商品を1つずつ所有している複数のプレイヤーが、何らかのルールにもとづいて商品を交換しようとしている状況を非分割財の交換経済と呼ばれるモデルとして定式化します。このような問題はシャプレー・スカーフ経済、住宅市場モデル、住宅交換モデルなどとも呼ばれます。
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非分割財の交換経済

商品を1つずつ所有している複数のプレイヤーが、何らかのルールにもとづいて商品を交換しようとしている状況を想定します。ただし、問題としている商品は細かく分割できないものとします。また、商品を交換した後、複数の商品を所有するプレイヤーや、商品を所有しないプレイヤーが発生する可能性を排除します。なお、他人と商品を交換せず、自分が所有している商品をそのまま需要し続けるプレイヤーがいてもよいものとします。加えて、プレイヤーたちは商品を交換する際に、金銭などの分割可能な交換媒体を使うことはできないものとします。つまり、プレイヤーは自分が所有する商品を他人に与える対価として金銭を受け取ることができず、同時に、他人から商品を受け取る対価として金銭を支払うことができないということです。また、それぞれのプレイヤーは、自分を含めた全員が所有する商品どうしを比較する選好、すなわち好みの体系を持っているものとします。選好の内容はプレイヤーごとに異なりますが、これはプレイヤーの私的情報であり、他のプレイヤーたちがそれを事前に観察することはできません。以上のような資源配分問題を非分割財の交換経済(exchange economy with indivisible goods)やシャプレー・スカーフ経済(Shapley-Scarf economy)、住宅市場モデル(housing market model)、住宅交換モデル(house barter model)などと呼びます。

例(非分割財の交換経済)
非分割財の交換経済を始めて明示的に分析したのは Shapley and Scarf (1974)です。そこで想定されている状況は以下の通りです。\(n\)人のプレイヤーが家を1軒ずつ所有しています。すべての家は互いに異なります。問題になっているのは全部で\(n\)軒の家ですが、それぞれのプレイヤーはそれらに対して順位を付けているものとします。ただし、この順位はプレイヤーがそれぞれ頭の中に描いているものであるため、それぞれのプレイヤーは、他のプレイヤーたちが考えている順位を事前に知ることはできません。プレイヤーたちは家を交換できますが、その際に金銭の授受はできないものとします。交換の結果、プレイヤーは1軒の家にのみ住むことができます。これは、ホームレスが発生する可能性を排除することも意味します。
例(非分割財の交換経済)
腎移植とは、腎臓に疾患を抱える患者に他の人の腎臓を移植することで腎臓の働きを回復させる治療法で、腎不全の治療方法として広く行われています。ただ、臓器提供者(ドナー)と患者の相性が合うことが前提の治療法であるため、誰でもすぐに受けられるわけではありません。例えば、ある患者に対して親族が腎臓の提供を希望した場合でも、二人の相性が合わなければ移植ができないという事態が起こり得ます。\(n\)人の腎不全患者がいるものとします。それぞれの患者にはドナー希望者が1人ずついますが、相性が合わないため腎移植は不可能です。この場合、患者の間でお互いにドナーを交換しようとする動機とメリットが生まれます。移植には相性があるため、それぞれの患者は\(n\)人のドナーに対して順位をつけることができます。つまり、自分と相性の良いドナーを上位にランキングするということです。患者たちはドナーを交換したいところですが、臓器売買は禁止されているため、その際に金銭を授受することはできません。このような状況は非分割財の交換経済とみなすことができます。

 

プレイヤー集合

非分割財の交換経済をモデルとして定式化します。まずはプレイヤーの表現です。非分割財の交換経済に参加するすべてのプレイヤーからなる集合をプレイヤー集合(player set)やプレイヤー空間(player space)などと呼び、これを\(I\)で表します。特に、\(n\)人のプレイヤーが参加するとき、プレイヤー集合を、\begin{equation*}
I=\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}と特定します。プレイヤー集合\(I\)に属する\(i\ \left( =1,2,\cdots ,n\right) \)番目のプレイヤーをプレイヤー\(i\)(player \(i\))と呼びます。\(i\in I\)です。

商品の交換は複数のプレイヤーが存在することで初めて成立するため、プレイヤーの数が複数であることは基本的な条件となります。そこで、プレイヤーの人数\(n\)は\(2\)以上の整数であるものと仮定します。

