非分割財の交換経済における誘因両立的メカニズムと表明原理

誘因両立的なメカニズム

非分割財の交換経済が環境\begin{equation*}
\left( I,\left\{ h_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ \succsim _{i}\right\}
_{i\in I},A,\left\{ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \right\}
_{i\in I}\right)
\end{equation*}として表現されているものとします。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(h_{i}\)はプレイヤー\(i\in I\)が初期時点において保有する商品、\(\succsim _{i}\)はプレイヤー\(i\)が商品どうしを比較する選好関係、\(A\)は配分集合、\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)はプレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好関係です。特に、任意のプレイヤー\(i\in I\)に関して非外部性と私的価値を仮定する（私的価値モデル）場合には、任意の2つの配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)に対して以下の関係\begin{equation*}a_{I}\succsim _{i}^{A}[\succsim _{I}]\ a_{I}^{\prime }\Leftrightarrow
a_{i}\succsim _{i}a_{i}^{\prime }
\end{equation*}が成り立つため、プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好\(\succsim_{i}^{A}[\succsim _{I}]\)について考えるかわりに、プレイヤー\(i\)が商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)について考えても一般性は失われません。

マッチメイカーが提示するメカニズム\(\phi :\mathcal{R}_{I}\rightarrow A\)のもとでプレイヤーたちが直面する戦略的状況はベイジアンゲーム\begin{equation*}G\left( \phi \right) =\left( I,\left\{ \mathcal{R}_{i}\right\} _{i\in
I},\left\{ \mathcal{R}_{i}^{A}\right\} _{i\in I}\right)
\end{equation*}として定式化されます。ただし、\(\succsim _{i}\in \mathcal{R}_{i}\)かつ\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \in \mathcal{R}_{i}^{A}\)です。

ベイジアンゲーム\(G\left(\phi \right) \)において純粋戦略の組\(s_{I}\in S_{I}\)が均衡になる場合（均衡の具体的な内容は後述）、それぞれの状態\(\succsim_{I}\in \mathcal{R}_{I}\)において、それぞれのエージェント\(i\in I\)は自身の均衡戦略\(s_{i}:\mathcal{R}_{i}\rightarrow \mathcal{R}_{i}\)にもとづいて最適な選好\(s_{i}\left( \succsim _{i}\right) \in \mathcal{R}_{i}\)を申告します。状態\(\succsim _{I}\)においてエージェントたちが申告する選好の組を、\begin{equation*}s_{I}\left( \succsim _{I}\right) =\left( s_{i}\left( \succsim _{i}\right)
\right) _{i\in I}
\end{equation*}と表記するのであれば、それに対してメカニズム\(\phi \)は以下の配分\begin{equation*}\phi \left( s_{I}\left( \succsim _{I}\right) \right) =\left( \phi _{i}\left(
s_{I}\left( \succsim _{I}\right) \right) \right) _{i\in I}\in A
\end{equation*}を選択します。このとき、メカニズム\(\phi \)は状態\(\succsim _{I}\)において上の配分を遂行する（implment）と言います。また、上の配分を状態\(\succsim _{I}\)における均衡結果（equilibrium outcome）や均衡配分（equilibrium allocation）などと呼びます。

一般に、メカニズム\(\phi \)のもとでのベイジアンゲーム\(G\left( \phi \right) \)に均衡は存在するとは限りません。しかし、仮にマッチメイカーが、ゲーム\(G\left( \phi \right) \)に均衡が存在するようなメカニズム\(\phi \)の設計に成功した場合、均衡はエージェントたちにとっての最適戦略の組であるため、エージェントたちが自身にとってより望ましい配分を達成するために利己的に行動することを前提とした場合においても、そのようなメカニズム\(\phi \)のもとでは、それぞれの状態\(\succsim _{I}\)において、マッチメイカーは均衡結果\(\phi \left( s_{I}\left( \succsim _{I}\right) \right) \)を遂行できることになります。言い換えると、均衡が存在するようなメカニズムの設計に成功すれば、エージェントたちの行動を均衡へ誘導することに成功し、それぞれの状態\(\succsim _{I}\)において、そこでの均衡結果\(\phi \left( s_{I}\left( \succsim _{I}\right)\right) \)が実現することを理論的に予測できるようになります。

