あるプレイヤーの純粋戦略が別の純粋戦略を弱支配すること、弱支配純粋戦略、弱支配純粋戦略均衡などについて解説します。

弱支配

問題としている戦略的状況が完備状況の静学ゲームであり、それが戦略型ゲーム\(G=\left( I,\left\{ S_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ u_{i}\right\} _{i\in I}\right) \)として表現されているものとします。ゲームの静学性より、プレイヤー\(i\in I\)は意思決定を行う時点において、他のプレイヤーたちが実際に選ぶ純粋戦略の組\(s_{-i}\in S_{-i}\)を事前に観察することはできません。ただ、ゲームの完備性より、プレイヤー\(i\)は他のプレイヤーたちが選択し得る純粋戦略の組からなる集合\(S_{-i}\)を把握しているため、その要素であるそれぞれの組\(s_{-i}\)に対して、自分が純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)を選んだときに得られる利得\(u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right)\)を把握しています。

以上を踏まえた上で、プレイヤー\(i\in I\)が選択可能な2つの異なる純粋戦略\(s_{i},s_{i}^{\prime }\in S_{i}\)に注目したとき、他のプレイヤーたちがどのような純粋戦略の組\(s_{-i}\in S_{-i}\)を選ぶ場合においても、プレイヤー\(i\)が\(s_{i}\)を選んだときに得る利得\(u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right) \)が\(s_{i}^{\prime }\)を選んだときに得る利得\(u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}\right) \)以上であるとともに、他のプレイヤーたちの少なくとも1つの純戦略の組\(s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}\)について、プレイヤー\(i\)が\(s_{i}\)を選んだときに得る利得\(u_{i}\left( s_{i},s_{-i}^{\prime }\right) \)が\(s_{i}^{\prime }\)を選んだときに得る利得\(u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}^{\prime }\right) \)よりも大きい場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall s_{-i}\in S_{-i}:u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right)
\geq u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}:u_{i}\left(
s_{i},s_{-i}^{\prime }\right) >u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}^{\prime
}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つのであれば、\(s_{i}\)は\(s_{i}^{\prime }\)を弱支配する(weakly dominate)や支配する(dominate)などと言います。同じことを、\(s_{i}^{\prime }\)は\(s_{i}\)に弱支配される(weakly dominated)や支配される(dominated)などと言うこともできます。

例(弱支配)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 2,8 \\ \hline
D & 8,2 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$
表:弱支配

プレイヤー\(1\)については、\begin{eqnarray*}
u_{1}\left( D,L\right) &=&8>5=u_{1}\left( U,L\right) \\
u_{1}\left( D,R\right) &=&2=2=u_{1}\left( U,R\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(D\)は\(U\)を弱支配します。プレイヤー\(2\)については、\begin{eqnarray*}
u_{2}\left( U,R\right) &=&8>5=u_{2}\left( U,L\right) \\
u_{2}\left( D,R\right) &=&2=2=u_{2}\left( D,L\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(R\)は\(L\)を弱支配します。

以下の例が示唆するように、それぞれのプレイヤーは、自分の他の戦略を弱支配する戦略を持つとは限りません。言い換えると、自分の他の戦略によって弱支配される戦略を持つとは限りません。

例(弱支配)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & -1,1 \\ \hline
D & -1,1 & 1,-1 \\ \hline
\end{array}$$
表:弱支配

プレイヤー\(1\)については、\begin{eqnarray*}
u_{1}\left( U,L\right) &=&1>-1=u_{1}\left( D,L\right) \\
u_{1}\left( D,R\right) &=&1>-1=u_{1}\left( U,R\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、相手が\(L\)を選ぶ場合には自分は\(U\)を選んだ方が良く、相手が\(R\)を選ぶ場合には自分が\(D\)を選んだ方が良いため、\(U\)は\(D\)を弱支配しませんし、逆に\(D\)は\(U\)を弱支配しません。プレイヤー\(2\)についても同様です。\(L\)は\(R\)を弱支配せず、\(R\)は\(L\)を弱支配しません。

プレイヤー\(i\)の純粋戦略\(s_{i}\)がそれとは別の純粋戦略\(s_{i}^{\prime }\)を強支配するものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall s_{-i}\in S_{-i}:u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right) >u_{i}\left(
s_{i}^{\prime },s_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall s_{-i}\in S_{-i}:u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right)
\geq u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}:u_{i}\left(
s_{i},s_{-i}^{\prime }\right) >u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}^{\prime
}\right)
\end{eqnarray*}はともに成り立つため、\(s_{i}\)は\(s_{i}^{\prime }\)を弱支配します。

