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完備情報の静学ゲーム

広義の支配純粋戦略均衡

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純粋戦略どうしの広義の支配関係

問題としている戦略的状況が完備状況の静学ゲームであり、それが戦略型ゲーム\begin{equation*}
G=\left( I,\left\{ S_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ u_{i}\right\} _{i\in
I}\right)
\end{equation*}として記述されているものとします。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(S_{i}\)はプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合、\(u_{i}:S_{I}\rightarrow \mathbb{R} \)はプレイヤー\(i\)の利得関数です。

ゲームの静学性より、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)は意思決定を行う時点において、他のプレイヤーたちが実際に選ぶ純粋戦略\(s_{-i}\in S_{-i}\)を事前に観察できません。ただ、ゲームの完備性より、プレイヤー\(i\)は他のプレイヤーたちが選択し得る純粋戦略からなる集合\(S_{-i}\)を把握しているため、その要素であるそれぞれの組\(s_{-i}\)に対して、自分が純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)を選んだときに得られる利得\(u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right) \)を把握しています。

以上を踏まえた上で、プレイヤー\(i\in I\)が選択可能な2つの異なる純粋戦略\(s_{i},s_{i}^{\prime }\in S_{i}\)に注目したとき、他のプレイヤーたちがどのような純粋戦略の組\(s_{-i}\in S_{-i}\)を選ぶ場合においても、プレイヤー\(i\)が\(s_{i}\)を選んだときに得る利得\(u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right) \)が\(s_{i}^{\prime }\)を選んだときに得る利得\(u_{i}\left( s_{i}^{\prime},s_{-i}\right) \)以上であるとともに、他のプレイヤーたちの少なくとも1つの純粋戦略の組\(s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}\)について、プレイヤー\(i\)が\(s_{i}\)を選んだときに得る利得\(u_{i}\left(s_{i},s_{-i}^{\prime }\right) \)が\(s_{i}^{\prime }\)を選んだときに得る利得\(u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}^{\prime }\right) \)よりも大きい場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall s_{-i}\in S_{-i}:u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right)
\geq u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}:u_{i}\left(
s_{i},s_{-i}^{\prime }\right) >u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}^{\prime
}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つのであれば、\(s_{i}\)は\(s_{i}^{\prime }\)を広義に支配する(weakly dominate)すると言います。同じことを、\(s_{i}^{\prime }\)は\(s_{i}\)によって広義に支配される(weakly dominated)と言うこともできます。

例(純粋戦略どうしの広義の支配関係)
戦略型ゲーム\(G\)が2人ゲームである場合、プレイヤー\(1\)の2つの異なる純粋戦略\(s_{1},s_{1}^{\prime }\in S_{1}\)について、\(s_{1}\)が\(s_{1}^{\prime }\)を広義支配することとは、\begin{eqnarray*}\forall s_{2} &\in &S_{2}:u_{1}\left( s_{1},s_{2}\right) \geq u_{1}\left(
s_{1}^{\prime },s_{2}\right) \\
\exists s_{2}^{\prime } &\in &S_{2}:u_{1}\left( s_{1},s_{2}^{\prime }\right)
>u_{1}\left( s_{1}^{\prime },s_{2}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。また、プレイヤー\(2\)の2つの異なる純粋戦略\(s_{2},s_{2}^{\prime }\in S_{2}\)について、\(s_{2}\)が\(s_{2}^{\prime }\)を広義支配することとは、\begin{eqnarray*}\forall s_{1} &\in &S_{1}:u_{2}\left( s_{1},s_{2}\right) \geq u_{2}\left(
s_{1},s_{2}^{\prime }\right) \\
\exists s_{1}^{\prime } &\in &S_{1}:u_{2}\left( s_{1}^{\prime },s_{2}\right)
>u_{2}\left( s_{1}^{\prime },s_{2}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。

例(純粋戦略どうしの広義の支配関係)
以下の利得行列で表される戦略型ゲーム\(G\)について考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 2,8 \\ \hline
D & 8,2 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$

