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非分割財の交換経済におけるコア選択メカニズム

目次

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狭義コア

非分割財の交換経済において状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選びます。このとき、配分\(a_{I}\in A\)に対して、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}^{\prime }=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in I\backslash T:a_{i}^{\prime }=a_{i} \\
&&\left( c\right) \ \forall i\in T:a_{I}^{\prime }\ \succsim _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I} \\
&&\left( d\right) \ \exists i\in T:a_{I}^{\prime }\ \succ _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I}
\end{eqnarray*}をすべて満たす配分\(a_{I}^{\prime }\in A\)とエージェント集合\(T\subset I\)が存在する場合、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}^{\prime }\)\(T\)によって\(a_{I}^{\prime }\)を通じて広義にブロックされる(\(a_{I}\) is weakly blocked by \(T\) via \(a_{I}^{\prime }\) at \(\succsim _{I}\))と言います。

エージェント集合の部分集合\(T\subset I\)を提携(coalition)と呼びます。条件\(\left( a\right) \)は、提携\(T\)に属するそれぞれのエージェント\(i\)が配分\(a_{I}^{\prime }\)において入手する商品\(a_{i}^{\prime }\)は、同じ提携\(T\)に属するエージェントが初期所有する商品であることを意味します。条件\(\left(b\right) \)は、提携\(T\)に属さないそれぞれのエージェントが2つの配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\)において同じ商品をえるということです。したがって、\(\left( a\right) \)と\(\left( b\right) \)がともに成り立つこととは、エージェントたちが配分\(a_{I}\)に直面したときに、提携\(T\)に属するエージェントたちが提携の内部で商品を交換すれば\(a_{I}^{\prime }\)を実現できることを意味します。条件\(\left( c\right) \)は、提携\(T\)に属するすべてのエージェントにとって\(a_{I}^{\prime }\)が\(a_{I}\)以上に望ましいことを意味し、条件\(\left( d\right) \)は、提携\(T\)に属する少なくとも1人のエージェントにとって\(a_{I}^{\prime }\)が\(a_{I}\)よりも望ましいことを意味します。以上を踏まえると、\(\succsim_{I}\)において\(a_{I}^{\prime }\)は\(T\)によって\(a_{I}^{\prime }\)を通じて広義にブロックされることとは、エージェントたちが\(a_{I}\)に直面した場合に、提携\(T\)に属するエージェントたちが提携の内部で商品を交換して\(a_{I}^{\prime }\)へ移行することにより、提携の内部で広義にパレート改善可能であることを意味します。したがって、エージェントたちに配分\(a_{I}\)が提示された場合、提携\(T\)に属するエージェントたちがそれを受け入れる道理がありません。このような意味において、何らかの提携によって広義ブロックされる配分は望ましくありません。

例(私的価値モデルの場合)
非分割財の交換経済の私的価値モデルでは、任意のエージェント\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、状態\(\succsim _{I}\)において配分\(a_{I}\)が提携\(T\)によって配分\(a_{I}^{\prime }\)を通じて広義にブロックされることとは、配分\(a_{I}\)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}^{\prime }=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{i}^{\prime }\succsim _{i}a_{i} \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:a_{i}^{\prime }\succ _{i}a_{i}
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\)と配分\(a_{I}^{\prime }\)の組が存在することとして表現されます。

状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)において、配分\(a_{I}\in A\)がいかなる提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I}^{\prime}\in A\)の組によっても広義にブロックされない場合には、すなわち、配分\(a_{I}\)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}^{\prime }=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in I\backslash T:a_{i}^{\prime }=a_{i} \\
&&\left( c\right) \ \forall i\in T:a_{I}^{\prime }\ \succsim _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I} \\
&&\left( d\right) \ \exists i\in T:a_{I}^{\prime }\ \succ _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I}
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\)と配分\(a_{I}^{\prime }\)が存在しない場合、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)は狭義コア(strict core)であると言います。狭義コアな配分は状態\(\succsim _{I}\)に依存して変化します。つまり、ある状態\(\succsim _{I}\)において狭義コアであるような配分が別の状態\(\succsim _{I}^{\prime }\)においても狭義コアであるとは限りません。

