あるプレイヤーの純戦略が別の純戦略を強支配することや、弱支配することの意味を定義した上で、両者の関係を説明します。合理的なプレイヤーは何らかの純戦略によって強支配される純戦略を選びません。

純戦略の強支配関係

戦略型ゲーム\(G\)において、プレイヤー\(i\)以外のプレイヤーたちがどのような純戦略の組\(s_{-i}\in S_{-i}\)を選んだ場合においても、プレイヤー\(i\)が純戦略\(s_{i}^{\prime }\in S_{i}\)を選んだときに得る利得が別の純戦略\(s_{i}\in S_{i}\)を選んだときに得る利得よりも大きければ、すなわち、プレイヤー\(i\)の異なる純戦略\(s_{i},s_{i}^{\prime }\in S_{i}\)の間に、\begin{equation*}
\forall s_{-i}\in S_{-i}:u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}\right) >u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right)
\end{equation*}という関係が成立する場合には、\(s_{i}^{\prime }\)は\(s_{i}\)を強支配する(strictly dominate)もしくは支配する(dominate)などと言います。逆に、\(s_{i}\)は\(s_{i}^{\prime }\)に強支配される(strictly dominated)もしくは支配される(dominated)などと言うこともできます。

例(強支配戦略)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 0,8 \\ \hline
D & 8,0 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$

表:利得行列

プレイヤー\(1\)については、\begin{eqnarray*}
u_{1}\left( D,L\right) &=&8>5=u_{1}\left( U,L\right) \\
u_{1}\left( D,R\right) &=&2>0=u_{1}\left( U,R\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(D\)は\(U\)を強支配します。プレイヤー\(2\)については、\begin{eqnarray*}
u_{2}\left( U,R\right) &=&8>5=u_{2}\left( U,L\right) \\
u_{2}\left( D,R\right) &=&2>0=u_{2}\left( D,L\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(R\)は\(L\)を強支配します。

 

純戦略の弱支配関係

戦略型ゲーム\(G\)において、プレイヤー\(i\)以外のプレイヤーたちがどのような純戦略の組\(s_{-i}\in S_{-i}\)を選んだ場合においても、プレイヤー\(i\)が純戦略\(s_{i}^{\prime }\in S_{i}\)を選んだときに得る利得が別の純戦略\(s_{i}\in S_{i}\)を選んだときに得る利得以上であるとともに、他のプレイヤーたちのある純戦略の組\(s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}\)に対しては、プレイヤー\(i\)が\(s_{i}^{\prime }\)を選んだときに得る利得が\(s_{i}\)を選んだときに得る利得よりも大きければ、すなわち、プレイヤー\(i\)の異なる純戦略\(s_{i},s_{i}^{\prime }\in S_{i}\)の間に、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall s_{-i}\in S_{-i}:u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}\right) \geq u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists s_{-i}^{\prime }\in S_{i}:u_{i}(s_{i}^{\prime },s_{-i}^{\prime })>u_{i}(s_{i},s_{-i}^{\prime })
\end{eqnarray*}という関係がともに成立する場合には、\(s_{i}^{\prime }\)は\(s_{i}\)を弱支配する(weakly dominate)と言います。逆に、\(s_{i}\)は\(s_{i}^{\prime }\)に弱支配される(weakly dominated)と言うこともできます。

例(弱支配戦略)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 2,8 \\ \hline
D & 8,2 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$

表:利得行列

プレイヤー\(1\)については、\begin{eqnarray*}
u_{1}\left( D,L\right) &=&8>5=u_{1}\left( U,L\right) \\
u_{1}\left( D,R\right) &=&2=2=u_{1}\left( U,R\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(D\)は\(U\)を弱支配します。プレイヤー\(2\)については、\begin{eqnarray*}
u_{2}\left( U,R\right) &=&8>5=u_{2}\left( U,L\right) \\
u_{2}\left( D,R\right) &=&2=2=u_{2}\left( D,L\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(R\)は\(L\)を弱支配します。

 

強支配戦略と弱支配戦略の関係

プレイヤー\(i\)にとって純戦略\(s_{i}^{\prime }\)が別の純戦略\(s_{i}\)を強支配するならば、\(s_{i}^{\prime }\)は明らかに\(s_{i}\)を弱支配します。