では、マッチメイカーはエージェントたちをどのような均衡へ誘導すべきでしょうか。非分割財の交換経済においてインセンティブの問題が発生する原因は、エージェントたちが自身の真の選好を私的情報として持っていることにあります。インセンティブの問題を解決するためには、何らかの方法を通じて情報の非対称性を解消する必要があります。具体的には、それぞれのエージェントにとって、自分の真の選好を正直に申告することが得であるようなメカニズムを設計すれば、そのようなメカニズムのもと、エージェントたちは自分の真の選好を自ら進んで正直に申告するため、結果として情報の非対称性は解消されます。

繰り返しになりますが、メカニズム\(\phi \)のもとでのベイジアンゲーム\(G\left( \phi \right) \)において、それぞれのエージェント\(i\in I\)の純粋戦略は写像\(s_{i}:\mathcal{R}_{i}\rightarrow \mathcal{R}_{i}\)として定式化されます。この純粋戦略\(s_{i}\)のもとで、エージェント\(i\)は自分のタイプが\(\succsim _{i}\in \mathcal{R}_{i}\)の場合に行動\(s_{i}\left( \succsim _{i}\right) \in \mathcal{R}_{i}\)を選択します。特に、エージェント\(i\)の純粋戦略\(s_{i}\)が以下の条件\begin{equation*}\forall \succsim _{i}\in \mathcal{R}_{i}:s_{i}\left( \succsim _{i}\right)
=\succsim _{i}
\end{equation*}を満たす場合、すなわち、エージェント\(i\)が純粋戦略\(s_{i}\)のもとで常に自身のタイプ\(\succsim _{i}\)をそのまま正直に申告する場合、このような\(s_{i}\)を正直戦略（honest strategy）と呼びます。仮に、メカニズムのもとでのベイジアンゲーム\(G\left( \phi \right) \)において、すべてのエージェント\(i\)が正直戦略\(s_{i}\)を選択することが均衡になるのであれば、それぞれの状態\(\succsim _{I}\)において、エージェントたちが申告する選好からなる組は、\begin{eqnarray*}s_{I}\left( \succsim _{I}\right) &=&\left( s_{i}\left( \succsim _{i}\right)
\right) _{i\in I} \\
&=&\left( \succsim _{i}\right) _{i\in I}\quad \because \text{正直戦略の定義} \\
&=&\succsim _{I}
\end{eqnarray*}となり、これは真の状態と一致します。つまり、正直戦略の組が均衡になるようなメカニズム\(\phi \)のもとでは、それぞれの状態\(\succsim _{I}\)において、任意のエージェント\(i\)が自身の真の選好\(\succsim_{i}\)をそのまま正直に表明することが最適になるため、結果として、情報の非対称性が解消されます。そこで、このようなメカニズム\(\phi \)を誘因両立的（incentive compatible）なメカニズムと呼びます。非分割財の交換経済におけるインセンティブの問題を解消するため、マッチメイカーは誘因両立的なメカニズムを設計する必要があります。

