事後均衡と支配戦略均衡の関係

ベイジアンゲーム\(G\)において、プレイヤー\(i\in I\)の純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)が支配戦略であるならば、\(s_{i}\)は他のプレイヤーたちの任意の純粋戦略の組\(s_{-i}\in S_{-i}\)に対する事後最適反応である。

ベイジアンゲーム\(G\)のプレイヤー集合が\(I=\{1,2\}\)であり、行動集合が\(A_{1}=A_{2}=\left\{ a,b\right\} \)であり、タイプ集合が\(\Theta _{1}=\left\{ \theta_{11},\theta _{12}\right\} \)と\(\Theta _{2}=\left\{ \theta_{21}\right\} \)であるものとします。このゲームには2通りの状態\(\left( \theta _{11},\theta_{21}\right) \)と\(\left( \theta _{12},\theta _{21}\right) \)が存在します。状態ゲーム\(G\left( \theta _{11},\theta _{21}\right) \)は以下の利得行列
$$\begin{array}{ccc}\hline
1\diagdown 2 & a & b \\ \hline
a & 2^{\ast },1^{\ast } & 2^{\ast },0 \\ \hline
b & 0,1^{\ast } & 2^{\ast },1^{\ast } \\ \hline
\end{array}$$

として、状態ゲーム\(G\left( \theta _{12},\theta _{21}\right) \)は以下の利得行列
$$\begin{array}{ccc}\hline
1\diagdown 2 & a & b \\ \hline
a & 2^{\ast },0 & 2^{\ast },1^{\ast } \\ \hline
b & 0,0 & 2^{\ast },1^{\ast } \\ \hline
\end{array}$$

としてそれぞれ与えられているものとします。プレイヤー\(1\)は状態ゲーム\(G\left( \theta _{11},\theta_{21}\right) \)において支配戦略\(a\)を持ち、もう一方の状態ゲーム\(G\left( \theta _{12},\theta_{21}\right) \)においても支配戦略\(a\)を持ちます。したがって、以下の純粋戦略\begin{equation*}s_{1}=\left( s_{1}\left( \theta _{11}\right) ,s_{1}\left( \theta
_{12}\right) \right) =\left( a,a\right)
\end{equation*}はもとのベイジアンゲーム\(G\)におけるプレイヤー\(1\)の支配戦略です。上の命題より、\(s_{1}\)はプレイヤー\(2\)の任意の純粋戦略に対する事後最適反応であるはずです。以下でそのことを確認します。プレイヤー\(2\)は2つの純粋戦略を持ちますが、まずは、\begin{equation*}s_{21}\left( \theta _{21}\right) =a
\end{equation*}を満たす\(s_{21}\)について考えます。状態ゲーム\(G\left( \theta _{11},\theta _{21}\right) \)において\(s_{1}\left( \theta _{11}\right) =a\)は\(s_{21}\left( \theta_{21}\right) =a\)に対する最適反応であり、状態ゲーム\(G\left( \theta _{12},\theta _{21}\right) \)において\(s_{1}\left( \theta _{12}\right) =a\)は\(s_{21}\left( \theta_{21}\right) =a\)に対する最適反応です。したがって、\(s_{1}\)は\(s_{21}\)に対する事後最適反応であることが明らかになりました。続いて、\begin{equation*}s_{22}\left( \theta _{21}\right) =b
\end{equation*}を満たす\(s_{22}\)について考えます。状態ゲーム\(G\left( \theta _{11},\theta _{21}\right) \)において\(s_{1}\left( \theta _{11}\right) =a\)は\(s_{22}\left( \theta_{21}\right) =b\)に対する最適反応であり、状態ゲーム\(G\left( \theta _{12},\theta _{21}\right) \)において\(s_{1}\left( \theta _{12}\right) =a\)は\(s_{22}\left( \theta_{21}\right) =b\)に対する最適反応です。したがって、\(s_{1}\)は\(s_{22}\)に対する事後最適反応であることが明らかになりました。プレイヤー\(2\)の純粋戦略は以上の\(s_{21}\)と\(s_{22}\)の2通りであるため、\(s_{1}\)はプレイヤー\(2\)の任意の純粋戦略に対する事後最適反応であることが示されました。この結果は先の命題の主張と整合的です。

ベイジアンゲーム\(G\)において、プレイヤーたちの純粋戦略の組\(s_{I}^{\ast }\in S_{I}\)が支配戦略均衡であるならば、\(s_{I}^{\ast }\)は事後均衡である。

