租税乗数と租税乗数効果

デフレギャップとインフレギャップ

閉鎖経済における総供給関数\(AS\left( Y\right) \)と総需要関数\(AD\left( Y\right) \)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}AS\left( Y\right) &=&Y \\
AD\left( Y\right) &=&c_{0}+c_{1}\left( Y-T\right) +I+G
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。ただし、\(Y>0\)は国民所得を表す内生変数であり、\(T>0\)は所得税を表す外生変数であり、\(I>0\)は投資を表す外生変数であり、\(G>0\)は政府支出を表す外生変数であり、\(c_{0},c_{1}\in \mathbb{R} \)は\(c_{0}>0\)かつ\(0<c_{1}<1\)を満たす定数です。

生産主体と消費主体は独立に意思決定を行うため総需要と総供給は一致するとは限りません。つまり、\begin{equation*}
AS\left( Y\right) =Y\not=AD\left( Y\right)
\end{equation*}が成り立つということです。価格が硬直的な短期では、企業は超過需要や超過供給を解消するために数量調整（増産ないし減産）によって\(AS\left(Y\right) \)を変化させます。このような数量調整は、国民所得\(Y\)すなわち総供給\(AS\left( Y\right) \)が、企業が実際に売れると期待する水準\(AD\left( Y\right) \)と一致するまで行われます。つまり、数量調整の結果、短期における財市場均衡条件\begin{equation*}AS\left( Y\right) =AD\left( Y\right)
\end{equation*}を満たす国民所得\(Y\)の水準、すなわち均衡国民所得が、\begin{equation*}Y^{\ast }=\frac{1}{1-c_{1}}\left( c_{0}-c_{1}T+I+G\right)
\end{equation*}と定まるとともに、均衡において、\begin{equation*}
AS\left( Y^{\ast }\right) =Y^{\ast }=AD\left( Y^{\ast }\right)
\end{equation*}が成立します。以上の事実は、経済の生産水準（総供給）が、実際に売れる水準（総需要）によって一方的に決定されることを意味します。以上のような調整メカニズムを有効需要の原理と呼びます。

短期において数量調整の結果として実現する均衡国民所得\(Y^{\ast }\)のもとでは財市場は均衡しますが、労働市場や資本市場は均衡しているとは限りません。一方、価格が変動する長期を想定した場合、物価や賃金が柔軟に変化することにより、何らかの実質レントと実質賃金および労働量と資本量のもとで2つの市場が均衡します（完全雇用）。完全雇用下では生産要素である資本と労働は適切に配分され、生産部門は利潤最大化を実現し、家計は効用最大化を実現しています。したがって、完全雇用は経済全体として最も効率的な状態であると言えます。完全雇用を実現する均衡資本量\(K^{\ast }\)と均衡労働量\(L^{\ast }\)を生産関数\(F\left( K,L\right) \)に代入することにより得られる値\begin{equation*}Y_{F}=F\left( K^{\ast },L^{\ast }\right)
\end{equation*}は経済の供給能力を最大限に活用した場合の国民所得であり、これを完全雇用国民所得と呼びます。

完全雇用国民所得\(Y_{F}\)はいわば国民所得の最大値の理論値であり、短期という制約のもとで実現する均衡国民所得\(Y^{\ast }\)と一致するとは限りません。短期では物価や賃金が硬直的であるため、総需要が変動しても価格調整ではなく数量調整で対応せざるを得ないからです。

短期における均衡国民所得\(Y^{\ast }\)が完全雇用国民所得\(Y_{F}\)を下回る場合、すなわち、\begin{equation*}Y^{\ast }<Y_{F}
\end{equation*}が成り立つ状態をデフレギャップと呼びます。デフレギャップが長期にわたって持続すると、価格メカニズムを通じてデフレギャップは解消される方向へ動きますが、そのプロセスにおいてデフレが生じます。デフレの問題を考慮すると、デフレギャップはデフレによって自然解消されるのを待つのではなく、様々な政策によって、経済に負担をかけずに意図的に解消することがマクロ経済政策の基本方針となります。具体的には、デフレギャップが存在する場合には以下の条件\begin{equation*}
Y^{\ast }<Y_{F}
\end{equation*}が成立するため、デフレギャップを解消するためには左辺の均衡国民所得\(Y^{\ast }\)を上昇させて、それを完全雇用国民所得\(Y_{F}\)に一致させる必要があります。

短期における均衡国民所得\(Y^{\ast }\)が完全雇用国民所得\(Y_{F}\)を上回る場合、すなわち、\begin{equation*}Y^{\ast }>Y_{F}
\end{equation*}が成り立つ状態をインフレギャップと呼びます。インフレギャップが長期にわたって持続すると、価格メカニズムを通じてインフレギャップは解消される方向へ動きますが、そのプロセスにおいてインフレが生じます。インフレの問題を考慮すると、インフレギャップはインフレによって自然解消されるのを待つのではなく、様々な政策によって、経済に負担をかけずに意図的に解消することがマクロ経済政策の基本方針となります。具体的には、インフレギャップが存在する場合には以下の条件\begin{equation*}
Y^{\ast }>Y_{F}
\end{equation*}が成立するため、インフレギャップを解消するためには左辺の均衡国民所得\(Y^{\ast }\)を下落させて、それを完全雇用国民所得\(Y_{F}\)に一致させる必要があります。

短期における均衡国民所得は、\begin{equation*}
Y^{\ast }=\frac{1}{1-c_{1}}\left( c_{0}-c_{1}T+I+G\right)
\end{equation*}であるため、デフレギャップやインフレギャップを解消するためには右辺を構成するパラメータの値を変化させる必要があります。

これまでは政府支出\(G\)や投資\(I\)を変化させる政策について解説しましたが、以下では所得税\(T\)を変化させる政策について解説します。

減税を通じたデフレギャップの解消

デフレギャップが起きている状況を想定します。つまり、\begin{equation*}
Y^{\ast }<Y_{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{1}{1-c_{1}}\left( c_{0}-c_{1}T+I+G\right) <Y_{F}
\end{equation*}が成立するということです。所得税\(T\)の減少を通じて左辺を右辺と一致させるためには、\(T\)をどの程度増やす必要があるでしょうか。

