狭義の支配戦略均衡と狭義支配される戦略の逐次消去の解の関係
問題としている戦略的状況が完備情報の静学ゲームであるとともに、それが戦略型ゲーム\begin{equation*}
G=\left( I,\left\{ S_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ u_{i}\right\} _{i\in
I}\right)
\end{equation*}として記述されているものとします。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(S_{i}\)はプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略集合、\(u_{i}:S_{I}\rightarrow \mathbb{R} \)はプレイヤー\(i\)の利得関数です。
戦略型ゲーム\(G\)に狭義の支配均衡\(s_{I}^{\ast }\in S_{I}\)が存在するものとします。この場合、\(G\)は純粋戦略によって狭義支配される戦略の逐次消去によって必ず解くことができるとともに、その解が\(s_{I}^{\ast}\)と一致することが保証されます。
先の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、戦略型ゲーム\(G\)が純粋戦略によって狭義支配される戦略の逐次消去によって解くことができるとき、その解は狭義の支配戦略均衡であるとは限りません。以下の例より明らかです。
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & L & C & R \\ \hline
U & 1,0 & 1,2 & 0,1 \\ \hline
D & 0,3 & 0,1 & 2,0 \\ \hline
\end{array}$$
このゲーム\(G\)は純粋戦略によって狭義支配される戦略の逐次消去によって解くことができ、その解は、\begin{equation*}\left( U,C\right)
\end{equation*}です。その一方で、\(G\)においてプレイヤー\(1,2\)はともに狭義の支配戦略を持たないため、\(G\)には狭義の支配戦略均衡は存在しません。
戦略型ゲームに狭義の支配戦略均衡が存在する場合、それが実際にプレーされることが保証するためには合理性の仮定さえあれば十分です。ただ、ゲームに狭義の支配戦略均衡が存在しないという状況は多々起こり得ます。一方、ゲームに狭義の支配戦略均衡が存在しない場合でも、そのゲームが純粋戦略によって狭義支配される戦略の逐次消去によって解ける場合があります。ただし、その解が実際にプレーされることを保証するためには、合理性の仮定に加えて、合理性が共有知識であるという仮定が必要になります。
広義の支配戦略均衡と広義支配される戦略の逐次消去の解の関係
戦略型ゲーム\(G\)に広義の支配均衡\(s_{I}^{\ast }\in S_{I}\)が存在するものとします。この場合、\(G\)は純粋戦略によって広義支配される戦略の逐次消去によって必ず解くことができるとともに、その解が\(s_{I}^{\ast}\)と一致することが保証されます。
先の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、戦略型ゲーム\(G\)が純粋戦略によって広義支配される戦略の逐次消去によって解くことができるとき、その解は広義の支配戦略均衡であるとは限りません。以下の例より明らかです。
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & L & C & R \\ \hline
U & 1,0 & 1,1 & 0,1 \\ \hline
D & 0,3 & 1,1 & 2,0 \\ \hline
\end{array}$$
このゲーム\(G\)は純粋戦略によって広義支配される戦略の逐次消去によって解くことができ、その解は、\begin{equation*}\left( U,C\right)
\end{equation*}です。その一方で、\(G\)においてプレイヤー\(1,2\)はともに広義の支配戦略を持たないため、\(G\)には広義の支配戦略均衡は存在しません。
戦略型ゲームに広義の支配戦略均衡が存在する場合、それが実際にプレーされることが保証するためには合理性と警戒心の仮定さえあれば十分です。ただ、ゲームに広義の支配戦略均衡が存在しないという状況は多々起こり得ます。一方、ゲームに広義の支配戦略均衡が存在しない場合でも、そのゲームが純粋戦略によって広義支配される戦略の逐次消去によって解ける場合があります。ただし、その解が実際にプレーされることを保証するためには、合理性と警戒心の仮定に加えて、それらが共有知識であるという仮定が必要になります。
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