純粋戦略集合が区間である場合の混合戦略と期待利得

純粋戦略集合が区間である場合の混合戦略

問題としている戦略的状況が完備情報の静学ゲームであるとともに、それが戦略型ゲーム\begin{equation*}
G=\left( I,\left\{ S_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ u_{i}\right\} _{i\in
I}\right)
\end{equation*}として記述されているものとします。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(S_{i}\)はプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合、\(u_{i}:S_{I}\rightarrow \mathbb{R} \)はプレイヤー\(i\)の利得関数です。

これまでは純粋戦略集合\(S_{i}\)が有限集合や可算集合である状況を想定した上で混合戦略を定義し、期待利得を計算する方法を解説しました。一方、純粋戦略集合を非可算集合へと拡張する場合、期待利得を厳密に定義するためには確率論の枠組みである確率空間の再構築が必要です。混合戦略とは何らかの純粋戦略をランダムに選択する意思決定に相当します。これは標本点をランダムに抽出するという確率論の考え方そのものです。以降では、純粋戦略集合が\(\mathbb{R} \)上の区間である状況を想定した上で、確率空間を用いて混合戦略および期待利得を定式化します。

プレイヤー集合を、\begin{equation*}
I=\left\{ 1,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}とします。また、任意のプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合\(S_{i}\)が\(\mathbb{R} \)上の区間である状況を想定します。その上で、プレイヤー\(i\)の意思決定を測度空間\begin{equation*}\left( X_{i},\mathfrak{M}_{i},\mu _{i}\right)
\end{equation*}として定式化します。

まず、集合\(X_{i}\)としてプレイヤーの純粋戦略集合\begin{equation*}X_{i}=S_{i}
\end{equation*}を採用します。

測度空間の定義より、\(X_{i}\)すなわち\(S_{i}\)の部分集合族\(\mathfrak{M}_{i}\subset 2^{S_{i}}\)は可測空間の公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \mathfrak{M}_{i}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}_{i}:A^{c}\in \mathfrak{M}_{i} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n-1}^{+\infty
}\subset \mathfrak{M}_{i}:\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{M}_{i}
\end{eqnarray*}を満たす必要があります。そこで、\(\mathfrak{M}_{i}\)として区間\(S_{i}\)上のボレル集合族\begin{equation*}\mathfrak{M}_{i}=\mathfrak{B}\left( S_{i}\right)
\end{equation*}を採用します。

測度空間の定義より、測度\(\mu _{i}:\mathfrak{M}_{i}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)は測度の公理\begin{eqnarray*}&&\left( \mu _{1}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}_{i}:0\leq \mu
_{i}\left( A\right) \leq +\infty \\
&&\left( \mu _{2}\right) \ \mu _{i}\left( \phi \right) =0 \\
&&\left( \mu _{3}\right) \ \forall \text{排反な}\left\{
A_{n}\right\} _{n-1}^{+\infty }\subset \mathfrak{M}_{i}:\mu _{i}\left(
\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty }\mu _{i}\left(
A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たす必要があります。そこで、測度\(\mu_{i}\)として定義域をボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( S_{i}\right) \)に制限したルベーグ測度\begin{equation*}\mu _{i}:\mathfrak{B}\left( S_{i}\right) \rightarrow \left[ 0,+\infty \right] \end{equation*}を採用します。

混合戦略は確率測度である一方で、区間\(S_{i}\)の選び方によってはルベーグ測度\(\mu _{i}\)は確率測度であるとは限りません。つまり、\begin{equation*}\mu _{i}\left( S_{i}\right) =1
\end{equation*}が成り立つとは限らないという問題があります。また、区間はボレル集合であるため、ルベーグ測度\(\mu_{i}\)は\(S_{i}\)の部分集合であるような区間に対して測度を定めます。特に、\(\mu _{i}\)が有界な区間に対して定める測度はその区間の長さと一致するため、\(\mu _{i}\)はプレイヤーが偏りなく戦略を選ぶ連続型一様分布の混合戦略に相当します。実際のゲームにおいて、プレイヤーは偏りのある確率分布にもとづいて意思決定を行う状況は起こり得ます。この偏りを表現するために\(\mu _{i}\)を加工する必要があります。

先の要領で構成された測度空間\begin{equation*}
\left( S_{i},\mathfrak{B}\left( S_{i}\right) ,\mu _{i}\right)
\end{equation*}が与えられた状況において、ボレル可測関数\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset S_{i}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を導入します。ただし、\(f_{i}\)は以下の条件を満たすものとします。

1つ目の条件は、\(f\)が非負性を満たすこと、すなわち、\begin{equation*}\forall s_{i}\in S_{i}:f_{i}\left( s_{i}\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つということです。混合戦略のもとで任意の純粋戦略が選ばれる確率は非負でなければならないからです。

