TTCメカニズムは唯一の狭義コア選択メカニズム

非分割財の交換問題における狭義コアの存在

非分割財の交換問題の私的価値モデルにおいて、任意のエージェントの選好が完備性、推移性、狭義選好の仮定を満たす場合、TTCメカニズム$\phi $はメカニズムとしての要件を満たすため、選好プロファイル$\succsim _{I}$を入力すれば、それに対して必ず1つの配分$\phi \left( \succsim _{I}\right) $を返します。加えて、TTCメカニズムは狭義コア選択メカニズムであるため、この配分$\phi \left(\succsim _{I}\right) $は$\succsim _{I}$のもとで狭義コアであることが保証されます。したがって以下を得ます。

命題（非分割財の交換問題における狭義コアの存在）

非分割財の交換問題の私的価値モデルにおいて、任意のエージェントの選好が完備性、推移性、狭義選好の仮定を満たすものとする。状態$\succsim_{I}\in \mathcal{R}_{I}$を任意に選んだとき、$\succsim _{I}$のもとでの狭義コアが存在する。

では、同様の条件のもと、TTCメカニズムが定める狭義コアとは異なる狭義コアは存在し得るのでしょうか。つまり、複数の狭義コアが存在する状況は起こり得るのでしょうか。狭義コアは一意的です。

命題（非分割財の交換問題における狭義コアの一意性）

非分割財の交換問題の私的価値モデルにおいて、任意のエージェントの選好が完備性、推移性、狭義選好の仮定を満たすものとする。状態$\succsim_{I}\in \mathcal{R}_{I}$を任意に選んだとき、$\succsim _{I}$のもとでの狭義コアが1つずつ存在する。

証明

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以上の諸命題は、TTCメカニズムが狭義コアを特定する手段としても有用であることを示唆しています。交換問題が与えられたとき、それに対してTTCメカニズムを適用すれば必ず狭義コアを得られるということです。しかも、それは唯一の狭義コアであることも保証されます。

例（非分割財の交換問題における狭義コア）

非分割財の交換問題の私的価値モデルにおいて、エージェント集合が、\begin{equation*}
I=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であるとき、商品集合は、\begin{equation*}
H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3}\right\}
\end{equation*}となります。ただし、$h_{i}$はエージェント$i$が初期保有する商品です。任意のエージェント$i$の選好関係$\succsim_{i}$は完備性と推移性に加えて狭義選好の仮定を満たすものとします。具体的には、エージェントたちの選好プロファイル$\succsim_{I}$が以下の表で与えられているものとします。

$$\begin{array}{cccc}\hline
エージェント\diagdown 順位 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
1 & h_{3} & h_{2} & h_{1} \\ \hline
2 & h_{1} & h_{2} & h_{3} \\ \hline
3 & h_{2} & h_{3} & h_{1} \\ \hline
\end{array}$$

表：エージェントの選好

例（非分割財の交換問題における狭義コア）

非分割財の交換問題の私的価値モデルにおいて、エージェント集合が、\begin{equation*}
I=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}であるとき、商品集合は、\begin{equation*}
H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\}
\end{equation*}となります。ただし、$h_{i}$はエージェント$i$が初期保有する商品です。任意のエージェント$i$の選好関係$\succsim_{i}$は完備性と推移性に加えて狭義選好の仮定を満たすものとします。具体的には、エージェントたちの選好プロファイル$\succsim_{I}$が以下の表で与えられているものとします。

$$\begin{array}{ccccc}\hline
エージェント\diagdown 順位 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
1 & h_{3} & h_{2} & h_{4} & h_{1} \\ \hline
2 & h_{4} & h_{1} & h_{2} & h_{3} \\ \hline
3 & h_{1} & h_{4} & h_{3} & h_{2} \\ \hline
4 & h_{3} & h_{2} & h_{1} & h_{4} \\ \hline
\end{array}$$