命題(強支配と弱支配)

戦略型ゲーム\(G\)においてプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)が純粋戦略\(s_{i}^{\prime }\in S_{i}\)を強支配するならば、\(s_{i}\)は\(s_{i}^{\prime }\)を弱支配する。

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上の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、\(s_{i}\)が\(s_{i}^{\prime }\)を弱支配するとき、\(s_{i}\)は\(s_{i}^{\prime }\)を強支配するとは限りません。これは以下の例からも明らかです。

例(強支配と弱支配)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 2,8 \\ \hline
D & 8,2 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$
表:強支配と弱支配

プレイヤー\(1\)については、\begin{eqnarray*}
u_{1}\left( D,L\right) &=&8>5=u_{1}\left( U,L\right) \\
u_{1}\left( D,R\right) &=&2=2=u_{1}\left( U,R\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(D\)は\(U\)を強支配する一方、弱支配はしません。

復習になりますが、プレイヤーが強支配される戦略を選ばない根拠としては合理性の仮定だけで十分です。一方、プレイヤーが弱支配される戦略を選ばない根拠としては、合理性の仮定だけでは不十分です。その理由を解説するために、以下の利得行列で表されるゲームについて考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1/2 & L & R \\ \hline
U & 5,1 & 4,0 \\ \hline
M & 6,0 & 3,1 \\ \hline
D & 6,4 & 4,4 \\ \hline
\end{array}$$

表:弱支配

プレイヤー\(1\)にとって、純粋戦略\(U,M\)はともに純粋戦略\(D\)によって弱支配されますが、合理性を仮定したとき、プレイヤー\(1\)が\(U\)や\(M\)を選ぶ可能性を確実に排除できるでしょうか。仮に、プレイヤー\(1\)は合理的である一方で、それほど注意深くない人物であり、相手が\(L\)を選ぶことを確信しているものとします。この場合、プレイヤー\(1\)は\(M\)と\(D\)のどちらを選んだ場合でも等しい利得\(6\)を得るため、合理性の仮定のもとで\(M\)と\(D\)は無差別であり、プレイヤー\(1\)が\(M\)を選ぶ可能性を完全に排除することはできません。

一方、プレイヤー\(1\)は合理的であるとともに、注意深い人物であるものとします。ここでの注意深さとは、あらゆる不測の事態が起こり得ることを想定していることを意味します。より正確には、ゲームにおいて起こり得るすべての結果に対して、それぞれが実際に起こる確率を正であると評価しているということです。このような仮定を警戒心(caution)の仮定と呼びます。この場合、プレイヤー\(1\)は相手が\(R\)を選ぶ確率が\(0\)ではないと考えているため、プレイヤー\(1\)が\(M\)を選ぶ確率は完全に排除されます。プレイヤーが弱支配される戦略を確実に選ばないことを保証するためには、合理性の仮定に加えて警戒心の仮定が必要だということです。

命題(弱支配される戦略が選ばれない根拠)
戦略型ゲーム\(G\)において、プレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)が自身の他の純粋戦略によって弱支配される場合、合理性と警戒心の仮定のもとでは、プレイヤー\(i\)は\(s_{i}\)を選択しない。
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警戒心については、別の機会にマックスミニ戦略(maxmin strategy)として定式化します。

 

弱支配純粋戦略

プレイヤー\(i\in I\)のある純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)が自身の他の任意の純粋戦略を弱支配する場合には、すなわち、任意の\(s_{i}^{\prime }\in S_{i}\backslash \left\{ s_{i}\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall s_{-i}\in S_{-i}:u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right)
\geq u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}:u_{i}\left(
s_{i},s_{-i}^{\prime }\right) >u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}^{\prime
}\right)
\end{eqnarray*}がとも成り立つ場合には、\(s_{i}\)をプレイヤー\(i\)の弱支配純粋戦略(weakly dominant pure strategy)や支配純粋戦略(dominant pure strategy)などと呼びます。

例(弱支配純粋戦略)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて再び考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 2,8 \\ \hline
D & 8,2 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$
表:弱支配戦略

プレイヤー\(1\)については、\(D\)が\(U\)を弱支配します。さらに、プレイヤー\(1\)の純粋戦略は\(U,D\)の2つだけであるため、\(D\)はプレイヤー\(1\)の弱支配戦略です。プレイヤー\(2\)については、\(R\)が\(L\)を弱支配します。さらに、プレイヤー\(2\)の純粋戦略は\(L,R\)の2つだけであるため、\(R\)はプレイヤー\(2\)の弱支配戦略です。