短期における均衡国民所得は、\begin{equation*}
Y^{\ast }=\frac{1}{1-c_{1}}\left( c_{0}-c_{1}T+I+G\right)
\end{equation*}であるため、所得税を\(\Delta T<0\)だけ減税すると、新たな均衡国民所得が、\begin{eqnarray*}Y^{\ast \ast } &=&\frac{1}{1-c_{1}}\left[ c_{0}-c_{1}\left( T+\Delta
T\right) +I+G\right] \\
&=&\frac{1}{1-c_{1}}\left( c_{0}-c_{1}T-c_{1}\Delta T+I+G\right)
\end{eqnarray*}として定まります。両者を比較すると、\begin{eqnarray*}
\Delta Y &=&Y^{\ast \ast }-Y^{\ast } \\
&=&\frac{1}{1-c_{1}}\left( c_{0}-c_{1}T-c_{1}\Delta T+I+G\right) -\frac{1}{1-c_{1}}\left( c_{0}-c_{1}T+I+G\right) \\
&=&-\frac{c_{1}}{1-c_{1}}\Delta T \\
&>&0\quad \because \Delta T<0\text{かつ}0<c_{1}<1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\Delta Y=-\frac{c_{1}}{1-c_{1}}\Delta T>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。以上より、所得税が\(\Delta T\)だけ減ると均衡国民所得が\(\Delta Y=-\frac{c_{1}}{1-c_{1}}\Delta T\)だけ増えることが明らかになりました。

所得税を減らす状況を想定しているため、所得税\(T\)に対して、\begin{equation*}S=-T
\end{equation*}と定義した上で、均衡国民所得\(Y^{\ast }\)を\(S\)について偏微分すると、\begin{eqnarray*}\frac{\partial Y^{\ast }}{\partial S} &=&\frac{\partial }{\partial S}\left[
\frac{1}{1-c_{1}}\left( c_{0}+c_{1}S+I+G\right) \right] \\
&=&\frac{c_{1}}{1-c_{1}}
\end{eqnarray*}を得ます。以上の事実は、所得税\(T\)がどのような水準であったとしても、そこを出発点とした上で、その他を一定とした上で\(T\)だけを\(1\)単位減らした場合、均衡国民所得が\(\frac{c_{1}}{1-c_{1}}\)だけ増加することを意味します。そこで、この値に負の記号をつけることにより得られる、\begin{equation*}-\frac{c_{1}}{1-c_{1}}
\end{equation*}を租税乗数（income tax multiplier）と呼びます。

デフレギャップに話を戻します。所得税の減少分\(\Delta T\)と、それにともなう均衡国民所得の増分\(\Delta Y\)の間には以下の関係\begin{equation}\Delta Y=-\frac{c_{1}}{1-c_{1}}\Delta T \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。デフレギャップ\(Y^{\ast }<Y_{F}\)を解消するために増やす必要のある国民所得の水準は、\begin{equation*}\Delta Y=Y_{F}-Y^{\ast }
\end{equation*}であるため、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}Y_{F}-Y^{\ast }=-\frac{c_{1}}{1-c_{1}}\Delta T
\end{equation*}を得ます。これを\(\Delta T\)について解くことにより、デフレギャップを解消するために必要な減税の水準\begin{equation*}\Delta T=-\left( Y_{F}-Y^{\ast }\right) \frac{1-c_{1}}{c_{1}}<0
\end{equation*}が得られます。

増税を通じたインフレギャップの解消

インフレギャップについても同様の議論が成立します。具体的には以下の通りです。

インフレギャップが起きている状況を想定します。つまり、\begin{equation*}
Y^{\ast }>Y_{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{1}{1-c_{1}}\left( c_{0}-c_{1}T+I+G\right) >Y_{F}
\end{equation*}が成立するということです。所得税\(T\)の減少を通じて左辺を右辺と一致させるためには、\(T\)をどの程度増やす必要があるでしょうか。

短期における均衡国民所得は、\begin{equation*}
Y^{\ast }=\frac{1}{1-c_{1}}\left( c_{0}-c_{1}T+I+G\right)
\end{equation*}であるため、所得税を\(\Delta T>0\)だけ増税すると、新たな均衡国民所得が、\begin{eqnarray*}Y^{\ast \ast } &=&\frac{1}{1-c_{1}}\left[ c_{0}-c_{1}\left( T+\Delta
T\right) +I+G\right] \\
&=&\frac{1}{1-c_{1}}\left( c_{0}-c_{1}T-c_{1}\Delta T+I+G\right)
\end{eqnarray*}として定まります。両者を比較すると、\begin{eqnarray*}
\Delta Y &=&Y^{\ast \ast }-Y^{\ast } \\
&=&\frac{1}{1-c_{1}}\left( c_{0}-c_{1}T-c_{1}\Delta T+I+G\right) -\frac{1}{1-c_{1}}\left( c_{0}-c_{1}T+I+G\right) \\
&=&-\frac{c_{1}}{1-c_{1}}\Delta T \\
&<&0\quad \because \Delta T>0\text{かつ}0<c_{1}<1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\Delta Y=-\frac{c_{1}}{1-c_{1}}\Delta T<0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。以上より、所得税が\(\Delta T\)だけ増えると均衡国民所得が\(\Delta Y=-\frac{c_{1}}{1-c_{1}}\Delta T\)だけ減ることが明らかになりました。

均衡国民所得\(Y^{\ast }\)を所得税\(T\)について偏微分すると、\begin{eqnarray*}\frac{\partial Y^{\ast }}{\partial T} &=&\frac{\partial }{\partial T}\left[
\frac{1}{1-c_{1}}\left( c_{0}-c_{1}T+I+G\right) \right] \\
&=&-\frac{c_{1}}{1-c_{1}}
\end{eqnarray*}となり、租税乗数が得られます。これは定数であるため、租税乗数が\(-\frac{c_{1}}{1-c_{1}}\)であるという事実は、所得税\(T\)がどのような水準であったとしても、そこを出発点とした上で、その他を一定とした上で\(T\)だけを\(1\)単位増やした場合、均衡国民所得が\(-\frac{c_{1}}{1-c_{1}}\)だけ減少することを意味します。

インフレギャップに話を戻します。所得税の増加分\(\Delta T\)と、それにともなう均衡国民所得の減少分\(\Delta Y\)の間には以下の関係\begin{equation}\Delta Y=-\frac{c_{1}}{1-c_{1}}\Delta T \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。インフレギャップ\(Y^{\ast}>Y_{F}\)を解消するために減らす必要のある国民所得の水準は、\begin{equation*}\Delta Y=Y_{F}-Y^{\ast }<0
\end{equation*}であるため、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}Y_{F}-Y^{\ast }=-\frac{c_{1}}{1-c_{1}}\Delta T
\end{equation*}を得ます。これを\(\Delta T\)について解くことにより、インフレギャップを解消するために必要な増税の水準\begin{equation*}\Delta T=-\left( Y_{F}-Y^{\ast }\right) \frac{1-c_{1}}{c_{1}}>0
\end{equation*}が得られます。

