あるプレイヤーの混合戦略が別の混合戦略を弱支配すること、弱支配混合戦略、弱支配混合戦略均衡などについて解説します。

弱支配

問題としている戦略的状況が完備状況の静学ゲームであり、それが戦略型ゲーム\(G=\left( I,\left\{ S_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ u_{i}\right\} _{i\in I}\right) \)として表現されているものとします。復習になりますが、プレイヤー\(i\in I\)が選択可能な2つの異なる純粋戦略\(s_{i},s_{i}^{\prime }\in S_{i}\)に注目したとき、\(s_{i}\)が\(s_{i}^{\prime }\)を弱支配することとは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall s_{-i}\in S_{-i}:u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right)
\geq u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}:u_{i}\left(
s_{i},s_{-i}^{\prime }\right) >u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}^{\prime
}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。他のプレイヤーたちがどのような純粋戦略の組\(s_{-i}\in S_{-i}\)を選ぶ場合においても、プレイヤー\(i\)が\(s_{i}\)を選んだときに得る利得\(u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right) \)が\(s_{i}^{\prime }\)を選んだときに得る利得\(u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}\right) \)以上であるとともに、他のプレイヤーたちの少なくとも1つの純戦略の組\(s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}\)について、プレイヤー\(i\)が\(s_{i}\)を選んだときに得る利得\(u_{i}\left( s_{i},s_{-i}^{\prime }\right) \)が\(s_{i}^{\prime }\)を選んだときに得る利得\(u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}^{\prime }\right) \)よりも大きいということです。

弱支配の概念は、戦略型ゲームの\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)においても容易に拡張されます。つまり、プレイヤー\(i\in I\)が選択可能な2つの異なる混合戦略\(\sigma _{i},\sigma _{i}^{\prime }\in \Delta \left( S_{i}\right) \)に注目したとき、他のプレイヤーたちがどのような混合戦略の組\(\sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right) \)を選ぶ場合においても、プレイヤー\(i\)が\(\sigma _{i}\)を選んだときに得る期待利得\(F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}\right) \)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を選んだときに得る期待利得\(F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma _{-i}\right) \)以上であるとともに、他のプレイヤーたちの少なくとも1つの混合戦略の組\(\sigma _{-i}^{\prime }\in \Delta \left( S_{-i}\right) \)について、プレイヤー\(i\)が\(\sigma _{i}\)を選んだときに得る期待利得\(F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}^{\prime }\right) \)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を選んだときに得る期待利得\(F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma _{-i}^{\prime }\right) \)よりも大きい場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall \sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right)
:F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}\right) \geq F_{i}\left( \sigma
_{i}^{\prime },\sigma _{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists \sigma _{-i}^{\prime }\in \Delta \left(
S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}^{\prime }\right)
>F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma _{-i}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つのであれば、\(\sigma _{i}\)は\(\sigma _{i}^{\prime }\)を弱支配する(weakly dominate)や支配する(dominate)などと言います。同じことを、\(\sigma _{i}^{\prime }\)は\(\sigma _{i}\)に弱支配される(weakly dominated)や支配される(dominated)などと言うこともできます。

純粋戦略は特別な混合戦略であるため、混合戦略が別の混合戦略を支配することの意味を規定する上の定義は、純粋戦略が別の純粋戦略を支配すること、混合戦略が別の純粋戦略を支配すること、純粋戦略が別の混合戦略を支配することの定義などを内包しています。

繰り返しになりますが、プレイヤー\(i\)の異なる混合戦略\(\sigma _{i},\sigma _{i}^{\prime }\)について、\(\sigma _{i}\)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を支配することは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall \sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right)
:F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}\right) \geq F_{i}\left( \sigma
_{i}^{\prime },\sigma _{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists \sigma _{-i}^{\prime }\in \Delta \left(
S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}^{\prime }\right)
>F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma _{-i}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことを意味します。ただ、それぞれのプレイヤーは無数の混合戦略を持つことから、他のプレイヤーたちの混合戦略の組\(\sigma _{-i}\)も無数に存在します。無数通りの\(\sigma _{-i}\)を対象に\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)が成り立つことを確認するのは実質的に不可能です。ただ、このような問題は解決可能です。実は、上の条件は以下の命題\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall s_{-i}\in S_{-i}:F_{i}\left( \sigma
_{i},s_{-i}\right) \geq F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },s_{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}:F_{i}\left( \sigma
_{i},s_{-i}^{\prime }\right) >F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime
},s_{-i}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}と必要十分です。以上の事実は、\(\sigma _{i}\)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を支配することを示す際に、他のプレイヤーたちがとり得る戦略を純粋戦略に限定しても一般性は失われないことを意味しています。