事後均衡誘因両立的なメカニズム

メカニズムのもとでのベイジアンゲーム\(G\left( \phi \right) \)において、エージェント\(i\)の純粋戦略\(s_{i}\)と、他のエージェントたちの純粋戦略の組\(s_{-i}\)を選びます。状態\(\succsim _{I}=(\succsim _{i},\succsim _{-i})\)を任意に選ぶと、エージェント\(i\)が先の\(s_{i}\)を採用するならば選好\(s_{i}\left( \succsim _{i}\right) \)を申告し、他のエージェントたちが先の\(s_{-i}\)を採用するならば選好\(s_{-i}\left(\succsim _{-i}\right) \)を申告するため、以上の選好の組に対してメカニズム\(\phi \)は以下の配分\begin{equation*}\phi \left( s_{i}\left( \succsim _{i}\right) ,s_{-i}\left( \succsim
_{-i}\right) \right) \in A
\end{equation*}を定めます。一方、他のエージェントたちがやはり\(s_{-i}\)を採用する一方で、エージェント\(i\)が\(s_{i}\left( \succsim _{i}\right) \)とは一致するとは限らない何らかの選好\(\hat{\succsim}_{i}\)を申告する場合、メカニズム\(\phi \)は以下の配分\begin{equation*}\phi \left( \hat{\succsim}_{i},s_{-i}\left( \succsim _{-i}\right) \right)
\in A
\end{equation*}を定めます。以上を踏まえた上で、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)とエージェント\(i\)が申告する選好\(\hat{\succsim}_{i}\in \mathcal{R}_{i}\)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}\phi \left( s_{i}\left( \succsim _{i}\right) ,s_{-i}\left( \succsim
_{-i}\right) \right) \ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi
\left( \hat{\succsim}_{i},s_{-i}\left( \succsim _{-i}\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、エージェント\(i\)にとって\(s_{i}\)は\(s_{-i}\)に対する事後最適戦略（ex-postbest strategy）であると言います。これは、エージェント\(i\)にとって、自身のタイプ\(\succsim _{i}\)や他のエージェントたちのタイプ\(\succsim _{-i}\)がいかなるものであるかに関わらず、他のエージェントたちが純粋戦略の組\(s_{-i}\)にしたがって行動する限りにおいて、自身が\(s_{i}\)にしたがって行動することで常に自身の利得を最大化できることを意味します。したがって、エージェント\(i\)が\(s_{-i}\)に対する事後最適戦略\(s_{i}\)を持つ場合、エージェント\(i\)は自身を含めた全員のタイプについて何も考える必要はなく、他のエージェントたちが\(s_{-i}\)にしたがって行動する限りにおいて、自分は常に\(s_{i}\)にしたがって行動することが最適になります。

メカニズム\(\phi \)のもとでのベイジアンゲーム\(G\left( \phi \right) \)において、純粋戦略の組\(s_{I}=\left( s_{i}\right)_{i\in I}\)がお互いに事後最適戦略になっているのであれば、すなわち、エージェント\(i\in I\)と状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)およびエージェント\(i\)が申告する選好\(\hat{\succsim}_{i}\in \mathcal{R}_{i}\)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation}\phi \left( s_{i}\left( \succsim _{i}\right) ,s_{-i}\left( \succsim
_{-i}\right) \right) \ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi
\left( \hat{\succsim}_{i},s_{-i}\left( \succsim _{-i}\right) \right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つのであれば、そのような純粋戦略の組\(s_{I}\)を事後均衡（ex-post equilibrium）と呼びます。

純粋戦略の組\(s_{I}=\left( s_{i}\right)_{i\in I}\)が正直戦略の組である場合には、\begin{equation}\forall i\in I,\ \forall \succsim _{i}\in \mathcal{R}_{i}:s_{i}\left(
\succsim _{i}\right) =\succsim _{i} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、正直戦略の組\(s_{I}\)が事後均衡であることとは、\(\left( 1\right) \)および\(\left( 2\right) \)より、エージェント\(i\in I\)と状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)およびエージェント\(i\)が申告する選好\(\hat{\succsim}_{i}\in \mathcal{R}_{i}\)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}\phi \left( \succsim _{i},\succsim _{-i}\right) \ \succsim _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ \phi \left( \hat{\succsim}_{i},\succsim _{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。そこで、以上の条件が成り立つとき、すなわち、メカニズムのもとでのベイジアンゲーム\(G\left( \phi \right) \)において正直戦略の組が事後均衡になる場合、メカニズム\(\phi \)は事後均衡誘因両立的（incentive compatible inex-post equilibrium：EPIC）であると言います。

