戦略型ゲームにおいてプレイヤーたちの純戦略の組に注目したときに、その組を構成する純戦略がお互いに狭義の純最適反応になっているならば、その組を狭義の純ナッシュ均衡と呼びます。一般に、狭義の純ナッシュ均衡は存在するとは限りませんし、存在する場合にも一意的であるとは限りません。

2019年5月17日:公開

狭義の純最適反応

戦略型ゲーム\(G\)においてプレイヤー\(i\)が他のプレイヤーたちの純戦略の組\(s_{-i}\)に直面したときに、自分のある純戦略\(s_{i}^{\ast }\)が自分の利得を厳密に最大化する場合には、すなわち、\begin{equation*}
\forall s_{i}\in S_{i}\backslash \left\{ s_{i}^{\ast }\right\} :u_{i}\left( s_{i}^{\ast },s_{-i}\right) >u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(s_{i}^{\ast }\)は\(s_{-i}\)に対する狭義の純最適反応(strictly best response)であると言います。

定義より自明ですが、プレイヤー\(i\)の純戦略\(s_{i}^{\ast }\)が他のプレイヤーたちの純戦略の組\(s_{-i}\)に対する狭義の最適反応であるならば、それは\(s_{-i}\)に対する最適反応でもあります。

命題(狭義の純最適反応は純最適反応)
戦略型ゲーム\(G\)においてプレイヤー\(i\)の純戦略\(s_{i}^{\ast }\in S_{i}\)が他のプレイヤーたちの純戦略の組\(s_{-i}\in S_{-i}\)に対する狭義の純最適反応であるならば、\(s_{i}^{\ast }\)は\(s_{-i}\)に対する純最適反応でもある。

逆は成り立つとは限りません。つまり、最適反応は狭義の最適最適反応であるとは限りません。

例(狭義の純最適反応)
再び以下の利得行列で表される完備情報の静学ゲームについて考えます。

$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 0,8 \\ \hline
D & 8,0 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$

表:利得行列

プレイヤー\(1\)にとって、プレイヤー\(2\)の純戦略\(L\)に対する狭義の最適反応は純戦略\(D\)であり、純戦略\(R\)に対する狭義の最適反応もまた\(D\)です。一方、プレイヤー\(2\)にとって、プレイヤー\(1\)の純戦略\(U\)に対する狭義の最適反応は純戦略\(R\)であり、純戦略\(D\)に対する狭義の最適反応もまた\(R\)です。

以下の例が示すように、狭義の最適反応は存在するとは限りません。

例(狭義の純最適反応)
再び以下の利得行列で表される完備情報の静学ゲームについて考えます。
$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 0,5 \\ \hline
D & 5,0 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$

表:利得行列

プレイヤー\(1\)にとって、プレイヤー\(2\)の純戦略\(L\)に対する狭義の最適反応は存在しない一方で、\(R\)に対する狭義の最適反応は\(D\)です。一方、プレイヤー\(2\)にとって、プレイヤー\(1\)の純戦略\(U\)に対する狭義の最適反応は存在しまい一方で、\(D\)に対する狭義の最適反応は\(R\)です。

 

狭義の純ナッシュ均衡

繰り返しになりますが、戦略型ゲーム\(G\)においてプレイヤー\(i\)の純戦略\(s_{i}^{\ast }\)が他のプレイヤーたちの純戦略の組\(s_{-i}\)に対する狭義の純最適反応であるとは、\begin{equation*}
\forall s_{i}\in S_{i}\backslash \{s_{i}^{\ast }\}:u_{i}\left( s_{i}^{\ast },s_{-i}\right) >u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。さて、プレイヤーたちの純戦略の組\(s_{I}^{\ast }=\left( s_{i}^{\ast }\right) _{i\in I}\)において、任意のプレイヤー\(i\)の純戦略\(s_{i}^{\ast }\)が他のプレイヤーたちの純戦略の組\(s_{-i}^{\ast }\)に対する狭義の純最適反応になっているならば、すなわち、\begin{equation*}
\forall i\in I,\ \forall s_{i}\in S_{i}\backslash \{s_{i}^{\ast }\}:u_{i}\left( s_{i}^{\ast },s_{-i}^{\ast }\right) >u_{i}\left( s_{i},s_{-i}^{\ast }\right)
\end{equation*}が成り立つならば、\(s_{I}^{\ast }\)を\(G\)の狭義の純ナッシュ均衡(strict pure Nash equilibrium)と呼びます。

