ある配分を出発点に、そこからプレイヤーのグループ(提携)が内部で商品を交換することでグループ内でのパレート改善が可能である場合、その配分はその提携によってブロックされると言います。また、いかなる提携によってもブロックされない配分をコアと呼び、コアを常に選び取るメカニズムをコア選択メカニズムと呼びます。
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提携によってブロックされる配分

非分割財の交換経済において、プレイヤー集合\(I\)の部分集合を提携(coalition)と呼びます。状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選びます。このとき、配分\(a_{I}\in A\)に対して、提携\(T\subset I\)と別の配分\(a_{I}^{\prime }\in A\)が存在して、それらの間に、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}^{\prime }=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{I}^{\prime }\ \succsim _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I} \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:a_{I}^{\prime }\ \succ _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I}
\end{eqnarray*}という条件がすべて成り立つのであれば、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)は\(T\)によって\(a_{I}^{\prime } \)を通じてブロックされる(\(a_{I}\) is blocked by \(T\) via \(a_{I}^{\prime }\) at \(\succsim _{I}\))と言います。条件\(\left( a\right) \)は、提携\(T\)に属するそれぞれのプレイヤー\(i\)が配分\(a_{I}^{\prime }\)において入手する商品\(a_{i}^{\prime }\)は同じ提携\(T\)に属するプレイヤーが初期所有する商品であることを意味します。言い換えると、提携\(T\)に属するプレイヤーたちは彼らの間で商品を交換することを通じて自力で\(a_{T}^{\prime }=\left( a_{i}^{\prime }\right) _{i\in T}\)を実現できるということです。条件\(\left( b\right) \)と\(\left( c\right) \)は、提携\(T\)に属するプレイヤーたちにとって\(a_{T}^{\prime }\)が\(a_{T}\)をパレート支配することを意味します。以上を踏まえると、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)が\(T\)によって\(a_{I}^{\prime }\)を通じてブロックされることとは、\(T\)に属するプレイヤーたちが互いに協力して商品を交換することを通じて、彼らにとって\(a_{T}\)をパレート支配する\(a_{T}^{\prime }\)を自力で達成できることを意味します。したがって、プレイヤーたちに配分\(a_{I}\)が提示された場合、提携\(T\)に属するプレイヤーたちがそれを受け入れる道理がありません。このような意味において、何らかの提携によってブロックされる配分は望ましくありません。

非分割財の交換経済においてプレイヤーの選好に関して非外部性と私的価値を仮定する場合(私的価値モデル)、任意のプレイヤー\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。この場合、状態\(\succsim _{I}\)において配分\(a_{I}\)が提携\(T\)によって別の配分\(a_{I}^{\prime }\)を通じてブロックされることとは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}^{\prime }=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{i}^{\prime }\succsim _{i}a_{i} \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:a_{i}^{\prime }\succ _{i}a_{i}
\end{eqnarray*}がすべて成り立つこととして表現されます。つまり、プレイヤーたちに配分\(a_{I}\)が提示された場合、提携\(T\)に属するプレイヤーたちが互いに協力して商品を交換することを通じて、彼らの中の全員が\(a_{I}\)のもとで手にいれる商品以上に望ましい商品を手に入れることができるとともに、彼らの中の少なくとも1人が\(a_{I}\)のもとで手に入れる商品よりも望ましい商品を手に入れられるということです。

 

コア

状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)において、配分\(a_{I}\in A\)がいかなる提携によってもブロックされない場合、つまり、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}^{\prime }=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{I}^{\prime }\ \succsim _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I} \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:a_{I}^{\prime }\ \succ _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I}
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I}^{\prime }\in A\)の組が存在しない場合、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)はコア(core)であると言います。