ベイジアンゲーム\(G\)のプレイヤー集合が\(I=\{1,2\}\)、行動集合が\(A_{1}=A_{2}=\{a,b\}\)、タイプ集合が\(\Theta _{1}=\left\{ \theta_{11},\theta _{12}\right\} \)と\(\Theta _{2}=\left\{ \theta_{21}\right\} \)であるものとします。このゲームには2通りの状態\(\left( \theta _{11},\theta_{21}\right) \)と\(\left( \theta _{12},\theta _{21}\right) \)が存在します。状態ゲーム\(G\left( \theta _{11},\theta _{21}\right) \)は以下の利得行列
$$\begin{array}{ccc}\hline
1\diagdown 2 & a & b \\ \hline
a & 2^{\ast },1^{\ast } & 2,0 \\ \hline
b & 0,1^{\ast } & 3^{\ast },1^{\ast } \\ \hline
\end{array}$$

として、状態ゲーム\(G\left( \theta _{12},\theta _{21}\right) \)は以下の利得行列
$$\begin{array}{ccc}\hline
1\diagdown 2 & a & b \\ \hline
a & 2^{\ast },0 & 3^{\ast },1^{\ast } \\ \hline
b & 0,0 & 2,1^{\ast } \\ \hline
\end{array}$$

としてそれぞれ与えられているものとします。このベイジアンゲーム\(G\)に事後均衡\(\left( s_{1}^{\ast },s_{2}^{\ast }\right) \)は存在するでしょうか。状態ゲーム\(G\left( \theta _{11},\theta _{21}\right) \)におけるナッシュ均衡は\(\left( a,a\right) \)と\(\left( b,b\right) \)であり、状態ゲーム\(G\left( \theta_{12},\theta _{21}\right) \)におけるナッシュ均衡は\(\left( a,b\right) \)です。したがって、\begin{eqnarray*}s_{1}^{\ast } &=&\left( s_{1}^{\ast }\left( \theta _{11}\right) ,s_{1}^{\ast
}\left( \theta _{12}\right) \right) =\left( b,a\right) \\
s_{2}^{\ast } &=&\left( s_{2}\left( \theta _{21}\right) \right) =\left(
b\right)
\end{eqnarray*}を満たす\(\left( s_{1}^{\ast },s_{2}^{\ast }\right) \)がもとのベイジアンゲーム\(G\)の唯一の事後均衡です。一方、状態ゲーム\(G\left( \theta _{11},\theta _{21}\right) \)には支配戦略均衡は存在しないため、ベイジアンゲーム\(G\)にも支配戦略均衡は存在しません。

ベイジアンゲーム\(G\)において、任意のプレイヤー\(i\in I\)の利得関数が私的価値の仮定を満たすものとする。純粋戦略の組\(s_{I}^{\ast }\)が事後均衡であるとともに、\begin{equation*}\forall i\in I,\ \forall a_{i}\in A_{i},\ \exists \theta _{i}\in \Theta
_{i}:s_{i}^{\ast }\left( \theta _{i}\right) =a_{i}
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(s_{I}^{\ast }\)は支配戦略均衡でもある。

私的価値の仮定はともかく、上の命題中の、\begin{equation}
\forall i\in I,\ \forall a_{i}\in A_{i},\ \exists \theta _{i}\in \Theta
_{i}:s_{i}^{\ast }\left( \theta _{i}\right) =a_{i} \quad \cdots (1)
\end{equation}はどれほど強い要求なのでしょうか。メカニズムデザインと呼ばれる学問領域では表明原理と呼ばれる命題を根拠に、プレイヤーの行動集合が自身のタイプ集合と一致するようなゲームに分析対象を限定します。つまり、\begin{equation*}
\forall i\in I:A_{i}=\Theta _{i}
\end{equation*}を満たすベイジアンゲーム\(G\)を分析対象にするということです。この場合のプレイヤー\(i\)の純粋戦略は\(s_{i}:\Theta _{i}\rightarrow \Theta _{i}\)と定義されますが、特に、\begin{equation*}\forall \theta _{i}\in \Theta _{i}:s_{i}^{\ast }\left( \theta _{i}\right)
=\theta _{i}
\end{equation*}を満たす純粋戦略\(s_{i}^{\ast}\)（これを正直戦略と呼ぶ）からなる組\(s_{I}^{\ast}=\left( s_{i}^{\ast }\right) _{i\in I}\)に注目する場合、\(\left( 1\right) \)は、\begin{equation*}\forall i\in I,\ \forall \theta _{i}\in \Theta _{i},\ \exists \theta _{i}\in
\Theta _{i}:s_{i}^{\ast }\left( \theta _{i}\right) =\theta _{i}
\end{equation*}となり、これは明らかに成り立ちます。つまり、メカニズムデザインでは表明原理を根拠に任意のプレイヤーの行動集合がタイプ集合と一致するようなベイジアンゲームを分析対象としますが、私的価値の仮定のもとでは、正直戦略の組が事後均衡である場合には、それが支配戦略均衡でもあることが保証されるということです。メカニズムデザインについては場を改めて解説します。