混合戦略均衡における無差別原理
問題としている戦略的状況が完備情報の静学ゲームであるとともに、それが戦略型ゲーム\begin{equation*}
G=\left( I,\left\{ S_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ u_{i}\right\} _{i\in
I}\right)
\end{equation*}として記述されているものとします。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(S_{i}\)はプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合、\(u_{i}:S_{I}\rightarrow \mathbb{R} \)はプレイヤー\(i\)の利得関数です。
戦略型ゲーム\(G\)においてプレイヤーたちが混合戦略を選択する状況を想定する場合、その戦略的状況は\(G\)の混合拡張\begin{equation*}G^{\ast }=(I,\{\Delta \left( S_{i}\right) \}_{i\in I},\{F_{i}\}_{i\in I})
\end{equation*}として表現されます。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(\Delta \left( S_{i}\right) \)はプレイヤー\(i\in I\)の混合戦略集合、\(F_{i}:\Delta \left( S_{I}\right)\rightarrow \mathbb{R} \)はプレイヤー\(i\)の期待利得関数です。
混合戦略の組\(\sigma _{I}^{\ast }\in\Delta \left( S_{I}\right) \)が広義の混合戦略ナッシュ均衡であることは、\begin{equation*}\forall i\in I,\ \forall \sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right)
:F_{i}\left( \sigma _{i}^{\ast },\sigma _{-i}^{\ast }\right) \geq
F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}^{\ast }\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。さらに、任意のプレイヤー\(i\in I\)について、他のプレイヤーたちの均衡戦略\(\sigma _{-i}^{\ast }\)を前提としたとき、自身の均衡戦略\(\sigma _{i}^{\ast }\)において正の確率を付与されている任意の純粋戦略が純粋戦略の範囲内でプレイヤー\(i\)の期待利得を最大化することは、すなわち、\(\sigma _{i}^{\ast }\)から以下の集合\begin{equation*}S_{i}^{\ast }=\left\{ s_{i}\in S_{i}\ |\ \sigma _{i}^{\ast }\left(
s_{i}\right) >0\right\}
\end{equation*}を定義したとき、\begin{equation*}
\forall i\in I,\ \forall s_{i}^{\ast }\in S_{i}^{\ast },\ \forall s_{i}\in
S_{i}:F_{i}\left( s_{i}^{\ast },\sigma _{-i}^{\ast }\right) \geq F_{i}\left(
s_{i},\sigma _{-i}^{\ast }\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(\sigma _{I}^{\ast }\)が広義の混合戦略ナッシュ均衡であるための必要十分条件です。これを無差別の原理（indifference principle）と呼びます。他のプレイヤーたちの均衡戦略\(\sigma _{-i}^{\ast }\)を前提としたとき、ある1つの純粋戦略\(s_{i}\)のもとでプレイヤー\(i\)の期待利得が最大化されるのであれば、無差別化の原理より、プレイヤー\(i\)はその純粋戦略\(s_{i}\)を確率\(1\)で選択することになるため、プレイヤー\(i\)の均衡戦略は純粋戦略\(s_{i}\)になります。
混合戦略ナッシュ均衡において、自身の均衡戦略のもとで正の確率を割り当てるどの純粋戦略を選んだ場合でも自身が直面する期待利得に変化がないのであれば、なぜあえて特定の確率分布を守る必要があるのでしょうか。ここでは、混合戦略の本質を利得の最大化という攻めの視点から見るのではなく、相手の最適反応を制御するという守りの視点から解説します。
逸脱のパラドックス
混合戦略の組\(\sigma _{I}^{\ast }\in\Delta \left( S_{I}\right) \)が広義の混合戦略ナッシュ均衡であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall i\in I,\ \forall \sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right)
:F_{i}\left( \sigma _{i}^{\ast },\sigma _{-i}^{\ast }\right) \geq
F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}^{\ast }\right)
