私的価値モデル

私的価値の仮定

不完備情報の静学ゲームをベイジアンゲーム\(G\)として記述する際には、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)は状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)を変数として持つ選好\(\succsim _{i}\left( \theta _{I}\right) \)を持っているものと考えます。つまり、プレイヤー\(i\)の選好\(\succsim _{i}\left( \theta _{I}\right) \)は状態\(\theta _{I}\)に依存して変化し得るということです。このとき、プレイヤー\(i\)の選好は\(\{\succsim _{i}\left( \theta _{I}\right) \}_{\theta _{I}\in \Theta _{I}}\)として記述されます。

一方、プレイヤー\(i\)の選好は自身のタイプ\(\theta _{i}\)だけに依存し、他のプレイヤーたちのタイプ\(\theta _{-i}\)には依存しないという仮定を設けることもあります。このとき、それぞれの\(\theta _{i}\in \Theta _{i}\)に対して\(A_{I}\)上の二項関係\(\succsim _{i}\left( \theta _{i}\right) \)が存在して、\begin{equation*}
\forall \theta _{-i}\in \Theta _{-i}:\succsim _{i}\left( \theta _{i}\right) =\succsim _{i}\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、プレイヤー\(i\)の選好が自身のタイプ\(\theta _{i}\)のみに依存する場合には、それぞれのタイプ\(\theta _{i}\)におけるプレイヤー\(i\)の選好は他のプレイヤーたちのタイプ\(\theta _{-i}\)に依存せず\(\succsim _{i}\left( \theta _{i}\right) \)で一定になるということです。このような仮定を私的価値（private values）の仮定と呼びます。私的価値の仮定のもとでは、それぞれのプレイヤー\(i\)の選好は\(\{\succsim _{i}\left( \theta _{I}\right) \}_{\theta _{I}\in \Theta _{I}}\)ではなく\(\{\succsim _{i}\left( \theta _{i}\right) \}_{\theta _{i}\in \Theta _{i}}\)と記述されます。

私的価値モデル

不完備情報の静学ゲームをベイジアンゲーム\(G\)として表現するとき、そこに含まれる要素は、\begin{equation*}
G=(I,\left\{ A_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ \Theta _{i}\right\} _{i\in I},\left\{ u_{i}\right\} _{i\in I})
\end{equation*}となります。特に、プレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}\)は、\begin{equation*}
u_{i}=\{u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) \}_{\theta _{I}\in \Theta _{I}}
\end{equation*}と定式化されます。プレイヤー\(i\)の利得関数は状態\(\theta _{I}=\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right) \)に依存するということです。一方、私的価値を仮定する場合には、プレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}\)は、\begin{equation*}
u_{i}=\{u_{i}\left( \cdot ,\theta _{i}\right) \}_{\theta _{i}\in \Theta _{i}}
\end{equation*}と定式化されます。このとき、プレイヤー\(i\)の利得関数は自身のタイプ\(\theta _{i}\)のみに依存するということです。ベイジアンゲーム\(G\)においてすべてのプレイヤーの利得関数に関して私的価値の仮定が成り立つとき、そのモデルを私的価値モデル（private value model）と呼びます。

次回はベイジアンゲームと状態から定義される状態ゲームと呼ばれる概念について解説します。