非分割財の分配問題における中立的メカニズム

中立的メカニズム

非分割財の分配問題が環境\begin{equation*}
\left( I,H,\left\{ \succsim _{i}\right\} _{i\in I},A,\left\{ \succsim
_{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \right\} _{i\in I}\right)
\end{equation*}として表現されているものとします。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(H\)は商品集合、\(\succsim _{i}\)はプレイヤー\(i\)が商品どうしを比較する選好関係、\(A\)は配分集合、\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)はプレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好関係です。特に、任意のプレイヤー\(i\in I\)に関して非外部性と私的価値を仮定する（私的価値モデル）場合には、任意の2つの配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)に対して以下の関係\begin{equation*}a_{I}\succsim _{i}^{A}[\succsim _{I}]\ a_{I}^{\prime }\Leftrightarrow
a_{i}\succsim _{i}a_{i}^{\prime }
\end{equation*}が成り立つため、プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好\(\succsim_{i}^{A}[\succsim _{I}]\)について考えるかわりに、プレイヤー\(i\)が商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)について考えても一般性は失われません。

消費集合\(H\)には有限\(n\)個の商品が含まれており、そのことを、\begin{equation*}H=\left\{ h_{1},\cdots ,h_{n}\right\}
\end{equation*}で表記します。\(h_{1},\cdots ,h_{n}\)は個々の商品の名称です。その上で、\(H\)上の商品の名称を互いに入れ替える操作を全単射\begin{equation*}g:H\rightarrow H
\end{equation*}として表現し、これを商品名称の置換（permutation）と呼ぶこととします。つまり、\(g\)のもとで商品の名称をお互いに入れ替えた場合、もとの名称が\(h\in H\)である商品の新たな名称が、\begin{equation*}g\left( h\right) \in H
\end{equation*}になるということです。全単射には逆写像\begin{equation*}
g^{-1}:H\rightarrow H
\end{equation*}が存在し、これはそれぞれの商品の新名称\(h^{\prime }\in H\)に対して、その商品の元の名称\begin{equation*}g^{-1}\left( h^{\prime }\right) \in H
\end{equation*}を特定します。全単射の定義より、それぞれの順序対\(\left( h,h^{\prime }\right)\in H\times H\)に対して以下の関係\begin{equation*}g\left( h\right) =h^{\prime }\Leftrightarrow g^{-1}\left( h^{\prime }\right)
=h
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、2つの商品\(h,h^{\prime }\)がそれぞれ任意に与えられたとき、\(h\)の新名称が\(h^{\prime }\)であることと、\(h^{\prime }\)の元の名称が\(h\)であることは必要十分です。

商品名称の置換\(g:H\rightarrow H\)をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{equation*}\mathcal{G}
\end{equation*}で表記します。\(g\in \mathcal{G}\)です。特に、\(\left\vert H\right\vert =n\)である場合、すなわち\(n\)個の商品が存在する場合には、それらの商品の名称を入れ替えるパターンは全部で\(n!\)通り存在するため、\begin{equation*}\left\vert \mathcal{G}\right\vert =n!
\end{equation*}が成り立ちます。

エージェント\(i\in I\)が商品どうしを比較する選好関係\(\succsim _{i}\in \mathcal{R}_{i}\)と商品名称の置換\(g\in \mathcal{G}\)が与えられれば、任意の商品\(h,h^{\prime }\in H\)に対して以下の条件\begin{equation*}g\left( h\right) \succsim _{i}^{g}g\left( h^{\prime }\right) \Leftrightarrow
h\succsim _{i}h^{\prime }
\end{equation*}を満たすものとして\(H\)上の新たな二項関係\(\succsim _{i}^{g}\)が定義可能です。つまり、\(g\)のもとでの商品\(h,h^{\prime }\)の新名称は\(g\left( h\right) ,g\left( h^{\prime }\right) \)ですが、もとの選好\(\succsim _{i}\)のもとで\(h\)が\(h^{\prime }\)以上であることと、新たに定義された選好\(\succsim_{i}^{g}\)のもとで\(g\left( h\right) \)が\(g\left(h^{\prime }\right) \)以上であることは必要十分です。選好\(\succsim _{i}^{g}\)を以上のように定義することとは、商品の名称を\(g\)のもとで入れ替えても、エージェント\(i\)の選好は実質的には変化しないことを意味します。

