あるプレイヤーの混合戦略が別の混合戦略を強支配すること、強支配混合戦略、強支配戦略均衡などについて解説します。

強支配

問題としている戦略的状況が完備状況の静学ゲームであり、それが戦略型ゲーム\(G=\left( I,\left\{ S_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ u_{i}\right\} _{i\in I}\right) \)として表現されているものとします。復習になりますが、プレイヤー\(i\in I\)が選択可能な2つの異なる純粋戦略\(s_{i},s_{i}^{\prime }\in S_{i}\)に注目したとき、\(s_{i}\)が\(s_{i}^{\prime }\)を強支配することとは、\begin{equation*}
\forall s_{-i}\in S_{-i}:u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right) >u_{i}\left(
s_{i}^{\prime },s_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、他のプレイヤーたちがどのような純粋戦略の組\(s_{-i}\in S_{-i}\)を選ぶ場合においても、プレイヤー\(i\)が\(s_{i}\)を選んだときに得る利得\(u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right) \)が\(s_{i}^{\prime }\)を選んだときに得る利得\(u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}\right) \)よりも大きいということです。

強支配の概念は、戦略型ゲームの\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)においても容易に拡張されます。つまり、プレイヤー\(i\in I\)が選択可能な2つの異なる混合戦略\(\sigma _{i},\sigma _{i}^{\prime }\in \Delta \left( S_{i}\right) \)に注目したとき、他のプレイヤーたちがどのような混合戦略の組\(\sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right) \)を選ぶ場合においても、プレイヤー\(i\)が\(\sigma _{i}\)を選んだときに得る期待利得\(F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}\right) \)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を選んだときに得る期待利得\(F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma _{-i}\right) \)よりも大きい場合には、すなわち、\begin{equation*}
\forall \sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma
_{i},\sigma _{-i}\right) >F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma
_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つのであれば、\(\sigma _{i}\)は\(\sigma _{i}^{\prime }\)を強支配する(strongly dominate)や狭義支配する(strictly dominate)などと言います。同じことを、\(\sigma _{i}^{\prime }\)は\(\sigma _{i}\)に強支配される(strongly dominated)や狭義支配される(strictly dominated)などと言うこともできます。

純粋戦略は特別な混合戦略であるため、混合戦略が別の混合戦略を強支配することの意味を規定する上の定義は、純粋戦略が別の純粋戦略を強支配すること、混合戦略が別の純粋戦略を強支配すること、純粋戦略が別の混合戦略を強支配することの定義などを内包しています。

繰り返しになりますが、プレイヤー\(i\)の異なる混合戦略\(\sigma _{i},\sigma _{i}^{\prime }\)について、\(\sigma _{i}\)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を強支配することは、\begin{equation}
\forall \sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma
_{i},\sigma _{-i}\right) >F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma
_{-i}\right) \tag{1}
\end{equation}が成り立つことを意味します。つまり、他のプレイヤーたちの任意の混合戦略の組\(\sigma _{-i}\)に対して、\(\sigma _{i}\)は\(\sigma _{i}^{\prime }\)よりも大きい期待利得をもたらすということです。ただ、それぞれのプレイヤーは無数の混合戦略を持つことから、他のプレイヤーたちの混合戦略の組\(\sigma _{-i}\)も無数に存在します。無数通りの\(\sigma _{-i}\)に対してそれぞれ、\(\sigma _{i}\)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)よりも大きい期待利得をもたらすことを確認するのは実質的に不可能です。ただ、このような問題は解決可能です。実は、\(\left( 1\right) \)は以下の命題\begin{equation}
\forall s_{-i}\in S_{-i}:F_{i}\left( \sigma _{i},s_{-i}\right) >F_{i}\left(
\sigma _{i}^{\prime },s_{-i}\right) \tag{2}
\end{equation}と必要十分です。つまり、他のプレイヤーたちの任意の純粋戦略の組\(s_{-i}\)に対して、\(\sigma _{i}\)は\(\sigma _{i}^{\prime }\)よりも大きい期待利得をもたらすという命題です。これが\(\left( 1\right) \)と必要十分であるということは、\(\sigma _{i}\)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を強支配することを示す際に、他のプレイヤーたちがとり得る戦略を純粋戦略に限定しても一般性は失われないことを意味しています。