\end{equation*}が成り立つということです。プレイヤー\(i\in I\)を選んだ上で、その均衡戦略\(\sigma _{i}^{\ast }\)のもとで正の確率で選ばれる純粋戦略からなる集合を、\begin{equation*}S_{i}^{\ast }=\left\{ s_{i}\in S_{i}\ |\ \sigma _{i}^{\ast }\left(
s_{i}\right) >0\right\}
\end{equation*}で表記します。無差別の原理より、\begin{equation*}
\forall s_{i}^{\ast }\in S_{i}^{\ast }:F_{i}\left( s_{i}^{\ast },\sigma
_{-i}^{\ast }\right) =F_{i}\left( \sigma _{i}^{\ast },\sigma _{-i}^{\ast
}\right)
\end{equation*}が成り立つことに注意してください。
均衡戦略\(\sigma _{i}^{\ast }\)は\(S_{i}^{\ast }\)に属する純粋戦略だけに正の確率を付与します。そこで、\(S_{i}^{\ast}\)に属する純粋戦略だけに正の確率を付与するという条件を保ちながら\(\sigma _{i}^{\ast }\)とは異なる混合戦略\(\sigma _{i}^{\prime }\)へ移行した場合、プレイヤー\(i\)の期待利得は変化するでしょうか。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall s_{i}\in S_{i}^{\ast }:\sigma _{i}^{\prime
}\left( s_{i}\right) >0 \\
&&\left( b\right) \ \forall s_{i}\in S_{i}\backslash S_{i}^{\ast }:\sigma
_{i}^{\prime }\left( s_{i}\right) =0
\end{eqnarray*}を満たす\(\sigma _{i}^{\ast }\)とは異なる混合戦略\(\sigma _{i}^{\prime }\)へ移行した場合の期待利得\(F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma_{-i}^{\ast }\right) \)を均衡期待利得\(F_{i}\left( \sigma _{i}^{\ast },\sigma _{-i}^{\ast }\right) \)と比較するということです。
}\left( s_{i}\right) >0 \\
&&\left( b\right) \ \forall s_{i}\in S_{i}\backslash S_{i}^{\ast }:\sigma
_{i}^{\prime }\left( s_{i}\right) =0
\end{eqnarray*}を満たす均衡戦略\(\sigma_{i}^{\ast }\)とは異なる混合戦略\(\sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma _{-i}^{\ast }\right) =F_{i}\left(
\sigma _{i}^{\ast },\sigma _{-i}^{\ast }\right)
\end{equation*}が成り立つ。
以上の命題より、他のプレイヤーたちが均衡戦略\(\sigma _{-i}^{\ast }\)に留まる場合、プレイヤー\(i\)が均衡戦略\(\sigma _{i}^{\ast }\)において選ばれ得る純粋戦略集合\(S_{i}^{\ast }\)上の確率分布を変更する形で別の混合戦略へ移行しても、プレイヤー\(i\)の期待利得は変わらないことが明らかになりました。集合\(S_{i}^{\ast }\)上の純粋戦略はいずれも同一の期待利得をもたらすという意味で横並びになっているため、その選び方の比率をどう変えても、得られる平均値は変化しないということです。
通常、私たちはより得をしたいからこそ戦略を練り、行動を変更します。しかし実際には\(S_{i}^{\ast }\)上の確率分布をどのように変えても結果は同じです。より良くしようと動く動機があるはずのゲームの場において、実は動いても何も変わらないという状況は逆説的です。
理論的解釈：相手の逸脱を防ぐ
集合\(S_{i}^{\ast }\)上の確率分布を変更しても期待利得が変化しないのであれば、プレイヤー\(i\)は均衡戦略\(\sigma _{i}^{\ast }\)とは異なる\(S_{i}^{\ast }\)上の確率分布を自由に選んでも良いのでしょうか。プレイヤー\(i\)が均衡利得\(\sigma _{i}^{\ast }\)に留まると、無差別の原理より、他の任意のプレイヤー\(j\)にとっても均衡戦略\(\sigma _{j}^{\ast }\)のもとで選ばれ得る純粋戦略からなる集合\(S_{j}^{\ast }\)に属する戦略が無差別になり、ゆえにプレイヤー\(j\)は特定の純粋戦略に固執せず均衡戦略\(\sigma _{j}^{\ast }\)に留まり続けます。一方、プレイヤー\(i\)が均衡戦略\(\sigma _{i}^{\ast }\)から逸脱して集合\(S_{i}^{\ast }\)上の確率分布を変更すると他のプレイヤー\(j\)の期待利得が変化し、今度は他のプレイヤー\(j\)にとって均衡戦略\(\sigma _{j}^{\ast }\)に留まることは最適ではなく、特定の純粋戦略が他よりも有利な最適反応へと変化する状況が起こり得ます。その結果、プレイヤー\(i\)の期待利得が当初の均衡期待利得を下回ってしまう事態が起こり得ます。以下が具体例です。