純戦略の組\(s_{I}^{\ast }\)が狭義の純ナッシュ均衡であるものとします。また、プレイヤー\(i\)を任意に選びます。他のプレイヤーたちが狭義の純ナッシュ均衡にしたがい\(s_{-i}^{\ast }\)をプレーすることを前提とするとき、プレイヤー\(i\)だけが狭義の純ナッシュ均衡から逸脱して\(s_{i}^{\ast }\)とは違う純戦略\(s_{i}\)を選ぶと、狭義の純ナッシュ均衡の定義より、プレイヤー\(i\)は必ず損をしてしまいます。

例(狭義の純ナッシュ均衡)
以下の利得行列で表される完備情報の静学ゲームについて再考します。先に示したように、このゲームの純ナッシュ均衡は\(\left( D,R\right) \)です。

$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,\ 5 & 0,\ \underline{8} \\ \hline
D & \underline{8},\ 0 & \underline{2},\ \underline{2} \\ \hline
\end{array}$$

表:利得行列

表にはそれぞれのプレイヤーが狭義の純最適反応を選んだときに自身が得る利得に下線を引いてあります。表から明らかであるように純戦略の組\(\left( D,R\right) \)は狭義の純最適反応の組であるため、これは狭義の純ナッシュ均衡です。

 

純ナッシュ均衡との関係

プレイヤー\(i\)の純戦略\(s_{i}^{\ast }\)が他のプレイヤーたちの純戦略の組\(s_{-i}\)に対する狭義の最適反応であるならば、それは\(s_{-i}\)に対する最適反応でもあります。したがって、狭義の純ナッシュ均衡は同時に通常の純ナッシュ均衡でもあります。

命題(狭義の純ナッシュ均衡は純ナッシュ均衡)
戦略型ゲーム\(G\)においてプレイヤーたちの純戦略の組\(s_{I}^{\ast }\in S_{I}\)が狭義の純ナッシュ均衡であるならば、\(s_{I}^{\ast }\)は純ナッシュ均衡でもある。

逆は成り立つとは限りません。つまり、純ナッシュ均衡は狭義の純ナッシュ均衡であるとは限りません。

 

狭義の純ナッシュ均衡は存在するとは限らない

狭義の純ナッシュ均衡は同時に純ナッシュ均衡でもあります。また、一般に純ナッシュ均衡は存在するとは限りません。したがって狭義の純ナッシュ均衡もまた存在するとは限りません。

例(狭義の純ナッシュ均衡)
以下の利得行列で表される完備情報の静学ゲームについて再考します。先に示したように、このゲームには純ナッシュ均衡は存在しません。

$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & -1,\underline{1} & \underline{1},-1 \\ \hline
D & \underline{1},-1 & -1,\underline{1} \\ \hline
\end{array}$$

表:利得行列

表にはそれぞれのプレイヤーが狭義の純最適反応を選んだときに自身が得る利得に下線を引いてあります。表から明らかであるように狭義の純最適反応の組は存在しないため、このゲームには狭義の純ナッシュ均衡が存在しません。

 

狭義の純ナッシュ均衡は一意的とは限らない

以下のゲームには複数の純ナッシュ均衡が存在する一方で狭義の純ナッシュ均衡は 1 つだけです。

例(狭義の純ナッシュ均衡)
以下の利得行列で表される完備情報の静学ゲームについて考えます。先に示したように、このゲームの純ナッシュ均衡は\(\left( U,L\right) \)と\(\left( D,R\right) \)です。

$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 0,5 \\ \hline
D & 5,0 & \underline{2},\underline{2} \\ \hline
\end{array}$$

表:利得行列

表にはそれぞれのプレイヤーが狭義の純最適反応を選んだときに自身が得る利得に下線を引いてあります。表から明らかであるように純戦略の組\(\left( D,R\right) \)は狭義の純最適反応の組であるため、これは狭義の純ナッシュ均衡です。

上の例を観察すると狭義の純ナッシュ均衡は常に一意的であるという結論に飛びついてしまいそうですが、実際には狭義の純ナッシュ均衡が複数存在するケースも起こり得ます。以下のゲームはそのような例になっています。

例(狭義の純ナッシュ均衡)
以下の利得行列で表される完備情報の静学ゲームについて考えます。

$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & \underline{2},\underline{1} & 0,0 \\ \hline
D & 0,0 & \underline{1},\underline{2} \\ \hline
\end{array}$$

表:利得行列

表にはそれぞれのプレイヤーが狭義の純最適反応を選んだときに自身が得る利得に下線を引いてあります。表から明らかであるように純戦略の組\(\left( U,L\right) ,\left( D,R\right) \)はともに狭義の純最適反応の組であるため、これらは狭義の純ナッシュ均衡です。

次回は混合ナッシュ均衡について解説します。
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