例(プレイヤー集合)
問題にしている非分割財の交換経済に参加するプレイヤーの人数が\(4\)人であれば、プレイヤー集合は、\begin{equation*}
I=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}となります。

 

商品集合

初期時点においてプレイヤー\(i\in I\)が保有する分割不可能な商品を\(h_{i}\)で表記し、すべてのプレイヤーたちが保有する財からなる集合を、\begin{equation*}
H=\left\{ h_{i}\right\} _{i\in I}
\end{equation*}で表記します。ただし、任意の異なるプレイヤー\(i,j\in I\)について\(h_{i}\not=h_{j}\)が成り立つものとします。つまり、初期時点においてプレイヤーたちが保有する商品は互いに異なり、同一の商品を複数のプレイヤーが保有する可能性を排除するということです。

有限\(n\)人のプレイヤーが参加する場合のプレイヤー集合は\(I=\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \)となるため、プレイヤー\(i\in I\)が初期保有する商品を\(h_{i}\in H\)で表記するとき、商品集合は、\begin{equation*}
H=\left\{ h_{1},h_{2},\cdots ,h_{n}\right\}
\end{equation*}となります。このとき、\begin{equation*}
\left\vert I\right\vert =\left\vert H\right\vert =n
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、プレイヤーの人数と商品の個数は同じです。

商品を交換した結果、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)は商品集合\(H\)の要素である商品を1つだけ需要します。プレイヤー\(i\)は自身が初期保有する商品\(h_{i}\)をそのまま需要することもあれば、自身の商品\(h_{i}\)を他のプレイヤー\(j\)へ渡す一方で、他のプレイヤー\(k\)が初期保有する商品\(h_{k}\)を入手することもあります。後者のケースにおいて、プレイヤー\(i\)が自身の商品を渡す相手\(j\)と、プレイヤー\(i\)に商品を渡す相手\(k\)は同じである必要はありません。

例(商品集合)
プレイヤー集合が\(I=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)であるとき、商品集合は、\begin{equation*}
H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\}
\end{equation*}となります。ただし、\(h_{i}\)はプレイヤー\(i\)が初期保有する商品です。

 

商品どうしを比較する選好関係

非分割財の交換経済において、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)は商品集合\(H\)の要素である商品どうしを比較する選好関係(preference relation)を持っているものとみなし、それを\(\succsim _{i}\)で表記します。具体的には、それぞれのプレイヤー\(i\)の選好関係\(\succsim _{i}\)は商品集合\(H\)上に定義された二項関係であり、任意の商品\(h,h^{\prime }\in H\)に対して、\begin{equation*}
h\succsim _{i}h^{\prime }\Leftrightarrow \text{プレイヤー}i\text{は商品}h\text{を商品}h^{\prime }\text{以上に好む}
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。

プレイヤー\(i\)の選好関係\(\succsim _{i}\)が与えられたとき、任意の商品\(h,h^{\prime }\in H\)に対して、\begin{equation*}
h\succ _{i}h^{\prime }\Leftrightarrow h\succsim _{i}h^{\prime }\wedge \lnot
\left( h^{\prime }\succsim _{i}h\right)
\end{equation*}を満たすものとして商品集合\(H\)の新たな二項関係\(\succ _{i}\)が定義可能です。つまり、プレイヤー\(i\)にとって\(h\)が\(h^{\prime }\)以上に望ましく、なおかつ、\(h^{\prime }\)が\(h\)以上に望ましくない場合にはそのことを\(h\succ _{i}h^{\prime }\)で表記するということです。言い換えると、\(h\succ _{i}h^{\prime }\)が成り立つこととは、プレイヤー\(i\)にとって\(h\)が\(h^{\prime }\)よりも望ましいことを意味します。この二項関係\(\succ _{i}\)をプレイヤー\(i\)の狭義選好関係(strict preference relation)と呼びます。