\end{equation*}です。ただし、\(K\)はキッカーであり、\(G\)はゴールキーパーです。純粋戦略集合として、\begin{equation*}S_{K}=S_{G}=\left\{ L,R\right\}
\end{equation*}を採用します。ただし、\(L\)はキーパーから見て左側に蹴る（キッカーの場合）ないし飛ぶ（キーパーの場合）ことを意味し、\(R\)はキーパーから見て右側に蹴るないし飛ぶことを意味します。利得関数を以下の利得行列
$$\begin{array}{ccc}
\hline
K\backslash G & L & R \\ \hline
L & 0,1 & 1,0 \\ \hline
R & 1,0 & 0,1 \\ \hline
\end{array}$$
によって定義します。つまり、キッカーは相手と異なる戦略を選んだ場合に成功して利得\(1\)を得て、相手と同じ戦略を選んだ場合に失敗して利得\(0\)を得ます。一方、キーパーは相手と同じ戦略を選んだ場合に成功して利得\(1\)を得て、相手と異なる戦略を選んだ場合に失敗して利得\(0\)を得ます。このゲーム\(G\)には純粋戦略の範囲においてナッシュ均衡は存在しません。キッカーの混合戦略を、\begin{equation*}\sigma _{K}=\left( \sigma _{K}\left( L\right) ,\sigma _{K}\left( R\right)
\right) =\left( p,1-p\right)
\end{equation*}で表記し、キーパーの混合戦略を、\begin{equation*}
\sigma _{G}=\left( \sigma _{G}\left( L\right) ,\sigma _{K}\left( R\right)
\right) =\left( p,1-p\right)
\end{equation*}で表記します。ただし、\(0\leq p,q\leq 1\)です。混合戦略ナッシュ均衡\(\left(\sigma _{K}^{\ast },\sigma _{G}^{\ast }\right) \)は、\begin{eqnarray*}\sigma _{K}^{\ast } &=&\left( \sigma _{K}^{\ast }\left( L\right) ,\sigma
_{K}^{\ast }\left( R\right) \right) =\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
\\
\sigma _{G}^{\ast } &=&\left( \sigma _{G}^{\ast }\left( L\right) ,\sigma
_{G}^{\ast }\left( R\right) \right) =\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
\end{eqnarray*}であり、均衡期待利得は、\begin{equation*}
F_{K}\left( \sigma _{K}^{\ast },\sigma _{G}^{\ast }\right) =F_{G}\left(
\sigma _{K}^{\ast },\sigma _{G}^{\ast }\right) =\frac{1}{2}
\end{equation*}です。ここで、キッカーが右（キーパーから見て左）に蹴るのが得意だからという理由で、以下の混合戦略\begin{equation*}
\sigma _{K}^{\prime }=\left( \sigma _{K}^{\prime }\left( L\right) ,\sigma
_{K}^{\prime }\left( R\right) \right) =\left( \frac{3}{5},\frac{2}{5}\right)
\end{equation*}へ逸脱した状況を想定します。先の議論より、相手が均衡戦略\(\sigma _{G}^{\ast }\)に留まるのであれば、キッカーが\(\sigma _{K}^{\ast }\)から\(\sigma _{K}^{\prime }\)へ移行してもキッカーの期待利得は変わりません。つまり、\begin{equation*}F_{K}\left( \sigma _{K}^{\prime },\sigma _{G}^{\ast }\right) =F_{K}\left(
\sigma _{K}^{\ast },\sigma _{G}^{\ast }\right)
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、キッカーが\(\sigma _{K}^{\prime }\)へ移行した場合、キーパーのそれぞれの純粋戦略の期待利得は、\begin{eqnarray*}F_{G}\left( \sigma _{K}^{\prime },L\right) &=&\frac{3}{5} \\
F_{G}\left( \sigma _{K}^{\prime },R\right) &=&\frac{2}{5}
\end{eqnarray*}となるため、キーパーにとってもはや\(L\)と\(R\)は無差別ではなく、均衡戦略\(\sigma _{G}^{\ast }\)を捨てて純粋戦略\(L\)へ移行する動機が生まれます。キーパーが純粋戦略\(L\)へシフトすると、キッカーの期待値は、\begin{equation*}F_{K}\left( \sigma _{K}^{\prime },L\right) =\frac{2}{5}