メカニズム\(\phi \)が事後均衡誘因両立的である場合、任意のエージェントは、自身を含めた全員のタイプがいかなるものであるかに関わらず、他のエージェントたちが正直戦略にしたがって行動することを前提とした場合、自分もまた正直戦略にしたがって行動すれば常に利得を最大化できます。したがって、エージェントは自身を含めた全員のタイプについて何も考える必要はなく、他のエージェントたちが正直戦略にしたがう場合、自分もまた正直戦略にしたがうことが最適であり、そこから逸脱する動機を持ちません。

事後均衡誘因両立的なメカニズムとは、正直戦略の組が事後均衡になるようなメカニズムであるという意味において、特殊な事後均衡メカニズムです。一方、正直戦略の組であるとは限らない純粋戦略の組を事後均衡として遂行するメカニズムに対して、その均衡結果と同じ結果を遂行する事後均衡誘因両立的メカニズムが存在することを保証できます。これを表明原理（revelation principle）と呼びます。

以上の命題より、事後均衡誘因両立的なメカニズムのもとで遂行可能な配分は、誘因両立的であるとは限らないメカニズムによって事後均衡として遂行される配分の全体を網羅していることが明らかになりました。したがって、事後均衡メカニズムについて考える際には、事後均衡誘因両立的なメカニズムに対象を限定しても一般性は失われません。

耐戦略的なメカニズム

メカニズム\(\phi \)のもとでのベイジアンゲーム\(G\left( \phi \right) \)において、エージェント\(i\)の純粋戦略\(s_{i}\)を選びます。状態\(\succsim _{I}=(\succsim _{i},\succsim _{-i})\)を任意に選んだとき、エージェント\(i\)が先の\(s_{i}\)を選択するならば選好\(s_{i}\left( \succsim _{i}\right) \)を申告します。このとき、他のエージェントたちが申告する選好が\(\hat{\succsim}_{-i}\)であれば、以上の選好の組に対してメカニズム\(\phi \)は以下の配分\begin{equation*}\phi \left( s_{i}\left( \succsim _{i}\right) ,\hat{\succsim}_{-i}\right) \in
A
\end{equation*}を定めます。一方、他のエージェントたちが申告する選好が\(\hat{\succsim}_{-i}\)である一方で、エージェント\(i\)が\(s_{i}\left( \succsim _{i}\right) \)と一致するとは限らない何らかの選好\(\hat{\succsim}_{i}\)を申告する場合、メカニズム\(\phi \)は以下の配分\begin{equation*}\phi \left( \hat{\succsim}_{i},\hat{\succsim}_{-i}\right) \in A
\end{equation*}を定めます。以上を踏まえた上で、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)と全員が申告する選好の組\(\hat{\succsim}_{I}\in \mathcal{R}_{I}\)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}\phi \left( s_{i}\left( \succsim _{i}\right) ,\hat{\succsim}_{-i}\right) \
\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi \left( \hat{\succsim}_{i},\hat{\succsim}_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、エージェント\(i\)にとって\(s_{i}\)は支配戦略（dominant strategy）であると言います。これは、エージェント\(i\)にとって、自身のタイプ\(\succsim _{i}\)や他のエージェントたちのタイプ\(\succsim _{-i}\)がいかなるものであるかに関わらず、また、他のエージェントたちが申告する選好\(\hat{\succsim}_{-i}\)に関わらず、自身は\(s_{i}\)にしたがって行動することで常に自分の利得を最大化できることを意味します。したがって、エージェント\(i\)が支配戦略\(s_{i}\)を持つ場合、エージェント\(i\)は自身を含めた全員のタイプや他のエージェントたちが申告する選好について何も考える必要はなく、常に\(s_{i}\)にしたがって行動することが最適になります。

