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トップ・トレーディング・サイクルメカニズム

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トップ・トレーディング・サイクルメカニズム

非分割財の交換経済におけるメカニズムとは、エージェントたちが申告する選好の組\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)に対して、何らかの配分\begin{equation*}
\phi \left( \succsim _{I}\right) =\left( \phi _{i}\left( \succsim
_{I}\right) \right) _{i\in I}\in A
\end{equation*}を定める写像\(\phi :\mathcal{R}_{I}\rightarrow A\)として定式化されます。メカニズムを設計することとは、この写像\(\phi \)の具体的な形状を定めることを意味します。今回は、非分割財の交換経済における代表的なメカニズムであるトップ・トレーディング・サイクルメカニズム(top trading cycle mechanism)について解説します。以降では、これをTTCメカニズム(TTC mechanism)と呼ぶこととします。

TTCメカニズムについて分析する際には、多くの場合、非外部性と私的価値を仮定します。つまり、私的価値モデルを分析対象とするということです。この場合、任意のエージェント\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。さらに、任意のエージェント\(i\)の選好\(\succsim _{i}\)が選好順序であるとともに、狭義選好の仮定を設けます。この場合、メカニズムとは、エージェントたちが申告する狭義選好の組\(\succ _{I}\in \mathcal{P}_{I}\)に対して、何らかの配分\begin{equation*}
\phi \left( \succ _{I}\right) =\left( \phi _{i}\left( \succ _{I}\right)
\right) _{i\in I}\in A
\end{equation*}を定める写像\(\phi :\mathcal{P}_{I}\rightarrow A\)として定式化されます。以上を踏まえた上で、TTCメカニズム\(\phi \)は以下のように定義されます。