定額税のもとでの租税乗数効果

減税の場合に話を戻します。減税前の均衡国民所得は、\begin{equation*}
Y^{\ast }=\frac{1}{1-c_{1}}\left( c_{0}-c_{1}T+I+G\right)
\end{equation*}である一方、所得税を\(\Delta T<0\)だけ減税した場合の新たな均衡国民所得が、\begin{equation*}Y^{\ast \ast }=\frac{1}{1-c_{1}}\left[ c_{0}-c_{1}\left( T+\Delta T\right)
+I+G\right] \end{equation*}であり、両者の差が、\begin{equation*}
\Delta Y=Y^{\ast \ast }-Y^{\ast }=-\frac{1-c_{1}}{c_{1}}\Delta T>0
\end{equation*}と定まります。以上のプロセスは以下のように分解可能です。ただし、所得税は定額税（lump-sum）であるものとします。つまり、所得税が\(\Delta T\)だけ減税される前後において、税金の徴収額の変化は\(\Delta T\)だけであるということです。

1. 所得税が\(\Delta T<0\)だけ減ると可処分所得が\(-\Delta T>0\)だけ増加する。そのうちの限界消費性向\(c_{1}\)の割合が新たな消費にまわるため総需要が\(-c_{1}\Delta T>0\)だけ増加する。短期では価格が硬直的であるため、増加した総需要\(-c_{1}\Delta T\)が生産を刺激し、企業が新たに付加価値\(-c_{1}\Delta T\)を生み出す。この増分を、\begin{equation*}\Delta Y_{1}=-c_{1}\Delta T>0\end{equation*}で表記する。
2. 付加価値は分配されるため国民所得も\(\Delta Y_{1}\)だけ増加する。投資\(I\)と政府支出\(G\)が一定であれば\(\Delta Y_{1}\)は消費\(C\)の増加に寄与する。所得税は定額税であるため、新たな所得\(\Delta Y_{1}\)には課税されないため可処分所得は\(\Delta Y_{1}\)であり、そのうちの限界消費性向\(c_{1}\)の割合が新たな消費にまわるため総需要が\(c_{1}\Delta Y_{1}>0\)だけ増加する。短期では価格が硬直的であるため、増加した総需要\(c_{1}\Delta Y_{1}\)が生産を刺激し、企業が新たに付加価値\(c_{1}\Delta Y_{1}\)を生み出す。この増分を、\begin{eqnarray*}\Delta Y_{2} &=&c_{1}\Delta Y_{1} \\&=&-c_{1}^{2}\Delta T\quad \because \Delta Y_{1}=-c_{1}\Delta T \\
   &>&0
   \end{eqnarray*}で表記する。
3. 付加価値は分配されるため国民所得も\(\Delta Y_{2}\)だけ増加する。投資\(I\)と政府支出\(G\)が一定であれば\(\Delta Y_{2}\)は消費\(C\)の増加に寄与する。所得税は定額税であるため、新たな所得\(\Delta Y_{2}\)には課税されないため可処分所得は\(\Delta Y_{2}\)であり、そのうちの限界消費性向\(c_{1}\)の割合が新たな消費にまわるため総需要が\(c_{1}\Delta Y_{2}>0\)だけ増加する。短期では価格が硬直的であるため、増加した総需要\(c_{1}\Delta Y_{2}\)が生産を刺激し、企業が新たに付加価値\(c_{1}\Delta Y_{2}\)を生み出す。この増分を、\begin{eqnarray*}\Delta Y_{3} &=&c_{1}\Delta Y_{2} \\&=&-c_{1}^{3}\Delta T\quad \because \Delta Y_{2}=-c_{1}^{2}\Delta T \\
   &>&0
   \end{eqnarray*}で表記する。
4. 同様のプロセスが繰り返される。一般に、第\(n\)ラウンドにおいて新たに生み出される付加価値は、\begin{equation*}\Delta Y_{n}=-c_{1}^{n}\Delta T>0\end{equation*}である。
5. 以上を踏まえると、当初の減税\(\Delta Y\)が生み出す付加価値の合計は、\begin{eqnarray*}\Delta Y &=&\Delta Y_{1}+\Delta Y_{2}+\Delta Y_{3}+\cdots +\Delta Y_{n}+\cdots \\
   &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\Delta Y_{n} \\
   &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\left( -c_{1}^{n}\Delta T\right) \quad \because
   \Delta Y_{n}=-c_{1}^{n}\Delta T \\
   &=&-\Delta T\sum_{n=1}^{+\infty }c_{1}^{n} \\
   &=&-\Delta T\lim_{N\rightarrow +\infty }\sum_{n=1}^{N}c_{1}^{n}\quad
   \because \text{無限級数の和の定義} \\
   &=&-\Delta T\lim_{N\rightarrow +\infty }\frac{c_{1}\left( 1-c_{1}^{N}\right)
   }{1-c_{1}}\quad \because \text{等比数列の和} \\
   &=&-\Delta T\frac{c_{1}\left( 1-0\right) }{1-c_{1}}\quad \because 0<c_{1}<1
   \\
   &=&-\frac{c_{1}}{1-c_{1}}\Delta T \\
   &>&0
   \end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
   \Delta Y=-\frac{c_{1}}{1-c_{1}}\Delta T>0
   \end{equation*}であり、先と同様の結果が得られた。

以上から明らかになったように、政府が所得税を\(\Delta T\)だけ減税すると、それが引き金となり限界消費性向\(c_{1}\)を通じた消費の増加が連鎖的に発生し、最終的には国民所得の増加\(\Delta Y\)が実現します。このような現象を租税乗数効果（income tax multiplier effect）と呼びます。短期では価格が硬直的であるため、減税がもたらす総需要の増加は生産量の増加として現れます。生産された付加価値は分配されて可処分所得として家計に渡り、再び支出されるため総需要が増加します。このような連鎖が乗数効果の核をなします。

