不完備情報の静学ゲームをベイジアンゲームとして表現するとき、状態が与えられればそこから1つの戦略型ゲームを導くことができます。これを状態ゲームと呼びます。ベイジアンゲームにおいてプレイヤーが直面する不確実な状況は、プレイヤーがプレーすることになる状態ゲームを特定できないこととして表現されます。

2019年11月25日:公開

状態ゲーム

ベイジアンゲーム\(G=(I,\left\{ A_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ \Theta _{i}\right\} _{i\in I},\left\{ u_{i}\right\} _{i\in I})\)において、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)は自身のタイプ\(\theta _{i}\in \Theta _{i}\)の真の値を知っていますが、他のプレイヤーたちのタイプ\(\theta _{-i}\in \Theta _{-i}\)の真の値は知らないという意味において、そこでは情報の非対称性が成立しています。しかし、仮にある状態\(\theta _{I}=\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right)\)が実現することがプレイヤーたちの共有知識となった場合には、そこで彼らが直面する戦略的状況は、以下の要素から構成される戦略型ゲームとして表現できます。

  1. プレイヤー集合はベイジアンゲーム\(G\)のプレイヤー集合\(I\)をそのまま引き継ぐ。
  2. それぞれのプレイヤー\(i\in I\)の行動集合はベイジアンゲームの行動集合\(A_{i}\)をそのまま引き継ぐ。
  3. それぞれのプレイヤー\(i\)の利得関数は、状態\(\theta _{I}\)のもとでの利得関数\(u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) :A_{I}\rightarrow \mathbb{R}\)である。

ベイジアンゲーム\(G\)と状態\(\theta _{I}\)から定義されるこのような戦略型ゲームを\(\theta _{I}\)のもとでの状態ゲーム(state game)と呼び、これを、\begin{equation*}
G\left( \theta _{I}\right) =(I,\left\{ A_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) \right\} _{i\in I})
\end{equation*}で表します。

ベイジアンゲーム\(G\)の要素であるプレイヤー集合\(I\)、任意のプレイヤー\(i\)の行動集合\(A_{i}\)、任意のプレイヤー\(i\)の任意の状態\(\theta _{I}\)における利得関数\(u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) \)はいずれも共有知識であるため、任意の状態\(\theta _{I}\)における状態ゲーム\(G\left( \theta _{I}\right) \)の要素もまた共有知識です。

 

ベイジアンゲームにおいてプレイヤーが直面する不確実性

ベイジアンゲーム\(G\)においてそれぞれのプレイヤー\(i\)は自身のタイプ\(\theta _{i}\)の真の値を知っていますが(便宜上、これを\(\theta _{i}^{\ast }\)で表します)、他のプレイヤーたちのタイプ\(\theta _{-i}\)の真の値を事前に観察できません。したがって、ベイジアンゲーム\(G\)においてプレイヤー\(i\)が直面する不確実な状況は、彼が直面する真の状態ゲームが、\begin{equation*}
\{G\left( \theta _{i}^{\ast },\theta _{-i}\right) \}_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}
\end{equation*}の中のどれであるかを事前に知ることができないこととして表現できます。

例(状態ゲーム)
ベイジアンゲーム\(G\)のプレイヤー集合が\(I=\{1,2\}\)、行動集合は\(A_{1}=A_{2}=\{a,b\}\)、タイプ集合は\(\Theta _{1}=\{\theta _{1}^{\prime }\},\ \Theta _{2}=\{\theta _{2}^{\prime },\theta _{2}^{\prime \prime }\}\)であるものとします。このとき、2 通りの状態ゲーム\(G\left( \theta _{1}^{\prime },\theta _{2}^{\prime \prime }\right) ,\ G\left( \theta _{1}^{\prime },\theta _{2}^{\prime \prime }\right) \)が存在しますが、それらを以下の利得行列で表します。
$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\diagdown 2 & a & b \\ \hline
a & 2,1 & 0,0 \\ \hline
b & 0,0 & 1,2 \\ \hline
\end{array}$$
表:状態ゲーム\(G\left( \theta _{1}^{\prime },\theta _{2}^{\prime }\right) \)
$$\begin{array}{ccc}
\hline
1\diagdown 2 & a & b \\ \hline
a & 2,0 & 0,2 \\ \hline
b & 0,1 & 1,0 \\ \hline
\end{array}$$
表:状態ゲーム\(G\left( \theta _{1}^{\prime },\theta _{2}^{\prime \prime }\right) \)

この 2 つの状態ゲームを構成する要素はいずれもプレイヤーたちの共有知識です。また、タイプ集合\(\Theta _{1},\Theta _{2}\)は共有知識ですので、プレイヤーたちがこの 2 つの状態ゲームに直面し得るという事実もまた共有知識です。プレイヤー\(1\)のタイプは\(\theta _{1}^{\prime }\)の 1 通りであるため、プレイヤー\(2\)は不確実性に直面していません。つまり、プレイヤー\(2\)の真のタイプが\(\theta _{2}^{\prime }\)である場合、プレイヤー\(2\)は自身が直面するゲームが\(G\left( \theta _{1}^{\prime },\theta _{2}^{\prime }\right) \)であることを知っており、真のタイプが\(\theta _{2}^{\prime \prime }\)の場合には、自身が直面するゲームが\(G\left( \theta _{1}^{\prime },\theta _{2}^{\prime \prime }\right) \)であることを知っています。一方、プレイヤー\(2\)のタイプは\(\theta _{2}^{\prime },\theta _{2}^{\prime \prime }\)の 2 通りですが、プレイヤー\(1\)はプレイヤー\(2\)のタイプを観察できないため、プレイヤー\(1\)は自分がどちらの状態ゲームをプレーすることになるかが分からず、不確実性に直面しています。

次回はベイジアンゲームにおけるプレイヤーの意思決定を、純戦略と呼ばれる概念として定式化します。

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