命題(強支配の特徴づけ)
戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)において、プレイヤー\(i\in I\)の異なる混合戦略\(\sigma _{i},\sigma _{i}^{\prime }\in \Delta \left( S_{i}\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}
\forall s_{-i}\in S_{-i}:F_{i}\left( \sigma _{i},s_{-i}\right) >F_{i}\left(
\sigma _{i}^{\prime },s_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(\sigma _{i}\)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を強支配するための必要十分条件である。
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証明のスケッチは以下の通りです。まずは必要性の証明です。\(\sigma _{i}\)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を強支配するものとします。他のプレイヤーたちの純粋戦略の組\(s_{-i}\in S_{-i}\)を任意に選んだ上で、そこから、\begin{equation}
\forall j\in I\backslash \left\{ i\right\} :\sigma _{j}\left( s_{j}\right) =1
\tag{3}
\end{equation}を満たす混合戦略の組\(\sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right) \)を作ります。\(\sigma _{i}\)は\(\sigma _{i}^{\prime }\)を強支配するため、この\(\sigma _{-i}\)に対しても、\begin{equation*}
F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}\right) >F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime
},\sigma _{-i}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。\(\left( 3\right) \)を踏まえた上でこれを具体的に表現すると、\begin{equation*}
\sum_{s_{i}\in S_{i}}\left[ \sigma _{i}\left( s_{i}\right) \cdot u_{i}\left(
s_{i},s_{-i}\right) \right] >\sum_{s_{i}\in S_{i}}\left[ \sigma _{i}^{\prime
}\left( s_{i}\right) \cdot u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right) \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
F_{i}\left( \sigma _{i},s_{-i}\right) >F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime
},s_{-i}\right)
\end{equation*}となります。十分性の証明は演習問題にします。

例(強支配)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 2,1 & 0,1 \\ \hline
M & 0,1 & 2,1 \\ \hline
D & 0,1 & 0,1 \\ \hline
\end{array}$$
表:強支配

プレイヤー\(1\)が選択可能な以下の2つの混合戦略\begin{eqnarray*}
\sigma _{1} &=&\left( \sigma _{1}\left( U\right) ,\sigma _{1}\left( M\right)
,\sigma _{1}\left( D\right) \right) =\left( \frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right) \\
\sigma _{1}^{\prime } &=&\left( \sigma _{1}^{\prime }\left( U\right) ,\sigma
_{1}^{\prime }\left( M\right) ,\sigma _{1}^{\prime }\left( D\right) \right)
=\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)
\end{eqnarray*}に注目します。このとき、\begin{eqnarray*}
F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) &=&2\cdot \frac{1}{3}+0\cdot \frac{1}{3}+0\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3} \\
F_{1}\left( \sigma _{1}^{\prime },L\right) &=&2\cdot \frac{1}{2}+0\cdot
\frac{1}{2}+0\cdot 0=1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) <F_{1}\left( \sigma _{1}^{\prime },L\right)
\tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。また、\begin{eqnarray*}
F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) &=&0\cdot \frac{1}{3}+2\cdot \frac{1}{3}+0\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3} \\
F_{1}\left( \sigma _{1}^{\prime },R\right) &=&0\cdot \frac{1}{2}+2\cdot
\frac{1}{2}+0\cdot 0=1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) <F_{1}\left( \sigma _{1}^{\prime },R\right)
\tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)と先の命題より、\(\sigma _{1}^{\prime }\)は\(\sigma _{1}\)を強支配します。

純粋戦略どうしの強支配だけでなく、混合戦略どうしの強支配についてまで広げて考えなければならない何らかの理由はあるのでしょうか。以下の例が示唆するように、いかなる純粋戦略によっても強支配されない純粋戦略が混合戦略によって強支配されるという事態は起こり得ます。

例(強支配)
以下の利得行列で表される戦略型ゲーム\(G\)について考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 2,0 & -1,0 \\ \hline
M & 0,0 & 0,0 \\ \hline
D & -1,0 & 2,0 \\ \hline
\end{array}$$
表:利得行列

