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戦略どうしの広義の支配関係

目次

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純粋戦略どうしの広義の支配関係

問題としている戦略的状況が完備状況の静学ゲームであり、それが戦略型ゲーム\(G\)として表現されているものとします。ゲームの静学性より、プレイヤー\(i\in I\)は意思決定を行う時点において、他のプレイヤーたちが実際に選ぶ純粋戦略の組\(s_{-i}\in S_{-i}\)を事前に観察することはできません。ただ、ゲームの完備性より、プレイヤー\(i\)は他のプレイヤーたちが選択し得る純粋戦略の組からなる集合\(S_{-i}\)を把握しているため、その要素であるそれぞれの組\(s_{-i}\)に対して、自分が純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)を選んだときに得られる利得\(u_{i}\left(s_{i},s_{-i}\right) \)を把握しています。

以上を踏まえた上で、プレイヤー\(i\in I\)が選択可能な2つの異なる純粋戦略\(s_{i},s_{i}^{\prime }\in S_{i}\)に注目したとき、他のプレイヤーたちがどのような純粋戦略の組\(s_{-i}\in S_{-i}\)を選ぶ場合においても、プレイヤー\(i\)が\(s_{i}\)を選んだときに得る利得\(u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right) \)が\(s_{i}^{\prime }\)を選んだときに得る利得\(u_{i}\left( s_{i}^{\prime},s_{-i}\right) \)以上であるとともに、他のプレイヤーたちの少なくとも1つの純戦略の組\(s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}\)について、プレイヤー\(i\)が\(s_{i}\)を選んだときに得る利得\(u_{i}\left(s_{i},s_{-i}^{\prime }\right) \)が\(s_{i}^{\prime }\)を選んだときに得る利得\(u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}^{\prime }\right) \)よりも大きい場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall s_{-i}\in S_{-i}:u_{i}\left( s_{i},s_{-i}\right)
\geq u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}:u_{i}\left(
s_{i},s_{-i}^{\prime }\right) >u_{i}\left( s_{i}^{\prime },s_{-i}^{\prime
}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つのであれば、\(s_{i}\)は\(s_{i}^{\prime }\)を広義に支配する(weakly dominate)すると言います。同じことを、\(s_{i}^{\prime }\)は\(s_{i}\)によって広義に支配される(weakly dominated)と言うこともできます。

例(広義支配)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 2,8 \\ \hline
D & 8,2 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$

表:広義支配

プレイヤー\(1\)については、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( D,L\right) &=&8>5=u_{1}\left( U,L\right) \\
u_{1}\left( D,R\right) &=&2=2=u_{1}\left( U,R\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(D\)は\(U\)を広義支配します。プレイヤー\(2\)については、\begin{eqnarray*}u_{2}\left( U,R\right) &=&8>5=u_{2}\left( U,L\right) \\
u_{2}\left( D,R\right) &=&2=2=u_{2}\left( D,L\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(R\)は\(L\)を広義支配します。

 

広義支配する純粋戦略は存在するとは限らない

以下の例が示唆するように、それぞれのプレイヤーは、自分の他の戦略を広義支配する戦略を持つとは限りません。言い換えると、自分の他の戦略によって広義支配される戦略を持つとは限りません。

例(広義支配)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & -1,1 \\ \hline
D & -1,1 & 1,-1 \\ \hline
\end{array}$$

表:広義支配

プレイヤー\(1\)については、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( U,L\right) &=&1>-1=u_{1}\left( D,L\right) \\
u_{1}\left( D,R\right) &=&1>-1=u_{1}\left( U,R\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、相手が\(L\)を選ぶ場合には自分は\(U\)を選んだ方が良く、相手が\(R\)を選ぶ場合には自分が\(D\)を選んだ方が良いため、\(U\)は\(D\)を広義支配しませんし、逆に\(D\)は\(U\)を広義支配しません。プレイヤー\(2\)についても同様です。\(L\)は\(R\)を広義支配せず、\(R\)は\(L\)を広義支配しません。

 

