狭義安定的な配分
非分割財の分配問題が環境\begin{equation*}
\left( I,H,\left\{ \succsim _{i}\right\} _{i\in I},A,\left\{ \succsim
_{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \right\} _{i\in I}\right)
\end{equation*}として表現されているものとします。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(H\)は商品集合、\(\succsim _{i}\)はプレイヤー\(i\)が商品どうしを比較する選好関係、\(A\)は配分集合、\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)はプレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好関係です。特に、任意のプレイヤー\(i\in I\)に関して非外部性と私的価値を仮定する（私的価値モデル）場合には、任意の2つの配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)に対して以下の関係\begin{equation*}a_{I}\succsim _{i}^{A}[\succsim _{I}]\ a_{I}^{\prime }\Leftrightarrow
a_{i}\succsim _{i}a_{i}^{\prime }
\end{equation*}が成り立つため、プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好\(\succsim_{i}^{A}[\succsim _{I}]\)について考えるかわりに、プレイヤー\(i\)が商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)について考えても一般性は失われません。
非分割財の分配問題において状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選びます。このとき、配分\(a_{I}\in A\)に対して以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}^{\prime }=a_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{I}^{\prime }\ \succsim _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I} \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:a_{I}^{\prime }\ \succ _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I}
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I}^{\prime }\in A\)の組が存在しない場合、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)は狭義安定的（strictly stable）であると言います。
条件\(\left( a\right) \)は、提携\(T\)に属するそれぞれのエージェント\(i\)が配分\(a_{I}^{\prime }\)において入手する商品\(a_{i}^{\prime }\)は、同じ提携\(T\)に属する何らかのエージェント\(j\)が配分\(a_{I}\)において入手する商品\(a_{j}^{\prime }\)であることを意味します。したがって、\(T\)に属するエージェントたちが\(a_{I}\)における局所的な配分\(a_{T}=\left( a_{i}\right) _{i\in T}\)に直面した場合、彼らの間で商品を再交換すれば自力で\(a_{I}^{\prime }\)における局所的な配分\(a_{T}^{\prime}=\left( a_{i}^{\prime }\right) _{i\in T}\)を達成できます。条件\(\left( b\right) ,\left(c\right) \)は、\(T\)に属するエージェントたちにとって\(a_{I}^{\prime }\)が\(a_{I}\)を広義パレート支配することを意味します。したがって、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)が狭義安定的であることとは、エージェントたちが提携内で商品を再交換できる可能性を考慮してもなお、\(a_{I}\)を出発点に広義パレート改善できる余地が存在しないことを意味します。
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{i}^{\prime }\succsim _{i}a_{i} \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:a_{i}^{\prime }\succ _{i}a_{i}
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I}^{\prime }\in A\)の組が存在しないことを意味します。
I=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}であり、商品集合が、\begin{equation*}
H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\}
\end{equation*}であるものとします。私的価値モデルを想定します。エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim _{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{4} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{4}\succ _{3}h_{3}\succ _{3}h_{2} \\
h_{3} &\succ &_{4}h_{2}\sim _{4}h_{1}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。以下の配分\begin{equation*}
a_{I}=\left( a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right) =\left(
h_{3},h_{4},h_{1},h_{2}\right)
\end{equation*}は\(\succsim _{I}\)において狭義安定的である一方で、以下の配分\begin{equation*}a_{I}^{\prime }=\left( a_{1}^{\prime },a_{2}^{\prime },a_{3}^{\prime
},a_{4}^{\prime }\right) =\left( h_{3},h_{4},h_{2},h_{1}\right)
\end{equation*}は\(\succsim _{I}\)において狭義安定的ではありません（演習問題）。
配分が狭義安定的であることと狭義パレート効率的であることは必要十分です。
広義安定的な配分
非分割財の分配問題において状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選びます。このとき、配分\(a_{I}\in A\)に対して以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}^{\prime }=a_{j} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{I}^{\prime }\ \succ _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ a_{I}
\end{eqnarray*}をともに満たす提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I}^{\prime }\in A\)の組が存在しない場合、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)は広義安定的（weakly stable）であると言います。
条件\(\left( a\right) \)は、提携\(T\)に属するそれぞれのエージェント\(i\)が配分\(a_{I}^{\prime }\)において入手する商品\(a_{i}^{\prime }\)は、同じ提携\(T\)に属する何らかのエージェント\(j\)が配分\(a_{I}\)において入手する商品\(a_{j}^{\prime }\)であることを意味します。したがって、\(T\)に属するエージェントたちが\(a_{I}\)における局所的な配分\(a_{T}=\left( a_{i}\right) _{i\in T}\)に直面した場合、彼らの間で商品を再交換すれば自力で\(a_{I}^{\prime }\)における局所的な配分\(a_{T}^{\prime}=\left( a_{i}^{\prime }\right) _{i\in T}\)を達成できます。条件\(\left( b\right) \)は、\(T\)に属するエージェントたちにとって\(a_{I}^{\prime }\)が\(a_{I}\)を狭義パレート支配することを意味します。したがって、\(\succsim _{I}\)において\(a_{I}\)が広義安定的であることとは、エージェントたちが提携内で商品を再交換できる可能性を考慮してもなお、\(a_{I}\)を出発点に狭義パレート改善できる余地が存在しないことを意味します。
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{i}^{\prime }\succ _{i}a_{i}
