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ナッシュ均衡と支配戦略均衡の関係

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広義のナッシュ均衡と広義の支配戦略均衡

戦略型ゲーム\(G\)に広義の支配戦略均衡\(s_{I}^{\ast }\in S_{I}\)が存在するものとします。ちなみに、これは混合拡張\(G^{\ast }\)における広義の支配戦略均衡でもあります。いずれにせよ、この\(s_{I}^{\ast }\)は\(G\)における広義の純粋戦略ナッシュ均衡であるため、混合拡張\(G^{\ast }\)における広義の混合戦略ナッシュ均衡でもあります。

命題(広義のナッシュ均衡と広義の支配戦略均衡)
戦略型ゲーム\(G\)に広義の支配戦略均衡\(s_{I}^{\ast }\in S_{I}\)が存在する場合、\(s_{I}^{\ast }\)は広義の純粋戦略ナッシュ均衡である。
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上の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、広義のナッシュ均衡は広義の支配戦略均衡であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(広義のナッシュ均衡と広義の支配戦略均衡)
以下の利得行列で表される戦略型ゲーム\(G\)について考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 2^{\ast },8^{\ast } \\ \hline
D & 8^{\ast },2^{\ast } & 2^{\ast },2^{\ast } \\ \hline
\end{array}$$

表:広義の支配戦略均衡

図にはプレイヤーが広義の最適反応を選んだ場合に得られる利得に\(\ast \)を記してあります。図より、このゲームには3つの広義の純粋戦略ナッシュ均衡\(\left( D,L\right) ,\left( U,R\right) ,\left(D,R\right) \)が存在します。その一方で、プレイヤー\(1\)にとっての広義の支配戦略は\(D\)であり、プレイヤー\(2\)にとっての広義の支配戦略は\(R\)であるため、\(\left( D,R\right) \)が広義の支配戦略均衡です。

 

狭義のナッシュ均衡と狭義の支配戦略均衡

戦略型ゲーム\(G\)に狭義の支配戦略均衡\(s_{I}^{\ast }\in S_{I}\)が存在するものとします。ちなみに、これは混合拡張\(G^{\ast }\)における狭義の支配戦略均衡でもあります。いずれにせよ、この\(s_{I}^{\ast }\)は\(G\)における狭義の純粋戦略ナッシュ均衡であるため、混合拡張\(G^{\ast }\)における狭義の混合戦略ナッシュ均衡でもあります。

命題(狭義のナッシュ均衡と狭義の支配戦略均衡)
戦略型ゲーム\(G\)に狭義の支配戦略均衡\(s_{I}^{\ast }\in S_{I}\)が存在する場合、\(s_{I}^{\ast }\)は狭義の純粋戦略ナッシュ均衡である。
証明

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上の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、狭義のナッシュ均衡は狭義の支配戦略均衡であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(狭義のナッシュ均衡と狭義の支配戦略均衡)
以下の利得行列で表される戦略型ゲーム\(G\)について考えます。

$$\begin{array}{ccc}\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 2^{\ast },1^{\ast } & 0,0 \\ \hline
D & 0,0 & 1^{\ast },2^{\ast } \\ \hline
\end{array}$$

表:利得行列

図にはプレイヤーが狭義の最適反応を選んだ場合に得られる利得に\(\ast \)を記してあります。図より、このゲームには2つの狭義の純粋戦略ナッシュ均衡\(\left( U,L\right) ,\left( D,R\right) \)が存在します。その一方で、プレイヤーたちは狭義の支配戦略を持たないため、このゲームには狭義の支配戦略均衡は存在しません。

次回からナッシュの定理について解説します。

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狭義の純粋戦略ナッシュ均衡

戦略型ゲームにおいてプレイヤーたちの純粋戦略の組に注目したときに、その組を構成する戦略がお互いに狭義の最適反応になっているならば、その組を狭義の純粋戦略ナッシュ均衡と呼びます。

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戦略型ゲームの混合拡張においてプレイヤーたちの混合戦略の組に注目したときに、その組を構成する混合戦略がお互いに広義の最適反応になっているならば、その組を広義の混合戦略ナッシュ均衡と呼びます。

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