プレイヤー\(1\)の純戦略\(M\)は他のいかなる純粋戦略によっても強支配されません(確認してください)。その一方で、純戦略\(M\)は以下の混合戦略\begin{equation*}
\sigma _{1}=(\sigma _{1}(U),\sigma _{1}(M),\sigma _{1}(D))=\left( \frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}によって強支配されます。実際、プレイヤー\(2\)の純粋戦略\(L\)に対しては、\begin{align*}
F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) & =\frac{1}{2}\cdot 2+0\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot \left( -1\right) =\frac{1}{2} \\
F_{1}\left( M,L\right) & =0
\end{align*}となるため\(F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) >F_{1}\left( M,L\right) \)が成り立ち、プレイヤー\(2\)のもう一方の純粋戦略\(R\)に対しても、\begin{align*}
F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) & =\frac{1}{2}\cdot \left( -1\right)
+0\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot 2=\frac{1}{2} \\
F_{1}\left( M,R\right) & =0
\end{align*}となるため\(F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) >F_{1}\left( M,R\right) \)が成り立ちます。したがって、先の命題より、\(\sigma _{1}\)は\(M\)を強支配します。

繰り返しになりますが、上の例が示唆するように、いかなる純粋戦略によっても強支配されない純粋戦略が混合戦略によって強支配されることはあります。ただ、すべての純粋戦略が何らかの混合戦略によって強支配されるわけではありません。以下の例が示唆するように、いかなる混合戦略によっても強支配されない純粋戦略が存在することもあります。

例(強支配)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & -1,1 \\ \hline
D & -1,1 & 1,-1 \\ \hline
\end{array}$$
表:強支配戦略

プレイヤー\(1\)に関して、純粋戦略\(U,D\)はともに純戦略によって強支配されません(確認してください)。純粋戦略\(U,D\)とは異なるプレイヤー\(1\)の混合戦略\(\sigma _{1}\)を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ 0<\sigma _{1}\left( U\right) <1 \\
&&\left( b\right) \ 0<\sigma _{1}\left( D\right) <1 \\
&&\left( c\right) \ \sigma _{1}\left( U\right) +\sigma _{1}\left( D\right) =1
\end{eqnarray*}をすべて満たすプレイヤー\(1\)の混合戦略\begin{equation*}
\sigma _{1}=\left( \sigma _{1}\left( U\right) ,\sigma _{1}\left( D\right)
\right)
\end{equation*}を任意に選びます。このとき、\begin{eqnarray*}
F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) &<&1=F_{1}\left( U,L\right) \\
F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) &<&1=F_{1}\left( D,R\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つため(確認してください)、先の命題より、\(\sigma _{1}\)は\(U\)や\(D\)を強支配しません。\(\sigma _{1}\)は\(U\)や\(D\)とは異なる任意の混合戦略であるため、\(U,D\)はともにいかなる混合戦略によっても強支配されないことが明らかになりました。

プレイヤー\(i\)の混合戦略\(\sigma _{i}\)が自分の他の混合戦略\(\sigma _{i}^{\prime }\)によって強支配されるものとします。つまり、\begin{equation*}
\exists \sigma _{i}^{\prime }\in \Delta \left( S_{i}\right) \backslash
\left\{ \sigma _{i}\right\} ,\ \forall \sigma _{-i}\in \Delta \left(
S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma _{-i}\right)
>F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つ状況を想定します。このとき、プレイヤー\(i\)は強支配される戦略\(\sigma _{i}\)を選ぶ代わりに、\(\sigma _{i}\)を強支配する戦略\(\sigma _{i}^{\prime }\)を選べば、他のプレイヤーたちがどのような戦略の組\(\sigma _{-i}\)を選ぶかに関わらず、自分はより大きな期待利得を得ることができます。したがって、プレイヤー\(i\)が合理的であり、合理的なプレイヤーの目的が自己の期待利得の最大化である限りにおいて、プレイヤー\(i\)は強支配される戦略\(\sigma _{i}\)を選びません。言い換えると、仮にプレイヤー\(i\)が強支配される戦略\(\sigma _{i}\)を選ぶのであれば、それは期待効用仮説と矛盾します。

