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不完備情報の静学ゲーム

ベイジアンゲームの私的価値モデル

目次

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ベイジアンゲームの私的価値モデル

不完備情報の静学ゲームベイジアンゲームと呼ばれるモデルとして定式化しました。ベイジアンゲームにおいて、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)は状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)に依存して変化する利得関数\begin{equation*}u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) :A_{I}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を持っているものとみなしました。つまり、状態が\(\theta _{I}\)である状況において、プレイヤーたちが行動の組\(a_{I}\in A_{I}\)を選択した場合に実現する結果からプレイヤー\(i\)が得る利得は\(u_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right) \)です。プレイヤー\(i\)の利得関数の形状は状態\(\theta _{I}\)に依存して変化し得るため、プレイヤー\(i\)の利得関数を総体的に記述すると、\begin{equation*}\left\{ u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) \right\} _{\theta _{I}\in
\Theta _{I}}
\end{equation*}となります。ただ、ベイジアンゲームの分析では多くの場合、プレイヤー\(i\)の利得関数の形状は自身のタイプ\(\theta _{i}\)だけに依存し、他のプレイヤーたちのタイプ\(\theta _{-i}\)には依存しないものと仮定します。このような仮定を私的価値(private value)の仮定と呼びます。

プレイヤー\(i\)に関して私的価値の仮定が成り立つこととは、それぞれの状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)において、利得関数\(u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) :A_{I}\rightarrow \mathbb{R} \)に対してある関数\(u_{i}\left( \cdot ,\theta _{i}\right) :A_{I}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、任意の行動の組\(a_{I}\in A_{I}\)に対して、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right) =u_{i}\left( a_{I},\theta _{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、プレイヤー\(i\)が行動の組\(a_{I}\)から得る利得\(u_{i}\left(a_{I},\theta _{I}\right) \)は他のプレイヤーたちのタイプ\(\theta _{-i}\)に依存せず\(u_{i}\left( a_{I},\theta_{i}\right) \)で一定であるということです。

私的価値の仮定のもとでは、プレイヤー\(i\)の利得関数を総体的に記述すると、\begin{equation*}\left\{ u_{i}\left( \cdot ,\theta _{i}\right) \right\} _{\theta _{i}\in
\Theta _{i}}
\end{equation*}となります。ベイジアンゲーム\(G\)においてすべてのプレイヤーの利得関数に関して私的価値を仮定するとき、そのモデルを私的価値モデル(private value model)と呼びます。

例(私的価値モデル)
ベイジアンゲーム\(G\)のプレイヤー集合が、\begin{equation*}I=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}であり、行動集合が、\begin{equation*}
A_{1}=A_{2}=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}であり、タイプ集合が、\begin{eqnarray*}
\Theta _{1} &=&\left\{ \theta _{11}\right\} \\
\Theta _{2} &=&\left\{ \theta _{21},\theta _{22}\right\}
\end{eqnarray*}であるものとします。つまり、状態集合は、\begin{equation*}
\left\{ \left( \theta _{11},\theta _{21}\right) ,\left( \theta _{11},\theta
_{22}\right) \right\}
\end{equation*}です。状態ゲーム\(G\left(\theta _{11},\theta _{21}\right) \)が以下の利得行列
$$\begin{array}{ccc}\hline
1\diagdown 2 & a & b \\ \hline
a & 2,1 & 0,0 \\ \hline
b & 0,0 & 1,2 \\ \hline
\end{array}$$

として、状態ゲーム\(G\left( \theta _{11},\theta _{22}\right) \)が以下の利得行列
$$\begin{array}{ccc}\hline
1\diagdown 2 & a & b \\ \hline
a & 2,0 & 0,2 \\ \hline
b & 0,1 & 1,0 \\ \hline
\end{array}$$

としてそれぞれ与えられているものとします。どちらの状態ゲームにおいても、それぞれの行動の組においてプレイヤー\(1\)が得る利得は同一です。つまり、\begin{equation*}\forall \left( a_{1},a_{2}\right) \in A_{1}\times A_{2}:u_{1}\left(
a_{1},a_{2},\theta _{11},\theta _{21}\right) =u_{1}\left( a_{1},a_{2},\theta
_{11},\theta _{22}\right)
\end{equation*}が成立しているため、プレイヤー\(1\)の利得関数に関して私的価値の仮定が成立しています。プレイヤー\(2\)に関しては、そもそも相手のタイプがとり得る値は\(\theta _{11}\)だけであるため、プレイヤー\(2\)の利得関数もまた私的価値の仮定を満たしています。したがって、以上のゲーム\(G\)は私的価値モデルです。

