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EXCHANGE ECONOMY WITH INDIVISIBLE GOODS

非分割財の交換経済におけるトップ・トレーディング・サイクルメカニズム

目次

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トップ・トレーディング・サイクルメカニズム

非分割財の交換経済におけるメカニズムとは、エージェントたちが申告する選好からなる組\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)に対して、何らかの配分\begin{equation*}\phi \left( \succsim _{I}\right) =\left( \phi _{i}\left( \succsim
_{I}\right) \right) _{i\in I}\in A
\end{equation*}を1つずつ選ぶ写像\(\phi :\mathcal{R}_{I}\rightarrow A\)として定式化されます。メカニズムを設計することとは、この写像\(\phi \)の具体的な形状を定めることを意味します。今回は、非分割財の交換経済における代表的なメカニズムであるトップ・トレーディング・サイクルメカニズム(top tradingcycle mechanism)について解説します。以降では、これをTTCメカニズム(TTC mechanism)と呼ぶこととします。

TTCメカニズムについて分析する際には、多くの場合、私的価値モデルを分析対象にします。つまり、エージェントの選好について非外部性と私的価値の仮定を置くということです。この場合、任意のエージェント\(i\)について、商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)と配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)は実質的に等しくなります。以上の仮定に加えて、任意のエージェント\(i\)の選好\(\succsim _{i}\)が選好順序であるとともに、狭義選好の仮定を満たすものと定めます。以上を踏まえた上で、TTCメカニズム\(\phi \)を以下のように定義します。