繰り返しになりますが、それぞれのプレイヤーは自分の他の戦略を弱支配する戦略を持つとは限りません。したがって、プレイヤーは弱支配戦略を持つとは限らないということになります。

例(弱支配純粋戦略)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて再び考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & -1,1 \\ \hline
D & -1,1 & 1,-1 \\ \hline
\end{array}$$
表:弱支配戦略

プレイヤー\(1\)については、\(U\)は\(D\)を弱支配せず、逆に\(D\)は\(U\)を弱支配しないため、弱支配戦略は存在しません。プレイヤー\(2\)については、\(L\)は\(R\)を弱支配せず、逆に\(R\)は\(L\)を弱支配しないため、弱支配戦略は存在しません。

プレイヤーは弱支配戦略を持つとは限りませんが、弱支配戦略が存在する場合、それは一意的です。実際、プレイヤー\(i\)が異なる2つの弱支配戦略\(s_{i},s_{i}^{\prime }\)を持つものと仮定すると、\(s_{i}\)は\(s_{i}^{\prime }\)を弱支配するため、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall s_{-i}\in S_{-i}:u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right)
\geq u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}:u_{i}\left(
s_{i},s_{-i}^{\prime }\right) >u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}^{\prime
}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、\(\left( b\right) \)より、\(s_{i}^{\prime }\)は\(s_{i}\)を弱支配しないため、これは\(s_{i}^{\prime }\)が弱支配戦略であることと矛盾です。

命題(弱支配純粋戦略の一意性)
戦略型ゲーム\(G\)において、プレイヤーが弱支配純粋戦略を持つ場合、それは一意的である。
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プレイヤー\(i\)の純粋戦略\(s_{i}\)が強支配戦略であるものとします。つまり、\(s_{i}\)はプレイヤー\(i\)の他のすべての純粋戦略を強支配しますが、強支配は弱支配を含意するため、\(s_{i}\)は弱支配戦略でもあります。

命題(強支配戦略と弱支配戦略)
戦略型ゲーム\(G\)においてプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)が強支配戦略ならば、\(s_{i}\)は弱支配戦略でもある。
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上の命題の逆は成り立つとは限りません。実際、\(s_{i}\)が弱支配戦略であるとき、\(s_{i}\)はプレイヤー\(i\)の他のすべての純粋戦略を弱支配しますが、弱支配は必ずしも強支配を意味しないため、\(s_{i}\)は強支配戦略であるとは限りません。これは以下の例からも明らかです。

例(強支配戦略と弱支配戦略)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 2,8 \\ \hline
D & 8,2 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$
表:強支配戦略と弱支配戦略

プレイヤー\(1\)について、\(D\)は弱支配戦略ですが強支配戦略ではありません。

合理性と警戒心の仮定のもとでは、プレイヤーが弱支配される戦略を選ぶ可能性は排除されます。プレイヤー\(i\)が弱支配戦略\(s_{i}\)を持つとき、プレイヤー\(i\)の他のすべての純粋戦略は\(s_{i}\)によって弱支配されるため、それらの純戦略が選ばれることはなく、プレイヤー\(i\)は\(s_{i}\)を選びます。言い換えると、仮にプレイヤー\(i\)が弱支配戦略\(s_{i}\)を選ばないのであれば、それは合理性や警戒心の仮定と矛盾します。

命題(弱支配純粋戦略が選ばれる根拠)
戦略型ゲーム\(G\)において、プレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)が弱支配戦略である場合、合理性と警戒心の仮定のもとでは、プレイヤー\(i\)は\(s_{i}\)を選択する。
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弱支配純粋戦略均衡

繰り返しになりますが、戦略型ゲーム\(G\)においてプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略\(s_{i}^{\ast }\in S_{i}\)が弱支配純粋戦略であることとは、任意の\(s_{i}\in S_{i}\backslash \left\{ s_{i}^{\ast }\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall s_{-i}\in S_{-i}:u_{i}\left( s_{i}^{\ast
},s_{-i}\right) \geq u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}:u_{i}\left(
s_{i}^{\ast },s_{-i}^{\prime }\right) >u_{i}\left( s_{i},s_{-i}^{\prime
}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことを意味します。さて、プレイヤーたちの純粋戦略の組\(s_{I}^{\ast }=\left( s_{i}^{\ast }\right) _{i\in I}\)において、任意のプレイヤー\(i\)の純粋戦略\(s_{i}^{\ast }\)が弱支配純粋戦略になっているならば、\(s_{I}^{\ast }\)を\(G\)の弱支配純粋戦略均衡(weakly dominant pure strategy equilibrium)や支配純粋戦略均衡(dominant pure strategy equilibrium)などと呼びます。