状態\(\succsim _{I}\)において配分\(a_{I}\)が狭義コアであるものとします。これに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}^{\prime }=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in I\backslash T:a_{i}^{\prime }=a_{i} \\
&&\left( c\right) \ \exists j\in T:a_{I}^{\prime }\ \succ _{j}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I}
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\)および配分\(a_{I}^{\prime }\)をそれぞれ任意に選びます。つまり、提携\(T\)のエージェントたちは内部で商品を交換することにより\(a_{I}\)から\(a_{I}^{\prime }\)へ移行でき、なおかつ、そのような移行により提携\(T\)に属する少なくとも1人のエージェント\(j\)の満足度が高まるということです。さて、狭義コアの定義より\(a_{I}\)は\(T\)によって\(a_{I}^{\prime }\)を通じて広義にブロックされないため、\begin{equation*}\forall i\in T:a_{I}^{\prime }\ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ a_{I}
\end{equation*}は成り立たず、したがって、\begin{equation*}
\exists i\in T:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \
a_{I}^{\prime }
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、狭義コアな配分\(a_{I}\)を出発点に、提携\(T\)に属するあるエージェント\(j\)の満足度を高める形で別の配分\(a_{I}^{\prime }\)へ移行しようとすると、提携\(T\)に属する少なくとも1人のエージェントの満足度が低くなってしまいます。狭義コアな配分が与えられたとき、すべての提携について、その内部で広義パレート改善を実現するのは不可能であるため、狭義コアな配分は目指すべき目標になり得ます。

例(私的価値モデルの場合)
非分割財の交換経済の私的価値モデルでは、任意のエージェント\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、状態\(\succsim _{I}\)において配分\(a_{I}\)が狭義コアであることとは、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}^{\prime }=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{i}^{\prime }\succsim _{i}a_{i} \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:a_{i}^{\prime }\succ _{i}a_{i}
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\)と配分\(a_{I}^{\prime }\)の組が存在しないこととして表現されます。
例(狭義コア)
非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいて、エージェント集合が\(I=\left\{ 1,2,3\right\} \)であるとき、商品集合は\(H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3}\right\} \)となります。ただし、\(h_{i}\)はエージェント\(i\)が初期保有する商品です。エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim _{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{1} \\
h_{1} &\succ &_{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{2} &\succ &_{3}h_{3}\succ _{3}h_{1}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。以下の配分\begin{equation*}
a_{I}=\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) =\left( h_{3},h_{1},h_{2}\right)
\end{equation*}において全員が自身にとって最も望ましい商品を得ているため、\(a_{I}\)は\(\succsim _{I}\)において明らかに狭義コアです。

 

広義コア

非分割財の交換経済において状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選びます。このとき、配分\(a_{I}\in A\)に対して、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}^{\prime }=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in I\backslash T:a_{i}^{\prime }=a_{i} \\
&&\left( c\right) \ \forall i\in T:a_{I}^{\prime }\ \succ _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I}
\end{eqnarray*}をすべて満たす配分\(a_{I}^{\prime }\in A\)とエージェント集合\(T\subset I\)が存在する場合、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}^{\prime }\)\(T\)によって\(a_{I}^{\prime }\)を通じて狭義にブロックされる(\(a_{I}\) is strictly blocked by \(T\) via \(a_{I}^{\prime }\) at \(\succsim _{I}\))と言います。