定額税のもとでの租税逆乗数効果

増税の場合にも同様の議論が成立します。具体的には以下の通りです。

増税前の均衡国民所得は、\begin{equation*}
Y^{\ast }=\frac{1}{1-c_{1}}\left( c_{0}-c_{1}T+I+G\right)
\end{equation*}である一方、所得税を\(\Delta T>0\)だけ増税した場合の新たな均衡国民所得が、\begin{equation*}Y^{\ast \ast }=\frac{1}{1-c_{1}}\left[ c_{0}-c_{1}\left( T+\Delta T\right)
+I+G\right] \end{equation*}であり、両者の差が、\begin{equation*}
\Delta Y=Y^{\ast \ast }-Y^{\ast }=-\frac{1-c_{1}}{c_{1}}\Delta T<0
\end{equation*}と定まります。以上のプロセスは以下のように分解可能です。ただし、所得税は定額税であるものとします。つまり、所得税が\(\Delta T\)だけ増税される前後において、税金の徴収額の変化は\(\Delta T\)だけであることを意味します。

1. 所得税が\(\Delta T>0\)だけ増える可処分所得が\(-\Delta T<0\)だけ減少し、そのうちの限界消費性向\(c_{1}\)の割合に相当する\(-c_{1}\Delta T<0\)だけ総需要が減少する。短期では価格が硬直的であるため、減少した総需要\(-c_{1}\Delta T\)が生産を縮小させ、付加価値が\(-c_{1}\Delta T\)だけ減少する。この減少量を、\begin{equation*}\Delta Y_{1}=-c_{1}\Delta T<0\end{equation*}で表記する。
2. 付加価値が減少したため国民所得も\(\Delta Y_{1}\)だけ減少する。投資\(I\)と政府支出\(G\)が一定であれば\(\Delta Y_{1}\)は消費\(C\)の減少に寄与する。所得税は定額税であるため可処分所得は\(\Delta Y_{1}\)だけ減少し、そのうちの限界消費性向\(c_{1}\)の割合に相当する\(c_{1}\Delta Y_{1}<0\)だけ総需要が減少する。短期では価格が硬直的であるため、減少した総需要\(c_{1}\Delta Y_{1}\)が生産を縮小させ、付加価値が\(c_{1}\Delta Y_{1}\)だけ減少する。この減少量を、\begin{eqnarray*}\Delta Y_{2} &=&c_{1}\Delta Y_{1} \\&=&-c_{1}^{2}\Delta T\quad \because \Delta Y_{1}=-c_{1}\Delta T \\
   &<&0
   \end{eqnarray*}で表記する。
3. 付加価値が減少したため国民所得も\(\Delta Y_{2}\)だけ減少する。投資\(I\)と政府支出\(G\)が一定であれば\(\Delta Y_{2}\)は消費\(C\)の減少に寄与する。所得税は定額税であるため可処分所得は\(\Delta Y_{2}\)だけ減少し、そのうちの限界消費性向\(c_{1}\)の割合に相当する\(c_{1}\Delta Y_{2}<0\)だけ総需要が減少する。短期では価格が硬直的であるため、減少した総需要\(c_{1}\Delta Y_{2}\)が生産を縮小させ、付加価値が\(c_{1}\Delta Y_{2}\)だけ減少する。この減少量を、\begin{eqnarray*}\Delta Y_{3} &=&c_{1}\Delta Y_{2} \\&=&-c_{1}^{3}\Delta T\quad \because \Delta Y_{2}=-c_{1}^{2}\Delta T \\
   &<&0
   \end{eqnarray*}で表記する。
4. 同様のプロセスが繰り返される。一般に、第\(n\)ラウンドにおける付加価値の減少量は、\begin{equation*}\Delta Y_{n}=-c_{1}^{n}\Delta T<0\end{equation*}である。
5. 以上を踏まえると、当初の増税\(\Delta Y\)が生み出す付加価値の減少量の合計は、\begin{eqnarray*}\Delta Y &=&\Delta Y_{1}+\Delta Y_{2}+\Delta Y_{3}+\cdots +\Delta Y_{n}+\cdots \\
   &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\Delta Y_{n} \\
   &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\left( -c_{1}^{n}\Delta T\right) \quad \because
   \Delta Y_{n}=-c_{1}^{n}\Delta T \\
   &=&-\Delta T\sum_{n=1}^{+\infty }c_{1}^{n} \\
   &=&-\Delta T\lim_{N\rightarrow +\infty }\sum_{n=1}^{N}c_{1}^{n}\quad
   \because \text{無限級数の和の定義} \\
   &=&-\Delta T\lim_{N\rightarrow +\infty }\frac{c_{1}\left( 1-c_{1}^{N}\right)
   }{1-c_{1}}\quad \because \text{等比数列の和} \\
   &=&-\Delta T\frac{c_{1}\left( 1-0\right) }{1-c_{1}}\quad \because 0<c_{1}<1
   \\
   &=&-\frac{c_{1}}{1-c_{1}}\Delta T \\
   &<&0
   \end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
   \Delta Y=-\frac{c_{1}}{1-c_{1}}\Delta T<0
   \end{equation*}であり、先と同様の結果が得られた。

以上から明らかになったように、政府が所得税を\(\Delta T\)だけ増税すると、それが引き金となり限界消費性向\(c_{1}\)を通じた消費の減少が連鎖的に発生し、最終的には国民所得の減少\(\Delta Y\)が実現します。このような現象を租税逆乗数効果（income tax reverse multiplier effect）と呼びます。短期では価格が硬直的であるため、増税がもたらす総需要の減少は生産量の減少として現れます。生産された付加価値が減少すれば可処分所得も減少し、すると消費が減少するため総需要が減少します。このような連鎖が逆乗数効果の核をなします。

比例税のもとでの租税乗数効果

減税の場合に話を戻します。これまでは所得税\(T\)が定額税である状況を想定しました。つまり、国民所得\(Y\)が増減しても所得税\(T\)が定数である状況を想定したということです。では、所得税が定額税と比例税から構成される場合には、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ T_{0}\geq 0 \\
&&\left( b\right) \ 0\leq t<1
\end{eqnarray*}を満たす定額税額\(T_{0}\in \mathbb{R} \)および比例税率\(t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}T=T_{0}+tY
\end{equation*}と表現される場合の租税乗数はどうなるでしょうか。ただし、ここでは税率\(t\)を下げるのではなく、定額分\(T_{0}\)を下げる状況を想定します。税率\(t\)を下げる状況については後ほど分析します。