状態\(\succsim _{I}\)において配分\(a_{I}\)がコアであるものとします。これに対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}^{\prime }=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \exists k\in T:a_{I}^{\prime }\ \succ _{k}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I}
\end{eqnarray*}をともに満たす提携\(T\)と配分\(a_{I}^{\prime }\)をそれぞれ任意に選びます。\(T\)に属するプレイヤーたちが互いに商品を交換することで自力で\(a_{T}^{\prime }\)を達成できるとともに、そのような交換によって\(T\)に属する少なくとも1人の満足度が向上するということです。ただ、\(a_{I}\)はコアであるため、コアの定義より、このとき、\begin{equation*}
\forall i\in T:a_{I}^{\prime }\ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ a_{I}
\end{equation*}は成り立ちません。言い換えると、上の命題の否定に相当する、\begin{equation*}
\exists i\in T:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \
a_{I}^{\prime }
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、コア\(a_{I}\)を提示されたときにそれを受け入れず、代わりに提携\(T\)の内部で商品を交換することを通じて\(T\)に属するあるプレイヤー\(k\)の満足度を高める形で別の配分\(a_{I}^{\prime }\)を実行しようとすると、\(T\)に属する少なくとも1人のプレイヤー\(i\)の満足度が低くなってしまいます。つまり、コアであるような配分を提示されたとき、いかなる提携も、提携の内部でコアから逸脱してパレート改善を実現しようとしてもそれは不可能です。そのような意味において、コアは目指すべきものの1つとなります。

非分割財の交換経済においてプレイヤーの選好に関して非外部性と私的価値を仮定する場合(私的価値モデル)、任意のプレイヤー\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)において配分\(a_{I}\in A\)がコアであることとは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}^{\prime }=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{i}^{\prime }\succsim _{i}a_{i} \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:a_{i}^{\prime }\succ _{i}a_{i}
\end{eqnarray*}を満たす提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I}^{\prime }\in A\)の組が存在しないこととして表現されます。

コアは状態\(\succsim _{I}\)に依存して変化します。つまり、ある状態\(\succsim _{I}\)においてコアであるような配分が、別の状態\(\succsim _{I}^{\prime }\)においてもコアであるとは限りません。また、状態\(\succsim _{I}\)が与えられたとき、以下の例から明らかであるように、そこでのコアは一意的であるとは限りません。そこで、状態\(\succsim _{I}\)におけるコアからなる集合を\(\mathrm{Core}\left( \succsim _{I}\right) \)と表記します。これは配分集合\(A\)の部分集合です。

例(コア)
非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいて、プレイヤー集合が\(I=\left\{ 1,2,3\right\} \)であるとき、商品集合は\(H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3}\right\} \)となります。ただし、\(h_{i}\)はプレイヤー\(i\)が初期保有する商品です。プレイヤーたちの選好プロファイル\(\succsim _{I}\)が、\begin{eqnarray*}
h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{1} \\
h_{1} &\succ &_{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{2} &\succ &_{3}h_{3}\succ _{3}h_{1}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。以下の配分\begin{equation*}
a_{I}=\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) =\left( h_{3},h_{1},h_{2}\right)
\end{equation*}において全員が自身にとって最も望ましい商品を得ているため、\(a_{I}\)は\(\succsim _{I}\)において明らかにコアです。また、以下の配分\begin{equation*}
a_{I}^{\prime }=\left( a_{1}^{\prime },a_{2}^{\prime },a_{3}^{\prime
}\right) =\left( h_{2},h_{1},h_{3}\right)
\end{equation*}もまた\(\succsim _{I}\)においてコアです。実際、まず、提携\(\left\{ 2\right\} \)に属するプレイヤー\(2\)は\(a_{I}^{\prime }\)において自身にとって最も望ましい商品を得ているため、\(a_{I}^{\prime }\)は\(\left\{ 2\right\} \)によってブロックされません。提携\(\left\{ 1,3\right\} \)に注目すると、彼らにとって\(a_{\left\{ 1,3\right\} }\)は\(a_{\left\{ 1,3\right\} }^{\prime } \)をパレート支配しているものの、\(a_{\left\{ 1,3\right\} }\)においてプレイヤー\(3\)に割り当てられる\(h_{2}\)は提携\(\left\{ 1,3\right\} \)に属さないプレイヤー\(2\)が初期保有する商品であるため、そもそも\(\left\{ 1,3\right\} \)は\(a_{\left\{ 1,3\right\} }\)を自力で実現できません。したがって、\(a_{I}^{\prime }\)は\(\left\{ 1,3\right\} \)によってブロックされません。他の任意の提携についても同様の議論が成立するため(確認してください)、\(a_{I}^{\prime }\)が\(\succsim _{I}\)においてコアであることが示されました。

