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戦略どうしの狭義の支配関係

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純粋戦略どうしの狭義の支配関係

問題としている戦略的状況が完備状況の静学ゲームであり、それが戦略型ゲーム\(G\)として表現されているものとします。ゲームの静学性より、プレイヤー\(i\in I\)は意思決定を行う時点において、他のプレイヤーたちが実際に選ぶ純粋戦略の組\(s_{-i}\in S_{-i}\)を事前に観察することはできません。ただ、ゲームの完備性より、プレイヤー\(i\)は他のプレイヤーたちが選択し得る純粋戦略の組からなる集合\(S_{-i}\)を把握しているため、その要素であるそれぞれの組\(s_{-i}\)に対して、自分が純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)を選んだときに得られる利得\(u_{i}\left(s_{i},s_{-i}\right) \)を把握しています。

以上を踏まえた上で、プレイヤー\(i\in I\)が選択可能な2つの異なる純粋戦略\(s_{i},s_{i}^{\prime }\in S_{i}\)に注目したとき、他のプレイヤーたちがどのような純粋戦略の組\(s_{-i}\in S_{-i}\)を選ぶ場合においても、プレイヤー\(i\)が\(s_{i}\)を選んだときに得る利得\(u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right) \)が\(s_{i}^{\prime }\)を選んだときに得る利得\(u_{i}\left( s_{i}^{\prime},s_{-i}\right) \)よりも大きい場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall s_{-i}\in S_{-i}:u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right) >u_{i}\left(
s_{i}^{\prime },s_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つのであれば、\(s_{i}\)は\(s_{i}^{\prime }\)を狭義に支配する(strictly dominate)と言います。同じことを、\(s_{i}^{\prime }\)は\(s_{i}\)によって狭義に支配される(strictly dominated)と言うこともできます。

例(狭義支配)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 0,8 \\ \hline
D & 8,0 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$

表:狭義支配

プレイヤー\(1\)については、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( D,L\right) &=&8>5=u_{1}\left( U,L\right) \\
u_{1}\left( D,R\right) &=&2>0=u_{1}\left( U,R\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(D\)は\(U\)を狭義支配します。プレイヤー\(2\)については、\begin{eqnarray*}u_{2}\left( U,R\right) &=&8>5=u_{2}\left( U,L\right) \\
u_{2}\left( D,R\right) &=&2>0=u_{2}\left( D,L\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(R\)は\(L\)を狭義支配します。

 

狭義支配する純粋戦略は存在するとは限らない

以下の例が示唆するように、それぞれのプレイヤーは、自分の他の戦略を狭義支配する戦略を持つとは限りません。言い換えると、自分の他の戦略によって狭義支配される戦略を持つとは限りません。

例(狭義支配)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & -1,1 \\ \hline
D & -1,1 & 1,-1 \\ \hline
\end{array}$$

表:狭義支配

プレイヤー\(1\)については、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( U,L\right) &=&1>-1=u_{1}\left( D,L\right) \\
u_{1}\left( D,R\right) &=&1>-1=u_{1}\left( U,R\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、相手が\(L\)を選ぶ場合には自分は\(U\)を選んだ方が良く、相手が\(R\)を選ぶ場合には自分が\(D\)を選んだ方が良いため、\(U\)は\(D\)を狭義支配しませんし、逆に\(D\)は\(U\)を狭義支配しません。プレイヤー\(2\)についても同様です。\(L\)は\(R\)を狭義支配せず、\(R\)は\(L\)を狭義支配しません。

 

狭義支配される純粋戦略が選ばれない理由

プレイヤー\(i\)の純粋戦略\(s_{i}\)が自分の他の純粋戦略\(s_{i}^{\prime }\)によって狭義支配されるものとします。つまり、\begin{equation*}\exists s_{i}^{\prime }\in S_{i}\backslash \left\{ s_{i}\right\} ,\ \forall
s_{-i}\in S_{-i}:u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}\right) >u_{i}\left(
s_{i},s_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つ状況を想定します。このとき、プレイヤー\(i\)は狭義支配される戦略\(s_{i}\)を選ぶ代わりに\(s_{i}\)を狭義支配する戦略\(s_{i}^{\prime }\)を選べば、他のプレイヤーたちが選ぶ戦略の組\(s_{-i}\)とは関係なく、自分はより大きな利得を得ることができます。したがって、プレイヤー\(i\)が合理的であり、合理的なプレイヤーの目的が自己の利得の最大化である限りにおいて、プレイヤー\(i\)は狭義支配される戦略\(s_{i}\)を選びません。言い換えると、仮にプレイヤー\(i\)が狭義支配される戦略\(s_{i}\)を選ぶのであれば、それは合理性の仮定と矛盾します。