広義支配される純粋戦略が選ばれない理由

復習になりますが、合理的なプレイヤーが「狭義支配」される純粋戦略を選ぶ可能性はありません。他方で、合理的なプレイヤーが「広義支配」される純粋戦略を選ぶ可能性を完全に排除することはできません。広義支配される純粋戦略が選ばれないことを保証するためには、合理性の仮定だけでは不十分であるということです。その理由を解説するために、以下の利得行列によって表されるゲームについて考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1/2 & L & R \\ \hline
U & 5,1 & 4,0 \\ \hline
M & 6,0 & 3,1 \\ \hline
D & 6,4 & 4,4 \\ \hline
\end{array}$$

表:広義支配

プレイヤー\(1\)の純粋戦略\(U,M\)はともに純粋戦略\(D\)によって広義支配されますが、合理性を仮定したとき、プレイヤー\(1\)が\(U\)や\(M\)を選ぶ可能性を確実に排除できるでしょうか。合理的なプレイヤー\(1\)が\(U\)や\(M\)を選ぶ可能性を排除できないことを示すために、合理性とは別にプレイヤーの「注意深さ」をモデル化します。ただし、プレイヤーの注意深さとは、ゲームにおいてあらゆる不測の事態が起こり得ることをプレイヤーが想定できることを意味します。より正確には、ゲームにおいて起こり得るすべての結果に対して、それぞれが実際に起こる確率を正と評価するということです。このような仮定を警戒心(caution)の仮定と呼びます。先のゲームにおいて、プレイヤー\(1\)は相手プレイヤーが\(L\)を選ぶ確率を\(p\)と予想し、\(R\)を選ぶ確率を\(1-p\)と予想しているものとします。\(0\leq p\leq 1\)です。ただ、プレイヤー\(1\)が注意深い人物であれば、相手プレイヤーが\(L\)や\(R\)を選ぶ確率を\(0\)とは断定しないため、彼の予想は\(0<p<1\)を満たすはずです。

仮に、プレイヤー\(1\)にとって\(D\)が\(U,M\)を「狭義支配」するのであれば、予想\(p\)の内容とは関係なく、プレイヤー\(1\)が合理的である限りにおいて\(D\)を選ぶことが最適になるため、この場合にはプレイヤー\(1\)の警戒心は問題になりません。一方、現在考えている例のように、\(D\)が\(U,D\)を狭義支配するのではなく「広義支配」する場合には、プレイヤー\(1\)の警戒心の有無が意味を持ちます。順番に解説します。

まず、プレイヤー\(1\)が合理的である一方、十分な警戒心を持たない場合について考えます。この場合、彼の予想として\(p=0\)や\(p=1\)などが起こり得ます。\(p=0\)の場合、すなわちプレイヤー\(1\)は相手が\(R\)を選ぶものと断定している場合、自身にとって\(U\)と\(D\)は無差別になるため、彼が\(U\)を選ぶ可能性を排除できません。また、\(p=1\)の場合、すなわちプレイヤー\(1\)は相手が\(L\)を選ぶものと断定している場合、自身にとって\(M\)と\(D\)は無差別になるため、彼が\(M\)を選ぶ可能性を排除できません。つまり、たとえプレイヤーが合理的であっても、十分な警戒心を持たない場合には、広義支配される戦略を選ぶ可能性を排除できないということです。

では、プレイヤー\(1\)が合理的であるとともに十分な警戒心を持つ場合、すなわち彼の予想が\(0<p<1\)を満たす場合にはどうでしょうか。この場合、プレイヤー\(1\)は相手が\(L\)や\(R\)を選ぶ確率をそれぞれ正と予想しています。相手が\(L\)を選ぶ状況において自身は\(U\)よりも\(D\)を選んだ方がよく、相手が\(R\)を選ぶ状況において自身は\(M\)よりも\(D\)を選んだ方がよいため、この場合には彼が\(U\)や\(M\)を選ぶ可能性を排除できます。つまり、プレイヤーが合理的であるとともに警戒心を持つ場合には、広義支配される戦略を選ぶ可能性を排除できるということです。

