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STATIC GAME OF INCOMPLETE INFORMATION

私的価値モデル

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私的価値モデル

不完備情報の静学ゲームをベイジアンゲーム\(G\)として記述する際には、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)は状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)に依存して変化する利得関数\(u_{i}\left( \cdot,\theta _{I}\right) \)を持っているものとみなされるため、プレイヤー\(i\)の利得関数は\(\left\{ u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right)\right\} _{\theta _{I}\in \Theta _{I}}\)として記述されます。一方、プレイヤー\(i\)の利得関数は自身のタイプ\(\theta _{i}\)だけに依存し、他のプレイヤーたちのタイプ\(\theta _{-i}\)には依存しないという仮定を設けることもあります。つまり、それぞれの\(\theta _{i}\in \Theta _{i}\)に対して、\begin{equation*}\forall \theta _{-i}\in \Theta _{-i}:u_{i}\left( \cdot ,\theta _{i}\right)
=u_{i}\left( \cdot ,\theta _{i},\theta _{-i}\right)
\end{equation*}を満たす関数\(u_{i}\left( \cdot ,\theta_{i}\right) \)が存在するということです。言い換えると、それぞれのタイプ\(\theta _{i}\)におけるプレイヤー\(i\)の利得関数は、他のプレイヤーたちのタイプ\(\theta _{-i}\)に依存せず、上のように定義される関数\(u_{i}\left( \cdot,\theta _{i}\right) \)で一定であるということです。このような仮定を私的価値(private values)の仮定と呼びます。私的価値の仮定のもとでは、それぞれのプレイヤー\(i\)の利得関数は\(\left\{u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) \right\} _{\theta _{I}\in \Theta _{I}}\)ではなく\(\left\{ u_{i}\left( \cdot ,\theta_{i}\right) \right\} _{\theta _{i}\in \Theta _{i}}\)と記述されます。

ベイジアンゲーム\(G\)においてすべてのプレイヤーの利得関数に関して私的価値の仮定が成り立つとき、そのモデルを私的価値モデル(private value model)と呼びます。

