純粋戦略集合が可算集合である場合の混合戦略と期待利得

純粋戦略集合が可算集合である場合の混合戦略

問題としている戦略的状況が完備情報の静学ゲームであるとともに、それが戦略型ゲーム\begin{equation*}
G=\left( I,\left\{ S_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ u_{i}\right\} _{i\in
I}\right)
\end{equation*}として記述されているものとします。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(S_{i}\)はプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合、\(u_{i}:S_{I}\rightarrow \mathbb{R} \)はプレイヤー\(i\)の利得関数です。

純粋戦略集合が有限集合である状況を想定した上で混合戦略と期待利得について解説しましたが、純粋戦略集合が可算集合である場合、混合戦略はどのように定義され、また期待利得はどのように計算されるのでしょうか。

プレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略が可算集合\begin{equation*}S_{i}=\left\{ s_{i1},s_{i2},\cdots \right\}
\end{equation*}である状況を想定します。この場合、プレイヤー\(i\)の混合戦略とは、\(S_{i}\)に属するそれぞれの純粋戦略\(s_{ij}\ \left( j\in \mathbb{N} \right) \)に対して、それが選ばれる確率\begin{equation*}\sigma _{i}\left( s_{ij}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を指定する写像\begin{equation*}
\sigma _{i}:S_{i}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として定義されます。ただし、\(\sigma _{i}\)は以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall j\in \mathbb{N} :\sigma _{i}\left( s_{ij}\right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{j=1}^{+\infty }\sigma _{i}\left( s_{ij}\right) =1
\end{eqnarray*}をともに満たす必要があります。条件\(\left(a\right) \)は、プレイヤー\(i\)が混合戦略\(\sigma _{i}\)のもとでそれぞれの純粋戦略を選ぶ確率が非負の実数であることを意味します。条件\(\left( b\right) \)は、混合戦略\(\sigma _{i}\)のもとでそれぞれの純粋が選ばれる確率からなる無限級数の和をとると\(1\)になることを意味します。

プレイヤー\(i\)の混合戦略集合は、以上の条件を満たす混合戦略からなる集合\begin{equation*}\Delta \left( S_{i}\right) =\left\{ \sigma _{i}:S_{i}\rightarrow \mathbb{R} \ |\ \sum_{j=1}^{+\infty }\sigma _{i}\left( s_{ij}\right) =1\wedge \forall
j\in \mathbb{N} :\sigma _{i}\left( s_{ij}\right) \geq 0\right\}
\end{equation*}です。プレイヤー\(i\)の混合戦略\(\sigma _{i}:S_{i}\rightarrow \mathbb{R} \)を確率の列\begin{equation*}\sigma _{i}=\left( \sigma _{i}\left( s_{i1}\right) ,\sigma _{i}\left(
s_{i2}\right) ,\cdots \right)
\end{equation*}と同一視できるため、プレイヤー\(i\)の混合戦略集合を、\begin{equation*}\Delta \left( S_{i}\right) =\left\{ \sigma _{i}\in \mathbb{R} ^{\infty }\ |\ \sum_{j=1}^{+\infty }\sigma _{i}\left( s_{ij}\right) =1\wedge
\forall j\in \mathbb{N} :\sigma _{i}\left( s_{ij}\right) \geq 0\right\}
\end{equation*}と表現することもできます。

純粋戦略集合が可算集合である場合の期待利得

任意のプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合が可算集合\begin{equation*}S_{i}=\left\{ s_{i1},s_{i2},\cdots \right\} =\left\{ s_{ij_{i}}\right\}
_{j_{i}=1}^{+\infty }
\end{equation*}である状況を想定します。この場合、プレイヤー\(i\)の期待利得関数\(F_{i}:\Delta \left( S_{I}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が全員の混合戦略の組\(\sigma _{I}\in \Delta \left( S_{I}\right) \)に対して定める期待利得は、\begin{eqnarray*}F_{i}\left( \sigma _{I}\right) &=&\sum_{s_{I}\in S_{I}}\left[ \sigma
_{I}\left( s_{I}\right) \times u_{i}\left( s_{I}\right) \right] \\
&=&\sum_{j_{1}=1}^{+\infty }\cdots \sum_{j_{n}=1}^{+\infty }\left[ \sigma
_{1}\left( s_{1j_{1}}\right) \times \cdots \times \sigma _{n}\left(
s_{nj_{n}}\right) \times u_{i}\left( s_{1j_{1}},\cdots ,s_{nj_{n}}\right) \right] \quad \because I=\left\{ 1,\cdots ,n\right\} \text{の場合}
\end{eqnarray*}という多重無限級数になります。