命題(弱支配の特徴づけ)
戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)において、プレイヤー\(i\in I\)の異なる混合戦略\(\sigma _{i},\sigma _{i}^{\prime }\in \Delta \left( S_{i}\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall s_{-i}\in S_{-i}:F_{i}\left( \sigma
_{i},s_{-i}\right) \geq F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },s_{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}:F_{i}\left( \sigma
_{i},s_{-i}^{\prime }\right) >F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime
},s_{-i}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことは、\(\sigma _{i}\)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を弱支配するための必要十分条件である。
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証明のスケッチは以下の通りです。まずは必要性の証明です。\(\sigma _{i}\)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を弱支配するものとします。他のプレイヤーたちの純粋戦略の組\(s_{-i}\in S_{-i}\)を任意に選んだ上で、そこから、\begin{equation}
\forall j\in I\backslash \left\{ i\right\} :\sigma _{j}\left( s_{j}\right) =1
\tag{1}
\end{equation}を満たす混合戦略の組\(\sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right) \)を作ります。\(\sigma _{i}\)は\(\sigma _{i}^{\prime }\)を弱支配するため、この\(\sigma _{-i}\)に対しても、\begin{equation*}
F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}\right) \geq F_{i}\left( \sigma
_{i}^{\prime },\sigma _{-i}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。\(\left( 1\right) \)を踏まえた上でこれを具体的に表現すると、\begin{equation*}
\sum_{s_{i}\in S_{i}}\left[ \sigma _{i}\left( s_{i}\right) \cdot u_{i}\left(
s_{i},s_{-i}\right) \right] \geq \sum_{s_{i}\in S_{i}}\left[ \sigma
_{i}^{\prime }\left( s_{i}\right) \cdot u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right) \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation}
F_{i}\left( \sigma _{i},s_{-i}\right) \geq F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime
},s_{-i}\right) \tag{2}
\end{equation}を得ます。以上の議論は任意の\(s_{i}\in S_{-i}\)に関して成り立ちますが、仮に、任意の\(s_{-i}\)に対して上の不等式が等号で成立する場合、すなわち、\begin{equation}
\forall s_{-i}\in S_{-i}:F_{i}\left( \sigma _{i},s_{-i}\right) =F_{i}\left(
\sigma _{i}^{\prime },s_{-i}\right) \tag{3}
\end{equation}が成り立つ場合、任意の\(\sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right) \)について、\begin{eqnarray*}
F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}\right) &=&\sum_{s_{-i}\in
S_{-i}}\sigma _{-i}\left( s_{-i}\right) \cdot F_{i}\left( \sigma
_{i},s_{-i}\right) \quad \because F_{i}\text{の定義} \\
&=&\sum_{s_{-i}\in S_{-i}}\sigma _{-i}\left( s_{-i}\right) \cdot F_{i}\left(
\sigma _{i}^{\prime },s_{-i}\right) \quad \because \left( 3\right) \\
&=&F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma _{-i}\right) \quad \because F_{i}\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、これは\(\sigma _{i}\)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を弱支配することと矛盾です。したがって、少なくとも1つの\(s_{-i}\)について\(\left( 2\right) \)は狭義の不等号で成立します。以上で証明が完了しました。十分性の証明は演習問題にします。

例(弱支配)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1/2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & 1,1 \\ \hline
M & 0,0 & 1,0 \\ \hline
D & -1,2 & 2,-1 \\ \hline
\end{array}$$
表:弱支配

プレイヤー\(1\)が選択可能な以下の2つの混合戦略\begin{eqnarray*}
\sigma _{1} &=&\left( \sigma _{1}\left( U\right) ,\sigma _{1}\left( M\right)
,\sigma _{1}\left( D\right) \right) =\left( \frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)
\\
\sigma _{1}^{\prime } &=&\left( \sigma _{1}^{\prime }\left( U\right) ,\sigma
_{1}^{\prime }\left( M\right) ,\sigma _{1}^{\prime }\left( D\right) \right)
=\left( 0,1,0\right)
\end{eqnarray*}に注目します。このとき、\begin{eqnarray*}
F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) &=&1\cdot \frac{1}{2}+0\cdot 0-1\cdot
\frac{1}{2}=0 \\
F_{1}\left( \sigma _{1}^{\prime },L\right) &=&1\cdot 0+0\cdot 1-1\cdot 0=0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) =F_{1}\left( \sigma _{1}^{\prime },L\right)
\tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。また、\begin{eqnarray*}
F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) &=&1\cdot \frac{1}{2}+1\cdot 0+2\cdot
\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \\
F_{1}\left( \sigma _{1}^{\prime },R\right) &=&1\cdot 0+1\cdot 1+2\cdot 0=1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) >F_{1}\left( \sigma _{1}^{\prime },R\right)
\tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)と先の命題より、\(\sigma _{1}\)は\(\sigma _{1}^{\prime }\)を弱支配します。