命題(強支配される戦略が選ばれない根拠)
戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)において、プレイヤー\(i\in I\)の混合戦略\(\sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right) \)が自身の他の混合戦略によって強支配される場合、期待効用仮説のもとでは、プレイヤー\(i\)は\(\sigma _{i}\)を選択しない。
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強支配混合戦略

プレイヤー\(i\in I\)のある混合戦略\(\sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right) \)が自身の他の任意の混合戦略を強支配する場合には、すなわち、\begin{equation*}
\forall \sigma _{i}^{\prime }\in \Delta \left( S_{i}\right) \backslash
\left\{ \sigma _{i}\right\} ,\ \forall \sigma _{-i}\in \Delta \left(
S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}\right) >F_{i}\left(
\sigma _{i}^{\prime },\sigma _{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\sigma _{i}\)をプレイヤー\(i\)の強支配混合戦略(strongly dominant mixed strategy)や狭義支配混合戦略(strictly dominant mixed strategy)などと呼びます。

プレイヤーが強支配混合戦略を持つ場合、それは一意的です。実際、プレイヤー\(i\)が異なる2つの強支配混合戦略\(\sigma _{i},\sigma _{i}^{\prime }\)を持つものと仮定すると、強支配混合戦略の定義より、\begin{eqnarray*}
\forall \sigma _{-i} &\in &\Delta \left( S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma
_{i},\sigma _{-i}\right) >F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma
_{-i}\right) \\
\forall \sigma _{-i} &\in &\Delta \left( S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma
_{i}^{\prime },\sigma _{-i}\right) >F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma
_{-i}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちますが、これは矛盾です。

命題(強支配混合戦略の一意性)
戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)において、プレイヤーが強支配混合戦略を持つ場合、それは一意的である。
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繰り返しになりますが、プレイヤー\(i\)の混合戦略が別の混合戦略を支配することを示す際には、他のプレイヤーたちがとり得る戦略を純粋戦略に限定しても一般性は失われません。したがって、プレイヤー\(i\)の混合戦略\(\sigma _{i}\)が強支配混合戦略であることを以下のように表現することも可能です。

命題(強支配混合戦略の特徴づけ)
戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)において、プレイヤー\(i\in I\)とその混合戦略\(\sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right) \)について、\begin{equation*}
\forall \sigma _{i}^{\prime }\in \Delta \left( S_{i}\right) \backslash
\left\{ \sigma _{i}\right\} ,\ \forall s_{-i}\in S_{-i}:F_{i}\left( \sigma
_{i},s_{-i}\right) >F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },s_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(\sigma _{i}\)がプレイヤー\(i\)の強支配混合戦略であるための必要十分条件である。
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とは言え、それぞれのプレイヤー\(i\)は無限個の混合戦略を持っており、無限通りの\(\sigma _{i}\)それぞれについて上の不等式が成り立つかどうかを検証するのは実質的に不可能です。ただ、このような問題は解決可能です。解決に向けた1つ目の指針は、プレイヤー\(i\)のある純粋戦略\(s_{i}\)が強支配純粋戦略であるとき、\(s_{i}\)は強支配混合戦略でもあるという事実です。

命題(強支配純粋戦略は強支配混合戦略)
戦略型ゲーム\(G\)において、プレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)が強支配純粋戦略であるならば、\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)において、\(s_{i}\)は強支配混合戦略である。
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証明のスケッチは以下の通りです。プレイヤー\(i\)の純粋戦略\(s_{i}\)が強支配純粋戦略であるとき、定義より、\begin{equation*}
\forall s_{i}^{\prime }\in S_{i}\backslash \left\{ s_{i}\right\} ,\ \forall
s_{-i}\in S_{-i}:u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right) >u_{i}\left( s_{i}^{\prime
},s_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。\(s_{i}\)とは異なる任意の混合戦略\(\sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right) \backslash \left\{ s_{i}\right\} \)を選びます。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ 0\leq \sigma _{i}\left( s_{i}\right) <1 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{s_{i}^{\prime }\in S_{i}\backslash \left\{
s_{i}\right\} }\sigma _{i}\left( s_{i}^{\prime }\right) =1-\sigma _{i}\left(
s_{i}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、これらを用いると、\begin{equation*}
\forall s_{-i}\in S_{-i}:u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right) >F_{i}\left( \sigma
_{i},s_{-i}\right)
\end{equation*}が示されます(確認してください)。これは、\(s_{i}\)が\(\sigma _{i}\)を強支配するための必要十分条件です。以上で証明が完了しました。

