグラフを描きました。赤いグラフは\(\left( a,c\right) =\left( 2,1\right) \)の場合、青いグラフは\(\left( a,c\right) =\left( 3,1\right) \)の場合、緑のグラフは\(\left( a,c\right) =\left( 4,1\right) \)の場合にそれぞれ対応しています。

図:クールノー競争の激しさの変化
図:クールノー競争の激しさの変化

グラフから確認できるように、いずれの場合も、企業数の増加とともにクールノー均衡価格が徐々に下落しながら完全競争価格へ近づいていきます。これは、後ほど考えるベルトラン競争とは対照的な結果です(ベルトラン競争では企業数が\(1\)から\(2\)へ変化すると均衡価格が限界費用の水準まで急激に下落する)。

次回は企業が非対称的な生産構造を持つ場合のクールノー競争について分析します。

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