純粋戦略どうしの弱支配だけでなく、混合戦略どうしの弱支配についてまで広げて考えなければならない何らかの理由はあるのでしょうか。以下の例が示唆するように、いかなる純粋戦略によっても弱支配されない純粋戦略が混合戦略によって弱支配されるという事態は起こり得ます。

例(弱支配)
以下の利得行列で表される戦略型ゲーム\(G\)について考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,0 & -1,0 \\ \hline
M & 0,0 & 0,0 \\ \hline
D & -1,0 & 2,0 \\ \hline
\end{array}$$
表:弱支配

プレイヤー\(1\)の純戦略\(M\)は他のいかなる純粋戦略によっても強支配されません(確認してください)。その一方で、純戦略\(M\)は以下の混合戦略\begin{equation*}
\sigma _{1}=(\sigma _{1}(U),\sigma _{1}(M),\sigma _{1}(D))=\left( \frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}によって弱支配されます。実際、プレイヤー\(2\)の純粋戦略\(L\)に対しては、\begin{align*}
F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) & =\frac{1}{2}\cdot 1+0\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot \left( -1\right) =0 \\
F_{1}\left( M,L\right) & =0
\end{align*}となるため\(F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) =F_{1}\left( M,L\right) \)が成り立ち、プレイヤー\(2\)のもう一方の純粋戦略\(R\)に対しては、\begin{align*}
F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) & =\frac{1}{2}\cdot \left( -1\right)
+0\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot 2=\frac{1}{2} \\
F_{1}\left( M,R\right) & =0
\end{align*}となるため\(F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) >F_{1}\left( M,R\right) \)が成り立ちます。したがって、先の命題より、\(\sigma _{1}\)は\(M\)を弱支配します。

繰り返しになりますが、上の例が示唆するように、いかなる純粋戦略によっても弱支配されない純粋戦略が混合戦略によって弱支配されることはあります。ただ、すべての純粋戦略が何らかの混合戦略によって弱支配されるわけではありません。以下の例が示唆するように、いかなる混合戦略によっても弱支配されない純粋戦略が存在することもあります。

例(弱支配)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & -1,1 \\ \hline
D & -1,1 & 1,-1 \\ \hline
\end{array}$$
表:弱支配

プレイヤー\(1\)に関して、純粋戦略\(U,D\)はともに純戦略によって強支配されません(確認してください)。純粋戦略\(U,D\)とは異なるプレイヤー\(1\)の混合戦略\(\sigma _{1}\)を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ 0<\sigma _{1}\left( U\right) <1 \\
&&\left( b\right) \ 0<\sigma _{1}\left( D\right) <1 \\
&&\left( c\right) \ \sigma _{1}\left( U\right) +\sigma _{1}\left( D\right) =1
\end{eqnarray*}をすべて満たすプレイヤー\(1\)の混合戦略\begin{equation*}
\sigma _{1}=\left( \sigma _{1}\left( U\right) ,\sigma _{1}\left( D\right)
\right)
\end{equation*}を任意に選びます。このとき、\begin{eqnarray*}
F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) &<&1=F_{1}\left( U,L\right) \\
F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) &<&1=F_{1}\left( D,R\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つため(確認してください)、先の命題より、\(\sigma _{1}\)は\(U\)や\(D\)を弱支配しません。\(\sigma _{1}\)は\(U\)や\(D\)とは異なる任意の混合戦略であるため、\(U,D\)はともにいかなる混合戦略によっても弱支配されないことが明らかになりました。

プレイヤー\(1\)の混合戦略\(\sigma _{1}\)がそれとは別の混合戦略\(\sigma _{1}^{\prime }\)を強支配するものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall \sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma
_{i},\sigma _{-i}\right) >F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma
_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall \sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right)
:F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}\right) \geq F_{i}\left( \sigma
_{i}^{\prime },\sigma _{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists \sigma _{-i}^{\prime }\in \Delta \left(
S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}^{\prime }\right)
>F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma _{-i}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}はともに成り立つため、\(\sigma _{i}\)は\(\sigma _{i}^{\prime }\)を弱支配します。

命題(強支配と弱支配)

戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)においてプレイヤー\(i\in I\)の混合戦略\(\sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right) \)が混合戦略\(\sigma _{i}^{\prime }\in \Delta \left( S_{i}\right) \)を強支配するならば、\(\sigma _{i}\)は\(\sigma _{i}^{\prime }\)を弱支配する。

