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EXCHANGE ECONOMY WITH INDIVISIBLE GOODS

非分割財の交換問題におけるコア選択メカニズム

目次

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狭義コア

非分割財の交換問題私的価値モデルにおいて状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選びます。このとき、配分\(a_{I}\in A\)に対して、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}^{\prime }=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{i}^{\prime }\succsim _{i}a_{i} \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:a_{i}^{\prime }\succ _{i}a_{i}
\end{eqnarray*}をすべて満たす配分\(a_{I}^{\prime }\in A\)とエージェント集合\(T\subset I\)が存在する場合、\(\succsim _{I}\)において配分\(a_{I}\)は提携\(T\)によって配分\(a_{I}^{\prime }\)を通じて広義にブロックされる(\(a_{I}\) is weakly blocked bycoalition \(T\) via \(a_{I}^{\prime }\) at \(\succsim _{I}\))と言います。

条件\(\left( a\right) \)は、提携\(T\)に属するそれぞれのエージェント\(i\)が配分\(a_{I}^{\prime }\)において入手する商品\(a_{i}^{\prime }\)が、その提携\(T\)に属するエージェントが初期保有する商品であることを意味します。したがって\(\left( a\right) \)が成り立つことは、提携\(T\)に属するエージェントたちが初期保有する商品を交換することを通じて局所的な配分\(a_{T}^{\prime }\)を自力で達成できることを意味します。条件\(\left( b\right) \)は、提携\(T\)に属するすべてのエージェントにとって\(a_{I}^{\prime }\)が\(a_{I}\)以上に望ましいことを意味し、条件\(\left( c\right) \)は、提携\(T\)に属する少なくとも1人のエージェントにとって\(a_{I}^{\prime }\)が\(a_{I}\)よりも望ましいことを意味します。以上を踏まえると、状態\(\succsim _{I}\)において配分\(a_{I}\)が提携\(T\)によって配分\(a_{I}^{\prime }\)を通じて広義にブロックされることとは、エージェントたちが\(a_{I}\)に直面した場合に、提携\(T\)に属するエージェントたちが提携の内部で商品を交換して局所的な配分\(a_{T}^{\prime }\)を実現することにより、提携の内部で広義にパレート改善可能であることを意味します。この場合、提携\(T\)に属するエージェントたちは配分\(a_{I}\)を受け入れる道理がありません。このような意味において、何らかの提携によって広義ブロックされる配分は望ましくありません。

状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)において配分\(a_{I}\in A\)がいかなる提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I}^{\prime }\in A\)によっても広義ブロックされない場合には、すなわち、配分\(a_{I}\)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}^{\prime }=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{i}^{\prime }\succsim _{i}a_{i} \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:a_{i}^{\prime }\succ _{i}a_{i}
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\)と配分\(a_{I}^{\prime }\)の組が存在しない場合、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)は狭義コア(strict core)であると言います。狭義コアな配分は状態\(\succsim _{I}\)に依存して変化します。つまり、ある状態\(\succsim _{I}\)において狭義コアであるような配分が別の状態\(\succsim _{I}^{\prime }\)においても狭義コアであるとは限りません。

状態\(\succsim _{I}\)において配分\(a_{I}\)が狭義コアであるものとします。これに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}^{\prime }=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \exists j\in T:a_{i}^{\prime }\succ _{i}a_{i}
\end{eqnarray*}をともに満たす提携\(T\)と配分\(a_{I}^{\prime }\)の組を任意に選びます。つまり、提携\(T\)のエージェントたちは内部で商品を交換することにより局所的な配分\(a_{T}^{\prime }\)を実現でき、なおかつ、そのような交換により提携\(T\)に属する少なくとも1人のエージェント\(j\)の満足度が高まるということです。さて、狭義コアの定義より配分\(a_{I}\)は提携\(T\)によって配分\(a_{I}^{\prime }\)を通じて広義にブロックされないため、\begin{equation*}\forall i\in T:a_{i}^{\prime }\succsim _{i}a_{i}
\end{equation*}は成り立ちません。完備性が成り立つ場合、上の命題が成り立たないことは、\begin{equation*}
\exists i\in T:a_{i}\succ _{i}a_{i}^{\prime }
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。つまり、狭義コアな配分\(a_{I}\)を出発点に、提携\(T\)に属するエージェントたちが商品を交換することを通じてあるエージェント\(j\)の満足度を高めようとすると、提携\(T\)に属する少なくとも1人のエージェントの満足度が下がってしまいます。狭義コアな配分が与えられたとき、任意の提携はその内部で広義パレート改善を実現するのは不可能であるため、狭義コアな配分は目指すべき目標になり得ます。