命題(合理性と狭義支配される戦略)
戦略型ゲーム\(G\)において、プレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)が自身の他の純粋戦略によって狭義支配される場合、合理性の仮定のもとでは、プレイヤー\(i\)は\(s_{i}\)を選択しない。

以下の利得行列によって表される戦略型ゲーム\(G\)について考えます。プレイヤー\(1\)にとって\(\beta \)は\(\alpha \)によって狭義支配され、プレイヤー\(2\)にとっても\(\beta \)は\(\alpha \)によって狭義支配されます。したがって、合理性の仮定のもとでは、両者はともに狭義支配される戦略\(\beta \)を選ばず、それを狭義支配する戦略\(\alpha \)を選ぶはずです。その結果、2人はともに利得\(0\)を得ます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1/2 & \alpha & \beta \\ \hline
\alpha & 0,0 & 3,-1 \\ \hline
\beta & -1,3 & 1,1 \\ \hline
\end{array}$$

表:狭義支配

仮に2人が狭義支配される戦略\(\beta \)を選んだ場合、2人はともに利得\(1\)を獲得できますが、これは2人が戦略\(\alpha \)を選んだ場合に得る利得\(0\)よりも大きくなっています。したがって、2人はともに狭義支配される戦略\(\beta \)を選ぶべきであると言えるかもしれません。しかし、このような考え方は誤りです。静学ゲームのプレイヤーたちはお互いに相談せずに自分の戦略を選ぶことを求められます。したがって、仮に自分が\(\beta \)を選んだ場合でも、相手に対して自分と同じように\(\beta \)を選ぶように仕向けることはできません。自分が\(\beta \)を選んだときに相手が\(\alpha \)を選べば、自分の利得は\(-1\)となり、これは自分にとって最悪の結果です。百歩譲って、テレパシーなどの能力を用いて相手に\(\beta \)を選ぶように仕向けることができる場合でも、その場合には今度は自分が\(\alpha \)を選べば最大の利得である\(3\)を得られるため、やはり自分は\(\alpha \)を選んだ方が良いということになります。

 

混合戦略どうしの狭義の支配関係

狭義支配の概念は戦略型ゲームの\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)においても容易に拡張されます。つまり、プレイヤー\(i\in I\)が選択可能な2つの異なる混合戦略\(\sigma _{i},\sigma_{i}^{\prime }\in \Delta \left( S_{i}\right) \)に注目したとき、他のプレイヤーたちがどのような混合戦略の組\(\sigma_{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right) \)を選ぶ場合においても、プレイヤー\(i\)が\(\sigma _{i}\)を選んだときに得る期待利得\(F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}\right) \)が\(\sigma_{i}^{\prime }\)を選んだときに得る期待利得\(F_{i}\left( \sigma_{i}^{\prime },\sigma _{-i}\right) \)よりも大きい場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma
_{i},\sigma _{-i}\right) >F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma
_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つのであれば、\(\sigma _{i}\)は\(\sigma _{i}^{\prime }\)を狭義に支配する(strictlydominate)と言います。同じことを、\(\sigma _{i}^{\prime }\)は\(\sigma _{i}\)によって狭義に支配される(strictly dominated)と言うこともできます。

純粋戦略は特別な混合戦略であるため、混合戦略が別の混合戦略を強支配することの意味を規定する上の定義は、純粋戦略が別の純粋戦略を狭義支配すること、混合戦略が別の純粋戦略を狭義支配すること、純粋戦略が別の混合戦略を狭義支配することの定義などを内包しています。

繰り返しになりますが、プレイヤー\(i\)の異なる混合戦略\(\sigma _{i},\sigma_{i}^{\prime }\)について、\(\sigma _{i}\)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を狭義支配することは、\begin{equation*}\forall \sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma
_{i},\sigma _{-i}\right) >F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma
_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、他のプレイヤーたちの混合戦略の組\(\sigma _{-i}\)が与えられたとき、プレイヤー\(i\)の混合戦略\(\sigma _{i}\)は\(\sigma _{i}^{\prime }\)よりも大きい期待利得をもたらすということです。ただ、たとえプレイヤーが有限個の純粋戦略を持つ場合でも混合戦略の個数は無限であり、他のプレイヤーたちの混合戦略の組\(\sigma _{-i}\)も無限に存在します。無限通りの\(\sigma _{-i}\)に対してそれぞれ\(\sigma _{i}\)が\(\sigma_{i}^{\prime }\)よりも大きい期待利得をもたらすことを確認するのは実質的に不可能です。ただ、このような問題は解決可能です。実は、\(\sigma _{i}\)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を狭義支配することは以下の命題\begin{equation*}\forall s_{-i}\in S_{-i}:F_{i}\left( \sigma _{i},s_{-i}\right) >F_{i}\left(
\sigma _{i}^{\prime },s_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち、他のプレイヤーたちの純粋戦略の組\(s_{-i}\)を任意に選んだとき、\(\sigma _{i}\)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)よりも大きい期待利得をもたらすことと必要十分です。以上の事実は、プレイヤー\(i\)について\(\sigma _{i}\)が\(\sigma_{i}^{\prime }\)を狭義支配することを示す際に、他のプレイヤーたちがとり得る戦略を純粋戦略に限定しても一般性は失われないことを意味しています。