プレイヤー\(1\)については、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( D,L\right) &=&8>5=u_{1}\left( U,L\right) \\
u_{1}\left( D,R\right) &=&2=2=u_{1}\left( U,R\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つため、\(D\)は\(U\)を広義支配します。プレイヤー\(2\)については、\begin{eqnarray*}u_{2}\left( U,R\right) &=&8>5=u_{2}\left( U,L\right) \\
u_{2}\left( D,R\right) &=&2=2=u_{2}\left( D,L\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つため、\(R\)は\(L\)を広義支配します。

 

広義支配する純粋戦略は存在するとは限らない

プレイヤーは自身の他の純粋戦略する広義支配する純粋戦略を持つとは限りません。言い換えると、それぞれのプレイヤーは、自身の他の純粋戦略によって広義支配される純粋戦略を持つとは限りません。以下の例より明らかです。

例(広義支配関係が存在しない場合)
以下の利得行列で表される戦略型ゲーム\(G\)について考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & -1,1 \\ \hline
D & -1,1 & 1,-1 \\ \hline
\end{array}$$

プレイヤー\(1\)については、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( U,L\right) &=&1>-1=u_{1}\left( D,L\right) \\
u_{1}\left( D,R\right) &=&1>-1=u_{1}\left( U,R\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、相手が\(L\)を選ぶ場合には自分は\(U\)を選んだ方が良く、相手が\(R\)を選ぶ場合には自分が\(D\)を選んだ方が良いため、\(U\)は\(D\)を広義支配せず、\(D\)は\(U\)を広義支配しません。プレイヤー\(2\)についても同様です。\(L\)は\(R\)を広義支配せず、\(R\)は\(L\)を広義支配しません。

 

広義支配される戦略が選ばれない理由

合理的なプレイヤーが広義支配される純粋戦略を選ぶ可能性を完全に排除することはできません。広義支配される純粋戦略が選ばれないことを保証するためには、合理性の仮定だけでは不十分であるということです。その理由を解説するために、以下の利得行列によって表されるゲームについて考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1/2 & L & R \\ \hline
U & 5,1 & 4,0 \\ \hline
M & 6,0 & 3,1 \\ \hline
D & 6,4 & 4,4 \\ \hline
\end{array}$$

プレイヤー\(1\)の純粋戦略\(U,M\)はともに純粋戦略\(D\)によって広義支配されますが、合理的なプレイヤー\(1\)が\(U\)や\(M\)を選ぶ可能性を排除するためには、合理性とは別にプレイヤーの「注意深さ」に相当する仮定が必要であることを以下で示します。ただし、プレイヤーの注意深さとは、ゲームにおいてあらゆる不測の事態が起こり得ることをプレイヤーが想定できることを意味します。より正確には、ゲームにおいて起こり得るすべての結果に対して、それぞれが実際に起こる確率を正と評価するということです。このような仮定を警戒心(caution)の仮定と呼びます。

先のゲームにおいて、プレイヤー\(1\)は相手プレイヤーが\(L\)を選ぶ確率を\(p\)と予想し、\(R\)を選ぶ確率を\(1-p\)と予想しているものとします。\(0\leq p\leq 1\)です。まず、プレイヤー\(1\)が合理的である一方で、十分な警戒心を持たない場合について考えます。この場合、彼の予想として、\begin{eqnarray*}p &=&0 \\
p &=&1
\end{eqnarray*}などが起こり得ます。\(p=0\)の場合、すなわちプレイヤー\(1\)は相手が\(R\)を選ぶものと断定する場合、自身にとって\(U\)と\(D\)は無差別になるため、彼が\(U\)を選ぶ可能性を排除できません。また、\(p=1\)の場合、すなわちプレイヤー\(1\)は相手が\(L\)を選ぶものと断定する場合、自身にとって\(M\)と\(D\)は無差別になるため、彼が\(M\)を選ぶ可能性を排除できません。つまり、たとえプレイヤーが合理的であっても、十分な警戒心を持たない場合には、広義支配される戦略を選ぶ可能性を排除できないということです。