純粋戦略集合が可算集合である場合の期待利得は無限級数であるため、有限な和に収束するとは限りません。

期待利得が収束するための条件：利得関数の有界性

純粋戦略集合が可算集合である場合の期待利得は無限級数であるため、有限な和に収束するとは限らないことが明らかになりました。期待利得が無限大になる状況を許容すると分析が困難になります。期待効用が有限な値として定まることを保証するためにはモデルに対して一定の制約を設ける必要があります。

純粋戦略集合が可算集合である場合においても、任意のプレイヤー\(i\in I\)の利得関数\(u_{i}:S_{I}\rightarrow \mathbb{R} \)が有界である場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists M>0,\ \forall s_{I}\in S_{I}:\left\vert u_{i}\left( s_{I}\right)
\right\vert \leq M
\end{equation*}が成り立つことを仮定すれば、期待利得関数は有限な和に収束します。実際、この場合、任意の\(\sigma _{I}\in\Delta \left( S_{I}\right) \)において、\begin{eqnarray*}\left\vert F_{i}\left( \sigma _{I}\right) \right\vert &=&\left\vert
\sum_{s_{I}\in S_{I}}\left[ \sigma _{I}\left( s_{I}\right) \times
u_{i}\left( s_{I}\right) \right] \right\vert \\
&=&\left\vert \sum_{j_{1}=1}^{+\infty }\cdots \sum_{j_{n}=1}^{+\infty }\left[
\sigma _{1}\left( s_{1j_{1}}\right) \times \cdots \times \sigma _{n}\left(
s_{nj_{n}}\right) \times u_{i}\left( s_{1j_{1}},\cdots ,s_{nj_{n}}\right) \right] \right\vert \quad \because I=\left\{ 1,\cdots ,n\right\} \text{の場合} \\
&\leq &\sum_{j_{1}=1}^{+\infty }\cdots \sum_{j_{n}=1}^{+\infty }\left[
\sigma _{1}\left( s_{1j_{1}}\right) \times \cdots \times \sigma _{n}\left(
s_{nj_{n}}\right) \times \left\vert u_{i}\left( s_{1j_{1}},\cdots
,s_{nj_{n}}\right) \right\vert \right] \quad \because \text{三角不等式} \\
&\leq &\sum_{j_{1}=1}^{+\infty }\cdots \sum_{j_{n}=1}^{+\infty }\left[
\sigma _{1}\left( s_{1j_{1}}\right) \times \cdots \times \sigma _{n}\left(
s_{nj_{n}}\right) \times M\right] \quad \because u_{i}\text{は有界} \\
&=&M\sum_{j_{1}=1}^{+\infty }\sigma _{1}\left( s_{1j_{1}}\right) \times
\cdots \times \sum_{j_{n}=1}^{+\infty }\sigma _{n}\left( s_{nj_{n}}\right)
\\
&=&M \\
&<&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(F_{i}\left( \sigma_{I}\right) \)は有限値として確定します。