例(狭義コア)
非分割財の交換問題の私的価値モデルにおいて、エージェント集合が、\begin{equation*}
I=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であるとともに、任意のエージェント\(i\in I\)の選好関係\(\succsim _{i}\)は完備性と推移性に加えて狭義選好の仮定を満たすものとします。エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim _{I}\)が以下の表で与えられているものとします。

$$\begin{array}{cccc}\hline
エージェント\diagdown 順位 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
1 & h_{3} & h_{2} & h_{1} \\ \hline
2 & h_{1} & h_{2} & h_{3} \\ \hline
3 & h_{2} & h_{3} & h_{1} \\ \hline
\end{array}$$

表:エージェントの選好

以下の配分\begin{equation*}
a_{I}=\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) =\left( h_{3},h_{2},h_{1}\right)
\end{equation*}は先の選好プロファイル\(\succsim _{I}\)のもとで狭義コアではありません。実際、提携\(\left\{ 3\right\} \)に属するエージェント\(3\)について、\begin{equation*}h_{3}\succ _{3}h_{2}=a_{2}
\end{equation*}が成り立ちますが、これは提携\(\left\{ 3\right\} \)が内部で商品を交換することにより広義パレート改善が可能であることを意味します。以下の配分\begin{equation*}a_{I}^{\prime }=\left( a_{1}^{\prime },a_{2}^{\prime },a_{3}^{\prime
}\right) =\left( h_{2},h_{1},h_{3}\right)
\end{equation*}もまた先の選好プロファイル\(\succsim _{I}\)のもとで狭義コアではありません。実際、提携\(\left\{ 1,2,3\right\} \)に属するエージェント\(1,2,3\)について、\begin{eqnarray*}h_{3} &\succ &_{1}h_{2}=a_{1}^{\prime } \\
h_{1} &\sim &_{2}h_{1}=a_{2}^{\prime } \\
h_{2} &\succ &_{3}h_{3}=a_{3}^{\prime }
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、これは提携\(\left\{ 1,2,3\right\} \)が内部で商品を交換することにより広義パレート改善が可能であることを意味します。以下の配分\begin{equation*}a_{I}^{\prime \prime }=\left( a_{1}^{\prime \prime },a_{2}^{\prime \prime
},a_{3}^{\prime \prime }\right) =\left( h_{3},h_{1},h_{2}\right)
\end{equation*}は先の選好プロファイル\(\succsim _{I}\)のもとで狭義コアです。実際、\(a_{I}^{\prime \prime }\)においてすべてのエージェントは自身にとって最も望ましい商品を得ているため、いかなる提携も広義パレート改善することは不可能であり、したがって\(a_{I}^{\prime \prime }\)を広義ブロックしません。

 

狭義コア選択メカニズム

非分割財の交換問題の私的価値モデルにおいて、メカニズム\(\phi \)が何らかの純粋戦略の組を均衡として遂行可能であるものとします。ただし、表明原理より、正直戦略の組が均衡になるケース、すなわち誘因両立的なメカニズムに対象を限定しても一般性は失われません。状態が\(\succsim _{I}\)である場合、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)のもとではエージェントたちは正直戦略にもとづいて\(\succsim _{I}\)を申告し、その申告に対してメカニズムは配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)を定めますが、この配分が\(\succsim _{I}\)のもとで狭義コアであることが保証される場合、このメカニズム\(\phi \)は狭義コア選択メカニズム(strict core selecting mechanism)であると言います。

メカニズムを設計する段階において、制度設計者はどの状態が真の状態であるか分からないため、誘因両立的なメカニズムが狭義コア選択であることを保証するためには、起こり得るあらゆる状態において、そこでの均衡配分が狭義コアであることを保証する必要があります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が狭義コア選択であることとは、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選んだとき、そこでの均衡配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \in A\)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{i}\succsim _{i}\phi _{i}\left(
\succsim _{I}\right) \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:a_{i}\succ _{i}\phi _{i}\left( \succsim
_{I}\right)
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I}\in A\)の組が存在しないことを意味します。つまり、状態\(\succsim _{I}\)がいかなるものであるかに関わらず、任意のエージェント\(i\)は自身の真の選好\(\succsim _{i}\)を正直に表明することが均衡になるとともに、均衡配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)が\(\succsim _{I}\)のもとで狭義コアであるということです。