  1. エージェントたちが申告する狭義選好の組が\(\succ _{I}=\left( \succ _{i}\right) _{i\in I}\)であるものとする。それぞれのエージェント\(i\in I\)について、その人が申告した選好\(\succ _{i}\)のもとで、商品集合\(H\)に属する商品の中で最も望ましい商品が\(h\in H\)であるならば、\(i\)から\(h\)へ向けて矢印を描く(\(i\rightarrow h\))。また、それぞれの商品\(h\in H\)について、その商品を初期保有するエージェントが\(i\in I\)であるならば、\(h\)から\(i\)へ向けて矢印を描く(\(h\rightarrow i\))。以上のような矢印をすべて描くと少なくとも1つのサイクルが生成されるため、生成された何らかのサイクルに属するそれぞれのエージェントに対して、その人から伸びている矢印の先にある商品を与える。最後に、生成されたサイクルに属するすべてのエージェントと商品を取り除く。残されたエージェントからなる集合を\(I_{1}\ \left( \subset I\right) \)で表記し、残された商品からなる集合を\(H_{1}\ \left( \subset H\right) \)で表記する。\(I_{1}\not=\phi \)ならば次のステップへ進む。\(I_{1}=\phi \)ならばプロセスを終了する。
  2. それぞれのエージェント\(i\in I_{1}\)について、その人が申告した選好\(\succ _{i}\)のもとで、商品集合\(H_{1}\)に属する商品の中で最も望ましい商品が\(h\in H_{1}\)であるならば、\(i\)から\(h\)へ向けて矢印を描く(\(i\rightarrow h\))。また、それぞれの商品\(h\in H_{1}\)について、その商品を初期保有するエージェントが\(i\in I_{1}\)であるならば、\(h\)から\(i\)へ向けて矢印を描く(\(h\rightarrow i\))。以上のような矢印をすべて描くと、少なくとも1つのサイクルが生成されるため、生成された何らかのサイクルに属するそれぞれのエージェントに対して、その人から伸びている矢印の先にある商品を与える。最後に、生成されたサイクルに属するすべてのエージェントと商品を取り除く。残されたエージェントからなる集合を\(I_{2}\ \left( \subset I_{1}\right) \)で表記し、残された商品からなる集合を\(H_{2}\ \left( \subset H_{1}\right) \)で表記する。\(I_{2}\not=\phi \)ならば次のステップへ進む。\(I_{2}=\phi \)ならばプロセスを終了する。
  3. 以上のプロセスを繰り返す。各ステップ\(k\)の内容は以下のように一般化される。まず、直前のステップ\(k-1\)において消去されずに残ったエージェントからなる集合を\(I_{k}\ \left( \subset I_{k-1}\right) \)で表記し、同じく直前のステップ\(k-1\)において消去されずに残った商品からなる集合を\(H_{k}\ \left( \subset H_{k-1}\right) \)で表記する。それぞれのエージェント\(i\in I_{k}\)について、その人が申告した選好\(\succ _{i}\)のもとで、商品集合\(H_{k}\)に属する商品の中で最も望ましい商品が\(h\in H_{k}\)であるならば、\(i\)から\(h\)へ向けて矢印を描く(\(i\rightarrow h\))。また、それぞれの商品\(h\in H_{k}\)について、その商品を初期保有するエージェントが\(i\in I_{k}\)であるならば、\(h\)から\(i\)へ向けて矢印を描く(\(h\rightarrow i\))。以上のような矢印をすべて描くと、少なくとも1つのサイクルが生成されるため、生成された何らかのサイクルに属するそれぞれのエージェントに対して、その人から伸びている矢印の先にある商品を与える。最後に、生成されたサイクルに属するすべてのエージェントと商品を取り除く。残されたエージェントからなる集合を\(I_{k+1}\ \left( \subset I_{k}\right) \)で表記し、残された商品からなる集合を\(H_{k+1}\ \left( \subset H_{k}\right) \)で表記する。\(I_{k+1}\not=\phi \)ならば次のステップへ進む。\(I_{k+1}=\phi \)ならばプロセスを終了する。
  4. プロセスの終了後、それぞれのエージェント\(i\)には商品が1つずつ与えられているため、それを\(\phi _{i}\left( \succ _{I}\right) \)と定める。その結果、TTCメカニズム\(\phi \)が定める配分\(\phi \left( \succ _{I}\right) \)が得られる。
例(TTCメカニズム)
非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいて、エージェント集合が\(I=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)であるとき、商品集合は\(H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\} \)となります。ただし、\(h_{i}\)はエージェント\(i\)が初期保有する商品です。エージェントたちの狭義選好プロファイル\(\succ _{I}\)が、\begin{eqnarray*}
h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{4} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{4}\succ _{3}h_{3}\succ _{3}h_{2} \\
h_{3} &\succ &_{4}h_{2}\succ _{4}h_{1}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。この\(\succ _{I}\)に対してTTCメカニズムが定める配分\(\phi \left( \succ _{I}\right) \)は以下の通りです。まず、それぞれのエージェント\(i\in I\)から、その人の選好\(\succ _{i}\)のもとで\(H\)に属する商品の中で最も望ましい商品\(h\in H\)へ向けてそれぞれ矢印を描くと、\begin{equation*}
1\rightarrow h_{3},\quad 2\rightarrow h_{4},\quad 3\rightarrow h_{1},\quad
4\rightarrow h_{3}
\end{equation*}を得ます。また、それぞれの商品\(h\in H\)から、その商品を初期保有するエージェント\(i\in I\)へ向けてそれぞれ矢印を描くと、\begin{equation*}
h_{1}\rightarrow 1,\quad h_{2}\rightarrow 2,\quad h_{3}\rightarrow 3,\quad
h_{4}\rightarrow 4
\end{equation*}を得ます。以上の矢印から、以下のサイクル\begin{equation*}
1\rightarrow h_{3}\rightarrow 3\rightarrow h_{1}\rightarrow 1
\end{equation*}が生成されるため、エージェント\(1\)に商品\(h_{3}\)を与え、エージェント\(3\)に商品\(h_{1}\)を与えます。サイクルに含まれるエージェントと商品をそれぞれ消去すると、\begin{equation*}
I_{1}=\left\{ 2,4\right\} ,\quad H_{1}=\left\{ h_{2},h_{4}\right\}
\end{equation*}を得ます。\(I_{1}\not=\phi \)であるため次のステップへ進みます。エージェント\(i\in I_{1}\)から、その人の選好\(\succ _{i}\)のもとで\(H_{1}\)に属する商品の中で最も望ましい商品\(h\in H_{1}\)へ向けてそれぞれ矢印を描くと、\begin{equation*}
2\rightarrow h_{4},\quad 4\rightarrow h_{2}
\end{equation*}を得ます。また、それぞれの商品\(h\in H_{1}\)から、その商品を初期保有するエージェント\(i\in I_{1}\)へ向けてそれぞれ矢印を描くと、\begin{equation*}
h_{2}\rightarrow 2,\quad h_{4}\rightarrow 4
\end{equation*}を得ます。以上の矢印から、以下のサイクル\begin{equation*}
2\rightarrow h_{4}\rightarrow 4\rightarrow h_{2}\rightarrow 2
\end{equation*}が生成されるため、エージェント\(2\)に商品\(h_{4}\)を与え、エージェント\(4\)に商品\(h_{2}\)を与えます。サイクルに含まれるエージェントと商品をそれぞれ消去すると、\begin{equation*}
I_{2}=\phi ,\quad H_{2}=\phi
\end{equation*}を得ます。\(I_{2}=\phi \)であるためプロセスを完了します。したがって、TTCメカニズム\(\phi \)が\(\succ _{I} \)に対して定める配分は、\begin{eqnarray*}
\phi \left( \succ _{I}\right) &=&\left( \phi _{1}\left( \succ _{I}\right)
,\phi _{2}\left( \succ _{I}\right) ,\phi _{3}\left( \succ _{I}\right) ,\phi
_{4}\left( \succ _{I}\right) \right) \\
&=&\left( h_{3},h_{4},h_{1},h_{2}\right)
\end{eqnarray*}となります。