\end{eqnarray*}をともに満たす提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I}^{\prime }\in A\)の組が存在しないことを意味します。
I=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}であり、商品集合が、\begin{equation*}
H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\}
\end{equation*}であるものとします。私的価値モデルを想定します。エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim _{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{4} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{4}\succ _{3}h_{3}\succ _{3}h_{2} \\
h_{3} &\succ &_{4}h_{2}\succ _{4}h_{1}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。以下の配分\begin{equation*}
a_{I}=\left( a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right) =\left(
h_{3},h_{4},h_{1},h_{2}\right)
\end{equation*}は\(\succsim _{I}\)において広義安定的である一方で、以下の配分\begin{equation*}a_{I}^{\prime }=\left( a_{1}^{\prime },a_{2}^{\prime },a_{3}^{\prime
},a_{4}^{\prime }\right) =\left( h_{3},h_{4},h_{2},h_{1}\right)
\end{equation*}は\(\succsim _{I}\)において広義安定的ではありません（演習問題）。
広義安定的な配分は広義パレート効率的でもあります。
先の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、広義パレート効率的な配分は広義安定的であるとは限りません。以下の例より明らかです。
I=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であり、商品集合が、\begin{equation*}
H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3}\right\}
\end{equation*}であるものとします。私的価値モデルを想定します。エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim _{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{1} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{3} \\
h_{2} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{3} \\
h_{3} &\succ &_{3}h_{1}\succ _{3}h_{2}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。以下の配分\begin{equation*}
a_{I}=\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) =\left( h_{2},h_{1},h_{3}\right)
\end{equation*}は\(\succsim _{I}\)において広義パレート効率的である一方で広義安定的ではありません（演習問題）。
狭義安定的な配分と広義安定的な配分の関係
状態が与えられたとき、ある配分が狭義安定的であるならば、その配分は広義安定的でもあります。
先の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、状態が与えられたとき、広義安定的な配分は狭義安定的であるとは限りません（演習問題）。
狭義安定メカニズム
非分割財の分配問題におけるメカニズム\(\phi \)が何らかの純粋戦略の組を均衡として遂行可能であるものとします。ただし、表明原理より、正直戦略の組が均衡になるケース、すなわち誘因両立的なメカニズムに対象を限定しても一般性は失われません。市場の状態が\(\succsim _{I}\)である場合、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)のもとではエージェントたちは正直戦略にもとづいて\(\succsim _{I}\)を申告し、その申告に対してメカニズムは配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)を定めますが、この配分が\(\succsim _{I}\)のもとで狭義安定的であることが保証される場合、このメカニズム\(\phi \)は狭義安定的（strictlystable）であると言います。
メカニズムを設計する段階において、マッチメイカーはどの状態が真の状態であるか分からないため、誘因両立的なメカニズムが狭義安定的であることを保証するためには、起こり得るあらゆる状態において、そこでの均衡配分が狭義安定的であることを保証する必要があります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が狭義安定的であることとは、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選んだとき、それに対して以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}=\phi _{j}\left(
\succsim _{I}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{I}\ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim
_{I}\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right) \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right)
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I}\in A\)の組が存在しないことを意味します。
メカニズム\(\phi \)に均衡が存在することを前提としない場合にはどうなるでしょうか。この場合、メカニズム\(\phi \)が狭義安定的であることとは、エージェントたちが申告する選好プロファイル\(\hat{\succsim}_{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選んだとき、それに対して\(\phi \)が定める配分\(\phi \left( \hat{\succsim}_{I}\right) \)が\(\hat{\succsim}_{I}\)のもとで狭義安定的であること、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}=\phi _{j}\left(
\hat{\succsim}_{I}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{I}\ \succsim _{i}^{A}\left[ \hat{\succsim}_{I}\right] \ \phi \left( \hat{\succsim}_{I}\right) \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \hat{\succsim}_{I}\right] \ \phi \left( \hat{\succsim}_{I}\right)
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I}\in A\)の組が存在しないことを意味します。これは誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が狭義安定的であるための条件と実質的に等しいです。
\succsim _{I}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{i}\succsim _{i}\phi _{i}\left(
\succsim _{I}\right) \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:a_{i}\succ _{i}\phi _{i}\left( \succsim
_{I}\right)
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I}\in A\)の組が存在しないことを意味します。
メカニズムが狭義安定的であることと狭義事後効率的であることは必要十分です。
広義安定メカニズム
非分割財の分配問題におけるメカニズム\(\phi \)が何らかの純粋戦略の組を均衡として遂行可能であるものとします。ただし、表明原理より、正直戦略の組が均衡になるケース、すなわち誘因両立的なメカニズムに対象を限定しても一般性は失われません。市場の状態が\(\succsim _{I}\)である場合、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)のもとではエージェントたちは正直戦略にもとづいて\(\succsim _{I}\)を申告し、その申告に対してメカニズムは配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)を定めますが、この配分が\(\succsim _{I}\)のもとで広義安定的であることが保証される場合、このメカニズム\(\phi \)は広義安定的（weakly stable）であると言います。