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上の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、\(\sigma _{i}\)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を弱支配するとき、\(\sigma _{i}\)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を強支配するとは限りません。これは以下の例からも明らかです。

例(強支配と弱支配)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて再び考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 2,8 \\ \hline
D & 8,2 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$
表:利得行列

プレイヤー\(1\)の混合戦略として、\begin{eqnarray*}
\sigma _{1} &=&\left( \sigma _{1}\left( U\right) ,\sigma _{1}\left( M\right)
,\sigma _{1}\left( D\right) \right) =\left( \frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)
\\
\sigma _{1}^{\prime } &=&\left( \sigma _{1}^{\prime }\left( U\right) ,\sigma
_{1}^{\prime }\left( M\right) ,\sigma _{1}^{\prime }\left( D\right) \right)
=\left( 0,1,0\right)
\end{eqnarray*}の2つに注目します。\(\sigma _{1}\)は\(\sigma _{1}^{\prime }\)を弱支配する一方、強支配しません(確認してください)。

復習になりますが、プレイヤーが強支配される戦略を選ばない根拠としては期待効用仮説だけで十分です。一方、プレイヤーが弱支配される戦略を選ばない根拠としては、期待効用仮説だけでは不十分です。その理由を解説するために、以下の利得行列で表されるゲームについて考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1/2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & 1,1 \\ \hline
M & 0,0 & 1,0 \\ \hline
D & -1,2 & 2,-1 \\ \hline
\end{array}$$

表:弱支配

プレイヤー\(1\)が選択可能な以下の2つの混合戦略\begin{eqnarray*}
\sigma _{1} &=&\left( \sigma _{1}\left( U\right) ,\sigma _{1}\left( M\right)
,\sigma _{1}\left( D\right) \right) =\left( \frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)
\\
\sigma _{1}^{\prime } &=&\left( \sigma _{1}^{\prime }\left( U\right) ,\sigma
_{1}^{\prime }\left( M\right) ,\sigma _{1}^{\prime }\left( D\right) \right)
=\left( 0,1,0\right)
\end{eqnarray*}に関して、\begin{eqnarray*}
F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) &=&F_{1}\left( \sigma _{1}^{\prime
},L\right) \\
F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) &>&F_{1}\left( \sigma _{1}^{\prime
},R\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため(確認してください)、\(\sigma _{1}^{\prime }\)は\(\sigma _{1}\)によって弱支配されます。そこで、期待効用仮説を仮定したとき、プレイヤー\(1\)が\(\sigma _{1}^{\prime }\)を選ぶ可能性を確実に排除できるでしょうか。仮に、プレイヤー\(1\)は合理的である一方で、それほど注意深くない人物であり、相手が\(L\)を選ぶことを確信しているものとします。この場合、プレイヤー\(1\)は\(\sigma _{1}\)と\(\sigma _{1}^{\prime }\)のどちらを選んだ場合でも等しい期待利得を得るため、期待効用仮説のもとで\(\sigma _{1}\)と\(\sigma _{1}^{\prime }\)は無差別であり、プレイヤー\(1\)が\(\sigma _{1}^{\prime }\)を選ぶ可能性を完全に排除することはできません。

一方、プレイヤー\(1\)は合理的であるとともに、注意深い人物であるものとします。ここでの注意深さとは、あらゆる不測の事態が起こり得ることを想定していることを意味します。より正確には、ゲームにおいて起こり得るすべての結果に対して、それぞれが実際に起こる確率を正であると評価しているということです。このような仮定を警戒心(caution)の仮定と呼びます。この場合、プレイヤー\(1\)は相手が\(R\)を選ぶ確率が\(0\)ではないと考えているため、プレイヤー\(1\)が\(\sigma _{1}^{\prime }\)を選ぶ確率は完全に排除されます。プレイヤーが弱支配される戦略を確実に選ばないことを保証するためには、期待効用仮説に加えて警戒心の仮定が必要だということです。

命題(弱支配される戦略が選ばれない根拠)
戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)において、プレイヤー\(i\in I\)の混合戦略\(\sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right) \)が自身の他の混合戦略によって弱支配される場合、期待効用仮説と警戒心の仮定のもとでは、プレイヤー\(i\)は\(\sigma _{i}\)を選択しない。
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弱支配混合戦略