例(弱支配純粋戦略均衡)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて再び考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 2,8 \\ \hline
D & 8,2 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$
表:弱支配戦略均衡

プレイヤー\(1\)にとって\(D\)は弱支配戦略であり、プレイヤー\(2\)にとって\(R\)は弱支配戦略です。したがって、\(\left( D,R\right) \)は弱支配戦略の組であるため、これはゲームの弱支配戦略均衡です。

繰り返しになりますが、それぞれのプレイヤーは弱支配戦略を持つとは限りません。したがって、ゲームには弱支配戦略均衡は存在するとは限らないということになります。

例(弱支配純粋戦略均衡)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて再び考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & -1,1 \\ \hline
D & -1,1 & 1,-1 \\ \hline
\end{array}$$
表:弱支配戦略均衡

プレイヤー\(1,2\)はともに弱支配戦略を持たないため、このゲームには弱支配戦略は存在しません。

繰り返しになりますが、プレイヤーが弱支配戦略を持つ場合、それは一意的です。したがって、ゲームに弱支配戦略均衡が存在する場合、それは一意的です。

命題(弱支配純粋戦略均衡の一意性)
戦略型ゲーム\(G\)において、弱支配純粋戦略均衡が存在する場合、それは一意的である。
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戦略型ゲーム\(G\)に強支配戦略均衡\(s_{I}^{\ast }=\left( s_{i}^{\ast }\right) _{i\in I}\)が存在する場合、それぞれのプレイヤー\(i\)の均衡戦略\(s_{i}^{\ast }\)は強支配戦略です。強支配戦略は弱支配戦略でもあるため、\(s_{I}^{\ast }\)は弱支配戦略均衡でもあります。

命題(強支配戦略均衡と弱支配戦略均衡)
戦略型ゲーム\(G\)に強支配戦略均衡\(s_{I}^{\ast }\in S_{I}\)が存在するとき、\(s_{I}^{\ast }\)はこのゲームの弱支配戦略均衡である。
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上の命題の逆は成り立つとは限りません。実際、\(s_{I}^{\ast }\)が弱支配戦略均衡であるとき、それぞれのプレイヤー\(i\)の均衡戦略\(s_{i}^{\ast }\)は弱支配戦略ですが、弱支配戦略は強支配戦略であるとは限らないため、\(s_{I}^{\ast }\)は強支配戦略均衡であるとは限りません。これは以下の例からも明らかです。

例(強支配戦略均衡と弱支配戦略均衡)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 2,8 \\ \hline
D & 8,2 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$
表:強支配戦略均衡と弱支配戦略均衡

純粋戦略の組\(\left( D,R\right) \)は弱支配戦略均衡ですが、強支配戦略均衡ではありません。

戦略型ゲーム\(G\)に弱支配戦略均衡\(s_{I}^{\ast }\)が存在する場合、それぞれのプレイヤー\(i\)は自身の均衡戦略である弱支配戦略\(s_{i}^{\ast }\)を選べば、他のプレイヤーたちがどのような戦略の組\(s_{-i}\)を選ぶかに関わらず、他の純粋戦略\(s_{i}^{\prime }\)を選ぶ場合以上もしくはそれよりも大きな利得を得ることができます。したがって、ゲームに弱支配戦略均衡が存在する場合、それぞれのプレイヤーは他のプレイヤーたちの行動について考える必要がなく、他のプレイヤーたちが合理的であるかどうかを考える必要もなく、自身の弱支配戦略\(s_{i}^{\ast }\)を選ぶことが常に最適になります。弱支配戦略均衡が存在するゲームでは、プレイヤーは他のプレイヤーたちの手を読んだり、相手の合理性を疑う必要がないということです。プレイヤーの合理性が相互知識もしくは共有知識であるという仮定は必要なく、それぞれのプレイヤーが合理的であるとともに不測の事態が起こり得ることを想定できるほど十分な警戒心を持っていれば、全員が均衡戦略である弱支配戦略を選び、その結果、均衡である弱支配戦略均衡が実現します。

命題(弱支配純粋戦略均衡が実現する根拠)
戦略型ゲーム\(G\)において、弱支配純粋戦略均衡\(s_{I}^{\ast }\in S_{I}\)が存在する場合、合理性と警戒心の仮定のもとでは、プレイヤーたちは\(s_{I}^{\ast }\)をプレーする。
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次回は強支配混合戦略均衡について解説します。

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