広義のナッシュ均衡と広義の支配戦略均衡の関係
問題としている戦略的状況が完備情報の静学ゲームであり、それが戦略型ゲーム\(G\)として表現されているものとします。このゲーム\(G\)において純粋戦略の組\(s_{I}^{\ast }=\left( s_{i}^{\ast}\right) _{i\in I}\in S_{I}\)が広義の支配戦略均衡であるものとします。つまり、任意のプレイヤー\(i\)にとって均衡戦略\(s_{i}^{\ast }\)が広義の支配戦略であるということです。これは、プレイヤー\(i\in I\)とその純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\backslash \left\{ s_{i}^{\ast }\right\} \)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall s_{-i}\in S_{-i}:u_{i}\left( s_{i}^{\ast
},s_{-i}\right) \geq u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}:u_{i}\left(
s_{i}^{\ast },s_{-i}^{\prime }\right) >u_{i}\left( s_{i},s_{-i}^{\prime
}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことを意味します。\(\left( a\right) \)において\(s_{-i}\)は任意であるため、\(s_{-i}=s_{-i}^{\ast }\)の場合にも\(\left( a\right) \)に相当する命題\begin{equation*}u_{i}\left( s_{i}^{\ast },s_{-i}^{\ast }\right) \geq u_{i}\left(
s_{i},s_{-i}^{\ast }\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、プレイヤー\(i\)の広義の支配戦略\(s_{i}^{\ast }\)は必然的に、他のプレイヤーたちの広義の支配戦略の組\(s_{-i}^{\ast }\)に対する広義の最適反応でもあるということです。任意のプレイヤー\(i\)について同様の議論が成立するため、\(s_{I}^{\ast }\)は広義の最適反応からなる組であること、すなわち\(s_{I}^{\ast }\)が広義の純粋戦略ナッシュ均衡であることが明らかになりました。つまり、ゲームに広義の支配戦略均衡が存在する場合、それは必然的に広義の純粋戦略ナッシュ均衡でもあるということです。
戦略型ゲーム\(G\)に広義の支配戦略均衡\(s_{I}^{\ast }\)が存在する状況を想定します。これは、\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)に広義の支配戦略均衡\(\sigma _{I}^{\ast }\)が存在することと必要十分であるとともに、両者は一致して\(\sigma _{I}^{\ast }=s_{I}^{\ast }\)が成り立ちます。加えて、先の命題より\(s_{I}^{\ast }\)は\(G\)における広義の純粋戦略ナッシュ均衡でもあります。さらにこれは、\(s_{I}^{\ast }\)が混合拡張\(G^{\ast }\)における広義の混合戦略ナッシュ均衡でもあることを意味します。
ちなみに、先の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、広義のナッシュ均衡は広義の支配戦略均衡であるとは限りません。以下の例より明らかです。
$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 2^{\ast },8^{\ast } \\ \hline
D & 8^{\ast },2^{\ast } & 2^{\ast },2^{\ast } \\ \hline
\end{array}$$
図にはプレイヤーが広義の最適反応を選んだ場合に得られる利得に\(\ast \)を記してあります。図より、このゲームには3つの広義の純粋戦略ナッシュ均衡\(\left( D,L\right) ,\left( U,R\right) ,\left(D,R\right) \)が存在します。その一方で、プレイヤー\(1\)にとっての広義の支配戦略は\(D\)であり、プレイヤー\(2\)にとっての広義の支配戦略は\(R\)であるため、\(\left( D,R\right) \)は広義の支配戦略均衡である一方で、\(\left( D,L\right) \)と\(\left( U,R\right) \)は広義の支配戦略均衡ではありません。
戦略型ゲーム\(G\)に広義の支配戦略均衡\(s_{I}^{\ast }\in S_{I}\)が存在する場合、\(s_{I}^{\ast }\)は広義の純粋戦略ナッシュ均衡でもあることが明らかになりました。以上の事実は、ゲーム\(G\)における広義の支配戦略均衡の候補となり得るのは広義の純粋戦略ナッシュ均衡だけであることも意味します。したがって、ゲーム\(G\)に広義の純粋戦略ナッシュ均衡が存在しない場合、そのゲーム\(G\)には広義の支配戦略均衡が存在しないことを同時に意味します。また、ゲーム\(G\)に広義の純粋戦略ナッシュ均衡が存在するものの、それらが広義の支配戦略均衡ではない場合、そのゲーム\(G\)には広義の支配戦略均衡が存在しません。
狭義のナッシュ均衡と狭義の支配戦略均衡の関係