この場合の総供給関数と総需要関数は、\begin{eqnarray*}
AS\left( Y\right) &=&Y \\
AD\left( Y\right) &=&c_{0}+c_{1}\left[ Y-\left( T_{0}+tY\right) \right] +I+G
\end{eqnarray*}であるため、短期における財市場均衡条件\begin{equation*}
AS\left( Y\right) =AD\left( Y\right)
\end{equation*}を満たす\(Y\)の水準、すなわち均衡国民所得は、\begin{equation*}Y^{\ast }=\frac{1}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\left(
c_{0}-c_{1}T_{0}+I+G\right)
\end{equation*}となります。所得税の定額分を\(\Delta T_{0}<0\)だけ減らすと、新たな均衡国民所得が、\begin{equation*}Y^{\ast \ast }=\frac{1}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\left[ c_{0}-c_{1}\left(
T_{0}+\Delta T_{0}\right) +I+\Delta I+G\right] \end{equation*}と定まります。両者を比較すると、\begin{eqnarray*}
\Delta Y &=&Y^{\ast \ast }-Y^{\ast } \\
&=&\frac{1}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\left[ c_{0}-c_{1}\left( T_{0}+\Delta
T_{0}\right) +I+\Delta I+G\right] -\frac{1}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\left(
c_{0}-c_{1}T_{0}+I+G\right) \\
&=&-\frac{c_{1}}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\Delta T_{0} \\
&>&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\Delta Y=-\frac{c_{1}}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\Delta T_{0}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。以上より、所得税が定額税と比例税から構成される場合の租税乗数は、\begin{equation*}
-\frac{c_{1}}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }
\end{equation*}であることが明らかになりました。乗数効果の波及プロセスは以下の通りです。

1. 所得税が\(\Delta T_{0}<0\)だけ減ると可処分所得が\(-\Delta T_{0}>0\)だけ増加する。そのうちの限界消費性向\(c_{1}\)の割合が新たな消費にまわるため総需要が\(-c_{1}\Delta T_{0}>0\)だけ増加する。短期では価格が硬直的であるため、増加した総需要\(-c_{1}\Delta T_{0}\)が生産を刺激し、企業が新たに付加価値\(-c_{1}\Delta T_{0}\)を生み出す。この増分を、\begin{equation*}\Delta Y_{1}=-c_{1}\Delta T_{0}>0\end{equation*}で表記する。
2. 付加価値は分配されるため国民所得も\(\Delta Y_{1}\)だけ増加する。投資\(I\)と政府支出\(G\)が一定であれば\(\Delta Y_{1}\)は消費\(C\)の増加に寄与する。所得税は\(t\Delta Y_{1}\)であるため可処分所得は\(\Delta Y_{1}-t\Delta Y_{1}=\left( 1-t\right) \Delta Y_{1}\)であり、そのうちの限界消費性向\(c_{1}\)の割合が新たな消費にまわるため総需要が\(c_{1}\left( 1-t\right)\Delta Y_{1}>0\)だけ増加する。短期では価格が硬直的であるため、増加した総需要\(c_{1}\left( 1-t\right) \Delta Y_{1}\)が生産を刺激し、企業が新たに付加価値\(c_{1}\left( 1-t\right) \Delta Y_{1}\)を生み出す。この増分を、\begin{eqnarray*}\Delta Y_{2} &=&c_{1}\left( 1-t\right) \Delta Y_{1} \\&=&-c_{1}^{2}\left( 1-t\right) \Delta T_{0}\quad \because \Delta
   Y_{1}=-c_{1}\Delta T_{0} \\
   &>&0
   \end{eqnarray*}で表記する。
3. 付加価値は分配されるため国民所得も\(\Delta Y_{2}\)だけ増加する。投資\(I\)と政府支出\(G\)が一定であれば\(\Delta Y_{2}\)は消費\(C\)の増加に寄与する。所得税は\(t\Delta Y_{2}\)であるため可処分所得は\(\Delta Y_{2}-t\Delta Y_{2}=\left( 1-t\right) \Delta Y_{2}\)であり、そのうちの限界消費性向\(c_{1}\)の割合が新たな消費にまわるため総需要が\(c_{1}\left( 1-t\right)\Delta Y_{2}>0\)だけ増加する。短期では価格が硬直的であるため、増加した総需要\(c_{1}\left( 1-t\right) \Delta Y_{2}\)が生産を刺激し、企業が新たに付加価値\(c_{1}\left( 1-t\right) \Delta Y_{2}\)を生み出す。この増分を、\begin{eqnarray*}\Delta Y_{3} &=&c_{1}\left( 1-t\right) \Delta Y_{2} \\&=&-c_{1}^{3}\left( 1-t\right) ^{2}\Delta T_{0}\quad \because \Delta
   Y_{2}=-c_{1}^{2}\left( 1-t\right) \Delta T_{0} \\
   &>&0
   \end{eqnarray*}で表記する。
4. 同様のプロセスが繰り返される。一般に、第\(n\)ラウンドにおいて新たに生み出される付加価値は、\begin{equation*}\Delta Y_{n}=-c_{1}^{n}\left( 1-t\right) ^{n-1}\Delta T_{0}>0\end{equation*}である。
5. 以上を踏まえると、当初の減税\(\Delta T_{0}\)が生み出す付加価値の合計は、\begin{eqnarray*}\Delta Y &=&\Delta Y_{1}+\Delta Y_{2}+\Delta Y_{3}+\cdots +\Delta Y_{n}+\cdots \\
   &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\Delta Y_{n} \\
   &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\left[ -c_{1}^{n}\left( 1-t\right) ^{n-1}\Delta T_{0}\right] \quad \because \Delta Y_{n}=-c_{1}^{n}\left( 1-t\right) ^{n-1}\Delta
   T_{0} \\
   &=&-\Delta T_{0}\sum_{n=1}^{+\infty }c_{1}^{n}\left( 1-t\right) ^{n-1} \\
   &=&-\Delta T_{0}\sum_{n=1}^{+\infty }c_{1}\left[ c_{1}\left( 1-t\right) \right] ^{n-1} \\
   &=&-\Delta T_{0}\lim_{N\rightarrow +\infty }\sum_{n=1}^{N}c_{1}\left[
   c_{1}\left( 1-t\right) \right] ^{n-1}\quad \because \text{無限級数の和の定義} \\
   &=&-\Delta T_{0}\lim_{N\rightarrow +\infty }\frac{c_{1}\left\{ 1-\left[
   c_{1}\left( 1-t\right) \right] ^{N}\right\} }{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\quad \because \text{等比数列の和} \\
   &=&-\Delta T_{0}\frac{c_{1}\left( 1-0\right) }{1-c_{1}\left( 1-t\right) } \\
   &=&-\frac{c_{1}}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\Delta T_{0} \\
   &>&0
   \end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
   \Delta Y=-\frac{c_{1}}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\Delta T_{0}>0
   \end{equation*}であり、先と同様の結果が得られた。

