ベイジアンゲームの私的価値モデル
不完備情報の静学ゲームをベイジアンゲームと呼ばれるモデルとして定式化しました。ベイジアンゲームにおいて、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)は状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)に依存して変化する利得関数\begin{equation*}u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) :A_{I}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を持っているものとみなしました。つまり、状態が\(\theta _{I}\)である状況において、プレイヤーたちが行動の組\(a_{I}\in A_{I}\)を選択した場合に実現する結果からプレイヤー\(i\)が得る利得は\(u_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right) \)です。プレイヤー\(i\)の利得関数の形状は状態\(\theta _{I}\)に依存して変化し得るため、プレイヤー\(i\)の利得関数を総体的に記述すると、\begin{equation*}\left\{ u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) \right\} _{\theta _{I}\in
\Theta _{I}}
\end{equation*}となります。ただ、ベイジアンゲームの分析では多くの場合、プレイヤー\(i\)の利得関数の形状は自身のタイプ\(\theta _{i}\)だけに依存し、他のプレイヤーたちのタイプ\(\theta _{-i}\)には依存しないものと仮定します。このような仮定を私的価値（private value）の仮定と呼びます。
プレイヤー\(i\)に関して私的価値の仮定が成り立つこととは、それぞれの状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)において、利得関数\(u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) :A_{I}\rightarrow \mathbb{R} \)に対してある関数\(u_{i}\left( \cdot ,\theta _{i}\right) :A_{I}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、任意の行動の組\(a_{I}\in A_{I}\)に対して、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right) =u_{i}\left( a_{I},\theta _{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、プレイヤー\(i\)が行動の組\(a_{I}\)から得る利得\(u_{i}\left(a_{I},\theta _{I}\right) \)は他のプレイヤーたちのタイプ\(\theta _{-i}\)に依存せず\(u_{i}\left( a_{I},\theta_{i}\right) \)で一定であるということです。
私的価値の仮定のもとでは、プレイヤー\(i\)の利得関数を総体的に記述すると、\begin{equation*}\left\{ u_{i}\left( \cdot ,\theta _{i}\right) \right\} _{\theta _{i}\in
\Theta _{i}}
\end{equation*}となります。ベイジアンゲーム\(G\)においてすべてのプレイヤーの利得関数に関して私的価値を仮定するとき、そのモデルを私的価値モデル（private value model）と呼びます。
\end{equation*}であり、行動集合が、\begin{equation*}
A_{1}=A_{2}=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}であり、タイプ集合が、\begin{eqnarray*}
\Theta _{1} &=&\left\{ \theta _{11}\right\} \\
\Theta _{2} &=&\left\{ \theta _{21},\theta _{22}\right\}
\end{eqnarray*}であるものとします。つまり、状態集合は、\begin{equation*}
\left\{ \left( \theta _{11},\theta _{21}\right) ,\left( \theta _{11},\theta
_{22}\right) \right\}
\end{equation*}です。状態ゲーム\(G\left(\theta _{11},\theta _{21}\right) \)が以下の利得行列
$$\begin{array}{ccc}\hline
1\diagdown 2 & a & b \\ \hline
a & 2,1 & 0,0 \\ \hline
b & 0,0 & 1,2 \\ \hline
\end{array}$$
として、状態ゲーム\(G\left( \theta _{11},\theta _{22}\right) \)が以下の利得行列
$$\begin{array}{ccc}\hline
1\diagdown 2 & a & b \\ \hline
a & 2,0 & 0,2 \\ \hline
b & 0,1 & 1,0 \\ \hline
\end{array}$$
としてそれぞれ与えられているものとします。どちらの状態ゲームにおいても、それぞれの行動の組においてプレイヤー\(1\)が得る利得は同一です。つまり、\begin{equation*}\forall \left( a_{1},a_{2}\right) \in A_{1}\times A_{2}:u_{1}\left(
a_{1},a_{2},\theta _{11},\theta _{21}\right) =u_{1}\left( a_{1},a_{2},\theta
_{11},\theta _{22}\right)
\end{equation*}が成立しているため、プレイヤー\(1\)の利得関数に関して私的価値の仮定が成立しています。プレイヤー\(2\)に関しては、そもそも相手のタイプがとり得る値は\(\theta _{11}\)だけであるため、プレイヤー\(2\)の利得関数もまた私的価値の仮定を満たしています。したがって、以上のゲーム\(G\)は私的価値モデルです。