命題(広義支配される戦略が選ばれない理由)
戦略型ゲーム\(G\)において、プレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)が自身の他の純粋戦略によって広義支配される場合、合理性と警戒心の仮定のもとでは、プレイヤー\(i\)は\(s_{i}\)を選択しない。

 

混合戦略どうしの広義の支配関係

広義支配の概念は戦略型ゲームの\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)においても容易に拡張されます。つまり、プレイヤー\(i\in I\)が選択可能な2つの異なる混合戦略\(\sigma _{i},\sigma_{i}^{\prime }\in \Delta \left( S_{i}\right) \)に注目したとき、他のプレイヤーたちがどのような混合戦略の組\(\sigma_{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right) \)を選ぶ場合においても、プレイヤー\(i\)が\(\sigma _{i}\)を選んだときに得る期待利得\(F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}\right) \)が\(\sigma_{i}^{\prime }\)を選んだときに得る期待利得\(F_{i}\left( \sigma_{i}^{\prime },\sigma _{-i}\right) \)以上であるとともに、他のプレイヤーたちの少なくとも1つの混合戦略の組\(\sigma _{-i}^{\prime }\in \Delta \left( S_{-i}\right) \)について、プレイヤー\(i\)が\(\sigma _{i}\)を選んだときに得る期待利得\(F_{i}\left( \sigma_{i},\sigma _{-i}^{\prime }\right) \)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を選んだときに得る期待利得\(F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma_{-i}^{\prime }\right) \)よりも大きい場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right)
:F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}\right) \geq F_{i}\left( \sigma
_{i}^{\prime },\sigma _{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists \sigma _{-i}^{\prime }\in \Delta \left(
S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}^{\prime }\right)
>F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma _{-i}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つのであれば、\(\sigma _{i}\)は\(\sigma_{i}^{\prime }\)を広義に支配する(weakly dominate)と言います。同じことを、\(\sigma _{i}^{\prime }\)は\(\sigma _{i}\)によって広義に支配される(weakly dominated)と言うこともできます。

純粋戦略は特別な混合戦略であるため、混合戦略が別の混合戦略を広義支配することの意味を規定する上の定義は、純粋戦略が別の純粋戦略を広義支配すること、混合戦略が別の純粋戦略を広義支配すること、純粋戦略が別の混合戦略を広義支配することの定義などを内包しています。

繰り返しになりますが、プレイヤー\(i\)の異なる混合戦略\(\sigma _{i},\sigma_{i}^{\prime }\)について、\(\sigma _{i}\)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を広義支配することは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \sigma _{-i}\in \Delta \left( S_{-i}\right)
:F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}\right) \geq F_{i}\left( \sigma
_{i}^{\prime },\sigma _{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists \sigma _{-i}^{\prime }\in \Delta \left(
S_{-i}\right) :F_{i}\left( \sigma _{i},\sigma _{-i}^{\prime }\right)
>F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },\sigma _{-i}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。ただ、たとえプレイヤーが有限個の純粋戦略を持つ場合でも混合戦略の個数は無限であり、他のプレイヤーたちの混合戦略の組\(\sigma _{-i}\)も無限に存在します。無限通りの\(\sigma _{-i}\)に対してそれぞれ\(\sigma _{i}\)がもたらす期待利得と\(\sigma _{i}^{\prime }\)がもたらす期待利得を比べるのは実質的に不可能です。ただ、このような問題は解決可能です。実は、\(\sigma _{i}\)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を広義支配することは以下の命題\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall s_{-i}\in S_{-i}:F_{i}\left( \sigma
_{i},s_{-i}\right) \geq F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },s_{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}:F_{i}\left( \sigma
_{i},s_{-i}^{\prime }\right) >F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime
},s_{-i}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことと必要十分です。つまり、\(\sigma _{i}\)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を広義支配することを示す際に、他のプレイヤーたちがとり得る戦略を純粋戦略に限定しても一般性は失われません。