メカニズム\(\phi \)のもとでのベイジアンゲーム\(G\left( \phi \right) \)において、エージェントたちの純粋戦略の組\(s_{I}=\left( s_{i}^{\ast}\right) \)が支配戦略の組であるならば、すなわち、エージェント\(i\in I\)と状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)および全員が申告する選好の組\(\hat{\succsim}_{I}\in \mathcal{R}_{I}\)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation}\phi \left( s_{i}\left( \succsim _{i}\right) ,\hat{\succsim}_{-i}\right) \
\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi \left( \hat{\succsim}_{i},\hat{\succsim}_{-i}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つのであれば、そのような純粋戦略の組\(s_{I}\)を支配戦略均衡（dominant strategy equilibrium）と呼びます。

純粋戦略の組\(s_{I}=\left( s_{i}\right)_{i\in I}\)が正直戦略の組である場合には、\begin{equation}\forall i\in I,\ \forall \succsim _{i}\in \mathcal{R}_{i}:s_{i}\left(
\succsim _{i}\right) =\succsim _{i} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、正直戦略の組\(\succsim _{I}\)が支配戦略均衡であることとは、\(\left( 1\right) \)および\(\left( 2\right) \)より、エージェント\(i\in I\)と状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)および全員が申告する選好の組\(\hat{\succsim}_{I}\in \mathcal{R}_{I}\)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}\phi \left( \succsim _{i},\hat{\succsim}_{-i}\right) \ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi \left( \hat{\succsim}_{i},\hat{\succsim}_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。そこで、以上の条件が成り立つとき、すなわち、メカニズムのもとでのベイジアンゲーム\(G\left( \phi \right) \)において正直戦略の組が支配戦略均衡になる場合、メカニズム\(\phi \)は耐戦略的（strategy-proofness）であるとか支配戦略均衡誘因両立的（incentive compatible in weakly dominant strategy equilibrium：DIC）であるなどと言います。

メカニズム\(\phi \)が耐戦略的である場合、任意のエージェントは、自身を含めた全員のタイプがいかなるものであるかに関わらず、また、他のエージェントたちが申告する選好がいかなるものであるかに関わらず、自分は正直戦略にしたがって行動すれば常に利得を最大化できます。したがって、エージェントは自身を含めた全員のタイプについて何も考える必要はなく、また、他のエージェントたちの行動について考える必要もなく、正直戦略にしたがいさえすれば最適な結果が得られます。

耐戦略的なメカニズムとは、正直戦略の組が支配戦略均衡になるようなメカニズムであるという意味において、特殊な支配戦略均衡メカニズムです。一方、正直戦略の組であるとは限らない純粋戦略の組を支配戦略均衡として遂行するメカニズムに対して、その均衡結果と同じ結果を遂行する耐戦略的なメカニズムが存在することを保証できます。これは支配戦略均衡に関する表明原理です。

以上の命題より、耐戦略的なメカニズムのもとで遂行可能な配分は、誘因両立的であるとは限らないメカニズムによって支配戦略均衡として遂行される配分の全体を網羅していることが明らかになりました。したがって、支配戦略均衡メカニズムについて考える際には、耐戦略的なメカニズムに対象を限定しても一般性は失われません。

耐戦略性と事後均衡誘因両立性の関係

非分割財の交換経済において、メカニズム\(\phi \)が耐戦略性を満たすものとします。この場合、それぞれのエージェントにとって、全員のタイプや他のエージェントたちの行動とは関係なく、正直戦略が最適になっています。他のエージェントたちが正直戦略をとるものと仮定した場合にも、自身にとって正直戦略は最適であり続けますが、これは\(\phi \)が事後均衡誘因両立的であることを意味します。つまり、耐戦略的なメカニズムは事後均衡誘因両立的です。

先の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、事後均衡誘因両立的なメカニズムは耐戦略的であるとは限りません。ただ、私的価値モデルにおいては事後均衡誘因両立的なメカニズムは耐戦略的でもあります。

以上の2つの命題より、私的価値モデルにおいては、メカニズムの耐戦略性と事後均衡誘因両立性は必要十分であることが明らかになりました。

演習問題