\end{equation*}です。それぞれの入札者\(i\in I\)の商品への評価額\(\theta _{i}\)は私的情報であり、これは\(\underline{\theta }_{i}\)以上\(\overline{\theta }_{i}\)以下の任意の実数を値としてとり得るものとします。プレイヤー\(i\)のタイプ集合は、\begin{equation*}\Theta _{i}=\left[ \underline{\theta }_{i},\overline{\theta }_{i}\right] \end{equation*}です。それぞれの入札者\(i\)の行動\(a_{i}\)は入札額、任意の非負の実数を入札できるものとします。プレイヤー\(i\)の行動集合は、\begin{equation*}A_{i}=[0,+\infty )
\end{equation*}です。入札者たちが提示する入札額の組が\(a_{I}=\left( a_{i}\right) _{i\in I}\)であるとき、\begin{equation*}a_{i}=\max \left\{ a_{1},\cdots ,a_{n}\right\}
\end{equation*}を満たす1人の入札者\(i\)が商品を落札し、自身の入札額\(a_{i}\)に等しい金額を支払うものとします。他の任意の入札者\(j\ \left( \not=i\right) \)は商品を落札できず、支払いも行いません。入札者\(i\)が商品を落札した場合に得る利得は、落札した商品に対する評価額から支払額を引いた額と一致する一方、落札できなかった場合の利得は\(0\)であるものと定めます。入札者\(i\)が落札した商品をそのまま自分で利用する場合、重要なことは自身にとっての商品への評価額\(\theta _{i}\)だけです。この場合、状態\(\theta_{I}\in \Theta _{I}\)における入札者\(i\in I\)の利得関数\(u_{i}\left( \cdot ,\theta_{I}\right) :A\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(a_{I}\in A\)に対して定める値は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\theta _{i}-a_{i} & \left( if\ a_{i}=\max \left\{ a_{1},\cdots
,a_{n}\right\} \right) \\
0 & \left( if\ a_{i}<\max \left\{ a_{1},\cdots ,a_{n}\right\} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。この利得関数\(u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) \)の形状は他のプレイヤーたちのタイプ\(\theta _{-i}\)に依存しないため、以上の状況は私的価値の仮定と整合的です。
私的価値の仮定が成り立たない場合
私的価値の仮定は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。
_{n}\right\}
\end{equation*}を重視する場合、状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)における入札者\(i\in I\)の利得関数\(u_{i}\left(\cdot ,\theta _{I}\right) :A\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(a_{I}\in A\)に対して定める値は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},\theta _{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\max \left\{ \theta _{1},\cdots ,\theta _{i-1},\theta _{i+1},\cdots ,\theta
_{n}\right\} -a_{i} & \left( if\ a_{i}=\max \left\{ a_{1},\cdots
,a_{n}\right\} \right) \\
0 & \left( if\ a_{i}<\max \left\{ a_{1},\cdots ,a_{n}\right\} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。この利得関数\(u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) \)の形状は他のプレイヤーたちのタイプ\(\theta _{-i}\)に依存するため、私的価値の仮定が成り立ちません。
演習問題
\end{equation*}であり、行動集合が、\begin{equation*}
A_{1}=A_{2}=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}であり、タイプ集合が、\begin{eqnarray*}
\Theta _{1} &=&\left\{ \theta _{11}\right\} \\
\Theta _{2} &=&\left\{ \theta _{21},\theta _{22}\right\}
\end{eqnarray*}であるものとします。つまり、状態集合は、\begin{equation*}
\left\{ \left( \theta _{11},\theta _{21}\right) ,\left( \theta _{11},\theta
_{22}\right) \right\}
\end{equation*}です。状態ゲーム\(G\left(\theta _{11},\theta _{21}\right) \)が以下の利得行列
$$\begin{array}{ccc}\hline
1\diagdown 2 & a & b \\ \hline
a & 2,1 & 0,0 \\ \hline
b & 0,0 & 1,2 \\ \hline
\end{array}$$
として、状態ゲーム\(G\left( \theta _{11},\theta _{22}\right) \)が以下の利得行列
$$\begin{array}{ccc}\hline
1\diagdown 2 & a & b \\ \hline
a & 1,0 & 0,2 \\ \hline
b & 0,1 & 2,0 \\ \hline
\end{array}$$
としてそれぞれ与えられているものとします。このゲーム\(G\)は私的価値モデルでしょうか。理由とともに答えてください。
\end{equation*}を重視するものとします。以上の状況において入札者\(i\)の利得関数を定式化するとともに、私的価値の仮定が成り立たないことを示してください。
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