例(強支配混合戦略)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 0,8 \\ \hline
D & 8,0 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$
表:強支配戦略

プレイヤー\(1\)については、\(D\)が強支配純粋戦略であるため(確認してください)、先の命題より、\(D\)は強支配混合戦略でもあります。実際、純粋戦略\(D\)とは異なるプレイヤー\(1\)の混合戦略\(\sigma _{1}=\left( \sigma _{1}\left( U\right) ,\sigma _{1}\left( D\right) \right) \)を任意に選ぶと、\(\sigma _{1}\)は\(D\)と異なることから\(0\leq \sigma _{1}\left( D\right) <1\)が成り立つため、\begin{eqnarray*}
F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) &=&5\cdot \sigma _{1}\left( U\right)
+8\cdot \sigma _{1}\left( D\right) \\
&=&5\cdot \left( 1-\sigma _{1}\left( D\right) \right) +8\cdot \sigma
_{1}\left( D\right) \\
&=&8+3\cdot \sigma _{1}\left( U\right) \\
&<&5\quad \because \sigma _{1}\left( D\right) <1 \\
&=&u_{1}\left( D,L\right)
\end{eqnarray*}とともに、\begin{eqnarray*}
F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) &=&0\cdot \sigma _{1}\left( U\right)
+2\cdot \sigma _{1}\left( D\right) \\
&=&0\cdot \left( 1-\sigma _{1}\left( D\right) \right) +2\cdot \sigma
_{1}\left( D\right) \\
&=&2\cdot \sigma _{1}\left( D\right) \\
&<&2\quad \because \sigma _{1}\left( D\right) <1 \\
&=&u_{1}\left( D,R\right)
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(D\)は\(\sigma _{1}\)を強支配します。\(\sigma _{1}\)は\(D\)とは異なる任意の混合戦略であるため、以上の議論より、\(D\)は強支配混合戦略です。この結果は先の命題と整合的です。

プレイヤーが強支配純粋戦略を持つ場合、それは同時に強支配混合戦略であることが明らかになりました。強支配混合戦略が存在する場合、それは一意的であるため、強支配純粋戦略は唯一の強支配混合戦略でもあります。では、プレイヤーが強支配純粋戦略を持たない場合、強支配混合戦略をどのように見つければよいのでしょうか。実は、プレイヤーが強支配純粋戦略を持たない場合、強支配混合戦略もまた存在しません(演習問題にします)。

命題(強支配混合戦略の存在)
戦略型ゲーム\(G\)において、プレイヤー\(i\in I\)の強支配純粋戦略が存在しない場合、\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)において、プレイヤー\(i\)の強支配混合戦略もまた存在しない。
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例(強支配混合戦略の存在)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & -1,1 \\ \hline
D & -1,1 & 1,-1 \\ \hline
\end{array}$$
表:強支配戦略

プレイヤー\(1\)の強支配純粋戦略は存在しないため(確認してください)、上の命題より、強支配混合戦略もまた存在しません。実際、純粋戦略\(U,D\)とは異なるプレイヤー\(1\)の混合戦略\(\sigma _{1}=\left( \sigma _{1}\left( U\right) ,\sigma _{1}\left( D\right) \right) \)を任意に選ぶと、\(\sigma _{1}\)は\(U,D\)と異なることから\(0<\sigma _{1}\left( D\right) <1\)が成り立つため、\begin{eqnarray*}
F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) &=&1\cdot \sigma _{1}\left( U\right)
-1\cdot \sigma _{1}\left( D\right) \\
&=&1\cdot \left( 1-\sigma _{1}\left( D\right) \right) -1\cdot \sigma
_{1}\left( D\right) \\
&=&1-2\cdot \sigma _{1}\left( D\right) \\
&<&1\quad \because 0<\sigma _{1}\left( D\right) <1 \\
&=&u_{1}\left( U,L\right)
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、\(\sigma _{1}\)は\(U\)を強支配しません。\(\sigma _{1}\)は\(U,D\)とは異なる任意の混合戦略であるため、以上の議論より、\(\sigma _{1}\)は強支配混合戦略ではありません。この結果は先の命題と整合的です。