所得税の減税額\(\Delta T_{0}<0\)と、それにともなう均衡国民所得の増分\(\Delta Y>0\)の間には以下の関係\begin{equation}\Delta Y=-\frac{c_{1}}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\Delta T_{0}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。デフレギャップ\(Y^{\ast }<Y_{F}\)を解消するために増やす必要のある国民所得の水準は、\begin{equation*}\Delta Y=Y_{F}-Y^{\ast }>0
\end{equation*}であるため、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}Y_{F}-Y^{\ast }=-\frac{c_{1}}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\Delta T_{0}
\end{equation*}を得ます。これを\(\Delta T_{0}\)について解くことにより、デフレギャップを解消するために必要な減税の水準\begin{equation*}\Delta T_{0}=-\left( Y_{F}-Y^{\ast }\right) \frac{1-c_{1}\left( 1-t\right) }{c_{1}}<0
\end{equation*}が得られます。

所得税が定額税である場合の租税乗数が、\begin{equation*}
-\frac{c_{1}}{1-c_{1}}
\end{equation*}である一方で、所得税の中に比例税部分が存在する場合の租税乗数が、\begin{equation*}
-\frac{c_{1}}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }
\end{equation*}であることが明らかになりました。両者の大きさを比較すると、\begin{equation*}
\left\vert -\frac{c_{1}}{1-c_{1}}\right\vert >\left\vert -\frac{c_{1}}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\right\vert
\end{equation*}が成立します。つまり、比例税が存在する場合には租税乗数が小さくなります。実際、比例税が存在する場合、波及プロセスの各ステップにおいて増加した所得にも課税されるため可処分所得が小さくなるため、乗数の値が小さくなります。

定額税のもとでは減税の乗数効果が最大化されるため、減税がもたらす短期的な景気刺激力は強力です。ただし、景気変動も増幅されやすいため、経済を安定させるという面では課題が残ります。一方、比例税のもとでは減税の乗数効果が抑えられます。さらに、景気過熱時には税収が増え、景気後退時には税収が得るというメカニズムが働くため、景気の振幅を小さくできます。このような事情を踏まえた上で、比例税には自動安定化装置（automatic stabilizer）としての機能があると言われます。

比例税のもとでの租税逆乗数効果

増税の場合にも同様の議論が成立します。具体的には以下の通りです。

所得税が定額税と比例税から構成される場合の総供給関数と総需要関数は、\begin{eqnarray*}
AS\left( Y\right) &=&Y \\
AD\left( Y\right) &=&c_{0}+c_{1}\left[ Y-\left( T_{0}+tY\right) \right] +I+G
\end{eqnarray*}であるため、短期における財市場均衡条件\begin{equation*}
AS\left( Y\right) =AD\left( Y\right)
\end{equation*}を満たす\(Y\)の水準、すなわち均衡国民所得は、\begin{equation*}Y^{\ast }=\frac{1}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\left(
c_{0}-c_{1}T_{0}+I+G\right)
\end{equation*}となります。所得税の定額分を\(\Delta T_{0}>0\)だけ増やすと、新たな均衡国民所得が、\begin{equation*}Y^{\ast \ast }=\frac{1}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\left[ c_{0}-c_{1}\left(
T_{0}+\Delta T_{0}\right) +I+\Delta I+G\right] \end{equation*}と定まります。両者を比較すると、\begin{eqnarray*}
\Delta Y &=&Y^{\ast \ast }-Y^{\ast } \\
&=&\frac{1}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\left[ c_{0}-c_{1}\left( T_{0}+\Delta
T_{0}\right) +I+\Delta I+G\right] -\frac{1}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\left(
c_{0}-c_{1}T_{0}+I+G\right) \\
&=&-\frac{c_{1}}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\Delta T_{0} \\
&<&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\Delta Y=-\frac{c_{1}}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\Delta T_{0}<0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。以上より、所得税が定額税と比例税から構成される場合の租税乗数は、\begin{equation*}
-\frac{c_{1}}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }
\end{equation*}であることが明らかになりました。乗数効果の波及プロセスは以下の通りです。

