非外部性の仮定
商品を1つずつ所有している複数のプレイヤーが、何らかのルールにもとづいて商品を交換しようとしている状況を非分割財の交換問題と呼ばれる環境として定式化しました。非分割財の交換問題において、それぞれのプレイヤー\(i\)は商品どうしを比較する商品集合\(H\)上の選好関係\(\succsim _{i}\)に加えて、配分どうしを比較する配分集合\(A\)上の選好関係\(\succsim _{i}^{A}\left[\succsim _{I}\right] \)を持っているものとみなしました。\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)を\(A\)上に定義するということは、プレイヤーが商品の交換を通じて得る満足度は、交換において自身に割り当てられる商品\(a_{i}\)だけに依存するのではなく、他のプレイヤーたちに割り当てられる商品の組み合わせ\(a_{-i}\)にも依存することを意味します。ただ、非分割財の交換問題の分析では多くの場合、プレイヤー\(i\)にとって重要であるのはそれぞれの配分\(a_{I}\)において自身に割り当てられる商品\(a_{i}\)だけであり、他のプレイヤーたちに割り当てられる商品\(a_{-i}\)はプレイヤー\(i\)による配分\(a_{I}\)の評価に影響を与えないものと仮定します。このような仮定を非外部性（non-externality）の仮定と呼びます。
プレイヤー\(i\)に関して非外部性の仮定が成り立つこととは、配分集合\(A\)上の選好関係\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)に対して商品集合\(H\)上の二項関係\(\succsim _{i}\left[ \succsim _{I}\right] \)が存在して、任意の2つの配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)に対して、\begin{equation*}a_{I}\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ a_{I}^{\prime
}\Leftrightarrow a_{i}\succsim _{i}\left[ \succsim _{I}\right] \
a_{i}^{\prime }
\end{equation*}という関係が成り立つことを意味します。つまり、プレイヤー\(i\)にとって配分\(a_{I}\)が配分\(a_{I}^{\prime }\)以上に望ましいことと、\(a_{I}\)のもとで自身に割り当てられる商品\(a_{i}\)が\(a_{I}^{\prime }\)のもとで自身に割り当てられる商品\(a_{i}^{\prime }\)以上に望ましいことが必要十分であるということです。
I &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
H &=&\left\{ h_{1},h_{2},h_{3}\right\}
\end{eqnarray*}であるものとします。その上で、以下の2つの配分\begin{eqnarray*}
a_{I} &=&\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) =\left( h_{2},h_{1},h_{3}\right) \\
a_{I}^{\prime } &=&\left( a_{1}^{\prime },a_{2}^{\prime },a_{3}^{\prime
}\right) =\left( h_{2},h_{3},h_{1}\right)
\end{eqnarray*}に注目します。双方においてプレイヤー\(1\)が得る商品は同じですが、他の2人が得る商品は異なります。仮に、プレイヤー\(1\)が配分どうしを比較する選好\(\succsim _{1}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)が、\begin{equation*}a_{I}\succ _{1}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ a_{I}^{\prime }
\end{equation*}を満たす場合、プレイヤー\(1\)の選好は非外部性を満たしません。なぜなら、自身とは異なるプレイヤーたちが得る商品の組み合わせによって自身の選好が影響を受けているからです。非外部性の仮定と整合的であるためには、\begin{equation*}a_{I}\sim _{1}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ a_{I}^{\prime }
\end{equation*}である必要があります。
私的価値の仮定
非分割財の交換問題を描写する環境において、プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する配分集合\(A\)上の選好関係を\(\succsim _{i}^{A}\)ではなく\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)と表現する理由は、プレイヤー\(i\)による配分の評価は自身が商品どうしを比較する選好\(\succsim_{i}\)だけに依存するのではなく、他のプレイヤーたちが商品どうしを比較する選好\(\succsim_{-i}\)に依存するという状況が起こり得るからです。ただ、非分割財の交換問題の分析では多くの場合、プレイヤーが配分どうしを比較する選好関係の形状は\(\succsim _{i}\)のみに依存し、\(\succsim _{-i}\)には依存しないものと仮定します。このような仮定を私的価値（private values）の仮定と呼びます。例えば、プレイヤーは交換を通じて得た商品を再交換せずに自身でそのまま消費する場合、他のプレイヤーによる商品の評価は重要ではないため、このような状況は私的価値の仮定と整合的です。
プレイヤー\(i\)に関して私的価値性の仮定が成り立つこととは、プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する\(A\)上の選好関係を、\begin{equation*}\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{i}\right] \end{equation*}と表現できることを意味します。つまり、プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好の形状が\(\succsim _{-i}\)に依存しないということです。
I &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
H &=&\left\{ h_{1},h_{2},h_{3}\right\}
\end{eqnarray*}であるとともに、プレイヤーたちの選好プロファイル\(\succsim _{I}\)が以下の表で与えられているものとします。
$$\begin{array}{cccc}\hline
プレイヤー\diagdown 順位 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
1 & h_{1} & h_{2} & h_{3} \\ \hline
2 & h_{1} & h_{3} & h_{2} \\ \hline
3 & h_{1} & h_{3} & h_{2} \\ \hline
\end{array}$$