表：エージェントの選好

TTCメカニズム$\phi $に直面したエージェントたちが以上の選好プロファイル$\succsim _{I}$を申告する場合、TTCメカニズムが選択する配分$\phi \left(\succsim _{I}\right) $は以下のように決定されます。まず、\begin{eqnarray*}I_{1} &=&I \\
H_{1} &=&H
\end{eqnarray*}とおきます。それぞれのエージェント$i\in I_{1}$から、その人の選好$\succsim _{i}$のもとで$H_{1}$に属する商品の中で最も望ましい商品$h\in H_{1}$へ向けてそれぞれ矢印を描くと、\begin{equation*}1\rightarrow h_{3},\quad 2\rightarrow h_{4},\quad 3\rightarrow h_{1},\quad
4\rightarrow h_{3}
\end{equation*}を得ます。また、それぞれの商品$h\in H_{1}$から、その商品を初期保有するエージェント$i\in I_{1}$へ向けてそれぞれ矢印を描くと、\begin{equation*}h_{1}\rightarrow 1,\quad h_{2}\rightarrow 2,\quad h_{3}\rightarrow 3,\quad
h_{4}\rightarrow 4
\end{equation*}を得ます。以上の矢印から以下のサイクル\begin{equation*}
1\rightarrow h_{3}\rightarrow 3\rightarrow h_{1}\rightarrow 1
\end{equation*}が生成されるため、エージェント$1$に商品$h_{3}$を与え、エージェント$3$に商品$h_{1}$を与えます。サイクルに含まれるエージェントと商品をそれぞれ消去すると、\begin{eqnarray*}I_{2} &=&\left\{ 2,4\right\} \\
H_{2} &=&\left\{ h_{2},h_{4}\right\}
\end{eqnarray*}を得ます。$I_{2}\not=\phi $であるため次のステップへ進みます。エージェント$i\in I_{2}$から、その人の選好$\succsim _{i}$のもとで$H_{2}$に属する商品の中で最も望ましい商品$h\in H_{2}$へ向けてそれぞれ矢印を描くと、\begin{equation*}2\rightarrow h_{4},\quad 4\rightarrow h_{2}
\end{equation*}を得ます。また、それぞれの商品$h\in H_{2}$から、その商品を初期保有するエージェント$i\in I_{2}$へ向けてそれぞれ矢印を描くと、\begin{equation*}h_{2}\rightarrow 2,\quad h_{4}\rightarrow 4
\end{equation*}を得ます。以上の矢印から、以下のサイクル\begin{equation*}
2\rightarrow h_{4}\rightarrow 4\rightarrow h_{2}\rightarrow 2
\end{equation*}が生成されるため、エージェント$2$に商品$h_{4}$を与え、エージェント$4$に商品$h_{2}$を与えます。サイクルに含まれるエージェントと商品をそれぞれ消去すると、\begin{eqnarray*}I_{3} &=&\phi \\
H_{3} &=&\phi
\end{eqnarray*}を得ます。$I_{3}=\phi $であるためプロセスを完了します。したがって、TTCメカニズムが定める配分は、\begin{eqnarray*}\phi \left( \succsim _{I}\right) &=&\left( \phi _{1}\left( \succsim
_{I}\right) ,\phi _{2}\left( \succsim _{I}\right) ,\phi _{3}\left( \succsim
_{I}\right) ,\phi _{4}\left( \succsim _{I}\right) \right) \\
&=&\left( h_{3},h_{4},h_{1},h_{2}\right)
\end{eqnarray*}となります。先の命題より、これは$\succsim _{I}$のもとでの唯一の狭義コアです。

先の命題は、TTCメカニズムが唯一の狭義コア選択メカニズムであることも示唆します。TTCメカニズム$\phi $とは異なるメカニズム$\phi ^{\prime }$が狭義コア選択メカニズムであるものと仮定して矛盾を導きます。$\phi ^{\prime }$は$\phi $とは異なるメカニズムであるため、少なくとも1つの状態$\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}$において、\begin{equation*}\phi ^{\prime }\left( \succsim _{I}\right) \not=\phi \left( \succsim
_{I}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。TTCメカニズムは狭義コア選択メカニズムであるため$\phi \left( \succsim _{I}\right) $は$\succsim_{I}$のもとで狭義コアです。また、仮定より$\phi ^{\prime }$は狭義コア選択メカニズムであるため$\phi ^{\prime }\left( \succsim _{I}\right) $もまた$\succsim _{I}$のもとで狭義コアです。つまり、状態$\succsim _{I}$において異なる狭義コアが存在することになりますが、これは先の命題と矛盾です。したがって証明が完了しました。

命題（TTCメカニズムは唯一の狭義コア選択メカニズム）

非分割財の交換問題の私的価値モデルにおいて、任意のエージェントの選好が完備性、推移性、狭義選好の仮定を満たす場合、TTCメカニズムは唯一の狭義コア選択メカニズムである。

TTCメカニズムが唯一の狭義コア選択メカニズムであるということは、狭義コア選択メカニズムを選んだとき、それは必然的にTTCメカニズムになるということです。以上の事実と、TTCメカニズムが耐戦略性、事後個人合理性、および狭義パレート効率性を満たすことを踏まえると以下を得ます。

命題（狭義コア選択メカニズムの性質）

非分割財の交換問題の私的価値モデルにおいて、任意のエージェントの選好が完備性、推移性、狭義選好の仮定を満たす場合、狭義コア選択メカニズムは耐戦略性、事後個人合理性、および狭義パレート効率性を満たす。