プレイヤー\(i\)の選好関係\(\succsim _{i}\)が与えられたとき、任意の商品\(h,h^{\prime }\in H\)に対して、\begin{equation*}
h\sim _{i}h^{\prime }\Leftrightarrow h\succsim _{i}h^{\prime }\wedge
h^{\prime }\succsim _{i}h
\end{equation*}を満たすものとして商品集合\(H\)の新たな二項関係\(\sim _{i}\)が定義可能です。つまり、プレイヤー\(i\)にとって\(h\)が\(h^{\prime }\)以上に望ましく、なおかつ、\(h^{\prime }\)が\(h\)以上に望ましい場合にはそのことを\(h\sim _{i}h^{\prime }\)で表記するということです。言い換えると、\(h\sim _{i}h^{\prime }\)が成り立つこととは、プレイヤー\(i\)にとって\(h\)と\(h^{\prime }\)が同じ程度望ましいことを意味します。この二項関係\(\sim _{i}\)をプレイヤー\(i\)の無差別関係(indifference relation)と呼びます。

すべてのプレイヤーの選好関係からなる組を\(\succsim _{I}=\left( \succsim _{i}\right) _{i\in I}\)で表記し、これを選好プロファイル(preference profile)と呼びます。プレイヤー\(i\)以外のプレイヤーたちの選好からなる組を\(\succsim _{-i}=\left( \succsim _{j}\right) _{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }\)で表記することとします。\(\succsim _{I}=\left( \succsim _{i},\succsim _{-i}\right) \)です。

例(商品どうしを比較する選好関係)
プレイヤー集合が\(I=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)であるとき、商品集合は\(H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\} \)となります。プレイヤー\(1\)の選好関係\(\succsim _{1}\)の例としては、\begin{equation*}
h_{4}\succsim _{1}h_{3}\succsim _{1}h_{2}\succsim _{1}h_{1}
\end{equation*}を満たすものが挙げられます。つまり、プレイヤー\(1\)にとって\(h_{2}\)は\(h_{1}\)以上に望ましく、\(h_{3}\)は\(h_{2}\)以上に望ましく、\(h_{4}\)は\(h_{3}\)以上に望ましいということです。プレイヤー\(2\)の選好関係\(\succsim _{2}\)の例としては、\begin{equation*}
h_{2}\sim _{2}h_{1}\succ _{2}h_{4}\succ _{2}h_{3}
\end{equation*}を満たすものが挙げられます。つまり、プレイヤー\(2\)にとって\(h_{4}\)は\(h_{3}\)よりも望ましく、\(h_{1}\)は\(h_{4}\)よりも望ましく、\(h_{2}\)と\(h_{1}\)は同じ程度に望ましいということです。他のプレイヤーの選好についても同様に考えます。

多くの場合、任意のプレイヤー\(i\)の選好関係\(\succsim _{i}\)は以下の条件\begin{equation*}
\forall h,h^{\prime }\in H:\left( h\succsim _{i}h^{\prime }\vee h^{\prime
}\succsim _{i}h\right)
\end{equation*}を満たすものと仮定します。つまり、2つの商品\(h,h^{\prime }\)が任意に与えられたとき、プレイヤー\(i\)は\(h\)を\(h^{\prime }\)以上に好むか、\(h^{\prime }\)を\(h\)以上に好むか、その少なくとも一方であるという仮定です。これを完備性(completeness)の仮定と呼びます。この仮定の意味を以下で解説します。

2つの商品\(h,h^{\prime }\in H\)を任意に選んだとき、論理的には以下の\(\left( a\right) \)から\(\left( d\right) \)の4通りが起こり得ます。ただし、\(1\)は真を表す真理値であり、\(0\)は偽を表す真理値です。

$$\begin{array}{cccccc}
\hline
\quad & h\succsim _{i}h^{\prime } & h^{\prime }\succsim _{i}h & h\sim _{i}h^{\prime } & h\succ _{i}h^{\prime } & h^{\prime }\succ _{i}h \\
\hline
\left( a\right) & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
\left( b\right) & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
\left( c\right) & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
\left( d\right) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:完備性