命題(強支配戦略と弱支配戦略の関係)
戦略型ゲーム\(G\)においてプレイヤー\(i\)の純戦略\(s_{i}^{\prime }\in S_{i}\)が純戦略\(s_{i}\in S_{i}\)を強支配するならば、\(s_{i}^{\prime }\)は\(s_{i}\)を弱支配する。
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上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、純戦略\(s_{i}^{\prime }\)が別の純戦略\(s_{i}\)を弱支配するとき、\(s_{i}^{\prime }\)は\(s_{i}\)を強支配するとは限りません。

例(強支配戦略と弱支配戦略の関係)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて再び考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 2,8 \\ \hline
D & 8,2 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$

表:利得行列

プレイヤー\(1\)にとって純戦略\(D\)は純戦略\(U\)を弱支配しますが、\(D\)は\(U\)を強支配しません。なぜなら、プレイヤー\(2\)が\(R\)を選ぶ場合には、プレイヤー\(1\)は\(U,D\)のどちらを選んだ場合でも同じ利得\(2\)しか得られないからです。

 

プレイヤーが支配される戦略を選ばない理由

合理的なプレイヤーは強支配される戦略を選びません。なぜなら、プレイヤーは強支配される戦略を選ぶ代わりに、その戦略を強支配する戦略を選べば、他のプレイヤーがどのような戦略を選ぶかに関わらず、自分はより大きな利得を得られるからです。したがって、合理的なプレイヤーの目的が自己の利得の最大化である限りにおいて、プレイヤーが強支配される戦略を選ぶことは合理性の仮定と矛盾します。

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1/2 & \alpha  & \beta  \\ \hline
\alpha  & 0,0 & 3,-1 \\ \hline
\beta  & -1,3 & 1,1 \\ \hline
\end{array}$$

表:利得行列

具体例として、上の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。両プレイヤーにとって\(\beta \)は\(\alpha \)に強支配される戦略であるため、合理性の仮定のもとでは、2人がともに\(\alpha \)を選ぶことがもっともらしい帰結となります。その結果、2人はともに利得\(0\)を得ます。

仮に2人がともに強支配される戦略\(\beta \)を選べば、2人はともに利得\(1\)を獲得し、これは2人が強支配する戦略\(\alpha \)を選んだ場合に得る利得\(0\)よりも大きくなっています。したがって、2人はともに強支配される戦略\(\beta \)を選ぶべきであると言えるかもしれません。しかし、このような考え方は誤りです。静学ゲームのプレイヤーたちはお互いに相談せずに自分の戦略を選ぶことを求められます。したがって、仮に自分が\(\beta \)を選んだ場合でも、相手に対して自分と同じように\(\beta \)を選ぶように仕向けることはできません。自分が\(\beta \)を選んだときに相手が\(\alpha \)を選べば、自分の利得は\(-1\)となり、これは自分にとって最悪の結果です。百歩譲って、テレパシーなどの能力を用いて相手に\(\beta \)を選ぶように仕向けることができる場合でも、その場合には今度は自分が\(\alpha \)を選べば最大の利得である\(3\)を得られるため、やはり自分は\(\alpha \)を選んだ方が良いということになります。

さて、プレイヤーが強支配される戦略を選ばない根拠としては合理性の仮定だけで十分ですが、弱支配される戦略を選ばない根拠としては、合理性の仮定だけでは不十分です。その理由を解説するために、以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1/2 & L & R \\ \hline
U & 5,1 & 4,0 \\ \hline
M & 6,0 & 3,1 \\ \hline
D & 6,4 & 4,4 \\ \hline
\end{array}$$

表:利得行列

プレイヤー\(1\)にとって、純戦略\(U,M\)はともに純戦略\(D\)によって弱支配されます。仮に、プレイヤー\(2\)が純戦略\(L\)を選ぶことをプレイヤー\(1\)が確信しているならば、プレイヤー\(1\)は\(M,D\)のどちらを選んだ場合でも等しい利得\(6\)を得られるため、合理性の観点からだけでは\(M\)を選ぶ可能性を完全には排除できません。

一方、プレイヤー\(2\)が純戦略\(R\)を選ぶ確率がわずかでも存在するとプレイヤー\(1\)が考えているのであれば、プレイヤー\(1\)は\(M\)よりも\(D\)を選ぶと考えるほうがもっともらしいです。つまり、合理性の仮定に加えて警戒心(caution)の視点を考慮すれば、弱支配戦略が選ばれないことの根拠がより確固たるものになります。この警戒心については、別の機会にマックスミニ戦略(maxmin strategy)として定式化します。

次回は混合戦略どうしの支配関係について解説します。

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