2つ目の条件は、\(f\)の区間\(S_{i}\)上でのルベーグ積分の値が、\begin{equation*}\int_{S_{i}}f\left( s_{i}\right) d\mu _{i}\left( s_{i}\right) =1
\end{equation*}を満たすということです。混合戦略は確率分布である必要があるため、すべての選択肢を足し合わせた確率は\(1\)でなければならないからです。

以上を踏まえた上で、それぞれのボレル集合\(A\in \mathfrak{B}\left( S_{i}\right) \)に対して、\begin{equation*}\sigma _{i}\left( A\right) =\int_{A}f\left( s_{i}\right) d\mu _{i}\left(
s_{i}\right)
\end{equation*}を値として定める集合関数\begin{equation*}
\sigma _{i}:\mathfrak{B}\left( S_{i}\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、\(\sigma _{i}\)は確率測度の公理\begin{eqnarray*}&&\left( P_{1}\right) \ \forall A\in \mathfrak{B}\left( S_{i}\right) :\sigma
_{i}\left( A\right) \geq 0 \\
&&\left( P_{2}\right) \ \sigma _{i}\left( S_{i}\right) =1 \\
&&\left( P_{3}\right) \ \forall \text{排反な}\left\{
A_{n}\right\} _{n-1}^{+\infty }\subset \mathfrak{B}\left( I_{i}\right)
:\sigma _{i}\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty
}\sigma _{i}\left( A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たすため、先の測度空間\(\left( S_{i},\mathfrak{B}\left(S_{i}\right) ,\mu _{i}\right) \)において\(\mu _{i}\)を\(\sigma _{i}\)に置き換えることにより得られる、\begin{equation*}\left( S_{i},\mathfrak{B}\left( S_{i}\right) ,\sigma _{i}\right)
\end{equation*}は確率空間になります。そこで、これをプレイヤー\(i\)の混合戦略と同一視します。

純粋戦略集合が区間である場合の期待利得

それぞれのプレイヤー\(i\in I\)に関する測度空間\begin{equation*}\left( S_{i},\mathfrak{B}\left( S_{i}\right) ,\mu _{i}\right)
\end{equation*}が先の要領で定義された状況を想定します。ここから直積測度空間\begin{equation*}
\left( S_{I},\mathfrak{B}\left( S_{I}\right) ,\mu _{I}\right)
\end{equation*}を定義します。ただし、\begin{equation*}
S_{I}=S_{1}\times \cdots \times S_{n}
\end{equation*}はプレイヤーたちの純粋戦略集合の直積です。また、\begin{equation*}
\mathfrak{B}\left( S_{I}\right) =\mathfrak{B}\left( S_{1}\right) \otimes
\cdots \otimes \mathfrak{B}\left( S_{n}\right)
\end{equation*}はプレイヤーたちのボレル集合の直積\begin{equation*}
\mathfrak{B}\left( S_{1}\right) \times \cdots \times \mathfrak{B}\left(
S_{n}\right)
\end{equation*}から生成される直積\(\sigma \)-代数です。さらに、プレイヤーたちが互いに独立に戦略を選ぶという非協力ゲームの前提にもとづき、\begin{equation*}\mu _{I}=\mu _{1}\times \cdots \times \mu _{n}
\end{equation*}は各空間のルベーグ測度の直積である直積ルベーグ測度です。したがって、ボレル集合の組\begin{equation*}
A_{I}=A_{1}\times \cdots \times A_{n}\in \mathfrak{B}\left( S_{1}\right)
\times \cdots \times \mathfrak{B}\left( S_{n}\right)
\end{equation*}を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}
\mu _{I}\left( A_{I}\right) =\mu _{1}\left( A_{1}\right) \times \cdots
\times \mu _{n}\left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の混合戦略に相当する確率空間\begin{equation*}\left( S_{i},\mathfrak{B}\left( S_{i}\right) ,\sigma _{i}\right)
\end{equation*}が与えられた状況を想定します。ここから直積測確率空間\begin{equation*}
\left( S_{I},\mathfrak{B}\left( S_{I}\right) ,\sigma _{I}\right)
\end{equation*}を定義します。ただし、\(\left( S_{I},\mathfrak{B}\left( S_{I}\right) \right) \)は先の直積可測空間であり、さらに、\begin{equation*}\sigma _{I}=\sigma _{1}\otimes \cdots \otimes \sigma _{n}
\end{equation*}はプレイヤーたちの確率測度\(\sigma _{1},\cdots ,\sigma _{n}\)の直積測度です。プレイヤーたちが互いに独立に戦略を選ぶという非協力ゲームの前提より、ボレル集合の組\begin{equation*}A_{I}=A_{1}\times \cdots \times A_{n}\in \mathfrak{B}\left( S_{1}\right)
\times \cdots \times \mathfrak{B}\left( S_{n}\right)
\end{equation*}を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}
\sigma _{I}\left( A_{I}\right) =\sigma _{1}\left( A_{1}\right) \times \cdots
\times \sigma _{n}\left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。直積測度\(\sigma _{I}\)に対応するボレル可測関数は、個々の確率測度\(\sigma _{1},\cdots,\sigma _{n}\)のもととなるボレル可測関数\(f_{1},\cdots ,f_{n}\)から、\begin{equation*}\forall s_{I}\in S_{I}:f_{I}\left( s_{I}\right) =f_{1}\left( s_{1}\right)
\times \cdots \times f\left( s_{n}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義される関数\begin{equation*}
f_{I}:S_{I}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}であるため、これを用いると、\begin{eqnarray*}
\sigma _{I}\left( A_{I}\right) &=&\int_{A_{I}}f_{I}\left( s_{I}\right) d\mu
_{I}\left( s_{I}\right) \\
&=&\int_{A_{1}\times \cdots \times A_{n}}f_{1}\left( s_{1}\right) \times
\cdots \times f_{n}\left( s_{n}\right) d\mu _{I}\left( s_{1},\cdots
,s_{n}\right) \\
&=&\int_{A_{n}}\cdots \left( \int_{A_{1}}f_{1}\left( s_{1}\right) \times
\cdots \times f_{n}\left( s_{n}\right) d\mu _{1}\left( s_{1}\right) \right)
\cdots d\mu _{n}\left( s_{n}\right) \quad \because \text{フビニの定理} \\
&=&\left( \int_{A_{1}}f_{1}\left( s_{1}\right) d\mu _{1}\left( s_{1}\right)
\right) \times \cdots \times \left( \int_{A_{n}}f_{n}\left( s_{n}\right)
d\mu _{n}\left( s_{n}\right) \right) \\
&=&\sigma _{1}\left( A_{1}\right) \times \cdots \times \sigma _{n}\left(
A_{n}\right)
\end{eqnarray*}と計算できることに注意してください。

それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の利得関数は確率変数\begin{equation*}u_{i}:S_{I}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として定義されます。ただし、\(u_{i}\)は確率変数としての条件\begin{equation*}\forall B\in \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) :u_{i}^{-1}\left( B\right) \in \mathfrak{B}\left( S_{I}\right)
\end{equation*}を満たす必要があります。

混合戦略の組\(\sigma _{I}\)のもとでプレイヤー\(i\in I\)が直面する期待利得は\(F_{i}\left( \sigma _{I}\right) \)は、\(\sigma _{I}\)に相当する直積測度のもとでの確率変数\(u_{i}\)の期待値に他ならず、ゆえに、\begin{eqnarray*}F_{i}\left( \sigma _{I}\right) &=&\int_{S_{I}}u_{i}\left( s_{I}\right)
f_{I}\left( s_{I}\right) d\mu _{I}\left( s_{I}\right) \\
&=&\int_{S_{1}\times \cdots \times S_{n}}u_{i}\left( s_{1},\cdots
,s_{n}\right) \times f_{1}\left( s_{1}\right) \times \cdots \times
f_{n}\left( s_{n}\right) d\mu _{I}\left( s_{1},\cdots ,s_{n}\right) \\
&=&\int_{S_{n}}\cdots \left( \int_{S_{1}}u_{i}\left( s_{1},\cdots
,s_{n}\right) \times f_{1}\left( s_{1}\right) \times \cdots \times
f_{n}\left( s_{n}\right) d\mu _{1}\left( s_{1}\right) \right) \cdots d\mu
_{n}\left( s_{n}\right) \quad \because \text{フビニの定理}
\end{eqnarray*}となります。さらに、\(S_{1}\times \cdots \times S_{n}\)が有界であるとともに非積分関数がリーマン積分可能である場合や、被積分関数が非負値をとる広義リーマン積分可能な関数である場合などにはリーマン積分とルベーグ積分の値は一致するため、期待利得を、\begin{eqnarray*}F_{i}\left( \sigma _{I}\right) &=&\int \cdots \int_{S_{I}}u_{i}\left(
s_{1},\cdots ,s_{n}\right) \times f_{1}\left( s_{1}\right) \times \cdots
\times f_{n}\left( s_{n}\right) ds_{1}\cdots ds_{n}\quad \because \text{多重リーマン積分} \\
&=&\int_{S_{n}}\cdots \left( \int_{S_{1}}u_{i}\left( s_{1},\cdots
,s_{n}\right) \times f_{1}\left( s_{1}\right) \times \cdots \times
f_{n}\left( s_{n}\right) ds_{1}\right) \cdots ds_{n}\quad \because \text{逐次積分への変換}
\end{eqnarray*}と計算できます。

演習問題