命題(混合戦略どうしの広義支配関係の判定)
戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)において、プレイヤー\(i\in I\)の異なる混合戦略\(\sigma _{i},\sigma _{i}^{\prime }\in \Delta\left( S_{i}\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall s_{-i}\in S_{-i}:F_{i}\left( \sigma
_{i},s_{-i}\right) \geq F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime },s_{-i}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists s_{-i}^{\prime }\in S_{-i}:F_{i}\left( \sigma
_{i},s_{-i}^{\prime }\right) >F_{i}\left( \sigma _{i}^{\prime
},s_{-i}^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことは、\(\sigma _{i}\)が\(\sigma _{i}^{\prime }\)を広義支配するための必要十分条件である。
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例(混合戦略どうしの広義支配関係)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1/2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & 1,1 \\ \hline
M & 0,0 & 1,0 \\ \hline
D & -1,2 & 2,-1 \\ \hline
\end{array}$$

表:広義支配

プレイヤー\(1\)が選択可能な以下の2つの混合戦略\begin{eqnarray*}\sigma _{1} &=&\left( \sigma _{1}\left( U\right) ,\sigma _{1}\left( M\right)
,\sigma _{1}\left( D\right) \right) =\left( \frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)
\\
\sigma _{1}^{\prime } &=&\left( \sigma _{1}^{\prime }\left( U\right) ,\sigma
_{1}^{\prime }\left( M\right) ,\sigma _{1}^{\prime }\left( D\right) \right)
=\left( 0,1,0\right)
\end{eqnarray*}に注目します。このとき、\begin{eqnarray*}
F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) &=&1\cdot \frac{1}{2}+0\cdot 0-1\cdot
\frac{1}{2}=0 \\
F_{1}\left( \sigma _{1}^{\prime },L\right) &=&1\cdot 0+0\cdot 1-1\cdot 0=0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) =F_{1}\left( \sigma _{1}^{\prime },L\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。また、\begin{eqnarray*}
F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) &=&1\cdot \frac{1}{2}+1\cdot 0+2\cdot
\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \\
F_{1}\left( \sigma _{1}^{\prime },R\right) &=&1\cdot 0+1\cdot 1+2\cdot 0=1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) >F_{1}\left( \sigma _{1}^{\prime },R\right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)と先の命題より、\(\sigma _{1}\)は\(\sigma _{1}^{\prime }\)を広義支配します。

 

混合戦略どうしの広義支配関係を考慮すべき理由

純粋戦略どうしの広義支配だけでなく、混合戦略どうしの広義支配にまで範囲を広げて考えなければならない何らかの理由はあるのでしょうか。以下の例が示唆するように、いかなる純粋戦略によっても広義支配されない純粋戦略が混合戦略によって広義支配されるという事態は起こり得ます。

例(広義支配)
以下の利得行列で表される戦略型ゲーム\(G\)について考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,0 & -1,0 \\ \hline
M & 0,0 & 0,0 \\ \hline
D & -1,0 & 2,0 \\ \hline
\end{array}$$

表:広義支配

プレイヤー\(1\)の純粋戦略\(M\)は他のいかなる純粋戦略によっても広義支配されない一方で、以下の混合戦略\begin{equation*}\sigma _{1}=(\sigma _{1}(U),\sigma _{1}(M),\sigma _{1}(D))=\left( \frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}によって広義支配されます。実際、プレイヤー\(2\)の純粋戦略\(L\)に対しては、\begin{align*}F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) & =\frac{1}{2}\cdot 1+0\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot \left( -1\right) =0 \\
F_{1}\left( M,L\right) & =0
\end{align*}となるため、\begin{equation}
F_{1}\left( \sigma _{1},L\right) =F_{1}\left( M,L\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ち、プレイヤー\(2\)のもう一方の純粋戦略\(R\)に対しては、\begin{align*}F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) & =\frac{1}{2}\cdot \left( -1\right)
+0\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot 2=\frac{1}{2} \\
F_{1}\left( M,R\right) & =0
\end{align*}となるため、\begin{equation}
F_{1}\left( \sigma _{1},R\right) >F_{1}\left( M,R\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)および先の命題より\(\sigma _{1}\)は\(M\)を広義支配します。