  1. 【ステップ\(1\)】エージェントたちが申告する選好の組が\(\succsim_{I}=\left( \succsim _{i}\right) _{i\in I}\)であるものとする。また、初期時点のエージェント集合と商品集合を\(I_{1}=I\)と\(H_{1}=H\)でそれぞれ表記する。それぞれのエージェント\(i\in I_{1}\)について、その人が申告した選好\(\succsim \)のもとで、商品集合\(H_{1}\)に属する商品の中で最も望ましい商品が\(h\in H_{1}\)であるならば、\(i\)から\(h\)へ向けて矢印を描く(\(i\rightarrow h\))。また、それぞれの商品\(h\in H_{1}\)について、その商品を初期保有するエージェントが\(i\in I_{1}\)であるならば、\(h\)から\(i\)へ向けて矢印を描く(\(h\rightarrow i\))。以上のような矢印をすべて描くと少なくとも1つのサイクルが生成されるため、生成された何らかのサイクルに属するそれぞれのエージェントに対して、その人から伸びている矢印の先にある商品を与える。最後に、生成されたサイクルに属するすべてのエージェントと商品を取り除く。残されたエージェントからなる集合を\(I_{2}\)で表記し、残された商品からなる集合を\(H_{2}\)で表記する。\(I_{2}\not=\phi \)ならば次のステップへ進む。\(I_{2}=\phi \)ならばプロセスを終了する。
  2. 【ステップ\(2\)】それぞれのエージェント\(i\in I_{2}\)について、その人が申告した選好\(\succsim _{i}\)のもとで、商品集合\(H_{2}\)に属する商品の中で最も望ましい商品が\(h\in H_{2}\)であるならば、\(i\)から\(h\)へ向けて矢印を描く(\(i\rightarrow h\))。また、それぞれの商品\(h\in H_{2}\)について、その商品を初期保有するエージェントが\(i\in I_{2}\)であるならば、\(h\)から\(i\)へ向けて矢印を描く(\(h\rightarrow i\))。以上のような矢印をすべて描くと、少なくとも1つのサイクルが生成されるため、生成された何らかのサイクルに属するそれぞれのエージェントに対して、その人から伸びている矢印の先にある商品を与える。最後に、生成されたサイクルに属するすべてのエージェントと商品を取り除く。残されたエージェントからなる集合を\(I_{3}\)で表記し、残された商品からなる集合を\(H_{3}\)で表記する。\(I_{3}\not=\phi \)ならば次のステップへ進む。\(I_{3}=\phi \)ならばプロセスを終了する。
  3. 【ステップ\(k\)】以上のプロセスを繰り返す。各ステップ\(k\)の内容は以下のように一般化される。まず、直前のステップ\(k-1\)において消去されずに残ったエージェントからなる集合を\(I_{k}\)で表記し、同じく直前のステップ\(k-1\)において消去されずに残った商品からなる集合を\(H_{k}\)で表記する。それぞれのエージェント\(i\in I_{k}\)について、その人が申告した選好\(\succsim _{i}\)のもとで、商品集合\(H_{k}\)に属する商品の中で最も望ましい商品が\(h\in H_{k}\)であるならば、\(i\)から\(h\)へ向けて矢印を描く(\(i\rightarrow h\))。また、それぞれの商品\(h\in H_{k}\)について、その商品を初期保有するエージェントが\(i\in I_{k}\)であるならば、\(h\)から\(i\)へ向けて矢印を描く(\(h\rightarrow i\))。以上のような矢印をすべて描くと、少なくとも1つのサイクルが生成されるため、生成された何らかのサイクルに属するそれぞれのエージェントに対して、その人から伸びている矢印の先にある商品を与える。最後に、生成されたサイクルに属するすべてのエージェントと商品を取り除く。残されたエージェントからなる集合を\(I_{k+1}\)で表記し、残された商品からなる集合を\(H_{k+1}\)で表記する。\(I_{k+1}\not=\phi \)ならば次のステップへ進む。\(I_{k+1}=\phi \)ならばプロセスを終了する。
  4. プロセスの終了後、それぞれのエージェント\(i\)には商品が1つずつ与えられているため、それを\(\phi _{i}\left( \succsim_{I}\right) \)と定める。その結果、TTCメカニズム\(\phi \)が定める配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)が得られる。
例(TTCメカニズム)
非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいて、エージェント集合が\(I=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)であるとき、商品集合は\(H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\} \)となります。ただし、\(h_{i}\)はエージェント\(i\)が初期保有する商品です。\(I_{1}=I\)かつ\(H_{1}=H\)とおきます。エージェントたちが申告する選好プロファイル\(\succsim _{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{4} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{4}\succ _{3}h_{3}\succ _{3}h_{2} \\
h_{3} &\succ &_{4}h_{2}\succ _{4}h_{1}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}であるものとします。これは完備性、推移性、狭義選好の仮定を満たしています。以上の選好プロファイル\(\succsim _{I}\)に対してTTCメカニズムが定める配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)は以下の通りです。まず、それぞれのエージェント\(i\in I_{1}\)から、その人の選好\(\succsim _{i}\)のもとで\(H_{1}\)に属する商品の中で最も望ましい商品\(h\in H_{1}\)へ向けてそれぞれ矢印を描くと、\begin{equation*}1\rightarrow h_{3},\quad 2\rightarrow h_{4},\quad 3\rightarrow h_{1},\quad
4\rightarrow h_{3}
\end{equation*}を得ます。また、それぞれの商品\(h\in H_{1}\)から、その商品を初期保有するエージェント\(i\in I_{1}\)へ向けてそれぞれ矢印を描くと、\begin{equation*}h_{1}\rightarrow 1,\quad h_{2}\rightarrow 2,\quad h_{3}\rightarrow 3,\quad
h_{4}\rightarrow 4
\end{equation*}を得ます。以上の矢印から、以下のサイクル\begin{equation*}
1\rightarrow h_{3}\rightarrow 3\rightarrow h_{1}\rightarrow 1
\end{equation*}が生成されるため、エージェント\(1\)に商品\(h_{3}\)を与え、エージェント\(3\)に商品\(h_{1}\)を与えます。サイクルに含まれるエージェントと商品をそれぞれ消去すると、\begin{equation*}I_{2}=\left\{ 2,4\right\} ,\quad H_{2}=\left\{ h_{2},h_{4}\right\}
\end{equation*}を得ます。\(I_{2}\not=\phi \)であるため次のステップへ進みます。エージェント\(i\in I_{2}\)から、その人の選好\(\succsim _{i}\)のもとで\(H_{2}\)に属する商品の中で最も望ましい商品\(h\in H_{2}\)へ向けてそれぞれ矢印を描くと、\begin{equation*}2\rightarrow h_{4},\quad 4\rightarrow h_{2}
\end{equation*}を得ます。また、それぞれの商品\(h\in H_{2}\)から、その商品を初期保有するエージェント\(i\in I_{2}\)へ向けてそれぞれ矢印を描くと、\begin{equation*}h_{2}\rightarrow 2,\quad h_{4}\rightarrow 4
\end{equation*}を得ます。以上の矢印から、以下のサイクル\begin{equation*}
2\rightarrow h_{4}\rightarrow 4\rightarrow h_{2}\rightarrow 2
\end{equation*}が生成されるため、エージェント\(2\)に商品\(h_{4}\)を与え、エージェント\(4\)に商品\(h_{2}\)を与えます。サイクルに含まれるエージェントと商品をそれぞれ消去すると、\begin{equation*}I_{3}=\phi ,\quad H_{3}=\phi
\end{equation*}を得ます。\(I_{3}=\phi \)であるためプロセスを完了します。したがって、TTCメカニズムが定める配分は、\begin{eqnarray*}\phi \left( \succsim _{I}\right) &=&\left( \phi _{1}\left( \succsim
_{I}\right) ,\phi _{2}\left( \succsim _{I}\right) ,\phi _{3}\left( \succsim
_{I}\right) ,\phi _{4}\left( \succsim _{I}\right) \right) \\
&=&\left( h_{3},h_{4},h_{1},h_{2}\right)
\end{eqnarray*}となります。