先と同様、\(\left( a\right) \)と\(\left(b\right) \)がともに成り立つこととは、エージェントたちが配分\(a_{I}\)に直面したときに、提携\(T\)に属するエージェントたちが提携の内部で商品を交換すれば\(a_{I}^{\prime }\)を実現できることを意味します。条件\(\left( c\right) \)は、提携\(T\)に属するすべてのエージェントにとって\(a_{I}^{\prime }\)が\(a_{I}\)よりも望ましいことを意味します。以上を踏まえると、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}^{\prime }\)は\(T\)によって\(a_{I}^{\prime }\)を通じて狭義にブロックされることとは、エージェントたちが\(a_{I}\)に直面した場合に、提携\(T\)に属するエージェントたちが提携の内部で商品を交換して\(a_{I}^{\prime }\)へ移行することにより、提携の内部で狭義にパレート改善可能であることを意味します。したがって、エージェントたちに配分\(a_{I}\)が提示された場合、提携\(T\)に属するエージェントたちがそれを受け入れる道理がありません。このような意味において、何らかの提携によって狭義ブロックされる配分は望ましくありません。

例(私的価値モデルの場合)
非分割財の交換経済の私的価値モデルでは、任意のエージェント\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、状態\(\succsim _{I}\)において配分\(a_{I}\)が提携\(T\)によって配分\(a_{I}^{\prime }\)を通じて狭義にブロックされることとは、配分\(a_{I}\)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}^{\prime }=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{i}^{\prime }\succ _{i}a_{i}
\end{eqnarray*}をともに満たす提携\(T\)と配分\(a_{I}^{\prime }\)の組が存在することとして表現されます。

状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)において、配分\(a_{I}\in A\)がいかなる提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I}^{\prime}\in A\)の組によっても狭義にブロックされない場合には、すなわち、配分\(a_{I}\)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}^{\prime }=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in I\backslash T:a_{i}^{\prime }=a_{i} \\
&&\left( c\right) \ \forall i\in T:a_{I}^{\prime }\ \succ _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I}
\end{eqnarray*}をともに満たす提携\(T\)と配分\(a_{I}^{\prime }\)が存在しない場合、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)は広義コア(weak core)であると言います。広義コアな配分は状態\(\succsim _{I}\)に依存して変化します。つまり、ある状態\(\succsim _{I}\)において広義コアであるような配分が別の状態\(\succsim _{I}^{\prime }\)においても広義コアであるとは限りません。

状態\(\succsim _{I}\)において配分\(a_{I}\)が広義コアであるものとします。これに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}^{\prime }=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in I\backslash T:a_{i}^{\prime }=a_{i} \\
&&\left( c\right) \ \exists j\in T:a_{I}^{\prime }\ \succ _{j}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I}
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\)および配分\(a_{I}^{\prime }\)をそれぞれ任意に選びます。つまり、提携\(T\)のエージェントたちは内部で商品を交換することにより\(a_{I}\)から\(a_{I}^{\prime }\)へ移行でき、なおかつ、そのような移行により提携\(T\)に属する少なくとも1人のエージェント\(j\)の満足度が高まるということです。さて、広義コアの定義より\(a_{I}\)は\(T\)によって\(a_{I}^{\prime }\)を通じて狭義にブロックされないため、\begin{equation*}\forall i\in T:a_{I}^{\prime }\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \
a_{I}
\end{equation*}は成り立たず、したがって、\begin{equation*}
\exists i\in T:a_{I}\ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \
a_{I}^{\prime }
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、広義コアな配分\(a_{I}\)を出発点に、提携\(T\)に属するあるエージェント\(j\)の満足度を高める形で別の配分\(a_{I}^{\prime }\)へ移行しようとすると、提携\(T\)に属する少なくとも1人のエージェントの満足度は向上しません(悪化する可能性もある)。広義コアな配分が与えられたとき、すべての提携について、その内部で狭義パレート改善を実現するのは不可能であるため、広義コアな配分は目指すべき目標になり得ます。