プレイヤー\(i\in I\)のある混合戦略\(\sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right) \)が自身の他の任意の混合戦略を弱支配する場合には、すなわち、任意の\(\sigma _{i}^{\prime }\in \Delta \left( S_{i}\right) \backslash \left\{ \sigma _{i}\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall \sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right)
:F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}\right) \geq F_{i}\left( \sigma
_{i}^{\prime },\sigma _{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists \sigma _{-i}^{\prime }\in \Delta \left(
S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}^{\prime }\right)
>F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma _{-i}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}がとも成り立つ場合には、\(s_{i}\)をプレイヤー\(i\)の弱支配混合戦略(weakly dominant mixed strategy)や支配混合戦略(dominant mixed strategy)などと呼びます。

プレイヤーが弱支配混合戦略を持つ場合、それは一意的です。実際、プレイヤー\(i\)が異なる2つの弱支配混合戦略\(\sigma _{i},\sigma _{i}^{\prime }\)を持つものと仮定すると、\(\sigma _{i}\)は\(\sigma _{i}^{\prime }\)を弱支配するため、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall \sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right)
:F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}\right) \geq F_{i}\left( \sigma
_{i}^{\prime },\sigma _{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists \sigma _{-i}^{\prime }\in \Delta \left(
S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}^{\prime }\right)
>F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma _{-i}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちますが、\(\left( b\right) \)より、\(\sigma _{i}^{\prime }\)は\(\sigma _{i}\)を弱支配しないため、これは\(\sigma _{i}^{\prime }\)が弱支配戦略であることと矛盾です。

命題(弱支配混合戦略の一意性)
戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)において、プレイヤーが弱支配混合戦略を持つ場合、それは一意的である。
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繰り返しになりますが、プレイヤー\(i\)の混合戦略が別の混合戦略を弱支配することを示す際には、他のプレイヤーたちがとり得る戦略を純粋戦略に限定しても一般性は失われません。したがって、プレイヤー\(i\)の混合戦略\(\sigma _{i}\)が弱支配混合戦略であることを以下のように表現することも可能です。

命題(弱支配混合戦略の特徴づけ)
戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)において、プレイヤー\(i\in I\)とその混合戦略\(\sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right) \)、そしてそれ以外の任意の混合戦略\(\sigma _{i}^{\prime }\in \Delta \left( S_{i}\right) \backslash \left\{ \sigma _{i}\right\} \)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall s_{-i}\in S_{-i}:F_{i}\left( \sigma
_{i},s_{-i}\right) \geq F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },s_{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}:F_{i}\left( \sigma
_{i},s_{-i}^{\prime }\right) >F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime
},s_{-i}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことは、\(\sigma _{i}\)がプレイヤー\(i\)の弱支配混合戦略であるための必要十分条件である。
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とは言え、それぞれのプレイヤー\(i\)は無限個の混合戦略を持っており、無限通りの\(\sigma _{i}\)それぞれについて上の不等式が成り立つかどうかを検証するのは実質的に不可能です。ただ、このような問題は解決可能です。解決に向けた1つ目の指針は、プレイヤー\(i\)のある純粋戦略\(s_{i}\)が弱支配純粋戦略であるとき、\(s_{i}\)は弱支配混合戦略でもあるという事実です。

命題(弱支配純粋戦略は弱支配混合戦略)
戦略型ゲーム\(G\)において、プレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)が弱支配純粋戦略であるならば、\(G\)の混合拡張\(G^{\ast } \)において、\(s_{i}\)は弱支配混合戦略である。
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証明のスケッチは以下の通りです。プレイヤー\(i\)の純粋戦略\(s_{i}\)が弱支配純粋戦略であるとき、定義より、任意の\(s_{i}^{\prime }\in S_{i}\backslash \left\{ s_{i}\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall s_{-i}\in S_{-i}:u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right)
\geq u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}:u_{i}\left(
s_{i},s_{-i}^{\prime }\right) >u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}^{\prime
}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。\(s_{i}\)とは異なる任意の混合戦略\(\sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right) \backslash \left\{ s_{i}\right\} \)を選びます。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( c\right) \ 0\leq \sigma _{i}\left( s_{i}\right) <1 \\
&&\left( d\right) \ \sum_{s_{i}^{\prime }\in S_{i}\backslash \left\{
s_{i}\right\} }\sigma _{i}\left( s_{i}^{\prime }\right) =1-\sigma _{i}\left(
s_{i}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、これらを用いると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall s_{-i}\in S_{-i}:u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right)
\geq F_{i}\left( \sigma _{i},s_{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}:u_{i}\left(
s_{i},s_{-i}^{\prime }\right) >F_{i}\left( \sigma _{i},s_{-i}^{\prime
}\right)
\end{eqnarray*}が示されます(確認してください)。これは、\(s_{i}\)が\(\sigma _{i}\)を弱支配するための必要十分条件です。以上で証明が完了しました。

例(弱支配混合戦略)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 2,8 \\ \hline
D & 8,2 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$
表:弱支配戦略