例(私的価値モデル)
1つの商品をめぐって\(n\)人が入札を行うオークションを分析します。プレイヤー集合は、\begin{equation*}I=\left\{ 1,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}です。それぞれの入札者\(i\in I\)の商品への評価額\(\theta _{i}\)は私的情報であり、これは\(\underline{\theta }_{i}\)以上\(\overline{\theta }_{i}\)以下の任意の実数を値としてとり得るものとします。プレイヤー\(i\)のタイプ集合は、\begin{equation*}\Theta _{i}=\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \end{equation*}です。それぞれの入札者\(i\)の行動\(a_{i}\)は入札額、任意の非負の実数を入札できるものとします。プレイヤー\(i\)の行動集合は、\begin{equation*}A_{i}=[0,+\infty )
\end{equation*}です。入札者たちが提示する入札額の組が\(a_{I}=\left( a_{i}\right) _{i\in I}\)であるとき、\begin{equation*}a_{i}=\max \left\{ a_{1},\cdots ,a_{n}\right\}
\end{equation*}を満たす1人の入札者\(i\)が商品を落札し、自身の入札額\(a_{i}\)に等しい金額を支払うものとします。他の任意の入札者\(j\ \left( \not=i\right) \)は商品を落札できず、支払いも行いません。入札者\(i\)が商品を落札した場合に得る利得は、落札した商品に対する評価額から支払額を引いた額と一致する一方、落札できなかった場合の利得は\(0\)であるものと定めます。入札者\(i\)が落札した商品をそのまま自分で利用する場合、重要なことは自身にとっての商品への評価額\(\theta _{i}\)だけです。この場合、状態\(\theta_{I}\in \Theta _{I}\)における入札者\(i\in I\)の利得関数\(u_{i}\left( \cdot ,\theta_{I}\right) :A\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(a_{I}\in A\)に対して定める値は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\theta _{i}-a_{i} & \left( if\ a_{i}=\max \left\{ a_{1},\cdots
,a_{n}\right\} \right) \\
0 & \left( if\ a_{i}<\max \left\{ a_{1},\cdots ,a_{n}\right\} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。この利得関数\(u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) \)の形状は他のプレイヤーたちのタイプ\(\theta _{-i}\)に依存しないため、以上の状況は私的価値の仮定と整合的です。

 

私的価値の仮定が成り立たない場合

私的価値の仮定は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。

例(私的価値の仮定が成り立たない場合)
先のオークションの事例において、入札者\(i\)が落札した商品を転売する状況などを想定する場合、自身にとっての商品への評価額\(\theta _{i}\)ではなく、他の入札者たちにとっての評価額\(\theta _{-i}\)が重要です。具体的には、他の入札者たちにとっての商品の評価額の中の最高額\begin{equation*}\max \left\{ \theta _{1},\cdots ,\theta _{i-1},\theta _{i+1},\cdots ,\theta
_{n}\right\}
\end{equation*}を重視する場合、状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)における入札者\(i\in I\)の利得関数\(u_{i}\left(\cdot ,\theta _{I}\right) :A\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(a_{I}\in A\)に対して定める値は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\max \left\{ \theta _{1},\cdots ,\theta _{i-1},\theta _{i+1},\cdots ,\theta
_{n}\right\} -a_{i} & \left( if\ a_{i}=\max \left\{ a_{1},\cdots
,a_{n}\right\} \right) \\
0 & \left( if\ a_{i}<\max \left\{ a_{1},\cdots ,a_{n}\right\} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。この利得関数\(u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) \)の形状は他のプレイヤーたちのタイプ\(\theta _{-i}\)に依存するため、私的価値の仮定が成り立ちません。

 

演習問題

問題(私的価値モデル)
ベイジアンゲーム\(G\)のプレイヤー集合が、\begin{equation*}I=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}であり、行動集合が、\begin{equation*}
A_{1}=A_{2}=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}であり、タイプ集合が、\begin{eqnarray*}
\Theta _{1} &=&\left\{ \theta _{11}\right\} \\
\Theta _{2} &=&\left\{ \theta _{21},\theta _{22}\right\}
\end{eqnarray*}であるものとします。つまり、状態集合は、\begin{equation*}
\left\{ \left( \theta _{11},\theta _{21}\right) ,\left( \theta _{11},\theta
_{22}\right) \right\}
\end{equation*}です。状態ゲーム\(G\left(\theta _{11},\theta _{21}\right) \)が以下の利得行列
$$\begin{array}{ccc}\hline
1\diagdown 2 & a & b \\ \hline
a & 2,1 & 0,0 \\ \hline
b & 0,0 & 1,2 \\ \hline
\end{array}$$

