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非分割財の交換経済における私的価値モデル

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非外部性の仮定

非分割財の交換経済を描写する環境において、それぞれのプレイヤー\(i\)は商品どうしを比較する商品集合\(H\)上の選好関係\(\succsim _{i}\)に加えて、配分どうしを比較する配分集合\(A\)上の選好関係\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)を持っているものとみなしました。\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)を\(A\)上に定義するということは、プレイヤーが商品の交換を通じて得る満足度は、交換において自身に割り当てられる商品\(a_{i}\)だけに依存するのではなく、他のプレイヤーたちに割り当てられる商品の組み合わせ\(a_{-i}\)にも依存することを意味します。ただ、非分割財の交換経済の分析では多くの場合、プレイヤー\(i\)にとって重要なのはそれぞれの結果\(a_{I}\)において自身に割り当てられる商品\(a_{i}\)だけであり、他のプレイヤーたちに割り当てられる商品\(a_{-i}\)はプレイヤー\(i\)による配分\(a_{I}\)の評価に影響を与えないものと仮定します。このような仮定を非外部性(non-externality)の仮定と呼びます。

プレイヤー\(i\)に関して非外部性の仮定が成り立つこととは、状態\(\succsim _{I}=\left( \succsim _{i},\succsim _{-i}\right) \)を任意に選んだときに、任意の2つの配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)に対して、\begin{equation*}a_{I}\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ a_{I}^{\prime
}\Leftrightarrow a_{i}\succsim _{i}a_{i}^{\prime }
\end{equation*}という関係が成り立つことを意味します。ただし、左側の\(\succsim_{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は配分どうしを比較する選好であり、右側の\(\succsim _{i}\)は商品どうしを比較する選好です。つまり、非外部性の仮定が成り立つこととは、プレイヤー\(i\)にとって配分\(a_{I}\)が配分\(a_{I}^{\prime }\)以上に望ましいことと、\(a_{I}\)のもとで自身に割り当てられる商品\(a_{i}\)が\(a_{I}^{\prime }\)のもとで自身に割り当てられる商品\(a_{i}^{\prime }\)以上に望ましいことが必要十分であることを意味します。非外部性の仮定のもとでは、プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好関係\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は、プレイヤー\(i\)が商品どうしを比較する選好関係\(\succsim _{i}\)と実質的に等しくなります。

 

私的価値の仮定

非分割財の交換経済を描写する環境において、プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する配分集合\(A\)上の選好関係を\(\succsim _{i}^{A}\)ではなく\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)と表現する理由は、プレイヤー\(i\)による配分の評価は自身が商品どうしを比較する選好\(\succsim_{i}\)だけに依存するのではなく、他のプレイヤーたちが商品どうしを比較する選好\(\succsim_{-i}\)に依存するという状況が起こり得るからです。ただ、非分割財の交換経済の分析では多くの場合、プレイヤーが配分どうしを比較する選好関係の形状は\(\succsim _{i}\)のみに依存し、\(\succsim _{-i}\)には依存しないものと仮定します。このような仮定を私的価値(private values)の仮定と呼びます。例えば、プレイヤーは交換を通じて得た商品を再交換せずに自身でそのまま消費する場合、他のプレイヤーにとっての商品の評価に関する情報は重要ではないため、このような状況は私的価値の仮定と整合的です。

プレイヤー\(i\)に関して私的価値性の仮定が成り立つこととは、プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する\(A\)上の選好関係を、\begin{equation*}\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{i}\right] \end{equation*}と表現できることを意味します。つまり、プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好の形状が\(\succsim _{-i}\)に依存しないということです。

プレイヤー\(i\)に関して非外部性と私的価値を仮定する場合、任意の2つの配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)に対して、\begin{eqnarray*}a_{I}\succsim _{i}^{A}[\succsim _{I}]\ a_{I}^{\prime } &\Leftrightarrow
&a_{I}\succsim _{i}^{A}[\succsim _{i}]\ a_{I}^{\prime }\quad \because \text{私的価値の仮定} \\
&\Leftrightarrow &a_{i}\succsim _{i}[\succsim _{i}]\ a_{i}^{\prime }\quad
\because \text{非外部性の仮定} \\
&\Leftrightarrow &a_{i}\succsim _{i}a_{i}^{\prime }
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
a_{I}\succsim _{i}^{A}[\succsim _{I}]\ a_{I}^{\prime }\Leftrightarrow
a_{i}\succsim _{i}a_{i}^{\prime }
\end{equation*}という関係が成り立つため、プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}[\succsim _{I}]\)について考えるかわりに、プレイヤー\(i\)が商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)について考えても一般性は失われません。

 

私的価値モデル

一般に、非分割財の交換経済を描写する環境は、\begin{equation*}
\left( I,\left\{ h_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ \succsim _{i}\right\}
_{i\in I},A,\left\{ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \right\}
_{i\in I}\right)
\end{equation*}と定式化されます。ただ、任意のプレイヤー\(i\)について非外部性と私的価値を仮定する場合には\(\succsim _{i}^{A}\left[\succsim _{I}\right] \)は\(\succsim _{i}\)と実質的に等しくなるため、そのような場合の環境を、\begin{equation*}\left( I,\left\{ h_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ \succsim _{i}\right\}
_{i\in I},A\right)
\end{equation*}とシンプルに記述できます。このようなモデルを私的価値モデル(private value model)と呼ぶこととします。非分割財の交換経済の分析では多くの場合、私的価値モデルを対象とします。

次回は非分割財の交換経済における商品の交換ルールをメカニズムと呼ばれる概念として定式化します。

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