メカニズムを設計する段階において、マッチメイカーはどの状態が真の状態であるか分からないため、誘因両立的なメカニズムが広義安定的であることを保証するためには、起こり得るあらゆる状態において、そこでの均衡配分が広義安定的であることを保証する必要があります。したがって、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が広義安定的であることとは、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選んだとき、それに対して以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}=\phi _{j}\left(
\succsim _{I}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I}\in A\)の組が存在しないことを意味します。
メカニズム\(\phi \)に均衡が存在することを前提としない場合にはどうなるでしょうか。この場合、メカニズム\(\phi \)が広義安定的であることとは、エージェントたちが申告する選好プロファイル\(\hat{\succsim}_{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選んだとき、それに対して\(\phi \)が定める配分\(\phi \left( \hat{\succsim}_{I}\right) \)が\(\hat{\succsim}_{I}\)のもとで広義安定的であること、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T,\ \exists j\in T:a_{i}=\phi _{j}\left(
\hat{\succsim}_{I}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \hat{\succsim}_{I}\right] \ \phi \left( \hat{\succsim}_{I}\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I}\in A\)の組が存在しないことを意味します。これは誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が広義安定的であるための条件と実質的に等しいです。
\succsim _{I}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{i}\succ _{i}\phi _{i}\left( \succsim
_{I}\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I}\in A\)の組が存在しないことを意味します。
広義安定的なメカニズムは広義事後効率的でもあります。
先の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、広義事後効率的なメカニズムは広義安定的であるとは限りません。なぜなら、広義パレート効率的な配分は広義安定的であるとは限らないからです。
狭義安定的なメカニズムと広義安定的なメカニズムの関係
狭義安定的なメカニズムは広義安定的でもあります。
先の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、広義安定的なメカニズムは狭義安定的であるとは限りません。なぜなら、広義安定的な配分は狭義安定的であるとは限らないからです。
演習問題
I=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}であり、商品集合が、\begin{equation*}
H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\}
\end{equation*}であるものとします。私的価値モデルを想定します。エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim _{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{4} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{4}\succ _{3}h_{3}\succ _{3}h_{2} \\
h_{3} &\succ &_{4}h_{2}\sim _{4}h_{1}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。以下の配分\begin{eqnarray*}
a_{I} &=&\left( a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right) =\left(
h_{3},h_{4},h_{1},h_{2}\right) \\
a_{I}^{\prime } &=&\left( a_{1}^{\prime },a_{2}^{\prime },a_{3}^{\prime
},a_{4}^{\prime }\right) =\left( h_{3},h_{4},h_{2},h_{1}\right)
\end{eqnarray*}に注目します。以下の問いに答えてください。
- \(a_{I}\)は\(\succsim _{I}\)において狭義安定的でしょうか。議論してください。
- \(a_{I}\)は\(\succsim _{I}\)において広義安定的でしょうか。議論してください。
- \(a_{I}^{\prime }\)は\(\succsim _{I}\)において狭義安定的でしょうか。議論してください。
- \(a_{I}^{\prime }\)は\(\succsim _{I}\)において広義安定的でしょうか。議論してください。
I=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}であり、商品集合が、\begin{equation*}
H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\}
\end{equation*}であるものとします。私的価値モデルを想定します。エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim _{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{4} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{4}\succ _{3}h_{3}\succ _{3}h_{2} \\
h_{3} &\succ &_{4}h_{2}\sim _{4}h_{1}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。以下の配分\begin{eqnarray*}
a_{I} &=&\left( a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right) =\left(
h_{3},h_{4},h_{1},h_{2}\right) \\
a_{I}^{\prime } &=&\left( a_{1}^{\prime },a_{2}^{\prime },a_{3}^{\prime
},a_{4}^{\prime }\right) =\left( h_{3},h_{4},h_{2},h_{1}\right)
\end{eqnarray*}に注目します。以下の問いに答えてください。
- \(a_{I}\)は\(\succsim _{I}\)において狭義安定的でしょうか。議論してください。
- \(a_{I}\)は\(\succsim _{I}\)において広義安定的でしょうか。議論してください。
- \(a_{I}^{\prime }\)は\(\succsim _{I}\)において狭義安定的でしょうか。議論してください。
- \(a_{I}^{\prime }\)は\(\succsim _{I}\)において広義安定的でしょうか。議論してください。
I=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であり、商品集合が、\begin{equation*}
H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3}\right\}
\end{equation*}であるものとします。私的価値モデルを想定します。エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim _{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{1} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{3} \\
h_{2} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{3} \\
h_{3} &\succ &_{3}h_{1}\succ _{3}h_{2}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。以下の配分\begin{equation*}
a_{I}=\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) =\left( h_{2},h_{1},h_{3}\right)
\end{equation*}は\(\succsim _{I}\)において広義パレート効率的である一方で広義安定的ではないことを示してください。
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