として、状態ゲーム\(G\left( \theta _{11},\theta _{22}\right) \)が以下の利得行列
$$\begin{array}{ccc}\hline
1\diagdown 2 & a & b \\ \hline
a & 1,0 & 0,2 \\ \hline
b & 0,1 & 2,0 \\ \hline
\end{array}$$

としてそれぞれ与えられているものとします。このゲーム\(G\)は私的価値モデルでしょうか。理由とともに答えてください。

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問題(私的価値モデル)
本文中で取り上げたオークションの事例において、入札者\(i\)は自身が保有する情報だけでは商品の評価額を確定できないため、全員にとっての商品の評価額の平均\begin{equation*}\frac{\theta _{1}+\cdots +\theta _{n}}{n}
\end{equation*}を重視するものとします。以上の状況において入札者\(i\)の利得関数を定式化するとともに、私的価値の仮定が成り立たないことを示してください。
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問題(私的価値モデル)
2人のプレイヤー\(1,2\)が争っています。プレイヤー\(1\)の強さは両者にとって共有知識である一方で、プレイヤー\(1\)は相手が自分より「強い」か「弱い」かを事前に観察できないものとします。両者は「戦う」か「降伏する」かのどちらか一方を選択します。一方だけが戦うことを選んだ場合には、2人の強さとは関係なく、戦うことを選んだプレイヤーは利得\(1\)を得る一方で、降伏を選んだプレイヤーは利得\(0\)を得るものとします。両者がともに降伏を選んだ場合には、2人の強さとは関係なく、両者は利得\(0\)を得るものとします。両者がともに戦うことを選んだ場合には、以下の2通りのケースが起こります。1つ目はプレイヤー\(2\)がプレイヤー\(1\)より強い場合であり、このとき、プレイヤー\(2\)は利得\(1\)を得る一方でプレイヤー\(1\)は利得\(-1\)を得ます。2つ目はプレイヤー\(2\)がプレイヤー\(1\)より弱い場合であり、このとき、プレイヤー\(2\)は利得\(-1\)を得る一方でプレイヤー\(2\)は利得\(1\)を得ます。以上の状況をベイジアンゲームとして表現した上で、それが私的価値モデルであるか調べてください。
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問題(企業買収)
ある企業\(1\)が別の企業\(2\)を買収しようとしています。ただし、企業\(2\)の価値\(\theta \)は私的情報であり、それは\(0\)以上\(100\)以下の実数を値としてとり得るものとします。企業\(1\)は企業\(2\)の価値\(\theta \)の真の値を事前に観測できませんが、買収が成功した場合には、その価値が\(5\)割増しになること、すなわち価値が\(\frac{3}{2}\theta \)になることは確定しているものとします。企業\(1\)は買収額\(x\)を提示します。\(x\)は非負の実数です。企業\(2\)は買収に応じるか否かのどちらか一方を選択します。買収が成立した場合、企業\(1\)が得る利得は\(\frac{3}{2}\theta -x\)である一方、企業\(2\)が得る利得は\(x\)です。買収が成立しない場合、企業\(1\)が得る利得は\(0\)である一方、企業\(2\)が得る利得は\(\theta \)です。以上の状況をベイジアンゲームとして表現した上で、それが私的価値モデルであるか調べてください。
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問題(公共財の供給)
ある人が消費しても他者の消費分が減少せず(非競合性)、なおかつ、対価を支払わずとも消費することが可能である(非排除性)ような商品やサービスを公共財(public goods)と呼びます。\(n\)人の構成員からなる集団が1つの公共財を必要としています。ただ、その公共財は大がかりなものではなく、集団に属する誰か1人がコスト\(K>0\)を負担するだけで、その公共財を集団全体に供給できるものとします。公共財の消費には非競合性と排除不可能性があるため、誰かがコストを負担して公共財を供給すれば、それぞれの人\(i\)は\(\theta _{i}>0\)ずつ便益を得られます。ただし、この便益の大きさ\(\theta _{i}\)は私的情報であり、\(0\)以上\(1\)以下の実数を値としてとり得るものとします。それぞれの人\(i\)はコスト\(K\)を負担するかどうかを選択します。自身がコスト\(K\)を負担する場合、他の人がコストを負担するかどうかとは関係なく、自身が得る利得は\(\theta_{i}-K\)です。自身がコスト\(K\)を負担しない場合、自分以外の誰かがコストを負担するのであれば自身が得る利得は\(\theta _{i}\)である一方、自分を含めて誰もコストを負担しないのであれば自身が得る利得は\(0\)です。以上の状況をベイジアンゲームとして表現した上で、それが私的価値モデルであるか調べてください。
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