一方、プレイヤー\(1\)が注意深い人物であれば、相手プレイヤーが\(L\)や\(R\)を選ぶ確率を\(0\)とは断定しないため、警戒心の仮定のもとでは、\begin{equation*}0<p<1
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、プレイヤー\(1\)は相手が\(L\)や\(R\)を選ぶ確率をそれぞれ正と予想しているということです。相手が\(L\)を選ぶ状況において自身は\(U\)よりも\(D\)を選んだ方がよく、相手が\(R\)を選ぶ状況において自身は\(M\)よりも\(D\)を選んだ方がよいため、この場合には彼が\(U\)や\(M\)を選ぶ可能性を排除できます。つまり、プレイヤーが合理的であるとともに警戒心を持つ場合には、彼が広義支配される戦略を選ぶ可能性を排除できるということです。

命題(広義支配される戦略が選ばれない理由)
戦略型ゲーム\(G\)において、プレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)が自身の他の純粋戦略によって広義支配される場合、合理性と警戒心の仮定のもとでは、プレイヤー\(i\)は\(s_{i}\)を選択しない。

 

広義の支配戦略

問題としている戦略的状況が完備状況の静学ゲームであり、それが戦略型ゲーム\(G\)として表現されているものとします。プレイヤー\(i\in I\)のある純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)が自身の他の任意の純粋戦略を広義支配する場合には、すなわち、任意の\(s_{i}^{\prime }\in S_{i}\backslash \left\{ s_{i}\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall s_{-i}\in S_{-i}:u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right)
\geq u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}:u_{i}\left(
s_{i},s_{-i}^{\prime }\right) >u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}^{\prime
}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(s_{i}\)をプレイヤー\(i\)の広義の支配戦略(weakly dominant strategy)と呼びます。

例(広義の支配関係)
戦略型ゲーム\(G\)が2人ゲームである場合、プレイヤー\(1\)の純粋戦略\(s_{1}\in S_{1}\)が広義の支配戦略であることとは、任意の\(s_{1}^{\prime }\in S_{1}\backslash \left\{s_{1}\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}\forall s_{2} &\in &S_{2}:u_{1}\left( s_{1},s_{2}\right) \geq u_{1}\left(
s_{1}^{\prime },s_{2}\right) \\
\exists s_{2}^{\prime } &\in &S_{2}:u_{1}\left( s_{1},s_{2}^{\prime }\right)
>u_{1}\left( s_{1}^{\prime },s_{2}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。また、プレイヤー\(2\)の純粋戦略\(s_{2}\in S_{2}\)が広義の支配戦略であることとは、任意の\(s_{2}^{\prime }\in S_{2}\backslash \left\{ s_{2}\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}\forall s_{1} &\in &S_{1}:u_{2}\left( s_{1},s_{2}\right) \geq u_{2}\left(
s_{1},s_{2}^{\prime }\right) \\
\exists s_{1}^{\prime } &\in &S_{1}:u_{2}\left( s_{1}^{\prime },s_{2}\right)
>u_{2}\left( s_{1}^{\prime },s_{2}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。

例(広義の支配戦略)
以下の利得行列で表される戦略型ゲーム\(G\)について考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 2,8 \\ \hline
D & 8,2 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$

プレイヤー\(1\)については、\(D\)が\(U\)を広義支配します。プレイヤー\(1\)の純粋戦略は\(U,D\)の2つだけであるため、\(D\)はプレイヤー\(1\)の広義の支配戦略です。プレイヤー\(2\)については、\(R\)が\(L\)を広義支配します。プレイヤー\(2\)の純粋戦略は\(L,R\)の2つだけであるため、\(R\)はプレイヤー\(2\)の広義の支配戦略です。

 

広義の支配戦略は存在するとは限らない

プレイヤーは広義の支配戦略を持つとは限りません。以下の例より明らかです。

例(広義の支配戦略が存在しない場合)
以下の利得行列で表される戦略型ゲーム\(G\)について考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & -1,1 \\ \hline
D & -1,1 & 1,-1 \\ \hline
\end{array}$$