仮に、プレイヤー\(1\)は自身に割り当てられる商品のみに興味があり、なおかつ他のプレイヤーたちによる商品への評価に興味がない場合には、\(a_{1}=h_{1}\)を満たす配分\(a_{I}\)と\(a_{1}^{\prime }=h_{2}\)を満たす配分\(a_{I}^{\prime }\)および\(a_{1}^{\prime \prime }=h_{3}\)を配分\(a_{I}^{\prime \prime }\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}a_{I}\succ _{1}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ a_{I}^{\prime }\succ
_{1}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ a_{I}^{\prime \prime }
\end{equation*}が成り立ちます。このような選好は私的価値の仮定と整合的です（非外部性の仮定とも整合的）。また、プレイヤー\(2\)は自身に割り当てられる商品のみに興味があり、なおかつ自身を含めた全員の多数決によって商品への評価を決定するのであれば（より多くの人が評価する商品を自分が手に入れたいという選好）、\(a_{2}=h_{1}\)を満たす配分\(a_{I}\)と\(a_{2}^{\prime }=h_{2}\)を満たす配分\(a_{I}^{\prime }\)および\(a_{2}^{\prime \prime }=h_{3}\)を配分\(a_{I}^{\prime \prime }\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}a_{I}\succ _{2}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ a_{I}^{\prime \prime }\succ
_{2}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ a_{I}^{\prime }
\end{equation*}が成り立ちます。このような選好は私的価値の仮定と整合的ではありません（非外部性の仮定とも整合的）。なぜなら、自身の選好を全員の多数決で決めることは、自身の選好が他のプレイヤーの選好の影響を受けることを意味するからです。また、プレイヤー\(3\)はプレイヤー\(1\)に割り当てられる商品のみに興味があり、なおかつ他のプレイヤーたちによる商品への評価に興味がなく、なおかつ、プレイヤー\(1\)により望ましい商品を得てもらいたいと考えている場合には（つまり、自分が良いと思う商品をプレイヤー\(1\)に与えたいというおせっかいな選好）、\(a_{1}=h_{1}\)を満たす配分\(a_{I}\)と\(a_{1}^{\prime }=h_{2}\)を満たす配分\(a_{I}^{\prime }\)および\(a_{1}^{\prime\prime }=h_{3}\)を配分\(a_{I}^{\prime \prime }\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}a_{I}\succ _{3}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ a_{I}^{\prime \prime }\succ
_{3}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ a_{I}^{\prime }
\end{equation*}が成り立ちます。このような選好は私的価値の仮定と整合的です（非外部性の仮定とは整合的ではない）。
非分割財の交換問題の私的価値モデル
一般に、非分割財の交換問題を描写する環境は、\begin{equation*}
\left( I,\left\{ h_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ \succsim _{i}\right\}
_{i\in I},A,\left\{ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \right\}
_{i\in I}\right)
\end{equation*}と定式化されます。\(I\)はプレイヤー集合、\(h_{i}\)はプレイヤー\(i\)が初期保有する商品、\(\succsim_{i}\)はプレイヤーが商品どうしを比較する商品集合\(H\)上の選好関係、\(A\)は配分集合、\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)はプレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する\(A\)上の選好関係です。ただし、プレイヤー\(i\)について非外部性と私的価値を仮定する場合、任意の2つの配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)に対して、\begin{eqnarray*}a_{I}\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ a_{I}^{\prime }
&\Leftrightarrow &a_{I}\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{i}\right] \
a_{I}^{\prime }\quad \because \text{私的価値の仮定} \\
&\Leftrightarrow &a_{i}\succsim _{i}\left[ \succsim _{i}\right] \
a_{i}^{\prime }\quad \because \text{非外部性の仮定} \\
&\Leftrightarrow &a_{i}\succsim _{i}a_{i}^{\prime }
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
a_{I}\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ a_{I}^{\prime
}\Leftrightarrow a_{i}\succsim _{i}a_{i}^{\prime }
\end{equation*}という関係が成り立つため、プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right]\)について考えるかわりに、プレイヤーが商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)について考えても一般性は失われません。
非分割財の交換問題において任意のプレイヤーの選好関係について非外部性と私的価値を仮定する場合、そのようなモデルを私的価値モデル（private value model）と呼ぶこととします。私的価値モデルでは任意のプレイヤー\(i\)について\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は\(\succsim _{i}\)と実質的に等しくなるため、それを描写する環境を、\begin{equation*}\left( I,\left\{ h_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ \succsim _{i}\right\}
_{i\in I},A\right)
\end{equation*}とシンプルに記述できます。非分割財の交換問題の分析では多くの場合、私的価値モデルを対象とします。
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