\(\left( a\right) \)はプレイヤー\(i\)にとって\(h\)と\(h^{\prime }\)が同じ程度望ましい場合、\(\left( b\right) \)はプレイヤー\(i\)にとって\(h\)が\(h^{\prime }\)よりも望ましい場合、\(\left( c\right) \)はプレイヤー\(i\)にとって\(h^{\prime }\)が\(h\)よりも望ましい場合に相当します。一方、\(\left( d\right) \)では\(h\)と\(h^{\prime }\)の間の優劣に関する情報が存在しないため、この場合、そもそも\(h\)と\(h^{\prime }\)を比べることができません。ただ、\(\succsim _{i}\)が完備性を満たす場合には\(h\succsim _{i}h^{\prime }\)と\(h^{\prime }\succsim _{i}h\)の少なくとも一方が成り立つことが保証されるため、\(\left( d\right) \)が起こる可能性は排除されます。つまり、\(\succsim _{i}\)が完備性を満たす場合には、2つの商品\(h,h^{\prime }\)を任意に選んだとき、\(\left( a\right) ,\left( b\right) ,\left( c\right) \)の中のどれか1つが成り立つことが保証されます。言い換えると、\(h\sim _{i}h^{\prime }\)と\(h\succ _{i}h^{\prime }\)と\(h^{\prime }\succ _{i}h\)の中のどれか1つが必ず成り立つことが保証されるということです。完備性のもとでは、プレイヤーがどのような商品の組を提示された場合においても、迷うことなく両者の優劣を判断できることになります。

多くの場合、任意のプレイヤー\(i\)の選好関係\(\succsim _{i}\)は以下の条件\begin{equation*}
\forall h,h^{\prime },h^{\prime \prime }\in H:\left( h\succsim _{i}h^{\prime
}\wedge h^{\prime }\succsim _{i}h^{\prime \prime }\Rightarrow h\succsim
_{i}h^{\prime \prime }\right)
\end{equation*}を満たすものと仮定します。つまり、3つの商品\(h,h^{\prime },h^{\prime \prime }\)が任意に与えられたとき、プレイヤー\(i\)は\(h\)を\(h^{\prime }\)以上に好み、\(h^{\prime }\)を\(h^{\prime \prime }\)以上に好む場合、\(h\)を\(h^{\prime \prime }\)以上に好むことが保証されるということです。これを推移性(transitivity)の仮定と呼びます。

推移性の意味を深く理解するために、完備性を満たすが推移性を満たさない選好関係\(\succsim _{i}\)のもとでどのような問題が生じ得るかを考えます。\(\succsim _{i}\)が推移性を満たさない場合には、推移性の定義の否定に相当する以下の命題\begin{equation}
\exists h,h^{\prime },h^{\prime \prime }\in H:\left[ h\succsim _{i}h^{\prime
}\wedge h^{\prime }\succsim _{i}h^{\prime \prime }\wedge \lnot \left(
h\succsim h^{\prime \prime }\right) \right] \tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。\(\succsim _{i}\)が完備性を満たす場合には、\(\left( 1\right) \)中の商品\(h,h^{\prime \prime }\)の間に、\begin{equation*}
h^{\prime \prime }\succ h\Leftrightarrow \lnot (h\succsim h^{\prime \prime })
\end{equation*}という関係が成り立つため(確認してください)、これを用いて\(\left( 1\right) \)を言い換えると、\begin{equation*}
\exists h,h^{\prime },h^{\prime \prime }\in H:\left( h\succsim _{i}h^{\prime
}\wedge h^{\prime }\succsim _{i}h^{\prime \prime }\wedge h^{\prime \prime
}\succ h\right)
\end{equation*}を得ます。つまり、\(h\)を出発点としたとき、\(h^{\prime \prime }\)のほうが\(h\)よりも厳密に望ましく(\(h^{\prime \prime }\succ h\))、さらに\(h^{\prime }\)は\(h^{\prime \prime }\)以上に望ましい(\(h^{\prime }\succsim _{i}h^{\prime \prime }\))という形で、\(h\)を出発点にそれより厳密に望ましいか、あるいは同等以上の消費ベクトルへ移行することで\(h^{\prime }\)へ至ったにも関わらず、最初の\(h\)はこの\(h^{\prime }\)以上に望ましい(\(h\succsim _{i}h^{\prime }\))という奇妙な状況が発生しています。つまり、\begin{equation*}
\cdots \succ h\succsim h^{\prime }\succsim h^{\prime \prime }\succ h\succsim
h^{\prime }\succsim h^{\prime \prime }\succ h\succsim h^{\prime }\succsim
h^{\prime \prime }\succ \cdots
\end{equation*}という形でプレイヤーの選好が循環してしまうということです。選好関係に対して推移性の仮定を設けることは、こうした状況が発生する可能性を排除することを意味します。