非分割財の交換問題における広義コアの存在

繰り返しになりますが、非分割財の交換問題の私的価値モデルにおいて任意のエージェントの選好が完備性、推移性、狭義選好の仮定を満たす場合には、状態$\succsim_{I}\in \mathcal{R}_{I}$を任意に選んだとき、$\succsim _{I}$のもとでの狭義コアが1つだけ存在することが保証されます。狭義コアは広義コアでもあるため、広義コアもまた存在することが保証されます。

命題（非分割財の交換経済における広義コアの存在）

非分割財の交換問題の私的価値モデルにおいて、任意のエージェントの選好が完備性、推移性、狭義選好の仮定を満たすものとする。状態$\succsim_{I}\in \mathcal{R}_{I}$を任意に選んだ場合、$\succsim _{I}$のもとでの広義コアが存在する。

その一方で、狭義コアとは異なる広義コアが存在し得るため、広義コアは一意的であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例（複数の広義コア）

非分割財の交換問題の私的価値モデルにおいて、エージェント集合が、\begin{equation*}
I=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であるとともに、任意のエージェント$i\in I$の選好関係$\succsim _{i}$は完備性と推移性に加えて狭義選好の仮定を満たすものとします。エージェントたちの選好プロファイル$\succsim _{I}$が以下の表で与えられているものとします。

表：エージェントの選好

先に示したように、TTCメカニズム$\phi $が以上の選好プロファイル$\succsim _{I}$に対して定める配分は、\begin{eqnarray*}\phi \left( \succsim _{I}\right) &=&\left( \phi _{1}\left( \succsim
_{I}\right) ,\phi _{2}\left( \succsim _{I}\right) ,\phi _{3}\left( \succsim
_{I}\right) \right) \\
&=&\left( h_{3},h_{1},h_{2}\right)
\end{eqnarray*}であるため、これは$\succsim _{I}$のもとでの唯一の狭義コアです。狭義コアは広義コアでもあるため、これは$\succsim _{I}$のもとでの広義コアです。同時に、以下の配分\begin{equation*}a_{I}=\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) =\left( h_{2},h_{1},h_{3}\right)
\end{equation*}もまた$\succsim _{I}$のもとでの広義コアです。

非分割財の交換問題（シャプレー・スカーフの住宅市場）

商品を1つずつ所有している複数のプレイヤーが、何らかのルールにもとづいて商品を交換しようとしている状況を非分割財の交換問題と呼ばれるモデルとして定式化します。このような問題はシャプレー・スカーフ経済、住宅市場、住宅交換などとも呼ばれます。

非分割財の交換問題の私的価値モデル

非分割財の交換問題（シャプレー・スカーフの住宅市場）において、プレイヤーの選好に関して非外部性と私的価値を仮定する場合、そのようなモデルを私的価値モデルと呼びます。

非分割財の交換問題におけるメカニズム

非分割財の交換問題（シャプレー・スカーフ経済の住宅市場）における資源配分ルールをメカニズムと呼ばれる概念として定式化します。

非分割財の交換問題におけるベイジアンゲーム

非分割財の交換問題（シャプレー・スカーフの住宅市場）においてメカニズムを提示されたエージェントたちが直面する戦略的状況をベイジアンゲームとして定式化します。

非分割財の交換問題における誘因両立的メカニズムと表明原理

非分割財の交換問題（シャプレー・スカーフの住宅市場）におけるメカニズムのもとですべてのエージェントが自身の選好を正直に表明することが均衡になる場合、そのようなメカニズムは誘因両立性を満たすと言います。

非分割財の交換問題における個人合理的メカニズム

非分割財の交換問題（シャプレー・スカーフの住宅市場）におけるメカニズムが与えられたとき、メカニズムの均衡において、メカニズムが定める配分が任意のプレイヤーにとって初期配分以上に望ましいことが保証されるならば、そのようなメカニズムは個人合理性を満たすと言います。

非分割財の交換問題におけるパレート効率的メカニズム

ある配分を出発点に誰かの満足度を高めようとすると他の人の犠牲が伴うような状態であるとき、その配分はパレート効率的であると言います。また、パレート効率的な配分を常に選び取るメカニズムをパレート効率的なメカニズムと呼びます。

非分割財の交換問題におけるコア選択メカニズム

ある配分を出発点に、そこからプレイヤーのグループ（提携）が内部で商品を交換することでグループ内でのパレート改善が可能である場合、その配分はその提携によってブロックされると言います。また、いかなる提携によってもブロックされない配分をコアと呼び、コアを常に選び取るメカニズムをコア選択メカニズムと呼びます。

非分割財の交換問題における安定メカニズム

非分割財の交換問題（シャプレー・スカーフの住宅市場）においてエージェントたちが商品を交換し狭義コアが実現した後、任意の提携が商品を再交換する動機を持たない場合、そのような狭義コアは安定的であると言います。安定的な狭義コアを常に選ぶメカニズムを配分メカニズムと呼びます。