 

TTCはメカニズムである

TTCメカニズムはメカニズムとしての要件を満たすのでしょうか。メカニズムを写像\(\phi :\mathcal{R}_{I}\rightarrow A\)として定義しましたが、これは、エージェントたちが表明する選好の組\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)がいかなるものであっても、それに対して\(\phi \)は必ず配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \in A\)を1つずつ選び取ることができることを意味します。実際、TTCメカニズムは常に配分を1つずつ選び取ることができるのでしょうか。

まず、非分割財の交換経済の前提としてエージェント集合\(I\)は有限集合であり、したがってエージェントの人数は有限です。なおかつ、後ほど示すように、TTCメカニズムの各回のステップにおいて少なくとも1つのサイクルが必ず生成されることから、TTCメカニズムのプロセスは有限ステップで終了します。また、やはり後ほど示すように、仮にそれぞれのステップにおいて複数のサイクルが生成される場合、それらのサイクルが交わることはありません。したがって、あるステップにおいてあるエージェントが複数のサイクルに属することは起こり得ないことから、生成されたサイクルに属するそれぞれのエージェントに与えられる商品は1つだけです。また、あるステップにおいて商品を与えられたエージェントは消去されて以降のステップには参加しないため、そのエージェントが以降のステップにおいて再び商品を与えられる可能性はありません。また、エージェントが消去される際には、直前のステップにおいて1つの商品を入手しています。つまり、TTCメカニズムのプロセスは有限ステップで完了することが保証されるとともに、プロセスが終了した時点においてすべてのエージェントに商品が1つずつ与えられていることが保証されるため、TTCメカニズムは常に配分を1つずつ選び取ることが明らかになりました。TTCメカニズムはメカニズムとしての要件を満たしているということです。

ただ、上の議論中の2つの主張は証明されていません。1つは、TTCメカニズムの各ステップにおいて少なくとも1つのサイクルが必ず生成されること。もう1つは、仮にそれぞれのステップにおいて複数のサイクルが生成される場合、それらのサイクルが交わらないこと。以降ではこれらを証明します。

命題(TTCにおいてサイクルは必ず生成される)
非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいて、任意のエージェントの選好が完備性、推移性、狭義選好の仮定を満たすものとする。TTCメカニズムを導入したとき、メカニズムの各ステップにおいて、少なくとも1つのサイクルが必ず生成される。また、メカニズムのあるステップにおいて複数のサイクルが生成される場合、それらは交わらない。

証明

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TTCメカニズムは耐戦略的メカニズム

TTCメカニズムは耐戦略的なメカニズムです。つまり、TTCメカニズムでは正直戦略の組が支配戦略均衡になります。任意のエージェントにとって、真の選好を正直に申告することが支配戦略になるということです。まずは以下の補題を示します。