プレイヤー\(1\)については、\(D\)が弱支配純粋戦略であるため(確認してください)、先の命題より、\(D\)は弱支配混合戦略でもあります。実際、純粋戦略\(D\)とは異なるプレイヤー\(1\)の混合戦略\(\sigma _{1}=\left( \sigma _{1}\left( U\right) ,\sigma _{1}\left( D\right) \right) \)を任意に選ぶと、\(\sigma _{1}\)は\(D\)と異なることから\(0\leq \sigma _{1}\left( D\right) <1\)が成り立つため、\begin{eqnarray*}
F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) &=&5\cdot \sigma _{1}\left( U\right)
+8\cdot \sigma _{1}\left( D\right) \\
&=&5\cdot \left( 1-\sigma _{1}\left( D\right) \right) +8\cdot \sigma
_{1}\left( D\right) \\
&=&8+3\cdot \sigma _{1}\left( U\right) \\
&<&5\quad \because \sigma _{1}\left( D\right) <1 \\
&=&u_{1}\left( D,L\right)
\end{eqnarray*}とともに、\begin{eqnarray*}
F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) &=&2\cdot \sigma _{1}\left( U\right)
+2\cdot \sigma _{1}\left( D\right) \\
&=&2\cdot \left( 1-\sigma _{1}\left( D\right) \right) +2\cdot \sigma
_{1}\left( D\right) \\
&=&2 \\
&=&u_{1}\left( D,R\right)
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(D\)は\(\sigma _{1}\)を弱支配します。\(\sigma _{1}\)は\(D\)とは異なる任意の混合戦略であるため、以上の議論より、\(D\)は弱支配混合戦略です。この結果は先の命題と整合的です。

プレイヤーが弱支配純粋戦略を持つ場合、それは同時に弱支配混合戦略であることが明らかになりました。弱支配混合戦略が存在する場合、それは一意的であるため、弱支配純粋戦略は唯一の弱支配混合戦略でもあります。では、プレイヤーが弱支配純粋戦略を持たない場合、弱支配混合戦略をどのように見つければよいのでしょうか。実は、プレイヤーが弱支配純粋戦略を持たない場合、弱支配混合戦略もまた存在しません(演習問題にします)。

命題(弱支配混合戦略の存在)
戦略型ゲーム\(G\)において、プレイヤー\(i\in I\)の弱支配純粋戦略が存在しない場合、\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)において、プレイヤー\(i\)の弱支配混合戦略もまた存在しない。
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例(弱支配混合戦略の存在)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & -1,1 \\ \hline
D & -1,1 & 1,-1 \\ \hline
\end{array}$$
表:弱支配戦略

プレイヤー\(1\)の弱支配純粋戦略は存在しないため(確認してください)、上の命題より、弱支配混合戦略もまた存在しません。実際、純粋戦略\(U,D\)とは異なるプレイヤー\(1\)の混合戦略\(\sigma _{1}=\left( \sigma _{1}\left( U\right) ,\sigma _{1}\left( D\right) \right) \)を任意に選ぶと、\(\sigma _{1}\)は\(U,D\)と異なることから\(0<\sigma _{1}\left( D\right) <1\)が成り立つため、\begin{eqnarray*}
F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) &=&1\cdot \sigma _{1}\left( U\right)
-1\cdot \sigma _{1}\left( D\right) \\
&=&1\cdot \left( 1-\sigma _{1}\left( D\right) \right) -1\cdot \sigma
_{1}\left( D\right) \\
&=&1-2\cdot \sigma _{1}\left( D\right) \\
&<&1\quad \because 0<\sigma _{1}\left( D\right) <1 \\
&=&u_{1}\left( U,L\right)
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、\(\sigma _{1}\)は\(U\)を弱支配しません。\(\sigma _{1}\)は\(U,D\)とは異なる任意の混合戦略であるため、以上の議論より、\(\sigma _{1}\)は弱支配混合戦略ではありません。この結果は先の命題と整合的です。

プレイヤーが弱支配純粋戦略を持たない場合、弱支配混合戦略も持たないことが明らかになりました。対偶より、プレイヤーが弱支配混合戦略を持つとき、弱支配純粋戦略を持ちます。弱支配純粋戦略は唯一の弱支配混合戦略であるため、結局、弱支配混合戦略と弱支配純粋戦略は常に一致します。