いかなる純粋戦略によっても広義支配されない純粋戦略が混合戦略によって広義支配されることがあることが明らかになりました。ただ、純粋戦略は常に何らかの混合戦略によって広義支配されるわけではありません。以下の例が示唆するように、いかなる混合戦略によっても広義支配されない純粋戦略が存在することもあります。

例(広義支配)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & -1,1 \\ \hline
D & -1,1 & 1,-1 \\ \hline
\end{array}$$

表:広義支配

プレイヤー\(1\)の純粋戦略\(U,D\)はともに純粋戦略によって広義支配されないだけでなく、任意の混合戦略によっても広義支配されません(演習問題にします)。

 

広義支配される混合戦略が選ばれない理由

復習になりますが、期待効用仮説を認める場合、プレイヤーが「狭義支配」される混合戦略を選ぶ可能性はありません。他方で、期待効用仮説を認めた場合においても、プレイヤーが「広義支配」される混合戦略戦略を選ぶ可能性を完全に排除することはできません。純粋戦略の場合と同様、混合戦略の場合においても、広義支配される戦略が選ばれないことを保証するためには期待効用仮説に加えて警戒心の仮定が必要です。

命題(広義支配される戦略が選ばれない理由)
戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)において、プレイヤー\(i\in I\)の混合戦略\(\sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right) \)が自身の他の混合戦略によって広義支配される場合、期待効用仮説と警戒心の仮定のもとでは、プレイヤー\(i\)は\(\sigma _{i}\)を選択しない。

 

演習問題

問題(広義支配関係)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。プレイヤー\(1\)の任意の純粋戦略は、自身の任意の混合戦略によって広義支配されないことを示してください。

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 1,-1 & -1,1 \\ \hline
D & -1,1 & 1,-1 \\ \hline
\end{array}$$

表:利得行列
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問題(支配関係)
以下の利得行列で表される戦略型ゲームについて考えます。

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
1\diagdown 2 & L & R \\ \hline
U & 5,5 & 2,8 \\ \hline
D & 8,2 & 2,2 \\ \hline
\end{array}$$

表:利得行列

プレイヤー\(1\)の混合戦略として、\begin{eqnarray*}\sigma _{1} &=&\left( \sigma _{1}\left( U\right) ,\sigma _{1}\left( M\right)
,\sigma _{1}\left( D\right) \right) =\left( \frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)
\\
\sigma _{1}^{\prime } &=&\left( \sigma _{1}^{\prime }\left( U\right) ,\sigma
_{1}^{\prime }\left( M\right) ,\sigma _{1}^{\prime }\left( D\right) \right)
=\left( 0,1,0\right)
\end{eqnarray*}の2つに注目します。\(\sigma _{1}\)は\(\sigma _{1}^{\prime }\)を広義支配する一方、狭義支配しないことを示してください。

問題(純粋戦略どうしの狭義支配と広義支配の関係)
戦略型ゲーム\(G\)においてプレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)が純粋戦略\(s_{i}^{\prime }\in S_{i}\)を狭義支配するならば、\(s_{i}\)は\(s_{i}^{\prime }\)を広義支配することを示してください。その一方で、その逆は成立するとは限らないことを示してください。
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問題(混合戦略どうしの狭義支配と広義支配の関係)
戦略型ゲーム\(G\)の混合拡張\(G^{\ast }\)においてプレイヤー\(i\in I\)の混合戦略\(\sigma _{i}\in \Delta \left( S_{i}\right) \)が混合戦略\(\sigma _{i}^{\prime }\in \Delta \left( S_{i}\right) \)を狭義支配するならば、\(\sigma _{i}\)は\(\sigma _{i}^{\prime }\)を広義支配することを示してください。その一方で、その逆は成立するとは限らないことを示してください。
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次回は支配戦略について解説します。

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