プレイヤー\(i\)の選好関係\(\succsim _{i}\)が完備性と推移性をともに満たす場合には、つまり、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall h,h^{\prime }\in H:\left( h\succsim
_{i}h^{\prime }\vee h^{\prime }\succsim _{i}h\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall h,h^{\prime },h^{\prime \prime }\in H:\left(
h\succsim _{i}h^{\prime }\wedge h^{\prime }\succsim _{i}h^{\prime \prime
}\Rightarrow h\succsim _{i}h^{\prime \prime }\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\succsim _{i}\)を選好順序(preference ordering)や合理的な選好関係(rational preference relation)などと呼びます。

プレイヤー\(i\)の選好関係\(\succsim _{i}\)が選好順序であるものとします。このとき、2つの商品\(h,h^{\prime }\in H\)を任意に選ぶと、\(\succsim _{i}\)の完備性より\(h\)と\(h^{\prime }\)は比較可能です。さらに、3つ目の商品\(h^{\prime \prime }\in H\)を任意に選ぶと、やはり\(\succsim _{i}\)の完備性より\(h\)と\(h^{\prime \prime }\)は比較可能であり、\(h^{\prime }\)と\(h^{\prime \prime }\)は比較可能です。したがって、\(h,h^{\prime },h^{\prime \prime }\)の中の任意の2つは比較可能であり、さらに\(\succsim _{i}\)の推移性より、それらを循環しない形でプレイヤー\(i\)にとって望ましい順に並べることができます。4つ目以降の商品についても同様に考えると、結局、選好順序\(\succsim _{i}\)のもとでは、商品集合\(H\)の要素であるすべての商品を循環しない形で並べることができることになります。加えて、2つの商品\(h,h^{\prime }\in H\)を任意に選んだとき、選好順序\(\succsim _{i}\)のもとでは\(h\succ _{i}h^{\prime }\)または\(h^{\prime }\succ _{i}h\)または\(h\sim _{i}h^{\prime }\)の中のどれか1つが必ず成り立ちます。したがって、プレイヤー\(i\)の選好関係\(\succsim _{i}\)が選好順序である場合、プレイヤー\(i\)は\(\succ _{i}\)と\(\sim _{i}\)を用いて商品集合\(H\)に属するすべての商品を最も望ましいものから最も望ましくないものまで順番に並べることができます。例えば、\begin{equation*}
h\succ _{i}h^{\prime }\sim _{i}h^{\prime \prime }\sim _{i}h^{\prime \prime
\prime }\succ _{i}h^{\prime \prime \prime \prime }\cdots
\end{equation*}という具合にです。

プレイヤー\(i\)の選好関係\(\succsim _{i}\)が選好順序であるものとします。その上で、場合によっては、任意の2つの商品\(h,h^{\prime }\in H\)の間に\(h\sim _{i}h^{\prime }\)という関係が成り立たないものと仮定します。つまり、プレイヤー\(i\)にとって同じ程度望ましい複数の商品が存在しないという仮定です。これを狭義選好の仮定(assumption of strict preference)と呼びます。このとき、任意の2つの商品\(h,h^{\prime }\)の間に\(h\succ _{i}h^{\prime }\)または\(h^{\prime }\succ _{i}h\)のどちらか一方が成り立つため、商品集合\(H\)の要素であるすべての商品を\(\succ _{i}\)だけを用いて一列に並べることができます。例えば、\begin{equation*}
h\succ _{i}h^{\prime }\succ _{i}h^{\prime \prime }\succ _{i}h^{\prime \prime
\prime }\succ _{i}h^{\prime \prime \prime \prime }\cdots
\end{equation*}という具合にです。選好順序だけを仮定する場合、すべての商品を最も望ましいものから最も望ましくないものまで順番に並べることができますが、その中に同じ程度望ましい複数の商品が存在する可能性は排除されません。一方、選好順序に加えて狭義選好を仮定する場合、すべての商品を最も望ましいものから最も望ましくないものまで順番に並べることができ、なおかつ、その中に同じ程度望ましい複数の商品は存在しないことが保証されます。

 