非分割財の分配問題におけるメカニズム\(\phi \)が何らかの純粋戦略の組を均衡として遂行可能であるものとします。ただし、表明原理より、正直戦略の組が均衡になるケース、すなわち誘因両立的なメカニズムに対象を限定しても一般性は失われません。市場の状態が\(\succsim _{I}\)である場合、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)のもとではエージェントたちは正直戦略にもとづいて\(\succsim _{I}\)を申告し、その申告に対してメカニズムは配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)を定め、この配分のもとでそれぞれのエージェント\(i\in I\)は商品\begin{equation*}\phi _{i}\left( \succsim _{I}\right) \in H
\end{equation*}を得ます。商品名称の置換\(g\in \mathcal{G}\)を任意に選んだ上で商品の名称を入れ替えると、エージェント\(i\)が得る商品\(\phi _{i}\left( \succsim _{I}\right) \)の名称が、\begin{equation}g\left( \phi _{i}\left( \succsim _{I}\right) \right) \in H \quad \cdots (1)
\end{equation}に変化します。一方、先の選好プロファイル\(\succsim _{I}\)と置換\(g\)から新たな選好プロファイル\(\succsim _{I}^{g}=\left( \succsim _{i}^{g}\right) _{i\in I}\)を定義します。エージェントたちが\(\succsim _{I}^{g}\)を申告すれば、その申告に対してメカニズムは配分\(\phi \left( \succsim_{I}^{g}\right) \)を定め、この配分のもとでそれぞれのエージェント\(i\in I\)は商品\begin{equation}\phi _{i}\left( \succsim _{I}^{g}\right) \in H \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。その上で、2つの商品\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)が常に一致する場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall g\in \mathcal{G},\ \forall \succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I},\
\forall i\in I:g\left( \phi _{i}\left( \succsim _{I}\right) \right) =\phi
_{i}\left( \succsim _{I}^{g}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、このようなメカニズム\(\phi \)は中立的（neutral）であると言います。つまり、メカニズム\(\phi \)が中立性を満たす場合には、商品の名称をどのように入れ替えた場合でも、また、エージェントたちがどのような選好を表明する場合でも、商品の名称を入れ替える前後において任意のエージェントが得る商品が変化しないことを意味します。商品の名称を入れ替えても、それにしたがってメカニズムが定める結果が一貫して変わるだけで、本質的には同一の配分を選び取るということです。商品の名称の違いにもとづいてメカニズムが恣意的に振る舞う事態は起こり得ないということです。

メカニズム\(\phi \)に均衡が存在することを前提としない場合にはどうでしょうか。この場合、メカニズム\(\phi \)が中立的であることとは、エージェントたちが申告する選好からなる組\(\hat{\succsim}_{I}\in \mathcal{R}_{I}\)と商品名称の置換\(g\in \mathcal{G}\)を任意に選んだとき、商品の名称を入れ替える前後において任意のエージェントが得る商品が変化しないこと、すなわち、\begin{equation*}\forall g\in \mathcal{G},\ \forall \hat{\succsim}_{I}\in \mathcal{R}_{I},\
\forall i\in I:g\left( \phi _{i}\left( \hat{\succsim}_{I}\right) \right)
=\phi _{i}\left( \hat{\succsim}_{I}^{g}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これは誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が中立的であるための条件と実質的に等しいです。

非中立的メカニズム

メカニズム\(\phi \)が中立性を満たさない場合にはどのような問題が生じるのでしょうか。メカニズム\(\phi \)が中立性を満たさない場合には、先の命題の否定である、\begin{equation*}\exists g\in \mathcal{G},\ \exists \succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I},\
\exists i\in I:g\left( \phi _{i}\left( \succsim _{I}\right) \right)
\not=\phi _{i}\left( \succsim _{I}^{g}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。このようなメカニズム\(\phi \)は非中立性（non-neutral）を満たすと言います。この場合、何らかの選好プロファイル\(\succsim _{I}\)および商品名称の置換\(g\)のもとでは、商品の名称を入れ替える前後において少なくとも1人のエージェントが得る商品が変化してしまいます。つまり、非中立的なメカニズムのもとでは、商品の本質的な価値ではなく、商品の名称の入れ替えによって結果が変わってしまうため、その意味において中立性を欠きます。