1. 所得税が\(\Delta T_{0}>0\)だけ増えると可処分所得が\(-\Delta T_{0}<0\)だけ減少するが、さらにこれは消費および総需要が\(-c_{1}\Delta T_{0}<0\)だけ減少することを意味する。短期では価格が硬直的であるため、減少した総需要\(-c_{1}\Delta T_{0}\)が生産を縮小させ、付加価値が\(-c_{1}\Delta T_{0}\)だけ減少する。この減少量を、\begin{equation*}\Delta Y_{1}=-c_{1}\Delta T_{0}>0\end{equation*}で表記する。
2. 付加価値が減少したため国民所得も\(\Delta Y_{1}\)だけ減少する。投資\(I\)と政府支出\(G\)が一定であれば\(\Delta Y_{1}\)は消費\(C\)の減少に寄与する。所得が\(\Delta Y_{1}\)だけ減ることが可処分所得が\(\Delta Y_{1}-t\Delta Y_{1}=\left( 1-t\right) \Delta Y_{1}\)だけ減ることを意味し、さらにこれは消費および総需要が\(c_{1}\left( 1-t\right) \Delta Y_{1}<0\)だけ減ることを意味する。短期では価格が硬直的であるため、減少した総需要\(c_{1}\left( 1-t\right) \Delta Y_{1}\)が生産を縮小させ、付加価値が\(c_{1}\left( 1-t\right) \Delta Y_{1}\)だけ減少する。この減少量を、\begin{eqnarray*}\Delta Y_{2} &=&c_{1}\left( 1-t\right) \Delta Y_{1} \\&=&-c_{1}^{2}\left( 1-t\right) \Delta T_{0}\quad \because \Delta
   Y_{1}=-c_{1}\Delta T_{0} \\
   &<&0
   \end{eqnarray*}で表記する。
3. 付加価値が減少したため国民所得も\(\Delta Y_{2}\)だけ減少する。投資\(I\)と政府支出\(G\)が一定であれば\(\Delta Y_{2}\)は消費\(C\)の減少に寄与する。所得が\(\Delta Y_{2}\)だけ減ることが可処分所得が\(\Delta Y_{2}-t\Delta Y_{2}=\left( 1-t\right) \Delta Y_{2}\)だけ減ることを意味し、さらにこれは消費および総需要が\(c_{1}\left( 1-t\right) \Delta Y_{2}<0\)だけ減ることを意味する。短期では価格が硬直的であるため、減少した総需要\(c_{1}\left( 1-t\right) \Delta Y_{2}\)が生産を縮小させ、付加価値が\(c_{1}\left( 1-t\right) \Delta Y_{2}\)だけ減少する。この減少量を、\begin{eqnarray*}\Delta Y_{3} &=&c_{1}\left( 1-t\right) \Delta Y_{2} \\&=&-c_{1}^{3}\left( 1-t\right) ^{2}\Delta T_{0}\quad \because \Delta
   Y_{2}=-c_{1}^{2}\left( 1-t\right) \Delta T_{0} \\
   &<&0
   \end{eqnarray*}で表記する。
4. 同様のプロセスが繰り返される。一般に、第\(n\)ラウンドにおける付加価値の減少量は、\begin{equation*}\Delta Y_{n}=-c_{1}^{n}\left( 1-t\right) ^{n-1}\Delta T_{0}<0\end{equation*}である。
5. 以上を踏まえると、当初の増税\(\Delta T_{0}\)がもたらす付加価値の減少量の合計は、\begin{eqnarray*}\Delta Y &=&\Delta Y_{1}+\Delta Y_{2}+\Delta Y_{3}+\cdots +\Delta Y_{n}+\cdots \\
   &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\Delta Y_{n} \\
   &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\left[ -c_{1}^{n}\left( 1-t\right) ^{n-1}\Delta T_{0}\right] \quad \because \Delta Y_{n}=-c_{1}^{n}\left( 1-t\right) ^{n-1}\Delta
   T_{0} \\
   &=&-\Delta T_{0}\sum_{n=1}^{+\infty }c_{1}^{n}\left( 1-t\right) ^{n-1} \\
   &=&-\Delta T_{0}\sum_{n=1}^{+\infty }c_{1}\left[ c_{1}\left( 1-t\right) \right] ^{n-1} \\
   &=&-\Delta T_{0}\lim_{N\rightarrow +\infty }\sum_{n=1}^{N}c_{1}\left[
   c_{1}\left( 1-t\right) \right] ^{n-1}\quad \because \text{無限級数の和の定義} \\
   &=&-\Delta T_{0}\lim_{N\rightarrow +\infty }\frac{c_{1}\left\{ 1-\left[
   c_{1}\left( 1-t\right) \right] ^{N}\right\} }{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\quad \because \text{等比数列の和} \\
   &=&-\Delta T_{0}\frac{c_{1}\left( 1-0\right) }{1-c_{1}\left( 1-t\right) } \\
   &=&-\frac{c_{1}}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\Delta T_{0} \\
   &<&0
   \end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
   \Delta Y=-\frac{c_{1}}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\Delta T_{0}<0
   \end{equation*}であり、先と同様の結果が得られた。

所得税の増税額\(\Delta T_{0}>0\)と、それにともなう均衡国民所得の減少分\(\Delta Y<0\)の間には以下の関係\begin{equation}\Delta Y=-\frac{c_{1}}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\Delta T_{0}<0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。インフレギャップ\(Y^{\ast}<Y_{F}\)を解消するために減らす必要のある国民所得の水準は、\begin{equation*}\Delta Y=Y_{F}-Y^{\ast }<0
\end{equation*}であるため、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}Y_{F}-Y^{\ast }=-\frac{c_{1}}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\Delta T_{0}
\end{equation*}を得ます。これを\(\Delta T_{0}\)について解くことにより、インフレギャップを解消するために必要な増税の水準\begin{equation*}\Delta T_{0}=-\left( Y_{F}-Y^{\ast }\right) \frac{1-c_{1}\left( 1-t\right) }{c_{1}}>0
\end{equation*}が得られます。

所得税が定額税である場合の租税乗数が、\begin{equation*}
-\frac{c_{1}}{1-c_{1}}
\end{equation*}である一方で、所得税の中に比例税部分が存在する場合の租税乗数が、\begin{equation*}
-\frac{c_{1}}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }
\end{equation*}であることが明らかになりました。両者の大きさを比較すると、\begin{equation*}
\left\vert -\frac{c_{1}}{1-c_{1}}\right\vert >\left\vert -\frac{c_{1}}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\right\vert
\end{equation*}が成立します。つまり、比例税が存在する場合には租税乗数が小さくなります。実際、比例税が存在する場合、波及プロセスの各ステップにおいて可処分所得の現象がマイルドになるため、乗数の値が小さくなります。

定額税のもとでは増税の乗数効果が最大化されるため、増税がもたらす短期的な景気刺激力は強力です。ただし、景気変動も増幅されやすいため、経済を安定させるという面では課題が残ります。一方、比例税のもとでは増税の逆乗数効果が抑えられます。さらに、景気過熱時には税収が増え、景気後退時には税収が得るというメカニズムが働くため、景気の振幅を小さくできます。比例税には自動安定化装置としての機能があります。

政府乗数や投資乗数と租税乗数の比較

所得税が定額税である状況を想定した場合、政府支出乗数や投資乗数が、\begin{equation*}
\frac{1}{1-c_{1}}
\end{equation*}である一方で、租税乗数は、\begin{equation*}
-\frac{c_{1}}{1-c_{1}}
\end{equation*}であることが明らかになりました。\(0<c_{1}<1\)ゆえに、\begin{equation*}\left\vert \frac{1}{1-c_{1}}\right\vert >\left\vert \frac{c_{1}}{1-c_{1}}\right\vert
\end{equation*}を得ます。つまり、政府支出乗数効果や投資乗数効果は租税乗数効果よりも大きいということです。言い換えると、政府支出\(G\)を\(1\)単位変化させたり、投資乗数\(I\)を\(1\)単位させた場合の国民所得\(Y\)の変化量は、租税\(T\)を\(1\)単位変化させた場合の国民所得\(Y\)の変化量よりも大きいということです。なぜでしょうか。