命題(TTCメカニズムの耐戦略性)
非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいて、任意のエージェントの選好が完備性、推移性、狭義選好の仮定を満たすものとする。エージェント\(i\in I\)およびその選好\(\succsim _{i},\succsim _{i}^{\prime }\in \mathcal{R}_{i}\)に加え、他のエージェントたちの選好\(\succsim_{-i}\in \mathcal{R}_{-i}\)をそれぞれ任意に選ぶ。TTCメカニズム\(\phi :\mathcal{R}_{I}\rightarrow A\)においてエージェントたちが申告する選好プロファイルが\(\left( \succsim _{i},\succsim _{-i}\right) \)である場合、エージェント\(i\)はステップ\(k\)において商品を獲得するものとする。一方、エージェントたちが申告する選好プロファイルが\(\left( \succsim_{i}^{\prime },\succsim _{-i}\right) \)である場合、エージェント\(i\)はステップ\(k^{\prime }\)において商品を獲得するものとする。仮に\(k\leq k^{\prime }\)であるならば、どちらの場合においても、ステップ\(k\)の冒頭において同じエージェントと商品が消去されずに残っている。
証明

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以上の補題を踏まえた上で、TTCメカニズムが耐戦略的であることを示します。

命題(TTCメカニズムの耐戦略性)
非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいて、任意のエージェントの選好が完備性、推移性、狭義選好の仮定を満たす場合、TTCメカニズムは耐戦略性を満たす。

証明

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例(TTCメカニズムの耐戦略性)
非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいて、エージェント集合が\(I=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)であるとき、商品集合は\(H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\} \)となります。ただし、\(h_{i}\)はエージェント\(i\)が初期保有する商品です。\(I_{1}=I\)かつ\(H_{1}=H\)とおきます。エージェントたちが申告する選好プロファイル\(\succsim _{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{4} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{4}\succ _{3}h_{3}\succ _{3}h_{2} \\
h_{3} &\succ &_{4}h_{2}\succ _{4}h_{1}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}であるものとします。これは完備性、推移性、狭義選好の仮定を満たしています。全員が正直戦略にしたがう場合、TTCメカニズムが定める配分は、\begin{equation*}
\phi \left( \succsim _{I}\right) =\left( h_{3},h_{4},h_{1},h_{2}\right)
\end{equation*}です。エージェント\(1,2,3\)は自身にとって最も望ましい商品を得ているため、あえて偽るインセンティブはありません。エージェント\(4\)は自身にとって2番目に望ましい商品を得ていますが、エージェント\(1,2,3\)が正直戦略にしたがう一方で、エージェント\(4\)が正直戦略とは異なる戦略を任意に選んだ場合でも、TTCメカニズムが定める配分は\(\phi \left(\succsim _{I}\right) \)のままです(確認してください)。この結果は先の命題と整合的です。

 

TTCメカニズムは狭義コア選択メカニズム

TTCメカニズムは狭義コア選択メカニズムでもあります。つまり、TTCメカニズムが定める配分が与えられたとき、任意の提携は、その内部で広義パレート改善を実現できる可能性はありません。

命題(TTCメカニズムは狭義コア選択)
非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいて、任意のエージェントの選好が完備性、推移性、狭義選好の仮定を満たす場合、TTCメカニズムは狭義コア選択メカニズムである。

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例(TTCメカニズムは狭義コア選択)
非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいて、エージェント集合が\(I=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)であるとき、商品集合は\(H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\} \)となります。ただし、\(h_{i}\)はエージェント\(i\)が初期保有する商品です。\(I_{1}=I\)かつ\(H_{1}=H\)とおきます。エージェントたちが申告する選好プロファイル\(\succsim _{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{4} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{4}\succ _{3}h_{3}\succ _{3}h_{2} \\
h_{3} &\succ &_{4}h_{2}\succ _{4}h_{1}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}であるものとします。これは完備性、推移性、狭義選好の仮定を満たしています。以上の選好プロファイルに対してTTCメカニズムが定める配分は、\begin{equation*}
\phi \left( \succsim _{I}\right) =\left( h_{3},h_{4},h_{1},h_{2}\right)
\end{equation*}です。エージェント\(1,2,3\)は自身にとって最も望ましい商品を得ている一方、エージェント\(4\)は自身にとって2番目に望ましい商品を得ています。エージェント\(4\)に商品\(h_{3}\)を与えようとすると、いかなる形においても他のエージェントの満足度が下がってしまいます。したがって、\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)は\(\succsim _{I}\)のもとでの狭義コアです。この結果は先の命題と整合的です。