配分集合

非分割財の交換経済において、プレイヤーたちが商品を交換することで生じ得る結果を配分(allocation)やマッチング(matching)などと呼びます。具体的には、プレイヤー集合\(I\)と商品集合\(H=\left\{ h_{i}\right\} _{i\in I}\)が与えられたとき、個々の配分は以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall i\in I:a_{i}\in H \\
&&\left( b\right) \ \bigcup\limits_{i\in I}\left\{ a_{i}\right\} =H \\
&&\left( c\right) \ \forall i,j\in I:\left( i\not=j\Rightarrow
a_{i}\not=a_{j}\right)
\end{eqnarray*}を満たす組\(a_{I}=\left( a_{i}\right) _{i\in I}\)として定義されます。ただし、\(a_{I}\)の成分である\(a_{i}\)は、\(a_{I}\)のもとでプレイヤー\(i\)に割り当てられる商品に相当します。条件\(\left( a\right) \)は、配分においてそれぞれのプレイヤーに割り当てられる商品は、初期時点において自分を含めた何らかのプレイヤーが所有していた商品でなければならないことを意味します。条件\(\left( b\right) \)は、配分においてそれぞれの商品は必ず誰かに割り当てられる必要があることを意味します。条件\(\left( c\right) \)は、配分において同一の商品が異なるプレイヤーに割り当てられてはならないことを意味します。\(a_{I}\)が配分である場合、すなわち、\(a_{I}\)が上の条件をすべて満たす場合、それぞれのプレイヤー\(i\)に対して商品\(a_{i}\)を割り当てることが物理的に可能です。そのようなこともあり、配分のことを実現可能な配分(feasible allocation)と呼ぶこともあります。すべての配分からなる集合を\(A\)で表し、これを配分集合(allocation set)やマッチング集合(set of matchings)などと呼びます。\(a_{I}\in A\)です。

それぞれのプレイヤー\(i\in I\)が初期保有する商品は\(h_{i}\in H\)であることを踏まえた上で、\begin{equation*}
\forall i\in I:a_{i}=h_{i}
\end{equation*}を満たすものとして\(a_{I}=\left( a_{i}\right) _{i\in I}\)を定義します。この\(a_{I}\)は明らかに実現可能な配分です。そこで、初期時点における商品の保有状況を表すこの配分を、\begin{equation*}
h_{I}=\left( h_{i}\right) _{i\in I}
\end{equation*}と表記し、初期配分(initial allocation)や初期マッチング(initial matching)などと呼びます。

例(配分)
プレイヤー集合が\(I=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)であるとき、商品集合は\(H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\} \)となります。初期配分は、\begin{equation*}
h_{I}=\left( h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right)
\end{equation*}です。また、\begin{equation*}
a_{I}=\left( a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right) =\left(
h_{3},h_{4},h_{1},h_{2}\right)
\end{equation*}は実現可能な配分であり、これは、プレイヤー\(1\)とプレイヤー\(3\)が商品を交換し、プレイヤー\(2\)とプレイヤー\(4\)が商品を交換する場合の結果に相当します。また、\begin{equation*}
a_{I}^{\prime }=\left( a_{1}^{\prime },a_{2}^{\prime },a_{3}^{\prime
},a_{4}^{\prime }\right) =\left( h_{1},h_{2},h_{4},h_{3}\right)
\end{equation*}もまた実現可能な配分であり、これは、プレイヤー\(1\)とプレイヤー\(2\)は商品を交換せず、プレイヤー\(3\)とプレイヤー\(4\)が商品を交換する場合の結果に相当します。一方、\begin{equation*}
a_{I}^{\prime \prime }=\left( a_{1}^{\prime \prime },a_{2}^{\prime \prime
},a_{3}^{\prime \prime },a_{4}^{\prime \prime }\right) =\left(
h_{1},h_{1},h_{2},h_{3}\right)
\end{equation*}は実現可能な配分ではありません。商品\(h_{1}\)がプレイヤー\(1\)とプレイヤー\(2\)の双方に割り当てられていますが、これは物理的に不可能だからです。また、商品\(h_{4}\)が誰にも割り当てられていないという問題もあります。

 