例(私的価値モデルの場合)
非分割財の交換経済の私的価値モデルでは、任意のエージェント\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、状態\(\succsim _{I}\)において配分\(a_{I}\)が広義コアであることとは、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}^{\prime }=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{i}^{\prime }\succ _{i}a_{i}
\end{eqnarray*}をともに満たす提携\(T\)と配分\(a_{I}^{\prime }\)の組が存在しないこととして表現されます。
例(広義コア)
非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいて、エージェント集合が\(I=\left\{ 1,2,3\right\} \)であるとき、商品集合は\(H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3}\right\} \)となります。ただし、\(h_{i}\)はエージェント\(i\)が初期保有する商品です。エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim _{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{1} \\
h_{1} &\succ &_{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{2} &\succ &_{3}h_{3}\succ _{3}h_{1}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。以下の配分\begin{equation*}
a_{I}=\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) =\left( h_{3},h_{1},h_{2}\right)
\end{equation*}において全員が自身にとって最も望ましい商品を得ているため、\(a_{I}\)は\(\succsim _{I}\)において明らかに広義コアです。

 

狭義コアと広義コアの関係

状態が与えられたとき、ある配分が狭義コアであるならば、その配分は広義コアでもあります。

命題(コアな配分)
非分割財の交換経済において、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)のもとで配分\(a_{I}\in A\)が狭義コアであるならば、\(\succsim _{I}\)のもとで\(a_{I}\)は広義コアである。
証明

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上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、状態が与えられたとき、広義コアな配分は狭義コアであるとは限りません(演習問題)。

 

コアと個人合理的な配分の関係

非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいては、コアは個人合理的な配分になります。

命題(コアは個人合理的)
非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいて以下が成り立つ。

  1. 状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)において配分\(a_{I}\in A\)が広義コアであるならば、\(\succsim_{I}\)において\(a_{I}\)は個人合理的である。
  2. 状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)において配分\(a_{I}\in A\)が狭義コアであるならば、\(\succsim_{I}\)において\(a_{I}\)は個人合理的である。
証明

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コアとパレート効率的な配分の関係

非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいては、コアはパレート効率的な配分になります。

命題(コアはパレート効率的)
非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいて以下が成り立つ。

  1. 状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)において配分\(a_{I}\in A\)が狭義コアであるならば、\(\succsim_{I}\)において\(a_{I}\)は狭義パレート効率的である。
  2. 状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)において配分\(a_{I}\in A\)が広義コアであるならば、\(\succsim_{I}\)において\(a_{I}\)は広義パレート効率的である。
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狭義コア選択メカニズム

非分割財の交換経済におけるメカニズム\(\phi \)が何らかの純粋戦略の組を均衡として遂行可能であるものとします。ただし、表明原理より、正直戦略の組が均衡になるケース、すなわち誘因両立的なメカニズムに対象を限定しても一般性は失われません。市場の状態が\(\succsim _{I}\)である場合、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)のもとではエージェントたちは正直戦略にもとづいて\(\succsim _{I}\)を申告し、その申告に対してメカニズムは配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)を定めますが、この配分が\(\succsim _{I}\)のもとで狭義コアであることが保証される場合、このメカニズム\(\phi \)は狭義コア選択メカニズム(strict core selecting mechanism)であると言います。

メカニズムを設計する段階において、マッチメイカーはどの状態が真の状態であるか分からないため、誘因両立的なメカニズムが狭義コア選択であることを保証するためには、起こり得るあらゆる状態において、そこでの均衡配分が狭義コアであることを保証する必要があります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が狭義コア選択であることとは、状態\(\succsim_{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in I\backslash T:a_{i}=\phi _{i}\left(
\succsim _{I}\right) \\
&&\left( c\right) \ \forall i\in T:a_{I}\ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim
_{I}\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right) \\
&&\left( d\right) \ \exists i\in T:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right)
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I} \in A\)の組が存在しないことを意味します。

メカニズム\(\phi \)に均衡が存在することを前提としない場合にはどうなるでしょうか。この場合、メカニズム\(\phi \)が狭義コア選択であることとは、エージェントたちが申告する選好プロファイル\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選んだとき、それに対して\(\phi \)が定める配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)が\(\succsim_{I}\)のもとで狭義コアであること、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in I\backslash T:a_{i}=\phi _{i}\left(
\succsim _{I}\right) \\
&&\left( c\right) \ \forall i\in T:a_{I}\ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim
_{I}\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right) \\
&&\left( d\right) \ \exists i\in T:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right)
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I} \in A\)の組が存在しないことを意味します。これは誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が狭義コア選択であるための条件と同様です。