 

TTCメカニズムは事後個人合理的メカニズム

非分割財の交換経済において、狭義コア選択メカニズムは事後個人合理性を満たします。先の命題より、TTCメカニズムは狭義コア選択であるため、事後個人合理的でもあります。

命題(TTCメカニズムは事後個人合理的)
非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいて、任意のエージェントの選好が完備性、推移性、狭義選好の仮定を満たす場合、TTCメカニズムは事後個人合理的メカニズムである。

例(TTCメカニズムは事後個人合理的)
非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいて、エージェント集合が\(I=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)であるとき、商品集合は\(H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\} \)となります。ただし、\(h_{i}\)はエージェント\(i\)が初期保有する商品です。\(I_{1}=I\)かつ\(H_{1}=H\)とおきます。エージェントたちが申告する選好プロファイル\(\succsim _{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{4} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{4}\succ _{3}h_{3}\succ _{3}h_{2} \\
h_{3} &\succ &_{4}h_{2}\succ _{4}h_{1}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}であるものとします。これは完備性、推移性、狭義選好の仮定を満たしています。以上の選好プロファイルに対してTTCメカニズムが定める配分は、\begin{equation*}
\phi \left( \succsim _{I}\right) =\left( h_{3},h_{4},h_{1},h_{2}\right)
\end{equation*}です。このとき、\begin{eqnarray*}
\phi _{1}\left( \succsim _{I}\right) &=&h_{3}\succ _{1}h_{1} \\
\phi _{2}\left( \succsim _{I}\right) &=&h_{4}\succ _{2}h_{2} \\
\phi _{3}\left( \succsim _{I}\right) &=&h_{1}\succ _{3}h_{3} \\
\phi _{4}\left( \succsim _{I}\right) &=&h_{2}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}が成立しているため、\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)は\(\succsim _{I}\)のもとで個人合理的です。この結果は先の命題と整合的です。

 

TTCメカニズムは狭義事後効率的メカニズム

非分割財の交換経済において、狭義コア選択メカニズムは狭義事後効率性を満たします。先の命題より、TTCメカニズムは狭義コア選択であるため、狭義事後効率的でもあります。

命題(TTCメカニズムは狭義事後効率的)
非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいて、任意のエージェントの選好が完備性、推移性、狭義選好の仮定を満たす場合、TTCメカニズムは狭義事後効率的メカニズムである。

例(TTCメカニズムは狭義事後効率的)
非分割財の交換経済の私的価値モデルにおいて、エージェント集合が\(I=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)であるとき、商品集合は\(H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\} \)となります。ただし、\(h_{i}\)はエージェント\(i\)が初期保有する商品です。\(I_{1}=I\)かつ\(H_{1}=H\)とおきます。エージェントたちが申告する選好プロファイル\(\succsim _{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{4} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{4}\succ _{3}h_{3}\succ _{3}h_{2} \\
h_{3} &\succ &_{4}h_{2}\succ _{4}h_{1}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}であるものとします。これは完備性、推移性、狭義選好の仮定を満たしています。以上の選好プロファイルに対してTTCメカニズムが定める配分は、\begin{equation*}
\phi \left( \succsim _{I}\right) =\left( h_{3},h_{4},h_{1},h_{2}\right)
\end{equation*}です。エージェント\(1,2,3\)は自身にとって最も望ましい商品を得ている一方、エージェント\(4\)は自身にとって2番目に望ましい商品を得ています。エージェント\(4\)に商品\(h_{3}\)を与えようとすると他のエージェントの満足度が下がってしまいます。したがって、\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)は\(\succsim _{I}\)のもとで狭義パレート効率的です。この結果は先の命題と整合的です。
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