 

TTCはメカニズムである

TTCメカニズムはメカニズムとしての要件を満たすのでしょうか。TTCメカニズムを写像\(\phi :\mathcal{P}_{I}\rightarrow A\)として定義しましたが、これは、エージェントたちが表明する狭義選好の組\(\succ _{I}\in \mathcal{P}_{I}\)がいかなるものであっても、それに対して\(\phi \)は必ず配分\(\phi \left( \succ _{I}\right) \in A\)を1つずつ選び取ることができることを意味します。実際、TTCメカニズムは常に配分を1つずつ選び取ることができるのでしょうか。

まず、非分割財の交換経済の前提としてエージェント集合\(I\)は有限集合であり、したがってエージェントの人数は有限です。なおかつ、後ほど示すように、TTCメカニズムの各回のステップにおいて少なくとも1つのサイクルが必ず生成されることから、TTCメカニズムのプロセスは高々有限\(\left\vert I\right\vert \)ステップで必ず終了します。また、やはり後ほど示すように、仮にそれぞれのステップにおいて複数のサイクルが生成される場合、それらのサイクルが交わることはありません。したがって、あるステップにおいてあるエージェントが複数のサイクルに属することは起こり得ないことから、生成されたサイクルに属するそれぞれのエージェントに与えられる商品は1つだけです。また、あるステップにおいて商品を与えられたエージェントは消去されて以降のステップには参加しないため、そのエージェントが以降のステップにおいて再び商品を与えられる可能性はありません。また、エージェントが消去される際には、直前のステップにおいて1つの商品を入手しています。つまり、TTCメカニズムのプロセスは有限ステップで完了することが保証されるとともに、プロセスが終了した時点においてすべてのエージェントに商品が1つずつ与えられていることが保証されるため、TTCメカニズムは常に配分を1つずつ選び取ることが明らかになりました。TTCメカニズムはメカニズムとしての要件を満たしているということです。

ただ、上の議論中の2つの主張は証明されていません。1つは、TTCメカニズムの各ステップにおいて少なくとも1つのサイクルが必ず生成されること。もう1つは、仮にそれぞれのステップにおいて複数のサイクルが生成される場合、それらのサイクルが交わらないこと。以降ではこれらを証明します。