 

コアは個人合理的

状態\(\succsim _{I}\)において配分\(a_{I}\)がコアであることとは、\(a_{I}\)をブロックする提携\(T\)と配分\(a_{I}^{\prime }\)のペアが存在しないことを意味します。1人のプレイヤーだけを要素とする集合も特別な提携であるため、これは、\(a_{I}\)をブロックする個人が存在しないことを意味します。つまり、コアは個人合理的な配分であるということです。厳密な証明は以下の通りです。

対偶を示します。つまり、状態\(\succsim _{I}\)において個人合理的ではない配分\(a_{I}\)はコアでもないことを示すことが目標です。\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)が個人合理的でないこととは、\begin{equation*}
\forall i\in I:a_{I}\ \succsim _{i}\left[ \succsim _{I}\right] \ h_{I}
\end{equation*}が成り立たないこと、すなわち、\begin{equation*}
\exists i\in I:h_{I}\ \succ _{i}\left[ \succsim _{I}\right] \ a_{I}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただし、\(h_{I}\)は初期配分です。上のプレイヤー\(i\)だけを要素とする提携\(\left\{ i\right\} \)と配分\(h_{I}\)に注目すると、このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in \left\{ i\right\} ,\ \exists j\in \left\{
j\right\} :h_{i}=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \left\{ i\right\} :h_{I}\ \succ _{i}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I}
\end{eqnarray*}がともに成り立つため、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)は\(\left\{ i\right\} \)によって\(h_{I}\)を通じてブロックされます。したがって\(a_{I}\)はコアではないことが示されました。

命題(コアは個人合理的)
非分割財の交換経済において、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)において配分\(a_{I}\in A\)がコアであるならば、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)は個人合理的な配分である。
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コアはパレート効率的

状態\(\succsim _{I}\)において配分\(a_{I}\)がコアであることとは、\(a_{I}\)をブロックする提携\(T\)と配分\(a_{I}^{\prime }\)のペアが存在しないことを意味します。プレイヤー集合\(I\)も特別な提携であるため、これは、\(a_{I}\)をパレート支配する配分が存在しないことを意味します。つまり、コアはパレート効率的な配分であるということです。厳密な証明は以下の通りです。

対偶を示します。つまり、状態\(\succsim _{I}\)においてパレート効率的ではない配分\(a_{I}\)はコアでもないことを示すことが目標です。\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)がパレート効率的でないこととは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in I:a_{I}^{\prime }\ \succsim _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I} \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:a_{I}^{\prime }\ \succ _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I}
\end{eqnarray*}を満たす配分\(a_{I}^{\prime }\)が存在することを意味します。また、配分の定義より、\begin{equation*}
\left( c\right) \ \forall i\in I,\ \exists j\in I:a_{i}^{\prime }=h_{j}
\end{equation*}が明らかに成り立ちます。\(\left( a\right) ,\left( b\right) ,\left( c\right) \)が成り立つことは、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)が\(I\)によって\(a_{I}^{\prime }\)を通じてブロックされることを意味します。したがって\(a_{I}\)はコアではないことが示されました。

命題(コアはパレート効率的)
非分割財の交換経済において、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)において配分\(a_{I}\in A\)がコアであるならば、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)はパレート効率的な配分である。
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コア選択メカニズム

非分割財の交換経済におけるメカニズム\(\phi :\mathcal{R}_{I}\rightarrow A\)が与えられたとき、プレイヤーたちが申告する選好の組\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)の内容に関わらず、それに対してメカニズム\(\phi \)が定める配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \in A\)が\(\succsim _{I}\)のもとでコアである場合には、そのようなメカニズム\(\phi \)はコア選択メカニズム(core selecting mechanism)であると言います。より正確には、メカニズム\(\phi \)がコア選択であることとは、それぞれの\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)に対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{I}\ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim
_{I}\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right) \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right)
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I}\in A\)のペアが存在しないことを意味します。