プレイヤー\(1\)については、\(U\)は\(D\)を広義支配せず、\(D\)は\(U\)を広義支配しないため、プレイヤー\(1\)は広義の支配戦略を持ちません。プレイヤー\(2\)については、\(L\)は\(R\)を広義支配せず、\(R\)は\(L\)を広義支配しないため、プレイヤー\(2\)は広義の支配戦略を持ちません。

 

広義の支配戦略は一意的

プレイヤーは広義の支配戦略を持つとは限りませんが、存在する場合には一意的です。

命題(広義の支配戦略の一意性)
戦略型ゲーム\(G\)において、プレイヤーが広義の支配戦略を持つ場合、それは一意的である。
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広義の支配戦略が選ばれる理由

プレイヤー\(i\)の純粋戦略\(s_{i}\)が広義の支配戦略であるものとします。つまり、任意の\(s_{i}^{\prime }\in S_{i}\backslash \left\{ s_{i}\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall s_{-i}\in S_{-i}:u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right)
\geq u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}:u_{i}\left(
s_{i},s_{-i}^{\prime }\right) >u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}^{\prime
}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つ状況を想定します。合理性と警戒心の仮定のもとでは、プレイヤーが広義に支配される戦略を選ぶ可能性は排除されるため、プレイヤー\(i\)が\(s_{i}\)とは異なる純粋戦略を選ぶ可能性は排除され、プレイヤー\(i\)は\(s_{i}\)を選ぶことになります。プレイヤー\(i\)が広義の支配戦略\(s_{i}\)を選ばないのであれば、それは合理性かつ警戒心の仮定と矛盾します。

命題(広義の支配戦略が選ばれる理由)
戦略型ゲーム\(G\)において、プレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)が広義の支配戦略である場合、合理性と警戒心の仮定のもとでは、プレイヤー\(i\)は\(s_{i}\)を選択する。

 

広義の支配純粋戦略均衡

問題としている戦略的状況が完備状況の静学ゲームであり、それが戦略型ゲーム\(G\)として表現されているものとします。先に定義したように、プレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略\(s_{i}^{\ast }\in S_{i}\)が広義の支配戦略であることとは、任意の\(s_{i}\in S_{i}\backslash\left\{ s_{i}^{\ast }\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall s_{-i}\in S_{-i}:u_{i}\left( s_{i}^{\ast
},s_{-i}\right) \geq u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}:u_{i}\left(
s_{i}^{\ast },s_{-i}^{\prime }\right) >u_{i}\left( s_{i},s_{-i}^{\prime
}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。

プレイヤーたちの純粋戦略の組\(s_{I}^{\ast }=\left( s_{i}^{\ast}\right) _{i\in I}\)において、任意のプレイヤー\(i\)の純粋戦略\(s_{i}^{\ast }\)が広義の支配戦略になっているならば、すなわち、任意のプレイヤー\(i\in I\)とその任意の純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\backslash \left\{ s_{i}^{\ast }\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall s_{-i}\in S_{-i}:u_{i}\left( s_{i}^{\ast
},s_{-i}\right) \geq u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}:u_{i}\left(
s_{i}^{\ast },s_{-i}^{\prime }\right) >u_{i}\left( s_{i},s_{-i}^{\prime
}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(s_{I}^{\ast }\)を\(G\)の広義の支配戦略均衡(weakly dominant strategy equilibrium)と呼びます。

例(広義の支配関係均衡)
戦略型ゲーム\(G\)が2人ゲームである場合、純粋戦略の組\(\left( s_{1}^{\ast },s_{2}^{\ast}\right) \in S_{1}\times S_{2}\)が広義の支配戦略均衡であることとは、任意の\(s_{1}\in S_{1}\backslash \left\{ s_{1}^{\ast }\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}\forall s_{2} &\in &S_{2}:u_{1}\left( s_{1}^{\ast },s_{2}\right) \geq
u_{1}\left( s_{1},s_{2}\right) \\
\exists s_{2}^{\prime } &\in &S_{2}:u_{1}\left( s_{1}^{\ast },s_{2}^{\prime
}\right) >u_{1}\left( s_{1},s_{2}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つとともに、任意の\(s_{2}\in S_{2}\backslash \left\{ s_{2}^{\ast }\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}\forall s_{1} &\in &S_{1}:u_{2}\left( s_{1},s_{2}^{\ast }\right) \geq
u_{2}\left( s_{1},s_{2}\right) \\
\exists s_{1}^{\prime } &\in &S_{1}:u_{2}\left( s_{1}^{\prime },s_{2}^{\ast
}\right) >u_{2}\left( s_{1}^{\prime },s_{2}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。