まずは、TTCメカニズムの各ステップにおいて少なくとも1つのサイクルが必ず生成されることの証明です。そこで、TTCメカニズムのあるステップにおいてサイクルが1つも生成されないものと仮定して矛盾を導きます。ただし、そのステップの開始時点におけるエージェント集合を\(I_{k}\)で、商品集合を\(H_{k}\)でそれぞれ表記します。両者の間には、\begin{equation*}
H_{k}=\left\{ h_{i}\right\} _{i\in I_{k}}
\end{equation*}という関係が明らかに成り立つため、これらの集合に含まれる要素の個数を、\begin{equation*}
\left\vert I_{k}\right\vert =\left\vert H_{k}\right\vert =m\in \mathbb{N} \end{equation*}と定めます。問題としているステップの開始時点において、\(m\)人のエージェントと、彼らが初期保有する\(m\)個の商品が消去されずに残っているということです。\(I_{k}\)に属するエージェントを任意に選び、彼をエージェント\(1\in I_{k}\)と呼ぶこととします。このステップにおいてサイクルが生成されないということは、エージェント\(1\)から伸びる矢印の先にある商品が自身が初期保有する商品\(h_{1}\in H_{k}\)とは異なる商品であることを意味します。そこで、その商品を\(h_{2}\in H_{k}\)と呼ぶこととします。\(1\rightarrow h_{2}\)かつ\(h_{2}\not=h_{1}\)です。

続いて、この商品\(h_{2}\)を初期保有するエージェント\(2\in I_{k}\)に注目します。このステップにおいてサイクルが生成されないということは、エージェント\(2\)から伸びる矢印の先にある商品が自身が初期保有する商品\(h_{2}\in H_{k}\)ではなく、商品\(h_{2} \)に対して矢印を伸ばしているエージェント\(1\)が初期保有する商品\(h_{1}\in H_{k}\)でもないことを意味します。そこで、その商品を\(h_{3}\in H_{k}\)と呼ぶこととします。\(2\rightarrow h_{3}\)かつ\(h_{3}\not=h_{2}\)かつ\(h_{3}\not=h_{1}\)です。

同様に考えていくと、このステップにおいてサイクルが生成されないということは、最後の1人である\(m\)人目のエージェント\(m\in I_{k}\)から伸びる矢印の先にある商品が自身が初期保有する商品\(h_{m}\in H_{k}\)ではなく、\(I_{k}\)に属する他の任意のエージェント\(1,2,\cdots ,m-1\)たちが初期保有する商品\(h_{1},h_{2},\cdots ,h_{m-1}\in H_{k}\)でもないことを意味します。ただ、\(\left\vert H_{k}\right\vert =m\)であることからそのような商品は存在せず、矛盾です。したがって、TTCメカニズムの各ステップにおいて少なくとも1つのサイクルが必ず生成されることが明らかになりました。

命題(TTCにおいてサイクルは必ず生成される)
非分割財の交換経済においてTTCメカニズム\(\phi :\mathcal{P}_{I}\rightarrow A\)を導入したとき、メカニズムの各ステップにおいて、少なくとも1つのサイクルが必ず生成される。
証明を見る(プレミアム会員限定)

続いて、TTCメカニズムの各ステップにおいて複数のサイクルが生成される場合、それらが交わらないことの証明です。そこで、TTCメカニズムのあるステップにおいて生成された複数のサイクルが交わるものと仮定して矛盾を導きます。そのような複数のサイクルの中から2つのサイクルを任意に選びます。これらのサイクルが異なるという事実と、これらのサイクルが交わるという事実から、これらのサイクルに共通して含まれるエージェント\(i\)もしくは商品\(h\)の中に、異なる2つの対象に対して矢印を伸ばしているものが存在しなければなりません。ただ、エージェント\(i\)の選好は狭義選好\(\succ _{i}\)であり、また、商品\(h\)を初期保有するエージェントは1人であることから、これは矛盾です。したがって、TTCメカニズムの各ステップにおいて複数のサイクルが生成される場合、それらが交わらないことが明らかになりました。