期待利得が収束するための条件：有限の台

純粋戦略集合が可算集合である場合においても、任意のプレイヤー\(i\in I\)の混合戦略\(\sigma _{i}:\Delta \left( S_{I}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)の台が有限集合である場合には、すなわち\(\sigma _{i}\)のもとで正の確率が割り当てられる純粋戦略からなる集合\begin{equation*}\left\{ j\in \mathbb{N} \ |\ \sigma _{i}\left( s_{ij}\right) >0\right\}
\end{equation*}が有限集合である場合には、期待利得関数は有限な和に収束します。実際、この場合、\(\sigma _{I}\in \Delta \left( S_{I}\right) \)のもとで、\begin{equation*}\forall i\in I,\ \exists K_{i}\in \mathbb{N} ,\ \forall j_{i}\in \mathbb{N} :\left[ j_{i}>K_{i}\Rightarrow \sigma _{i}\left( s_{ij_{i}}\right) =0\right] \end{equation*}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
F_{i}\left( \sigma _{I}\right) &=&\sum_{s_{I}\in S_{I}}\left[ \sigma
_{I}\left( s_{I}\right) \times u_{i}\left( s_{I}\right) \right] \\
&=&\sum_{j_{1}=1}^{+\infty }\cdots \sum_{j_{n}=1}^{+\infty }\left[ \sigma
_{1}\left( s_{1j_{1}}\right) \times \cdots \times \sigma _{n}\left(
s_{nj_{n}}\right) \times u_{i}\left( s_{1j_{1}},\cdots ,s_{nj_{n}}\right) \right] \quad \because I=\left\{ 1,\cdots ,n\right\} \text{の場合} \\
&=&\sum_{j_{1}=1}^{K_{1}}\cdots \sum_{j_{n}=1}^{K_{n}}\left[ \sigma
_{1}\left( s_{1j_{1}}\right) \times \cdots \times \sigma _{n}\left(
s_{nj_{n}}\right) \times u_{i}\left( s_{1j_{1}},\cdots ,s_{nj_{n}}\right) \right] \end{eqnarray*}となりますが、これは有限個の実数の積と和であるため\(F_{i}\left( \sigma_{I}\right) \)は有限値として確定します。

確率空間を用いた混合戦略と期待利得の解釈

混合戦略とは何らかの純粋戦略をランダムに選択する意思決定に相当します。これは標本点をランダムに抽出するという確率論の考え方そのものです。そこで、純粋戦略集合が可算集合である状況における混合戦略を確率空間を用いて表現し、期待利得を導出するプロセスを解説します。

プレイヤー集合を、\begin{equation*}
I=\left\{ 1,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}とします。プレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合が可算集合\begin{equation*}S_{i}=\left\{ s_{i1},s_{i2},\cdots \right\} =\left\{ s_{ij_{i}}\right\}
_{j_{i}=1}^{+\infty }
\end{equation*}であるものとします。その上で、プレイヤー\(i\)の意思決定を確率空間\begin{equation*}\left( \Omega _{i},\mathcal{F}_{i},P_{i}\right)
\end{equation*}として定式化します。

まず、標本空間\(\Omega _{i}\)としてプレイヤーの純粋戦略集合\begin{equation*}\Omega _{i}=S_{i}
\end{equation*}を採用します。

標本空間\(\Omega _{i}\)すなわち純粋戦略集合\(S_{i}\)は可算集合であるため、事象空間\(\mathcal{F}_{i}\)として\(S_{i}\)のベキ集合\begin{equation*}\mathcal{F}_{i}=2^{S_{i}}
\end{equation*}を採用できます。

混合戦略\(\sigma _{i}:S_{i}\rightarrow \mathbb{R} \)を便宜的に集合関数\(\sigma _{i}:2^{S_{i}}\rightarrow \mathbb{R} \)とみなした場合、これは確率論の公理に相当する性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall j_{i}\in \mathbb{N} :\sigma _{i}\left( \left\{ s_{ij_{i}}\right\} \right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{j_{i}=1}^{+\infty }\sigma \left( \left\{
s_{ij_{i}}\right\} \right) =1 \\
&&\left( c\right) \ \forall A\in 2^{S_{i}}:\sigma \left( A\right)
=\sum_{s_{ij_{i}}\in A}P\left( \left\{ s_{ij_{i}}\right\} \right)
\end{eqnarray*}を満たすため、確率測度\(P_{i}\)として混合戦略\begin{equation*}P_{i}=\sigma _{i}
\end{equation*}を採用します。

以上の要領で定義された確率空間\begin{equation*}
\left( S_{i},2^{S_{i}},\sigma _{i}\right)
\end{equation*}をプレイヤー\(i\)の混合戦略と同一視します。