例(私的価値モデル)
ある産業への参入を検討している2つの企業の意思決定を分析します。\(I=\left\{ 1,2\right\} \)です。それぞれの企業\(i\in I\)の技術水準\(\theta _{i}\)は私的情報であり、これは高技術\(h\)と低技術\(l\)の2つの値をとり得るものとします。\(\Theta _{i}=\left\{h,l\right\} \)です。それぞれの企業\(i\)は問題としている産業に参入する(entryの頭文字である\(e\)で表記する)もしくは参入しない(not entryの頭文字である\(n\)で表記する)という選択が可能であるものとします。\(A_{i}=\left\{ e,n\right\} \)です。行動の組が\(\left( a_{1},a_{2}\right) =\left( e,e\right) \)である場合、すなわち両社が参入する場合、企業\(1\)は市場の利益\(P\ \left( >0\right) \)の半分である\(\frac{P}{2}\)を得ます。加えて、この場合には競争相手がいるため企業\(1\)は追加的な研究開発が必要であり、その費用は自社の技術水準\(\theta _{1}\)に依存するものとします。企業\(1\)の技術水準が高い場合(\(\theta _{1}=h\))の追加的な研究開発費を\(c_{h}\ \left( >0\right) \)で表記し、技術水準が低い場合(\(\theta _{1}=l\))の追加的な研究開発費を\(c_{l}\ \left( >0\right) \)で表記します。\(c_{h}<c_{l}\)です。企業が得る利益を利得と同一視するのであれば、この場合に企業\(1\)が得る利得は、\begin{eqnarray*}&&u_{1}\left( e,e,h\right) =\frac{P}{2}-c_{h} \\
&&u_{1}\left( e,e,l\right) =\frac{P}{2}-c_{l}
\end{eqnarray*}となります。企業\(2\)についても同様に、\begin{eqnarray*}&&u_{2}\left( e,e,h\right) =\frac{P}{2}-c_{h} \\
&&u_{2}\left( e,e,l\right) =\frac{P}{2}-c_{l}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。続いて、両企業が提示する行動の組が\(\left(a_{1},a_{2}\right) =\left( e,n\right) \)である場合、すなわち企業\(1\)だけが参入する場合、企業\(1\)は市場の利益\(P\)を独占するものとします。しかも、この場合には競争相手がいないため追加的な研究開発は不要であり、自社の技術水準\(\theta _{1}\)に依存した追加費用も不要です。したがって、この場合に企業\(1\)が得る利得は、\begin{equation*}u_{1}\left( e,n,h\right) =u_{1}\left( e,n,l\right) =P
\end{equation*}を満たします。企業\(2\)は参入しないため利益は得られず、追加的な研究開発も行いません。つまり、\begin{equation*}u_{2}\left( e,n,h\right) =u_{2}\left( e,n,l\right) =0
\end{equation*}です。次に、両企業が提示する行動の組が\(\left( a_{1},a_{2}\right) =\left( n,e\right) \)である場合、すなわち企業\(2\)だけが参入する場合、先と同様に考えることにより、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( n,e,h\right) &=&u_{1}\left( n,e,l\right) =0 \\
u_{2}\left( n,e,h\right) &=&u_{2}\left( n,e,l\right) =P
\end{eqnarray*}を得ます。最後に、両企業が提示する行動の組が\(\left( a_{1},a_{2}\right) =\left(n,n\right) \)である場合、すなわち両企業が参入する場合、両社とも利益が得られず、追加的な研究開発も行わないため、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( n,n,h\right) &=&u_{1}\left( n,n,l\right) =0 \\
u_{2}\left( n,n,h\right) &=&u_{2}\left( n,n,l\right) =P
\end{eqnarray*}となります。以上のベイジアンゲーム\(G\)において、それぞれの企業\(i\)の利得関数\(u_{i}\)の形状は相手企業\(j\ \left(\not=i\right) \)のタイプに依存しないため、これは私的価値モデルです。
例(私的価値モデル)
1つの商品をめぐって有限\(n\)人が入札を行うオークションを分析します。\(I=\left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)です。それぞれの入札者\(i\in I\)の商品への評価額\(\theta _{i}\)は私的情報であり、これは\(\underline{\theta }_{i}\)以上\(\overline{\theta }_{i}\)以下の任意の実数を値としてとり得るものとします。\(\Theta _{i}=\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \)です。それぞれの入札者\(i\)の行動\(a_{i}\)は入札価格であり、任意の非負の実数を入札できるものとします。\(A_{i}=[0,+\infty )\)です。入札者たちが提示する入札額の組が\(a_{I}=\left( a_{i}\right) _{i\in I}\)であるとき、\begin{equation*}a_{i}=\max \left\{ a_{1},\cdots ,a_{n}\right\}
\end{equation*}を満たす1人の入札者\(i\)が商品を落札し、自身の入札額\(a_{i}\)に等しい金額を支払うものとします。他の任意の入札者\(j\ \left( \not=i\right) \)は商品を落札できず、支払いも行いません。仮に、落札者の利得が、落札した商品への評価額から支払額を引いた額と一致するのであれば、\(a_{I}\)のもとで入札者\(i\)が落札者であるとき、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},\theta _{i}\right) =\theta _{i}-a_{i}
\end{equation*}となります。一方、\(a_{I}\)のもとで落札できなかった任意の入札者\(j\)は商品を入手できず支払いも行わないため、\begin{equation*}u_{j}\left( a_{I},\theta _{j}\right) =0
\end{equation*}と定めます。以上のベイジアンゲーム\(G\)において、それぞれの入札者\(i\)の利得関数\(u_{i}\)の形状は他の任意の入札者\(j\ \left( \not=i\right) \)のタイプに依存しないため、これは私的価値モデルです。

 

演習問題

問題(私的価値モデル)
ベイジアンゲーム\(G\)のプレイヤー集合が\(I=\{1,2\}\)、行動集合が\(A_{1}=A_{2}=\{a,b\}\)、タイプ集合が\(\Theta _{1}=\left\{ \theta_{11}\right\} \)かつ\(\Theta _{2}=\left\{ \theta _{21},\theta_{22}\right\} \)であるものとします。この場合、2通りの状態\(\left( \theta _{11},\theta _{21}\right) \)と\(\left( \theta _{11},\theta _{21}\right) \)が存在します。状態ゲーム\(G\left( \theta _{11},\theta _{21}\right) \)は以下の利得行列

\begin{array}{ccc}
\hline
1\diagdown 2 & a & b \\ \hline
a & 2,1 & 0,0 \\ \hline
b & 0,0 & 1,2 \\ \hline
\end{array}

\(G\left( \theta _{11},\theta _{21}\right) \)

として、状態ゲーム\(G\left( \theta _{11},\theta _{21}\right) \)は以下の利得行列

\begin{array}{ccc}
\hline
1\diagdown 2 & a & b \\ \hline
a & 2,0 & 0,2 \\ \hline
b & 0,1 & 1,0 \\ \hline
\end{array}

\(G\left( \theta _{11},\theta _{22}\right) \)

としてそれぞれ与えられているものとします。このゲーム\(G\)は私的価値モデルでしょうか。理由とともに答えてください。

証明

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次回はベイジアンゲームにおけるプレイヤーの意思決定を純粋戦略と呼ばれる概念として定式化します。

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