命題(TTCにおいて複数のサイクルは交わらない)
非分割財の交換経済においてTTCメカニズム\(\phi :\mathcal{P}_{I}\rightarrow A\)を導入したとき、メカニズムのあるステップにおいて複数のサイクルが生成される場合、それらは交わらない。
証明を見る(プレミアム会員限定)

 

TTCメカニズムの望ましさ

TTCメカニズムはどのような望ましい性質を持っているのでしょうか。非分割財の交換経済において非外部性と私的価値を仮定するとともに(私的価値モデル)、任意のエージェントの選好が選好順序であることと狭義選好の仮定を設ける場合、TTCメカニズムは唯一のコア選択メカニズムであることが知られています。また、同様の仮定のもと、あるメカニズムがコア選択であることは、そのメカニズムが耐戦略性、個人合理性、そしてパレート効率性を満たすための必要十分条件であることが知られています。したがって、TTCメカニズムは耐戦略性、個人合理性、そしてパレート効率性を満たします。また、TTCメカニズムは競争均衡メカニズムであることも知られています。以降では、TTCメカニズムをより厳密に定式化した上で、TTCメカニズムの性質に関する以上の論点について詳しく解説します。

例(TTCメカニズムの望ましさ)
非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいて、エージェント集合が\(I=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)であるとき、商品集合は\(H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\} \)となります。ただし、\(h_{i}\)はエージェント\(i\)が初期保有する商品です。エージェントたちの狭義選好プロファイル\(\succ _{I}\)が、\begin{eqnarray*}
h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{4} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{4}\succ _{3}h_{3}\succ _{3}h_{2} \\
h_{3} &\succ &_{4}h_{2}\succ _{4}h_{1}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。先に確認したように、この\(\succ _{I}\)に対してTTCメカニズムが定める配分\(\phi \left( \succ _{I}\right) \)は、\begin{eqnarray*}
\phi \left( \succ _{I}\right) &=&\left( \phi _{1}\left( \succ _{I}\right)
,\phi _{2}\left( \succ _{I}\right) ,\phi _{3}\left( \succ _{I}\right) ,\phi
_{4}\left( \succ _{I}\right) \right) \\
&=&\left( h_{3},h_{4},h_{1},h_{2}\right)
\end{eqnarray*}となります。この配分において、エージェント\(1,2,3\)は自身にとって最も望ましい商品を入手しており、エージェント\(4\)は自身が初期保有する商品\(h_{4}\)よりも望ましい商品を入手しているため、明らかに任意の提携はこの配分\(\phi \left( \succ _{I}\right) \)を拒否して提携内でパレート改善できる可能性がありません。したがって、\(\phi \left( \succ _{I}\right) \)は\(\succsim _{I}\)のもとでコアです(確認してください)。コアは個人合理的かつパレート効率的な配分でもあるため、\(\phi \left( \succ _{I}\right) \)は\(\succsim _{I}\)のもとで個人合理的かつパレート効率的でもあります(確認してください)。また、以下の価格体系\begin{equation*}
p=\left( p_{h_{1}},p_{h_{2}},p_{h_{3}},p_{h_{4}}\right) =\left(
3,2,3,2\right)
\end{equation*}のもとで\(\phi \left( \succ _{I}\right) \)は競争的であるため(確認してください)、\(\left( \phi \left( \succ _{I}\right) ,p\right) \)は\(\succsim _{I}\)のもとで競争均衡でもあります。加えて、TTCメカニズムは耐戦略性を満たすため、上の狭義選好プロファイル\(\succ _{I}\)が真の状態であれば、エージェントたちが実際に表明する狭義選好プロファイルも\(\succ _{I}\)と一致することが理論的に予測されるため、均衡において実現する配分\(\phi \left( \succ _{I}\right) \)は真の意味においてコア、個人合理的、パレート効率的、そして競争的になります。

次回はトップ・トレーディング・サイクルメカニズムをより厳密な形で定式化します。

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