メカニズム\(\phi \)のもとでのベイジアンゲーム\(G\left( \phi \right) \)に均衡が存在することを前提としない場合にはどうなるでしょうか。この場合、メカニズム\(\phi \)が狭義コア選択であることとは、エージェントたちが申告する選好プロファイル\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選んだとき、それに対して\(\phi \)が定める配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)が\(\succsim _{I}\)のもとで狭義コアであること、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{i}\succsim _{i}\phi _{i}\left(
\succsim _{I}\right) \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:a_{i}\succ _{i}\phi _{i}\left( \succsim
_{I}\right)
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I}\in A\)の組が存在しないことを意味します。これは誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が狭義コア選択であることを意味する先の条件と形式的には一致します。ただし、この場合、メカニズム\(\phi \)は誘因両立的であるとは限らないため、メカニズムが定める配分はエージェントたちが申告する選好プロファイルのもとで狭義コアである一方で、エージェントたちの真の選好のもとで狭義コアであるとは限りません。つまり、真の意味で狭義コアな配分を遂行するためには、メカニズムは狭義コア選択であるとともに誘因両立的である必要があるということです。

 

狭義コアと個人合理性の関係

非分割財の交換問題の私的価値モデルにおいて、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)において配分\(a_{I}\in A\)が個人合理的であることとは、\begin{equation*}\forall i\in I:a_{i}\succsim _{i}h_{i}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、任意のエージェント\(i\)にとって、配分\(a_{I}\)のもとで自身に割り当てられる商品\(a_{i}\)が自身が初期保有する商品\(h_{i}\)以上に望ましいということです。これは同時に、提携\(\left\{i\right\} \)が配分\(a_{I}\)を広義にブロックしないことを意味します。一方、配分\(a_{I}\)が狭義コアであることは任意の提携が\(a_{I}\)を広義にブロックしないことを意味するため、その場合には提携\(\left\{ i\right\} \)もまた\(a_{I}\)を広義にブロックせず、したがって個人合理性を満たします。つまり、狭義コアは個人合理的であるということです。

命題(狭義コアは個人合理的)
非分割財の交換問題の私的価値モデルにおいて、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)において配分\(a_{I}\in A\)が狭義コアであるならば、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)は個人合理的である。ただし、任意のエージェントの選好は完備性の仮定を満たすものとする。
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上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、個人合理的な配分は狭義コアであるとは限りません(演習問題)。

上の命題を踏まえると以下を得ます。

命題(狭義コア選択メカニズムは個人合理的)
非分割財の交換問題の私的価値モデルにおいて、メカニズム\(\phi \)が狭義コア選択メカニズムであるならば、\(\phi \)は個人合理的メカニズムである。ただし、任意のエージェントの選好は完備性の仮定を満たすものとする。
証明

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上の命題の逆は成立しません。個人合理的メカニズムは狭義コア選択メカニズムであるとは限らないということです。個人合理的な配分は狭義コアであるとは限らないからです。

 

狭義コアと狭義パレート効率性の関係

非分割財の交換問題の私的価値モデルにおいて、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)において配分\(a_{I}\in A\)が狭義パレート効率的であることとは、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:a_{i}^{\prime }\succsim _{i}a_{i} \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:a_{i}^{\prime }\succ _{i}a_{i}
\end{eqnarray*}をともに満たす配分\(a_{I}^{\prime }\in A\)が存在しないことを意味します。つまり、\(a_{I}\)から広義パレート改善が不可能であるということです。これは同時に、提携\(I\)が配分\(a_{I}\)を広義にブロックしないことを意味します。一方、配分\(a_{I}\)が狭義コアであることは任意の提携が\(a_{I}\)を広義にブロックしないことを意味するため、その場合には提携\(I\)もまた\(a_{I}\)を広義にブロックせず、したがって狭義パレート効率性を満たします。つまり、狭義コアは狭義パレート効率的であるということです。

命題(狭義コアは狭義パレート効率的)
非分割財の交換問題の私的価値モデルにおいて、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)において配分\(a_{I}\in A\)が狭義コアであるならば、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)は狭義パレート効率的である。
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上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、狭義パレート効率的な配分は狭義コアであるとは限りません(演習問題)。

上の命題を踏まえると以下を得ます。

命題(狭義コア選択メカニズムは狭義パレート効率的)
非分割財の交換問題の私的価値モデルにおいて、メカニズム\(\phi \)が狭義コア選択メカニズムであるならば、\(\phi \)は狭義パレート効率的である。
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上の命題の逆は成立しません。狭義パレート効率的なメカニズムは狭義コア選択メカニズムであるとは限らないということです。狭義パレート効率的な配分は狭義コアであるとは限らないからです。

 

演習問題

問題(個人合理的だが狭義コアではない配分)
非分割財の交換問題の私的価値モデルにおいて、個人合理的な配分が狭義コアであるとは限らないことを示してください。

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問題(狭義パレート効率的だが狭義コアではない配分)
非分割財の交換問題の私的価値モデルにおいて、狭義パレート効率的な配分が狭義コアであるとは限らないことを示してください。

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