政府支出乗数の波及プロセスについて振り返ります。政府支出が\(\Delta G=1\)だけ増えると総需要も\(1\)だけ増え、それに応じて企業が付加価値を\(1\)を生み出すため、プロセス中の第1ステップにおいて生み出される国民所得は、\begin{equation*}\Delta Y_{1}=1
\end{equation*}です。以降のステップにおいて生み出される国民所得は、\begin{eqnarray*}
\Delta Y_{2} &=&c_{1}\Delta Y_{1}=c_{1} \\
\Delta Y_{3} &=&c_{1}\Delta Y_{2}=c_{1}^{2} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}であるため、付加価値の増加量の合計は、\begin{equation*}
\Delta Y=1+c_{1}+c_{1}^{2}+\cdots
\end{equation*}となります。投資乗数の場合にも同様です。

続いて、租税乗数の波及プロセスについて振り返ります。所得税が\(\Delta T=-1\)だけ減税されると可処分所得が\(1\)だけ増加しますが、そのうちの限界消費性向\(c_{1}\)の割合が新たな消費にまわるため総需要が\(c_{1}\)だけ増えます。それに応じて企業が付加価値を\(c_{1}\)を生み出すため、プロセス中の第1ステップにおいて生み出される国民所得は、\begin{equation*}\Delta Y_{1}=c_{1}
\end{equation*}です。以降のステップにおいて生み出される国民所得は、\begin{eqnarray*}
\Delta Y_{2} &=&c_{1}\Delta Y_{1}=c_{1}^{2} \\
\Delta Y_{3} &=&c_{1}\Delta Y_{2}=c_{1}^{3} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}であるため、付加価値の増加量の合計は、\begin{equation*}
\Delta Y=c_{1}+c_{1}^{2}+c_{1}^{3}+\cdots
\end{equation*}となります。

つまり、政府支出乗数効果の場合には、初期の政府支出\(\Delta G=1\)がそのまますべて波及プロセスの第1ステップにおいて国民所得の増加分としてカウントされます（\(Y_{1}=1\)）。一方、租税乗数効果の場合には、初期の減税\(\Delta T=-1\)によって増加した可処分所得\(1\)がそのまますべて波及プロセスの第1ステップにおいて国民所得の増加分としてカウントされず、その中の\(c_{1}\)だけが増加分としてカウントされ（\(Y_{1}=c_{1}\)）、残りの\(1-c_{1}\)は貯蓄として漏出してしまいます。以降のステップにおける波及プロセスは同一であるため、結局、第1ステップの違いが乗数の違いとしてそのまま反映されることになります。

所得税に比例税部分が存在する場合にも同様の議論が成立します。

税率を変更する場合の租税乗数効果と租税逆乗数効果

減税の場合に話を戻します。これまでは所得税の定額部分を減税ないし増税する状況を想定しました。では、所得税が比例税であるとともに、税率を下げる形で減税が行われた場合の乗数はどうなるでしょうか。つまり、以下の条件\begin{equation*}
0\leq t<1
\end{equation*}を満たす比例税率\(t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}T=tY
\end{equation*}と表現されるとともに、税率\(t\)を引き下げた場合の乗数効果について考えるということです。

税率を変更する前の総供給関数と総需要関数は、\begin{eqnarray*}
AS\left( Y\right) &=&Y \\
AD\left( Y\right) &=&c_{0}+c_{1}\left( Y-tY\right) +I+G
\end{eqnarray*}であるため、短期における財市場均衡条件\begin{equation*}
AS\left( Y\right) =AD\left( Y\right)
\end{equation*}を満たす\(Y\)の水準、すなわち均衡国民所得は、\begin{equation}Y^{\ast }=\frac{1}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\left( c_{0}+I+G\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}となります。

均衡国民所得\(Y^{\ast }\)を税率\(t\)について偏微分すると、\begin{eqnarray*}\frac{\partial Y^{\ast }}{\partial t} &=&\frac{\partial }{\partial t}\left[
\frac{1}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\left( c_{0}+I+G\right) \right] \\
&=&\left( c_{0}+I+G\right) \frac{\partial }{\partial t}\frac{1}{1-c_{1}\left( 1-t\right) } \\
&=&\left( c_{0}+I+G\right) \frac{-c_{1}}{\left[ 1-c_{1}\left( 1-t\right) \right] ^{2}} \\
&=&-\frac{c_{1}}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\frac{\left( c_{0}+I+G\right) }{1-c_{1}\left( 1-t\right) } \\
&=&-\frac{c_{1}}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }Y^{\ast }\quad \because \left(
1\right) \\
&=&-\frac{c_{1}Y^{\ast }}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }
\end{eqnarray*}を得るため、税率を変更する場合の乗数が、\begin{equation*}
-\frac{c_{1}Y^{\ast }}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }<0
\end{equation*}であることが明らかになりました。また、偏微分の定義より、十分小さい減税量\(\Delta t<0\)のもとでは、以下の近似関係\begin{equation*}\Delta Y\approx -\frac{c_{1}Y^{\ast }}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\cdot
\Delta t
\end{equation*}が成り立ちます。右辺中の\(-\frac{c_{1}Y^{\ast }}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\)と\(\Delta t\)はともに負であるため、それらの積は正であり、ゆえに\(\Delta Y>0\)です。つまり、税率を下げると国民所得が増加します。

税率\(t\)を引き上げる場合の逆乗数効果についても同様の議論により、\begin{equation*}\Delta Y\approx -\frac{c_{1}Y^{\ast }}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\cdot
\Delta t
\end{equation*}が導かれます。増税の場合、右辺中の\(-\frac{c_{1}Y^{\ast }}{1-c_{1}\left( 1-t\right) }\)は負である一方で\(\Delta t\)は正であるため、それらの積は負であり、ゆえに\(\Delta Y<0\)です。つまり、税率を上げると国民所得が減少します。

以上の議論より、税率を変更する場合の租税乗数は、\begin{equation}
-\frac{c_{1}Y^{\ast }}{1-c_{1}\left( 1-t\right) } \quad \cdots (1)
\end{equation}であることが明らかになりました。所得税の定額部分を変動させる場合の租税乗数は定数である一方で、税率を変更する場合の租税乗数\(\left( 1\right) \)は均衡国民所得\(Y^{\ast }\)を含むため定数ではありません。以上の事実は、税率変更政策の効き目が経済状態によって変動することを意味します。つまり、景気が良い（\(Y^{\ast }\)が大きい）ほど乗数は大きくなり、景気が悪い（\(Y^{\ast }\)が小さい）ほど乗数は小さいということです。このため、財政当局は、税率変更を行う際に、現在の均衡国民所得\(Y^{\ast }\)の水準を正確に把握しなければ、乗数効果を予測することができません。つまり、税率の変更は、他の乗数に比べてより精緻な経済分析を必要とする政策です。

演習問題