例(広義の支配戦略均衡)
以下の利得行列で表される戦略型ゲーム\(G\)について考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 2,8 \\ \hline
D & 8,2 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$

プレイヤー\(1\)にとって\(D\)は広義の支配戦略であり、プレイヤー\(2\)にとって\(R\)は広義の支配戦略です。したがって、\(\left( D,R\right) \)は広義の支配戦略の組であるため、これは広義の支配戦略均衡です。

 

広義の支配戦略均衡は存在するとは限らない

それぞれのプレイヤーは広義の支配戦略を持つとは限りません。したがって、ゲームには広義の支配戦略均衡は存在するとは限らないということになります。

例(広義の支配戦略均衡が存在しない場合)
以下の利得行列で表される戦略型ゲーム\(G\)について考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & -1,1 \\ \hline
D & -1,1 & 1,-1 \\ \hline
\end{array}$$

プレイヤー\(1,2\)はともに広義の支配戦略を持たないため、このゲームには広義の支配戦略均衡は存在しません。

 

広義の支配戦略均衡は一意的

先に示したように、プレイヤーが広義の支配戦略を持つ場合、それは一意的です。したがって、ゲームに広義の支配戦略均衡が存在する場合、それは一意的です。

命題(広義の支配戦略均衡の一意性)
戦略型ゲーム\(G\)において、広義の支配戦略均衡が存在する場合、それは一意的である。

 

広義の支配戦略均衡がプレーされる理由

戦略型ゲーム\(G\)に広義の支配戦略均衡\(s_{I}^{\ast }\)が存在する場合、それぞれのプレイヤー\(i\)は自身の均衡戦略である広義の支配戦略\(s_{i}^{\ast }\)を選べば、他のプレイヤーたちがどのような戦略の組\(s_{-i}\)を選ぶかに関わらず、他の純粋戦略\(s_{i}^{\prime }\)を選ぶ場合の利得以上の利得もしくはそれよりも大きな利得を得ることができます。したがって、ゲームに支配戦略均衡が存在する場合、それぞれのプレイヤーは他のプレイヤーたちの行動について考える必要がなく、他のプレイヤーたちが合理的であるかどうかを考える必要もなく、自身の支配戦略\(s_{i}^{\ast }\)を選ぶことが常に最適になります。広義の支配戦略均衡が存在するゲームでは、プレイヤーは他のプレイヤーたちの手を読んだり、相手の合理性を疑う必要がないということです。プレイヤーの合理性が相互知識もしくは共有知識であるという仮定は必要なく、それぞれのプレイヤーが合理的であるとともに不測の事態が起こり得ることを想定できるほど十分な警戒心を持っていれば、全員が均衡戦略である広義の支配戦略を選び、その結果、均衡である広義の支配戦略均衡が実現します。

命題(広義の支配戦略均衡が実現する理由)
戦略型ゲーム\(G\)において、広義の支配戦略均衡\(s_{I}^{\ast }\in S_{I}\)が存在する場合、合理性と警戒心の仮定のもとでは、プレイヤーたちは\(s_{I}^{\ast }\)をプレーする。

 

演習問題

問題(広義の支配戦略均衡)
以下の利得行列で表される戦略型ゲーム\(G\)に広義の支配戦略均衡は存在しますか。議論してください。

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 2,2 & 1,3 \\ \hline
D & 0,0 & 0,0 \\ \hline
\end{array}$$

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問題(広義の支配戦略均衡)
以下の利得行列で表される戦略型ゲーム\(G\)に広義の支配戦略均衡は存在しますか。議論してください。

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 3,1 & 0,0 \\ \hline
D & 0,0 & 1,3 \\ \hline
\end{array}$$

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