命題(弱支配純粋戦略と弱支配混合戦略)
戦略型ゲーム\(G\)においてプレイヤー\(i\in I\)の弱支配純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)が存在することと、\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)においてプレイヤー\(i\)の弱支配混合戦略\(\sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right) \)が存在することは必要十分であるとともに、\(s_{i}=\sigma _{i}\)が成立する。
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プレイヤー\(i\)の混合戦略\(\sigma _{i}\)が強支配戦略であるものとします。つまり、\(\sigma _{i}\)はプレイヤー\(1\)の他のすべての混合戦略を強支配しますが、強支配は弱支配を含意するため、\(\sigma _{i}\)は弱支配戦略でもあります。

命題(強支配戦略と弱支配戦略)
戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)において、プレイヤー\(i\in I\)の混合戦略\(\sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right) \)が強支配混合戦略ならば、\(\sigma _{i}\)は弱支配混合戦略でもある。
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上の命題の逆は成り立つとは限りません。実際、\(\sigma _{i}\)が弱支配戦略であるとき、\(\sigma _{i}\)はプレイヤー\(i\)の他のすべての混合戦略を弱支配しますが、弱支配は必ずしも強支配を意味しないため、\(\sigma _{i}\)は強支配戦略であるとは限りません。これは以下の例からも明らかです。

例(強支配戦略と弱支配戦略)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 2,8 \\ \hline
D & 8,2 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$
表:強支配戦略と弱支配戦略

プレイヤー\(1\)について、\(D\)は弱支配戦略ですが強支配戦略ではありません。

期待効用仮説と警戒心の仮定のもとでは、プレイヤーが弱支配される混合戦略を選ぶ可能性は排除されます。プレイヤー\(i\)が弱支配混合戦略\(\sigma _{i}\)を持つとき、プレイヤー\(i\)の他のすべての混合戦略は\(\sigma _{i}\)によって弱支配されるため、それらの混合戦略が選ばれることはなく、プレイヤー\(i\)は\(\sigma _{i}\)を選びます。言い換えると、仮にプレイヤー\(i\)が弱支配混合戦略\(\sigma _{i}\)を選ばないのであれば、それは期待効用仮説と警戒心の仮定と矛盾します。

命題(弱支配混合戦略が選ばれる根拠)
戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)において、プレイヤー\(i\in I\)の混合戦略\(\sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right) \)が弱支配戦略である場合、期待効用仮説と警戒心の仮定のもとでは、プレイヤー\(i\)は\(\sigma _{i}\)を選択する。
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弱支配混合戦略均衡

繰り返しになりますが、戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)においてプレイヤー\(i\in I\)の混合戦略\(\sigma _{i}^{\ast }\in \Delta \left( S_{i}\right) \)が弱支配混合戦略であることは、任意の\(\sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right) \backslash \left\{ \sigma _{i}^{\ast }\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall \sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right)
:F_{i}\left( \sigma _{i}^{\ast },\sigma _{-i}\right) \geq F_{i}\left( \sigma
_{i},\sigma _{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists \sigma _{-i}^{\prime }\in \Delta \left(
S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma _{i}^{\ast },\sigma _{-i}^{\prime }\right)
>F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。さて、プレイヤーたちの混合戦略の組\(\sigma _{I}^{\ast }\in \left( \sigma _{i}^{\ast }\right) _{i\in I}\)において、任意のプレイヤー\(i\)の混合戦略\(\sigma _{i}^{\ast }\)が弱支配混合戦略になっているならば、\(\sigma _{I}^{\ast }\)を弱支配混合戦略均衡(weakly dominant mixed strategy equilibrium)や支配混合戦略均衡(dominant mixed strategy equilibrium)などと呼びます。

混合戦略の組\(\sigma _{I}^{\ast }=\left( \sigma _{i}^{\ast }\right) _{i\in I}\)が弱支配混合戦略均衡であるとき、それぞれのプレイヤー\(i\)の均衡戦略\(\sigma _{i}^{\ast }\)は弱支配混合戦略です。ただし、先に示したように、ある戦略が弱支配混合戦略であることと、その戦略が弱支配純粋戦略であることは必要十分であるため、\(\sigma _{i}^{\ast }\)は弱支配純粋戦略です。したがって、それらの組である\(\sigma _{I}^{\ast }\)は弱支配混合戦略均衡でもあります。

命題(弱支配純粋戦略均衡と弱支配混合戦略均衡)
戦略型ゲーム\(G\)に弱支配純粋戦略均衡\(s_{I}^{\ast }\in S_{I}\)が存在することと、\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)に弱支配混合戦略均衡\(\sigma _{I}^{\ast }\in \Delta \left( S_{I}\right) \)が存在することは必要十分であるとともに、\(s_{I}^{\ast }=\sigma _{I}^{\ast }\)が成立する。
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例(弱支配混合戦略均衡)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて再び考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 2,8 \\ \hline
D & 8,2 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$
表:弱支配戦略