命題(混合戦略どうしの狭義支配関係の判定)
戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)において、プレイヤー\(i\in I\)の異なる混合戦略\(\sigma _{i},\sigma _{i}^{\prime }\in \Delta\left( S_{i}\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\forall s_{-i}\in S_{-i}:F_{i}\left( \sigma _{i},s_{-i}\right) >F_{i}\left(
\sigma _{i}^{\prime },s_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(\sigma _{i}\)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を狭義支配するための必要十分条件である。
証明

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例(混合戦略どうしの狭義支配関係)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 2,1 & 0,1 \\ \hline
M & 0,1 & 2,1 \\ \hline
D & 0,1 & 0,1 \\ \hline
\end{array}$$

表:狭義支配

プレイヤー\(1\)が選択可能な以下の2つの混合戦略\begin{eqnarray*}\sigma _{1} &=&\left( \sigma _{1}\left( U\right) ,\sigma _{1}\left( M\right)
,\sigma _{1}\left( D\right) \right) =\left( \frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right) \\
\sigma _{1}^{\prime } &=&\left( \sigma _{1}^{\prime }\left( U\right) ,\sigma
_{1}^{\prime }\left( M\right) ,\sigma _{1}^{\prime }\left( D\right) \right)
=\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)
\end{eqnarray*}に注目します。このとき、\begin{eqnarray*}
F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) &=&2\cdot \frac{1}{3}+0\cdot \frac{1}{3}+0\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3} \\
F_{1}\left( \sigma _{1}^{\prime },L\right) &=&2\cdot \frac{1}{2}+0\cdot
\frac{1}{2}+0\cdot 0=1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) <F_{1}\left( \sigma _{1}^{\prime },L\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。また、\begin{eqnarray*}
F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) &=&0\cdot \frac{1}{3}+2\cdot \frac{1}{3}+0\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3} \\
F_{1}\left( \sigma _{1}^{\prime },R\right) &=&0\cdot \frac{1}{2}+2\cdot
\frac{1}{2}+0\cdot 0=1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) <F_{1}\left( \sigma _{1}^{\prime },R\right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)と先の命題より、\(\sigma _{1}^{\prime }\)は\(\sigma _{1}\)を狭義支配します。

 

混合戦略どうしの強支配関係を考慮すべき理由

純粋戦略どうしの狭義支配だけでなく、混合戦略どうしの狭義支配にまで範囲を広げて考えなければならない何らかの理由はあるのでしょうか。以下の例が示唆するように、いかなる純粋戦略によっても狭義支配されない純粋戦略が混合戦略によって狭義支配されるという事態は起こり得ます。

例(狭義支配)
以下の利得行列で表される戦略型ゲーム\(G\)について考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 2,0 & -1,0 \\ \hline
M & 0,0 & 0,0 \\ \hline
D & -1,0 & 2,0 \\ \hline
\end{array}$$

表:狭義支配

プレイヤー\(1\)の純戦略\(M\)は他のいかなる純粋戦略によっても強支配されない一方で、純戦略\(M\)は以下の混合戦略\begin{equation*}\sigma _{1}=(\sigma _{1}(U),\sigma _{1}(M),\sigma _{1}(D))=\left( \frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}によって狭義支配されます。実際、プレイヤー\(2\)の純粋戦略\(L\)に対しては、\begin{align*}F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) & =\frac{1}{2}\cdot 2+0\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot \left( -1\right) =\frac{1}{2} \\
F_{1}\left( M,L\right) & =0
\end{align*}となるため、\begin{equation}
F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) >F_{1}\left( M,L\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ち、プレイヤー\(2\)のもう一方の純粋戦略\(R\)に対しても、\begin{align*}F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) & =\frac{1}{2}\cdot \left( -1\right)
+0\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot 2=\frac{1}{2} \\
F_{1}\left( M,R\right) & =0
\end{align*}となるため、\begin{equation}
F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) >F_{1}\left( M,R\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)および先の命題より\(\sigma _{1}\)は\(M\)を狭義支配します。

いかなる純粋戦略によっても狭義支配されない純粋戦略が混合戦略によって狭義支配されることがあることが明らかになりました。ただ、純粋戦略は常に何らかの混合戦略によって狭義支配されるわけではありません。以下の例が示唆するように、いかなる混合戦略によっても狭義支配されない純粋戦略が存在することもあります。