商品の名称を変更する場合

これまでは商品集合\(H\)に属する商品の名称を互いに入れ替える状況を想定しましたが、商品に対して新たな名称を付与する場合にも同様の議論が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

消費集合\(H\)には有限\(n\)個の商品が含まれており、そのことを、\begin{equation*}H=\left\{ h_{1},\cdots ,h_{n}\right\}
\end{equation*}で表記します。\(h_{1},\cdots ,h_{n}\)は個々の商品の名称です。その上で、\begin{equation*}\left\vert H\right\vert =\left\vert K\right\vert
\end{equation*}を満たす有限集合\(K\)を任意に選びます。\(K\)は新たな商品名称からなる集合であり、その要素を、\begin{equation*}K=\left\{ k_{1},\cdots ,k_{n}\right\}
\end{equation*}で表記します。その上で、\(H\)上の商品の名称を互いに入れ替える操作を全単射\begin{equation*}g:H\rightarrow K
\end{equation*}として表現し、これを商品名称の変更（renaming）と呼ぶこととします。つまり、\(g\)のもとで商品の名称を変更した場合、もとの名称が\(h\in H\)である商品の新たな名称が、\begin{equation*}g\left( h\right) \in K
\end{equation*}になるということです。全単射には逆写像\begin{equation*}
g^{-1}:K\rightarrow H
\end{equation*}が存在し、これはそれぞれの商品の新名称\(k\in K\)に対して、その商品の元の名称\begin{equation*}g^{-1}\left( k\right) \in H
\end{equation*}を特定します。全単射の定義より、それぞれの順序対\(\left( h,k\right) \in H\times K\)に対して以下の関係\begin{equation*}g\left( h\right) =k\Leftrightarrow g^{-1}\left( k\right) =h
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、2つの商品\(h,k\)がそれぞれ任意に与えられたとき、\(h\)の新名称が\(k\)であることと、\(k\)の元の名称が\(h\)であることは必要十分です。

商品名称の変更\(g:H\rightarrow K\)をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{equation*}\mathcal{G}
\end{equation*}で表記します。\(g\in \mathcal{G}\)です。特に、\(\left\vert H\right\vert =n\)である場合、すなわち\(n\)個の商品が存在する場合には、それらの商品の名称を入れ替えるパターンは全部で\(n!\)通り存在するため、\begin{equation*}\left\vert \mathcal{G}\right\vert =n!
\end{equation*}が成り立ちます。

エージェント\(i\in I\)が商品どうしを比較する選好関係\(\succsim _{i}\in \mathcal{R}_{i}\)と商品名称の変更\(g\in \mathcal{G}\)が与えられれば、任意の商品\(h,h^{\prime }\in H\)に対して以下の条件\begin{equation*}g\left( h\right) \succsim _{i}^{g}g\left( h^{\prime }\right) \Leftrightarrow
h\succsim _{i}h^{\prime }
\end{equation*}を満たすものとして\(K\)上の新たな二項関係\(\succsim _{i}^{g}\)が定義可能です。つまり、\(g\)のもとでの商品\(h,h^{\prime }\)の新名称は\(g\left( h\right) ,g\left( h^{\prime }\right) \)ですが、もとの選好\(\succsim _{i}\)のもとで\(h\)が\(h^{\prime }\)以上であることと、新たに定義された選好\(\succsim_{i}^{g}\)のもとで\(g\left( h\right) \)が\(g\left(h^{\prime }\right) \)以上であることは必要十分です。選好\(\succsim _{i}^{g}\)を以上のように定義することとは、商品の名称を\(g\)のもとで変更しても、エージェント\(i\)の選好は実質的には変化しないことを意味します。

以上を踏まえた上で、メカニズム\(\phi \)が中立的であることは、\begin{equation*}\forall g\in \mathcal{G},\ \forall \succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I},\
\forall i\in I:g\left( \phi _{i}\left( \succsim _{I}\right) \right) =\phi
_{i}\left( \succsim _{I}^{g}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。

演習問題