非分割財の交換経済においてプレイヤーの選好に関して非外部性と私的価値を仮定する場合(私的価値モデル)、任意のプレイヤー\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、あるメカニズム\(\phi \)がコア選択であることは、それぞれの\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)に対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{i}\succsim _{i}\phi _{i}\left(
\succsim _{I}\right) \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:a_{i}\succ _{i}\phi _{i}\left( \succsim
_{I}\right)
\end{eqnarray*}を満たす提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I}\in A\)のペアが存在しないことを意味します。

先に示したように、それぞれの状態において、コアは個人合理的かつパレート効率的です。したがって以下の命題を得ます。

命題(コア選択メカニズムは個人合理的かつパレート効率的)
非分割財の交換経済において、メカニズム\(\phi \)がコア選択であるならば、\(\phi \)は個人合理的かつパレート効率的なメカニズムである。
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コア選択と誘因両立性の関係

非分割財の交換経済における真の状態を\(\succsim _{I}^{\ast }\)で表記します。一方、メカニズム\(\phi \)に直面したプレイヤーたちが申告する選好の組を\(\succsim _{I}\)で表記します。一般に、プレイヤーたちは偽りの選好を申告する可能性があるため、\(\succsim _{I}\)は\(\succsim _{I}^{\ast }\)と一致するとは限りません。メカニズム\(\phi \)がコア選択であるならば、プレイヤーたちが申告した選好\(\succsim _{I}\)に対してメカニズム\(\phi \)が定める配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)は\(\succsim _{I}\)のもとでコアであることが保証されます。ただ、繰り返しになりますが\(\succsim _{I}\)は\(\succsim _{I}^{\ast }\)と一致するとは限らないため、先の配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)は真の状態\(\succsim _{I}^{\ast }\)のもとでコアではないかもしれません。より具体的には、\(\succsim _{I}^{\ast }\)のもとで\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)をブロックする提携が、すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{I}\ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim
_{I}^{\ast }\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right) \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim
_{I}^{\ast }\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right)
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\)と配分\(a_{I}\)のペアが存在するかもしれないということです。ただ、メカニズム\(\phi \)がコア選択であることに加えて誘因両立性を満たす場合には、メカニズム\(\phi \)のもとでのゲーム\(G\left( \phi \right) \)において全員が正直戦略にしたがって行動することが均衡になるため、\(\succsim _{I}\)は\(\succsim _{I}^{\ast } \)と一致することが保証されます。ゆえに、この場合、\(\phi \left( \succsim _{I}^{\ast }\right) \)が均衡結果になるとともに、それは真の状態\(\succsim _{I}^{\ast }\)のもとでコアとなります。つまり、コア選択かつ誘因両立的なメカニズムのもとでは、すべてのプレイヤーは自身の真の選好を正直に表明するとともに、真の状態に照らし合わせてコアであるような配分が実現することが理論的に予測できます。

非分割財の交換経済においてプレイヤーの選好に関して非外部性と私的価値を仮定する場合(私的価値モデル)、任意のプレイヤー\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。したがって、あるメカニズム\(\phi \)がコア選択であるとともに誘因両立性を満たす場合には、すべてのプレイヤーは自身の真の選好を正直に申告するとともに、そこでは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}=h_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{i}\succsim _{i}^{\ast }\phi _{i}\left(
\succsim _{I}^{\ast }\right) \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:a_{i}\succ _{i}^{\ast }\phi _{i}\left(
\succsim _{I}^{\ast }\right)
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\)と配分\(a_{I}\)のペアが存在しないことが理論的に予測できます。ただし、実際には、より興味深い事実が知られています。私的価値モデルにおいてさらに任意のプレイヤーの選好が選好順序であるとともに狭義選好の仮定を満たす場合、メカニズム\(\phi \)がコア選択であることは、そのメカニズム\(\phi \)が耐戦略性と個人合理性、そしてパレート効率性を満たすための必要十分条件であることが知られています(詳細は別の機会に解説します)。いずれにせよ、上述の仮定が成り立つ状況においては、コア選択メカニズムを設計すれば、それが誘因両立的であること、より具体的には耐戦略性を満たすことが保証されます。

次回はメカニズムが満たすべき望ましい性質の1つである安定性と呼ばれる概念について解説します。

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