\end{equation*}となりますが、これは均衡期待利得\(F_{K}\left( \sigma_{K}^{\ast },\sigma _{G}^{\ast }\right) =\frac{1}{2}\)を下回ります。つまり、キッカーが自分だけ均衡から逸脱することは相手に食い物にされる隙を与えることになり、自分の期待利得を悪化させます。
先の例において、キッカーの均衡戦略\(\sigma_{K}^{\ast }\)において\(L\)と\(R\)はともに正の確率で選ばれます。すると無差別の原理より、キッカーが\(L\)と\(R\)のどちらを選んだ場合でも期待利得は同じです。その一方で、どちらに蹴っても期待利得が同じであることを根拠に「どうせ期待利得が同じなら自分が得意な方向へ蹴る割合を増やそう」と考えるのは早計です。賢いキーパーはその偏りを見逃さず、その方向を重点的に守ります。その結果、先に例を通じて明らかになったように、キッカーが直面する期待利得は当初の均衡利得を下回ってしまいます。
混合戦略ナッシュ均衡から外れることは、相手に期待値計算による最適化を許すことと同義です。混合戦略均衡における均衡戦略の役割は自身の期待利得を上げることではなく、自身がそこに留まることを通じて相手を「どの戦略を選んでも同じ利得しか得られない状態」に縛り付けることにあります。
ゼロ和ゲームのもとでの一般化
先のペナルティーキックは有限な2人ゼロ和ゲームの一例ですが、任意の有限な2人ゼロ和ゲームについても同様の現象が生じ得ることを確認します。
S_{2}\right) \)が与えられているものとする。プレイヤー\(1\)の均衡戦略\(\sigma_{1}^{\ast }\)とは異なる混合戦略\(\sigma _{1}^{\prime }\in \Delta \left( S_{1}\right) \)を任意に選び、さらにそれに対するプレイヤー\(2\)の最適反応を\(\sigma_{2}^{\prime }\in \Delta \left( S_{2}\right) \)で表記する。このとき、\begin{equation*}F_{1}\left( \sigma _{1}^{\prime },\sigma _{2}^{\prime }\right) \leq
F_{1}\left( \sigma _{1}^{\ast },\sigma _{2}^{\ast }\right)
\end{equation*}が成り立つ。
鞍点\(\left( \sigma _{1}^{\ast },\sigma _{2}^{\ast }\right) \)では双方のプレイヤーについて無差別の原理が成立しています。したがってプレイヤー\(1\)が均衡戦略\(\sigma_{1}^{\ast }\)にしたがう場合、プレイヤー\(2\)が均衡戦略\(\sigma _{2}^{\ast }\)のもとでどの純粋戦略をランダムに選んだ場合においても、プレイヤー\(1\)の期待利得は\(F_{1}\left( \sigma _{1}^{\ast},\sigma _{2}^{\ast }\right) \)で一定です。つまり、均衡戦略\(\sigma _{1}^{\ast }\)は自分の期待利得が均衡利得\(F_{1}\left( \sigma_{1}^{\ast },\sigma _{2}^{\ast }\right) \)を下回らないようにガードを固めた確率分布です。
プレイヤー\(1\)が均衡戦略\(\sigma _{1}^{\ast }\)から逸脱して特定の純粋戦略に偏りを作ると無差別の原理が崩れ、プレイヤー\(2\)にとって特定の純粋戦略を選ぶことが有利な状況が生まれます。プレイヤー\(2\)がその有利な純粋戦略へ移動する場合、プレイヤー\(1\)の期待利得は押し下げられます。つまり、均衡戦略\(\sigma _{1}^{\ast }\)から逸脱することは、相手に弱点を突く機会を与えてしまうことを意味します。
もっとも、プレイヤー\(1\)が均衡戦略\(\sigma _{1}^{\ast }\)から外れても、プレイヤー\(2\)がそのことに気づかずに均衡戦略\(\sigma _{2}^{\ast }\)に留まり続けるのであれば、先に示したようにプレイヤー\(1\)の期待利得は変化しません。しかし、プレイヤー\(2\)が賢く立ち回るという前提を置くのであれば、プレイヤー\(1\)が均衡戦略\(\sigma _{1}^{\ast }\)から逸脱することは相手に有利に働き、結果としてプレイヤー\(1\)の期待利得が悪化することになります。これが、プロのスポーツ選手やポーカープレイヤーが自分の癖を消し、理論上の均衡確率を守ろうとする数学的な理由です。
演習問題
$$\begin{array}{ccc}
\hline
店員\backslash 店長 & 行く & 行かない \\ \hline
働く & 1,2 & 2,3 \\ \hline
サボる & 0,1 & 3,0 \\ \hline
\end{array}$$
つまり、店員はバレないならサボりたいが、バレるのは最悪です。店長としては店員に働いてもらいたいですが、見回りに行くにはコストがかかります。以下の問いに答えてください。
- このゲームには純粋戦略の範囲においてナッシュ均衡は存在しないことを示してください。
- このゲームの混合戦略ナッシュ均衡を求めてください。
- 店員が均衡戦略から外れて、サボる確率を増やした場合に何が起こるかを分析してください。
- 結果を解釈してください。
ログイン
会員向けコンテンツです。
まだ会員登録がお済みでない方は、会員登録ページよりアカウントを作成してください。