プレイヤーが強支配純粋戦略を持たない場合、強支配混合戦略も持たないことが明らかになりました。対偶より、プレイヤーが強支配混合戦略を持つとき、強支配純粋戦略を持ちます。強支配純粋戦略は唯一の強支配混合戦略であるため、結局、強支配混合戦略と強支配純粋戦略は常に一致します。

命題(強支配純粋戦略と強支配混合戦略)
戦略型ゲーム\(G\)においてプレイヤー\(i\in I\)の強支配純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)が存在することと、\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)においてプレイヤー\(i\)の強支配混合戦略\(\sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right) \)が存在することは必要十分であるとともに、\(s_{i}=\sigma _{i}\)が成立する。
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プレイヤー\(i\)の混合戦略\(\sigma _{i}\)が強支配戦略であるものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall \sigma _{i}^{\prime }\in \Delta \left( S_{i}\right) \backslash
\left\{ \sigma _{i}\right\} ,\ \forall \sigma _{-i}\in \Delta \left(
S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}\right) >F_{i}\left(
\sigma _{i}^{\prime },\sigma _{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つ状況を想定します。このとき、プレイヤー\(i\)は強支配戦略\(\sigma _{i}\)を選べば、他のプレイヤーたちがどのような戦略の組\(\sigma _{-i}\)を選ぶかに関わらず、他の混合戦略\(\sigma _{i}^{\prime }\)を選ぶ場合よりも大きな期待利得を得ることができます。したがって、プレイヤー\(i\)が合理的であり、合理的なプレイヤーの目的が自己の利得の期待値の最大化である限りにおいて、プレイヤー\(i\)は強支配戦略\(\sigma _{i}\)を選びます。言い換えると、仮にプレイヤー\(i\)が強支配戦略\(\sigma _{i}\)を選ばないのであれば、それは期待効用仮説の仮定と矛盾します。

命題(強支配混合戦略が選ばれる根拠)
戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)において、プレイヤー\(i\in I\)の混合戦略\(\sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right) \)が強支配戦略である場合、期待効用仮説のもとでは、プレイヤー\(i\)は\(\sigma _{i}\)を選択する。
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強支配混合戦略均衡

繰り返しになりますが、戦略型ゲーム\(G\)においてプレイヤー\(i\in I\)の混合戦略\(\sigma _{i}^{\ast }\in \Delta \left( S_{i}\right) \)が強支配混合戦略であることとは、\begin{equation*}
\forall \sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right) \backslash \left\{ \sigma
_{i}^{\ast }\right\} ,\ \forall \sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right)
:F_{i}\left( \sigma _{i}^{\ast },\sigma _{-i}\right) >F_{i}\left( \sigma
_{i},\sigma _{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。さて、プレイヤーたちの混合戦略の組\(\sigma _{I}^{\ast }=\left( \sigma _{i}^{\ast }\right) _{i\in I}\)において、任意のプレイヤー\(i\)の混合戦略\(\sigma _{i}^{\ast }\)が強支配混合戦略になっているならば、すなわち、\begin{equation*}
\forall i\in I,\ \forall \sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right)
\backslash \left\{ \sigma _{i}^{\ast }\right\} ,\ \forall \sigma _{-i}\in
\Delta \left( S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma _{i}^{\ast },\sigma
_{-i}\right) >F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つならば、\(\sigma _{I}^{\ast }\)を強支配混合戦略均衡(strongly dominant mixed strategy equilibrium)や狭義支配混合戦略均衡(strictly dominant mixed strategy equilibrium)などと呼びます。