例(狭義支配)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & -1,1 \\ \hline
D & -1,1 & 1,-1 \\ \hline
\end{array}$$

表:狭義支配

プレイヤー\(1\)の純粋戦略\(U,D\)はともに純粋戦略によって狭義支配されないだけでなく、任意の混合戦略によっても狭義支配されません(演習問題にします)。

 

狭義支配される混合戦略が選ばれない理由

プレイヤー\(i\)の混合戦略\(\sigma _{i}\)が自分の他の混合戦略\(\sigma _{i}^{\prime }\)によって狭義支配されるものとします。つまり、\begin{equation*}\exists \sigma _{i}^{\prime }\in \Delta \left( S_{i}\right) \backslash
\left\{ \sigma _{i}\right\} ,\ \forall \sigma _{-i}\in \Delta \left(
S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma _{-i}\right)
>F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つ状況を想定します。このとき、プレイヤー\(i\)は狭義支配される戦略\(\sigma _{i}\)を選ぶ代わりに、\(\sigma _{i}\)を狭義支配する戦略\(\sigma_{i}^{\prime }\)を選べば、他のプレイヤーたちがどのような戦略の組\(\sigma _{-i}\)を選ぶかに関わらず、自分はより大きな期待利得を得ることができます。したがって、プレイヤー\(i\)が合理的であり、合理的なプレイヤーの目的が自己の期待利得の最大化である限りにおいて、プレイヤー\(i\)は狭義支配される戦略\(\sigma _{i}\)を選びません。言い換えると、仮にプレイヤー\(i\)が狭義支配される戦略\(\sigma _{i}\)を選ぶのであれば、それは期待効用仮説と矛盾します。

命題(期待効用仮説と狭義支配される戦略)
戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)において、プレイヤー\(i\in I\)の混合戦略\(\sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right) \)が自身の他の混合戦略によって狭義支配される場合、期待効用仮説のもとでは、プレイヤー\(i\)は\(\sigma _{i}\)を選択しない。

 

演習問題

問題(狭義の支配関係)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1/2 & L & R \\ \hline
U & 3,-1 & -1,1 \\ \hline
M & 0,0 & 0,0 \\ \hline
D & -1,2 & 2,-1 \\ \hline
\end{array}$$

表:利得行列

プレイヤー\(1\)が選択可能な以下の2つの混合戦略\begin{eqnarray*}\sigma _{1}^{\prime } &=&\left( \sigma _{1}^{\prime }\left( U\right) ,\sigma
_{1}^{\prime }\left( M\right) ,\sigma _{1}^{\prime }\left( D\right) \right)
=\left( \frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right) \\
\sigma _{1} &=&\left( \sigma _{1}\left( U\right) ,\sigma _{1}\left( M\right)
,\sigma _{1}\left( D\right) \right) =\left( 0,1,0\right)
\end{eqnarray*}について、\(\sigma _{1}^{\prime }\)が\(\sigma _{1}\)を狭義支配することを明らかにしてください。

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問題(狭義の支配関係)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。プレイヤー\(1\)の任意の純粋戦略は、自身の任意の混合戦略によって狭義支配されないことを示してください。

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & -1,1 \\ \hline
D & -1,1 & 1,-1 \\ \hline
\end{array}$$

表:利得行列
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問題(狭義の支配戦略)
ある商品が2つの企業によってのみ供給される複占市場において、カルテルを形成せずに競争する企業が互いに商品の生産量を決定する状況を想定します。まず、市場への商品の総供給量が\(q\geq 0\)であるとき、その商品の価格は、\begin{equation*}p\left( q\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
100-q & \left( if\ 0\leq q\leq 100\right) \\
0 & \left( if\ 100<q\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}で均衡するものとします。企業\(i\) \(\left( =1,2\right) \)による供給量は\(q_{i}\)であり、これは任意の非負の実数を値としてとり得るものとします。また、企業\(i\)が商品を\(q_{i}\)だけ生産するのに必要な費用は\(c_{i}\left(q_{i}\right) =q_{i}^{2}\)であるものとします。以上を踏まえた上で以下の問いに答えてください。

  1. 以上の状況を戦略型ゲーム\(G=\left( I,\{S_{i}\}_{i\in I},\{u_{i}\}_{i\in I}\right) \)として定式化してください。ただし、それぞれの企業は利得と利潤を同一視するものとします。
  2. 以上のゲーム\(G\)において、それぞれの企業\(i\)は自身の別の純粋戦略を狭義支配する純粋戦略を持つでしょうか。他の純粋戦略を狭義支配する純粋戦略が存在する場合には、それがどの純粋戦略を狭義支配するかを明らかにしてください。他の純粋戦略を狭義支配する純粋戦略が存在しない場合にはその理由を説明してください。
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