例(私的価値モデルの場合)
非分割財の交換経済の私的価値モデルでは、任意のエージェント\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が狭義コア選択であることとは、\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{i}\succsim _{i}\phi _{i}\left(
\succsim _{I}\right) \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:a_{i}\succ _{i}\phi _{i}\left( \succsim
_{I}\right)
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I} \in A\)の組が存在しないことを意味します。メカニズム\(\phi \)が均衡を持つことを前提としない場合にも、\(\phi \)が狭義コア選択メカニズムであることは同様にして定義されます。

 

広義コア選択メカニズム

非分割財の交換経済におけるメカニズム\(\phi \)が何らかの純粋戦略の組を均衡として遂行可能であるものとします。ただし、表明原理より、正直戦略の組が均衡になるケース、すなわち誘因両立的なメカニズムに対象を限定しても一般性は失われません。市場の状態が\(\succsim _{I}\)である場合、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)のもとではエージェントたちは正直戦略にもとづいて\(\succsim _{I}\)を申告し、その申告に対してメカニズムは配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)を定めますが、この配分が\(\succsim _{I}\)のもとで広義コアであることが保証される場合、このメカニズム\(\phi \)は広義コア選択メカニズム(weak core selecting mechanism)であると言います。

メカニズムを設計する段階において、マッチメイカーはどの状態が真の状態であるか分からないため、誘因両立的なメカニズムが広義コア選択であることを保証するためには、起こり得るあらゆる状態において、そこでの均衡配分が広義コアであることを保証する必要があります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が広義コア選択であることとは、状態\(\succsim_{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in I\backslash T:a_{i}=\phi _{i}\left(
\succsim _{I}\right) \\
&&\left( c\right) \ \forall i\in T:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right)
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I} \in A\)の組が存在しないことを意味します。

メカニズム\(\phi \)に均衡が存在することを前提としない場合にはどうなるでしょうか。この場合、メカニズム\(\phi \)が広義コア選択であることとは、エージェントたちが申告する選好プロファイル\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選んだとき、それに対して\(\phi \)が定める配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)が\(\succsim_{I}\)のもとで広義コアであること、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in I\backslash T:a_{i}=\phi _{i}\left(
\succsim _{I}\right) \\
&&\left( c\right) \ \forall i\in T:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right)
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I} \in A\)の組が存在しないことを意味します。これは誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が広義コア選択であるための条件と同様です。

例(私的価値モデルの場合)
非分割財の交換経済の私的価値モデルでは、任意のエージェント\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が広義コア選択であることとは、\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{i}\succ _{i}\phi _{i}\left( \succsim
_{I}\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I} \in A\)の組が存在しないことを意味します。メカニズム\(\phi \)が均衡を持つことを前提としない場合にも、\(\phi \)が広義コア選択メカニズムであることは同様にして定義されます。

 

コア選択メカニズムと個人合理的なメカニズムの関係

非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいては、コア選択メカニズムは個人合理性を満たします。

命題(コア選択メカニズムは個人合理的)
非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいて以下が成り立つ。

  1. メカニズム\(\phi :\mathcal{R}_{I}\rightarrow A\)が狭義コア選択メカニズムであるならば、\(\phi \)は事後個人合理的メカニズムである。
  2. メカニズム\(\phi :\mathcal{R}_{I}\rightarrow A\)が広義コア選択メカニズムであるならば、\(\phi \)は事後個人合理的メカニズムである。
証明

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コア選択メカニズムと事後効率的なメカニズムの関係

非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいては、コア選択メカニズムは事後効率性を満たします。

命題(コア選択メカニズムは事後効率的)
非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいて以下が成り立つ。