プレイヤー\(1\)にとって\(D\)は弱支配純粋戦略であり、プレイヤー\(2\)にとって\(R\)は弱支配純粋戦略です。したがって、\(\left( D,R\right) \)は弱支配純粋戦略の組であるため、これはゲームの弱支配純粋戦略均衡です。さらに上の命題より、\(\left( D,R\right) \)は弱支配混合戦略均衡でもあります。

繰り返しになりますが、弱支配混合戦略均衡と弱支配純粋戦略均衡は一致します。ゲームには弱支配純粋戦略均衡が存在するとは限らないため、弱支配混合戦略均衡もまた存在しないということになります。

例(弱支配混合戦略均衡)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて再び考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & -1,1 \\ \hline
D & -1,1 & 1,-1 \\ \hline
\end{array}$$
表:弱支配混合戦略均衡

プレイヤー\(1,2\)はともに弱支配純粋戦略を持たないため、このゲームには弱支配純粋戦略均衡は存在しません。したがって、先の命題より、このゲームには弱支配混合戦略均衡もまた存在しません。

繰り返しになりますが、プレイヤーが弱支配混合戦略を持つ場合、それは一意的です。したがって、ゲームに弱支配混合戦略均衡が存在する場合、それは一意的です。

命題(弱支配純混合戦略均衡の一意性)
戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)において、弱支配混合戦略均衡が存在する場合、それは一意的である。
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戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)に強支配戦略均衡\(\sigma _{I}^{\ast }=\left( \sigma _{i}^{\ast }\right) _{i\in I}\)が存在する場合、それぞれのプレイヤー\(i\)の均衡戦略\(\sigma _{i}^{\ast }\)は強支配戦略です。強支配戦略は弱支配戦略でもあるため、\(\sigma _{I}^{\ast }\)は弱支配戦略均衡でもあります。

命題(強支配戦略均衡と弱支配戦略均衡)
戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)に強支配混合戦略均衡\(\sigma _{I}^{\ast }\in \Delta \left( S_{I}\right) \)が存在するとき、\(\sigma _{I}^{\ast }\)はこのゲーム\(G^{\ast }\)の弱支配混合戦略均衡である。
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上の命題の逆は成り立つとは限りません。実際、\(\sigma _{I}^{\ast }\)が弱支配戦略均衡であるとき、それぞれのプレイヤー\(i\)の均衡戦略\(\sigma _{i}^{\ast }\)は弱支配戦略ですが、弱支配戦略は強支配戦略であるとは限らないため、\(\sigma _{I}^{\ast }\)は強支配戦略均衡であるとは限りません。これは以下の例からも明らかです。

例(強支配戦略均衡と弱支配戦略均衡)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 2,8 \\ \hline
D & 8,2 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$
表:強支配戦略均衡と弱支配戦略均衡

純粋戦略の組\(\left( D,R\right) \)は弱支配戦略均衡ですが、強支配戦略均衡ではありません。

戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)に弱支配戦略均衡\(\sigma _{I}^{\ast }\)が存在する場合、それぞれのプレイヤー\(i\)は自身の均衡戦略である弱支配戦略\(\sigma _{i}^{\ast }\)を選べば、他のプレイヤーたちがどのような戦略の組\(\sigma _{-i}\)を選ぶかに関わらず、他の混合戦略\(\sigma _{i}^{\prime }\)を選ぶ場合以上もしくはそれよりも大きな期待利得を得ることができます。したがって、ゲームに弱支配戦略均衡が存在する場合、それぞれのプレイヤーは他のプレイヤーたちの行動について考える必要がなく、他のプレイヤーたちが合理的であるかどうかを考える必要もなく、自身の弱支配戦略\(\sigma _{i}^{\ast }\)を選ぶことが常に最適になります。弱支配戦略均衡が存在するゲームでは、プレイヤーは他のプレイヤーたちの手を読んだり、相手の合理性を疑う必要がないということです。プレイヤーの合理性が相互知識もしくは共有知識であるという仮定は必要なく、それぞれのプレイヤーが合理的であるとともに不測の事態が起こり得ることを想定できるほど十分な警戒心を持っていれば、全員が均衡戦略である弱支配戦略を選び、その結果、均衡である弱支配戦略均衡が実現します。

命題(弱支配混合戦略均衡が実現する根拠)
戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)において、弱支配混合戦略均衡\(\sigma _{I}^{\ast }\in \Delta \left( S_{I}\right) \)が存在する場合、期待効用仮説と警戒心の仮定のもとでは、プレイヤーたちは\(\sigma _{I}^{\ast }\)をプレーする。
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次回から支配される戦略の逐次消去と呼ばれる均衡概念について解説します。

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