配分どうしを比較する選好関係

それぞれのプレイヤー\(i\)は商品どうしを比較する商品集合\(H\)上の選好関係\(\succsim _{i}\)を持っていますが、非分割財の交換経済において実現可能な結果が配分\(a_{I}\in A\)として表現されることを踏まえると、プレイヤー\(i\)は商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)だけでなく、配分どうしを比較する選好を持っていなければ、交換において実現し得る結果どうしを比較できないことになってしまいます。そこで、それぞれのプレイヤー\(i\)は配分どうしを比較する配分集合\(A\)上に定義された選好関係を持っているものとし、これを\(\succsim _{i}^{A}\)で表記します。ただし、\(\succsim _{i}^{A}\)は\(A\)上に定義された二項関係であり、任意の配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)に対して、\begin{equation*}
a_{I}\succsim _{i}^{A}a_{I}^{\prime }\Leftrightarrow \text{プレイヤー}i\text{は配分}a_{I}\text{を配分}a_{I}^{\prime }\text{以上に好む}
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。

プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好関係\(\succsim _{i}^{A}\)が与えられたとき、任意の配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)に対して、\begin{equation*}
h\succ _{i}^{A}h^{\prime }\Leftrightarrow h\succsim _{i}^{A}h^{\prime
}\wedge \lnot \left( h^{\prime }\succsim _{i}^{A}h\right)
\end{equation*}を満たすものとして配分集合\(A\)上の新たな二項関係\(\succ _{i}^{A}\)を定義します。また、任意の配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)に対して、\begin{equation*}
h\sim _{i}^{A}h^{\prime }\Leftrightarrow h\succsim _{i}^{A}h^{\prime }\wedge
h^{\prime }\succsim _{i}^{A}h
\end{equation*}を満たすものとして配分集合\(A\)上の新たな二項関係\(\sim _{i}^{A}\)を定義します。

プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する\(A\)上の選好関係\(\succsim _{i}^{A}\)と、プレイヤー\(i\)が商品どうしを比較する\(H\)上の選好関係\(\succ _{i}\)が与えられたとき、多くの場合、任意の2つの配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)に対して、\begin{equation*}
a_{I}\succsim _{i}^{A}a_{I}^{\prime }\Leftrightarrow a_{i}\succsim
_{i}a_{i}^{\prime }
\end{equation*}という関係が成り立つものと仮定します。つまり、プレイヤーにとって配分\(a_{I}\)が配分\(a_{I}^{\prime }\)以上に望ましいことと、\(a_{I}\)のもとで自身に割り当てられる商品\(a_{i}\)が\(a_{I}^{\prime }\)のもとで自身に割り当てられる商品\(a_{i}^{\prime }\)以上に望ましいことが必要十分であるということです。これを非外部性(non-externality)の仮定と呼びます。この仮定は、プレイヤー\(i\)にとって重要なのはそれぞれの配分\(a_{I}\)において自身に割り当てられる商品\(a_{i}\)だけであり、他の任意のプレイヤー\(j\)に割り当てられる商品\(a_{j}\)はプレイヤー\(i\)による配分\(a_{I}\)の評価に影響を及ぼさないことを意味します。非外部性の仮定のもとでは、プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好関係\(\succsim _{i}^{A}\)は、プレイヤー\(i\)が商品どうしを比較する選好関係\(\succsim _{i}\)と実質的に等しくなります。

一般に、プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\)は、自身が商品どうしを比較する商品集合\(H\)上の選好関係\(\succsim _{i}\)に依存して変化します。なぜなら、例えば、プレイヤーがある商品を低く評価する場合、自身にその商品を割り当てる配分を低く評価すると考えるのが自然だからです。逆に、プレイヤーがある商品を高く評価する場合、自身にその商品を割り当てる配分を高く評価すると考えるのも自然です。こうした事情を踏まえると、プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\)は、自身が商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)に依存して変化するという意味を込めて、これを\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{i}\right]\)と表記すべきです。

ただ、プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\)は、自身が商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)だけに依存するのではなく、他のプレイヤーたちが商品どうしを比較する選好\(\succsim _{-i}\)に依存するという状況も起こり得ます。なぜなら、例えば、プレイヤー\(i\)は自身が手に入れた商品を事後的に再交換することを見越した上で目の前の交換に臨む場合、仮に他のプレイヤーたちがある商品を低く評価しているならば、プレイヤー\(i\)は自身にその商品を割り当てる配分を低く評価するのが自然だからです。逆に、他のプレイヤーたちがある商品を高く評価しているならば、プレイヤー\(i\)は自身にその商品を割り当てる配分を高く評価すると考えるのが自然です。こうした事情を踏まえると、プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\)は、自身が商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)だけでなく、他のプレイヤーたちが商品どうしを比較する選好\(\succsim _{-i}\)にも依存して変化するという意味を込めて、これを\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{i},\succsim _{-i}\right] \)すなわち\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)と表記すべきです。

プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する\(A\)上の選好関係\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)が与えられたとき、多くの場合、それに対して\(A\)上の二項関係\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{i}\right] \)が存在して、任意の2つの配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)に対して、\begin{equation*}
a_{I}\succsim _{i}^{A}[\succsim _{I}]\ a_{I}^{\prime }\Leftrightarrow
a_{I}\succsim _{i}^{A}[\succsim _{i}]\ a_{I}^{\prime }
\end{equation*}という関係が成り立つものと仮定します。これを私的価値(private values)の仮定と呼びます。この仮定は、プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好関係\(\succsim _{i}^{A}\)の形状は自身による商品への選好\(\succsim _{i}\)のみに依存し、他のプレイヤーたちによる商品への選好\(\succsim _{-i}\)には依存しないことを意味します。例えば、プレイヤー\(i\)は交換を通じて手に入れた商品を再交換せずに自身でそのまま利用する場合、他のプレイヤーたちがその商品をどの程度評価するかは重要ではないため、このような状況は私的価値の仮定と整合的です。

 

環境

非分割財の交換経済を表現するモデルの要素は以上ですべてです。つまり、非分割財の交換経済を描写するためには、そこに参加するプレイヤーからなる集合\(I\)、それぞれのプレイヤー\(i\in I\)が初期時点において保有する商品\(h_{i}\)、それぞれのプレイヤー\(i\)が商品どうしを比較する選好関係\(\succsim _{i}\)、交換の結果として生じ得る配分からなる集合\(A\)、そして、それぞれのプレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好関係\(\succsim _{i}\left[ \succsim _{I}\right] \)を特定することになります。以上の要素からなるモデルを、\begin{equation*}
\left( I,\left\{ h_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ \succsim _{i}\right\}
_{i\in I},A,\left\{ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \right\}
_{i\in I}\right)
\end{equation*}と表記し、これによって非分割財の交換経済の定義とします。このようなモデルを環境(environment)と呼ぶこともあります。

非分割財の交換経済を分析する際には、多くの場合、以上のモデルをそのまま分析対象とするのではなく、これまで紹介した仮定の中のいくつかを採用した上で、より簡素化されたモデルを分析対象とします。代表的なモデルは、任意のプレイヤーについて、配分どうしを比較する選好に対して非外部性と私的価値を仮定するというものです。この場合、プレイヤー\(i\)を任意に選んだとき、任意の2つの配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)に対して、\begin{eqnarray*}
a_{I}\succsim _{i}^{A}[\succsim _{I}]\ a_{I}^{\prime } &\Leftrightarrow
&a_{I}\succsim _{i}^{A}[\succsim _{i}]\ a_{I}^{\prime }\quad \because \text{私的価値の仮定} \\
&\Leftrightarrow &a_{i}\succsim _{i}[\succsim _{i}]\ a_{i}^{\prime }\quad
\because \text{非外部性の仮定} \\
&\Leftrightarrow &a_{i}\succsim _{i}a_{i}^{\prime }
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
a_{I}\succsim _{i}^{A}[\succsim _{I}]\ a_{I}^{\prime }\Leftrightarrow
a_{i}\succsim _{i}a_{i}^{\prime }
\end{equation*}という関係が成り立つため、プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}[\succsim _{I}]\)について考える代わりに、プレイヤー\(i\)が商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)について考えても一般性は失われません。したがって、以上の仮定のもとでは、非分割財の交換経済を、\begin{equation*}
\left( I,\left\{ h_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ \succsim _{i}\right\}
_{i\in I},A\right)
\end{equation*}とシンプルに表現できます。以降ではこれを私的価値モデル(private value model)と呼ぶこととします。

私的価値モデルについて考える場合、多くの場合、任意のプレイヤーについて、商品どうしを比較する選好が選好順序であることを仮定します。狭義選好の仮定については、それを仮定する場合とそうでない場合がありますが、後述するように、その違いは分析結果に大きな影響を与えるため注意が必要です。

次回はメカニズムと呼ばれる概念について解説します。

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