  1. メカニズム\(\phi :\mathcal{R}_{I}\rightarrow A\)が狭義コア選択メカニズムであるならば、\(\phi \)は狭義事後効率的メカニズムである。
  2. メカニズム\(\phi :\mathcal{R}_{I}\rightarrow A\)が広義コア選択メカニズムであるならば、\(\phi \)は広義事後個人合理的メカニズムである。
証明

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次回はメカニズムが満たすべき望ましい性質の1つである安定性と呼ばれる概念について解説します。

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関連知識

シャプレー・スカーフ経済
非分割財の交換経済(シャプレー・スカーフ経済)

商品を1つずつ所有している複数のプレイヤーが、何らかのルールにもとづいて商品を交換しようとしている状況を非分割財の交換経済と呼ばれるモデルとして定式化します。このような問題はシャプレー・スカーフ経済、住宅市場モデル、住宅交換モデルなどとも呼ばれます。

シャプレー・スカーフ経済
非分割財の交換経済におけるメカニズム

非分割財の交換経済ではプレイヤーの間に情報の非対称性が存在するため、インセンティブの問題が発生する可能性があります。そのような問題を解決するために、マッチメイカーは適切な資源配分ルール、すなわちメカニズムを設計しようとします。

シャプレー・スカーフ経済
非分割財の交換経済における誘因両立的メカニズムと表明原理

非分割財の交換経済におけるインセンティブの問題を解消するためには、すべてのプレイヤーが自身の選好を正直に表明することが均衡になるようなメカニズムを設計する必要があります。そのような性質を満たすメカニズムを誘因両立的なメカニズムと呼びます。ここでは、誘因両立性の中でも、耐戦略性と事後均衡誘因両立性について解説します。

メカニズム
メカニズム

単一財オークション市場における資源配分ルールをメカニズムと呼ばれる概念として定式化します。

シャプレー・スカーフ経済
非分割財の交換経済における個人合理的メカニズム

非分割財の交換経済におけるメカニズムが与えられたとき、メカニズムの均衡において、メカニズムが定める配分が任意のプレイヤーにとって初期配分以上に望ましいことが保証されるならば、そのようなメカニズムは個人合理性を満たすと言います。

ベイジアンゲーム
メカニズムのもとでのゲーム

単一財オークション市場においてメカニズムを提示された入札者たちが直面する戦略的状況はベイジアンゲームとして定式化されます。そのようなゲームにおいて、それぞれの入札者は自身のタイプと信念にもとづいて他の入札者たちのタイプを予想し、その予想から算出される中間期待利得を最大化するような純粋戦略を採用するものと仮定します。

シャプレー・スカーフ経済
非分割財の交換経済における効率的メカニズム

ある配分を出発点に、そこからさらに誰かの満足度を高めようとすると他の人の犠牲が伴うような状態であるとき、その配分はパレート効率的であると言います。また、パレート効率的な配分を常に選び取るメカニズムをパレート効率的なメカニズムと呼びます。

メカニズム
誘因両立的メカニズム

メカニズムのもとでのベイジアンゲームにおいて、すべての入札者が正直戦略にしたがって入札することがベイジアンナッシュ均衡になる場合、そのようなメカニズムは誘因両立性を満たすと言います。

メカニズム
個人合理的メカニズム

メカニズムのもとでのベイジアンゲームにおいて、すべての入札者がメカニズムに参加した場合に損をしないことが保証される場合、そのようなメカニズムは個人合理性を満たすと言います。

メカニズム
予算均衡メカニズム

オークションを行った結果として主催者の収支が常に均衡するようなメカニズムを予算均衡メカニズムと呼び、主催者の収支が赤字にならないことを保証するメカニズムを弱予算均衡メカニズムと呼びます。

パレート効率性
効率的メカニズム

オークションを行った結果がパレート効率的であることが保証される場合、そのようなメカニズムは事後効率性を満たすと言います。特に、準線型環境における効率メカニズムは配分ルールの形状として特徴づけられます。