混合戦略の組\(\sigma _{I}^{\ast }=\left( \sigma _{i}^{\ast }\right) _{i\in I}\)が強支配混合戦略均衡であるとき、それぞれのプレイヤー\(i\)の均衡戦略\(\sigma _{i}^{\ast }\)は強支配混合戦略です。ただし、先に示したように、ある戦略が強支配混合戦略であることと、その戦略が強支配純粋戦略であることは必要十分であるため、\(\sigma _{i}^{\ast }\)は強支配純粋戦略です。したがって、それらの組である\(\sigma _{I}^{\ast }\)は強支配混合戦略均衡でもあります。

命題(強支配純粋戦略均衡と強支配混合戦略均衡)
戦略型ゲーム\(G\)に強支配純粋戦略均衡\(s_{I}^{\ast }\in S_{I}\)が存在することと、\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)に強支配混合戦略均衡\(\sigma _{I}^{\ast }\in \Delta \left( S_{I}\right) \)が存在することは必要十分であるとともに、\(s_{I}^{\ast }=\sigma _{I}^{\ast }\)が成立する。
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例(強支配混合戦略均衡)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて再び考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 0,8 \\ \hline
D & 8,0 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$
表:強支配戦略

プレイヤー\(1\)にとって\(D\)は強支配純粋戦略であり、プレイヤー\(2\)にとって\(R\)は強支配純粋戦略です。したがって、\(\left( D,R\right) \)は強支配純粋戦略の組であるため、これはゲームの強支配純粋戦略均衡です。さらに上の命題より、\(\left( D,R\right) \)は強支配混合戦略均衡でもあります。

繰り返しになりますが、強支配混合戦略均衡と強支配純粋戦略均衡は一致します。ゲームには強支配純粋戦略均衡が存在するとは限らないため、強支配混合戦略均衡もまた存在しないということになります。

例(強支配混合戦略均衡)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて再び考えます。
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & -1,1 \\ \hline
D & -1,1 & 1,-1 \\ \hline
\end{array}$$
表:強支配戦略

プレイヤー\(1,2\)はともに強支配純粋戦略を持たないため、このゲームには強支配純粋戦略均衡は存在しません。したがって、先の命題より、このゲームには強支配混合戦略均衡もまた存在しません。

繰り返しになりますが、プレイヤーが強支配混合戦略を持つ場合、それは一意的です。したがって、ゲームに強支配混合戦略均衡が存在する場合、それは一意的です。

命題(強支配純混合戦略均衡の一意性)
戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)において、強支配混合戦略均衡が存在する場合、それは一意的である。
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戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)に強支配混合戦略均衡\(\sigma _{I}^{\ast }\)が存在する場合、それぞれのプレイヤー\(i\)は自身の均衡戦略である強支配戦略\(\sigma _{i}^{\ast }\)を選べば、他のプレイヤーたちがどのような戦略の組\(\sigma _{-i}\)を選ぶかに関わらず、他の混合戦略\(\sigma _{i}^{\prime }\)を選ぶ場合よりも大きな期待利得を得ることができます。したがって、ゲームに強支配混合戦略均衡が存在する場合、それぞれのプレイヤーは他のプレイヤーたちの行動について考える必要がなく、他のプレイヤーたちが合理的であるかどうかを考える必要もなく、自身の強支配混合戦略\(\sigma _{i}^{\ast }\)を選ぶことが常に最適になります。強支配混合戦略均衡が存在するゲームでは、プレイヤーは他のプレイヤーたちの手を読んだり、相手の合理性を疑う必要がないということです。プレイヤーの合理性が相互知識もしくは共有知識であるという仮定は必要なく、それぞれのプレイヤーが合理的でありさえすれば、全員が均衡戦略である強支配混合戦略を選び、その結果、均衡である強支配混合戦略均衡が実現します。

命題(強支配混合戦略均衡が実現する根拠)
戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)において強支配混合戦略均衡\(\sigma _{I}^{\ast }\in \Delta \left( S_{I}\right) \)が存在する場合、期待効用仮説のもとでは、プレイヤーたちは\(\sigma _{I}^{\ast }\)をプレーする。
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次回は弱支配混合戦略均衡について解説します。

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