問題としている戦略的状況が完備情報の静学ゲームであり、それが戦略型ゲーム\(G\)として表現されているものとします。このゲーム\(G\)において純粋戦略の組\(s_{I}^{\ast }=\left( s_{i}^{\ast}\right) _{i\in I}\in S_{I}\)が狭義の支配戦略均衡であるものとします。つまり、任意のプレイヤー\(i\)にとって均衡戦略\(s_{i}^{\ast }\)が狭義の支配戦略であるということです。これは、プレイヤー\(i\in I\)とその純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\backslash \left\{ s_{i}^{\ast }\right\} \)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}\forall s_{-i}\in S_{-i}:u_{i}\left( s_{i}^{\ast },s_{-i}\right)
>u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。上の命題において\(s_{-i}\)は任意であるため、\(s_{-i}=s_{-i}^{\ast }\)の場合の命題\begin{equation*}u_{i}\left( s_{i}^{\ast },s_{-i}^{\ast }\right) >u_{i}\left(
s_{i},s_{-i}^{\ast }\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、プレイヤー\(i\)の狭義の支配戦略\(s_{i}^{\ast }\)は必然的に、他のプレイヤーたちの狭義の支配戦略の組\(s_{-i}^{\ast }\)に対する狭義の最適反応でもあるということです。任意のプレイヤー\(i\)について同様の議論が成立するため、\(s_{I}^{\ast }\)は狭義の最適反応からなる組であること、すなわち\(s_{I}^{\ast }\)が狭義の純粋戦略ナッシュ均衡であることが明らかになりました。つまり、ゲームに狭義の支配戦略均衡が存在する場合、それは必然的に狭義の純粋戦略ナッシュ均衡でもあるということです。しかも、狭義の純粋戦略ナッシュ均衡が存在する場合には一意的であるため、\(s_{I}^{\ast}\)は唯一の狭義の純粋戦略ナッシュ均衡です。
戦略型ゲーム\(G\)に狭義の支配戦略均衡\(s_{I}^{\ast }\)が存在する状況を想定します。これは、\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)に狭義の支配戦略均衡\(\sigma _{I}^{\ast }\)が存在することと必要十分であるとともに、両者は一致して\(\sigma _{I}^{\ast }=s_{I}^{\ast }\)が成り立ちます。加えて、先の命題より\(s_{I}^{\ast }\)は\(G\)における狭義の純粋戦略ナッシュ均衡でもあります。さらにこれは、\(s_{I}^{\ast }\)が混合拡張\(G^{\ast }\)における狭義の混合戦略ナッシュ均衡でもあることを意味します。
ちなみに、先の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、狭義のナッシュ均衡は狭義の支配戦略均衡であるとは限りません。以下の例より明らかです。
$$\begin{array}{ccc}\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 2^{\ast },1^{\ast } & 0,0 \\ \hline
D & 0,0 & 1^{\ast },2^{\ast } \\ \hline
\end{array}$$
図にはプレイヤーが狭義の最適反応を選んだ場合に得られる利得に\(\ast \)を記してあります。図より、このゲームには2つの狭義の純粋戦略ナッシュ均衡\(\left( U,L\right) ,\left( D,R\right) \)が存在します。その一方で、プレイヤーたちは狭義の支配戦略を持たないため、このゲームに狭義の支配戦略均衡は存在しません。
戦略型ゲーム\(G\)に狭義の支配戦略均衡\(s_{I}^{\ast }\in S_{I}\)が存在する場合、\(s_{I}^{\ast }\)は唯一の狭義の純粋戦略ナッシュ均衡でもあることが明らかになりました。以上の事実は、ゲーム\(G\)における狭義の支配戦略均衡の候補となり得るのは狭義の純粋戦略ナッシュ均衡だけであることも意味します。したがって、ゲーム\(G\)に狭義の純粋戦略ナッシュ均衡が存在しない場合、そのゲーム\(G\)には狭義の支配戦略均衡が存在しないことを同時に意味します。また、ゲーム\(G\)に狭義の純粋戦略ナッシュ均衡が存在するものの、それらが狭義の支配戦略均衡ではない場合、そのゲーム\(G\)には狭義の支配戦略均衡が存在しません。
演習問題
\end{equation*}を満たす実数\(a,b,c,d\in \mathbb{R} \)を用いて、以下の利得行列
$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & C & D \\ \hline
C & b,b & d,a \\ \hline
D & a,d & c,c \\ \hline
\end{array}$$
によって表現されているものとします。このようなゲーム\(G\)を囚人のジレンマ（prisoner’s dilemma）と呼びます。このゲーム\(G\)には純粋戦略の範囲で支配戦略均衡やナッシュ均衡は存在するでしょうか。議論してください。
u_{2}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&\left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) -c\right] \cdot q_{2}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。このようなゲーム\(G\)をクールノー競争（Cournot competition）と呼びます。このゲーム\(G\)には純粋戦略の範囲で支配戦略均衡やナッシュ均衡は存在するでしょうか。議論してください。
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