ゲームに参加するプレイヤーはそれぞれ明確な目的を持ち、その目的を達成するために最適な行動を選択するものと仮定します。さらに、プレイヤーの目的は自己の利得の最大化であると仮定します。つまり、ゲームに参加するプレイヤーたちは、意志決定の際に自分の利得の最大化をめざすという意味において利己的であるものと仮定します。
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合理性の仮定

完備情報の静学ゲームを戦略型ゲームとして定式化し、そこでプレイヤーたちに与えられる選択肢を純粋戦略として定式化しました。では、プレイヤーたちはどのような原理にもとづいて意思決定を行うのでしょうか。戦略型ゲームや純粋戦略などの概念は、ゲームのルールやプレイヤーに与えられる選択肢を定式化したものであり、プレイヤーたちの行動原理については何も言っていません。プレイヤーたちの行動原理については、別途、規定する必要があります。

ゲーム理論では、ゲームに参加するプレイヤーはそれぞれ明確な目的を持ち、その目的を達成するために最適な戦略を選択するものと仮定します。この意味においてプレイヤーは合理的(rational)です。さらに、多くの場合、プレイヤーの目的は自己の利得の最大化であるものと仮定します。つまり、ゲームに参加するプレイヤーは自分の利得の最大化をめざすという意味において利己的(selfish)です。なお、合理性と利己性を総称して合理性と呼ぶこともあります。

プレイヤーの行動原理に関して合理性を仮定することは、プレイヤーが自己の利得を最大化するために最適な純粋戦略を選択するものと仮定することを意味します。この仮定はどれくらい現実的でしょうか。合理性の仮定が実際に成り立つことを保証するためには、戦略型ゲーム\(G=(I,\left\{ S_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ u_{i}\right\} _{i\in I})\)に関して、少なくとも以下を要求する必要があります。

  1. それぞれのプレイヤー\(i\in I\)は、自分がプレーしている戦略型ゲーム\(G\)において起こり得るすべての結果を把握している。プレイヤーたちが選択する純粋戦略の組\(s_{I}\in S_{I}\)に対してゲームの結果が 1 つずつ定まるため、純粋戦略の組を結果と同一視するのであれば、この仮定は、それぞれのプレイヤーが、自分を含めた全員の純戦略集合を把握するに十分な情報理解力を有していることを要求する。
  2. それぞれのプレイヤー\(i\in I\)は、ゲームにおいて起こり得るそれぞれの結果\(s_{I}\in S_{I}\)から自身が得る利得\(u_{i}\left( s_{I}\right) \)を把握し、その上で、自身の利得を最大化するような純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)を特定するに十分な知能を持っていることを要求する。

完備情報の静学ゲームを戦略型ゲーム\(G\)として定式化するとき、その要素であるプレイヤー集合\(I\)、任意のプレイヤー\(i\)の純戦略集合\(S_{i}\)、任意のプレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}\)はいずれもプレイヤーたちの共有知識とみなされます。一方、プレイヤーの合理性は戦略型ゲーム\(G\)の要素ではないため、「プレイヤーたちが合理的である」という事実は、プレイヤーたちの共有知識であるとは限りません。

ただ、ゲーム理論では多くの場合、プレイヤーの合理性は相互知識であるものと仮定した上で分析を行います。つまり、すべてのプレイヤーが合理的であることをすべてのプレイヤーが知っていることを仮定します。プレイヤーの合理性を共有知識と仮定する場合もあります。つまり、すべてのプレイヤーが合理的であることをすべてのプレイヤーが知っており、なおかつ、その事実をすべてのプレイヤーが知っており、\(\cdots \)、という仮定を無限に積み重ねるということです。後ほど明らかになるように、プレイヤーたちの合理性を共有知識とみなすか、相互知識とみなすか、その仮定の強さによって得られる結論も変わってくるため、注意が必要です。

 

純粋戦略均衡

戦略型ゲーム\(G\)として表現される完備情報の静学ゲームに直面したそれぞれのプレイヤー\(i\)は、合理性の仮定のもとで、自身が選択可能な純粋戦略の集合\(S_{i}\)の中から自身の利得を最大化する純粋戦略を選ぶものと仮定します。そのような純粋戦略を\(s_{i}^{\ast }\)で表し、これをプレイヤー\(i\)の最適戦略(best strategy)と呼びます。

プレイヤーたちが最適戦略を選ぶ目的は自身の利得の最大化ですが、最適戦略の具体的な内容は戦略型ゲーム\(G\)の要素とは別にゲームの分析者が定義する必要があります。つまり、ゲームの分析家は最適戦略の意味をあらかじめ規定した上で、そこで規定された最適戦略の概念のもとでプレイヤーたちが具体的にどのように振る舞い、そこからどのような結果がもたらされるかを分析する、ということです。したがって、同じゲーム\(G\)を分析対象とする場合でも、異なる最適戦略の概念のもとで分析を行えば異なる分析結果が得られます。分析家がどのような最適戦略の概念を採用するかは非常に重要な問題です。

最適戦略の意味を定義することとは、それぞれの戦略型ゲーム\(G\)に対して、そこでの最適戦略の組\(s_{I}^{\ast }=(s_{i}^{\ast })_{i\in I}\in S_{I}\)を定める概念を特定することを意味します。そこで、そのような概念を均衡概念(equilibrium concept)や解の概念(solution concept)などと呼びます。また、均衡概念がそれぞれの戦略型ゲーム\(G\)に対して定める最適戦略の組\(s_{I}^{\ast }\)を\(G\)の均衡(equilibrium)や純粋戦略均衡(pure strategy equilibrium)などと呼び、均衡\(s_{I}^{\ast }\)を構成するプレイヤー\(i\)の最適戦略\(s_{i}^{\ast }\)を\(i\)の均衡戦略(equilibrium strategy)と呼びます。さらに、戦略型ゲーム\(G\)の均衡が\(s_{I}^{\ast }\)であるとき、ゲームのルールが\(s_{I}^{\ast }\)に対して\(G\)の結果を定めます、それを\(G\)の均衡結果(equilibrium outcome)と呼びます。その上で、均衡結果からプレイヤーたちが得る利得の組を\(u_{I}^{\ast }=(u_{i}(s_{I}^{\ast }))_{i\in I}\in \mathbb{R} ^{n}\)で表します。

ある均衡概念を分析家が定義したとき、その均衡概念のもとで、それぞれの戦略型ゲームに純粋戦略均衡は存在するとは限りません。また、純粋戦略均衡が存在する場合においても、それは一意的に定まるとは限りません。したがって、完備情報の静学ゲームが戦略型ゲームとして表現されるとき、均衡概念とは、それぞれの戦略型ゲームに対してそこでの純粋戦略均衡を定める対応として定式化されます。

古典的経済学の一般均衡モデル(general equilibrium model)における均衡とは、個々の経済主体が最適な行動を選択した結果として得られる価格の集合です。一方、ゲーム理論における均衡とは、ゲームに対する最適戦略の組を定める対応に相当する概念です。したがって、一般均衡モデルをゲーム論的に解釈するならば、個々の経済主体による商品の売買ルールが均衡に相当し、その結果として得られる価格の集合は均衡そのものではなく、均衡結果に相当します。

次回は混合戦略と呼ばれる概念について解説します。

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