それぞれのプレイヤー\(i\in I\)に関する確率空間\begin{equation*}\left( S_{i},2^{S_{i}},\sigma _{i}\right)
\end{equation*}が先の要領で与えられた状況を想定します。ここから直積確率空間\begin{equation*}
\left( S_{I},2^{S_{I}},\sigma _{I}\right)
\end{equation*}を定義します。ただし、\begin{equation*}
S_{I}=S_{1}\times \cdots \times S_{n}
\end{equation*}はプレイヤーたちの純粋戦略集合の直積です。これは有限個の可算集合どうしの直積であるため可算集合であり、ゆえに事象空間としてそのベキ集合\begin{equation*}
2^{S_{I}}=2^{S_{1}\times \cdots \times S_{n}}
\end{equation*}を採用できます。さらに、プレイヤーたちが互いに独立に戦略を選ぶという非協力ゲームの前提にもとづき、確率測度は直積測度\begin{equation*}
\sigma _{I}=\sigma _{1}\times \cdots \times \sigma _{n}
\end{equation*}であり、純粋戦略からなる組\begin{equation*}
s_{I}=\left( s_{1},\cdots ,s_{n}\right) \in S_{1}\times \cdots \times S_{n}
\end{equation*}を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}
\sigma _{I}\left( \left\{ s_{I}\right\} \right) =\sigma _{1}\left( \left\{
s_{1}\right\} \right) \times \cdots \times \sigma _{n}\left( \left\{
s_{n}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立ちます。

以上の確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)を踏まえると、プレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}\)は確率変数\begin{equation*}u_{i}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として定義されます。\(u_{i}\)は確率変数としての条件\begin{equation*}\forall B\in \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) :u_{i}^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}を満たす必要があります。\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族です。ただし、\(\mathcal{F}=2^{S_{1}\times\cdots \times S_{n}}\)ゆえに先の条件は常に満たされるため、任意の写像\(u_{i}:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が確率変数になり得ることに注意してください。

それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の利得関数は確率変数\begin{equation*}u_{i}:S_{I}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として定義されます。\(u_{i}\)は確率変数としての条件\begin{equation*}\forall B\in \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) :u_{i}^{-1}\left( B\right) \in 2^{S_{I}}
\end{equation*}を満たす必要があります。\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族です。ただし、事象集合が\(2^{S_{I}}\)であることから先の条件は常に満たされるため、任意の写像\(u_{i}:S_{I}\rightarrow \mathbb{R} \)が利得関数になり得ることに注意してください。

混合戦略の組\(\sigma _{I}\)のもとでプレイヤー\(i\)が直面する期待利得\(F_{i}\left( \sigma_{I}\right) \)は、\(\sigma _{I}\)に相当する確率測度のもとでの確率変数\(u_{i}\)の期待値に他ならず、ゆえに、\begin{eqnarray*}F_{i}\left( \sigma _{I}\right) &=&\int_{S_{I}}u_{i}\left( s_{I}\right)
d\sigma _{I}\left( s_{I}\right) \\
&=&\int_{S_{1}\times \cdots \times S_{n}}u_{i}\left( s_{1},\cdots
,s_{n}\right) d\sigma _{I}\left( s_{1},\cdots ,s_{n}\right) \\
&=&\int_{S_{n}}\cdots \left( \int_{S_{1}}u_{i}\left( s_{1},\cdots
,s_{n}\right) d\sigma _{1}\left( s_{1}\right) \right) \cdots d\sigma
_{n}\left( s_{n}\right) \quad \because \text{フビニの定理} \\
&=&\sum_{j_{n}=1}^{+\infty }\cdots \left( \sum_{j_{1}=1}^{+\infty
}u_{i}\left( s_{1},\cdots ,s_{n}\right) \times \sigma _{1}\left( \left\{
s_{1j_{1}}\right\} \right) \right) \cdots \sigma _{n}\left( \left\{
s_{nj_{n}}\right\} \right)
\end{eqnarray*}を得ます。以上の結果は期待効用の定義と整合的です。

演習問題